LE FORMULE INVERSE

LE FORMULE INVERSE
Spesso in geometria o in fisica o in chimica è richiesto di invertire una formula.
Ad esempio si vuole ricavare l’altezza del trapezio dalla formula diretta dell’area
A=
( b1 + b2 ) ⋅ h
2
Una formula può essere vista come una equazione la cui incognita è l’incognita del problema, nel nostro
caso h è l’incognita mentre le altre lettere sono parametri noti.
Per risolvere un’equazione si utilizzano i principi di equivalenza delle equazioni che consentono di:
p1) sommare o sottrarre ad entrambi i membri di una equazione uno stesso termine (addendo)
p2) moltiplicare o dividere entrambi i membri di una equazione per uno stesso fattore diverso da zero
ci sono anche altri principi utili che derivano dai precedenti
p3) trasportare un termine da un membro all’altro cambiandogli il segno
p4) scambiare il primo membro con il secondo membro
p5) cambiare segno a tutti i termini dell’equazione
Se le equazioni sono di primo grado rispetto all’incognita prescelta si procede sempre così
1) eliminare eventuali denominatori (p2)
2) eliminare le eventuali parentesi svolgendo i dovuti calcoli
3) trasportare a primo membro i termini che contengono l’incognita (p3)
4) trasportare a secondo membro i termini che non contengono l’incognita (p3)
5) isolare l’incognita (dividere entrambi i membri per il coefficiente dell’incognita) (p2)
Nota 1. Spesso molti passaggi non sono necessari, focalizzare sempre la posizione dell’incognita
Nota 2. In presenza di più denominatori è necessario calcolare il minimo comune denominatore
Nota 3. Se a primo membro l’incognita è presente in più termini raccogliere a fattor comune l’incognita
Nota 4. Se l’incognita isolata non è di primo grado estrarre la corrispondente radice
Ricavare b
ax 2 + bx + c = 0
bx = − ax 2 − c
trasportare tutti i termini senza l’incognita a secondo membro
isolare l’incognita b dividendo entrambi i membri per il coefficiente di b cioè x
2
b=
−ax − c
x
Ricavare T1
Q = mc (T2 − T1 )
eliminare le parentesi e svolgere i calcoli
Q = mcT2 − mcT1
trasportare i termini con l’incognita T1 a primo membro e
i termini senza incognita a secondo membro
mcT1 = mcT2 − Q
mcT2 − Q
T1 =
mc
isolare l’incognita T1 dividendo entrambi i membri per il suo coefficiente
mc
Ricavare c
Q = mc (T2 − T1 )
l’incognita c deve stare a primo membro, scambiare i due membri
mc (T2 − T1 ) = Q
isolare l’incognita c dividendo entrambi i membri per il suo coefficiente
c=
m (T2 − T1 )
Q
m (T2 − T1 )
DIPARTIMENTO DI MATEMATICA – ITS
ITS ROSSI VICENZA
Ricavare r
4
V = π r3
3
3V = 4π r 3
4π r 3 = 3V
3V
r3 =
4π
3V
r=3
4π
eliminare i denominatori, moltiplicare per 3 entrambi i membri
l’incognita r deve stare a primo membro, scambiare i membri
isolare l’incognita r dividendo entrambi i membri per il suo coefficiente
4π
l’equazione non è di primo grado, estrarre la radice cubica
Ricavare h
A=
( b1 + b2 ) ⋅ h
2
2 A = ( b1 + b2 ) ⋅ h
( b1 + b2 ) ⋅ h = 2 A
h=
eliminare i denominatori , moltiplicare per 2 entrambi i membri
l’incognita h deve stare a primo membro, scambiare i membri
isolare l’incognita h dividendo entrambi i membri per il suo coefficiente
( b1 + b2 )
2A
b1 + b2
Ricavare V1
P
P1
= 3
V1 + V2 V3
trovare il minimo comune denominatore
P ⋅ (V + V )
P1 ⋅ V3
= 3 1 2
(V1 + V2 )V3 (V1 + V2 )V3
eliminare i denominatori, moltiplicare per
P1 ⋅V3 = P3 ⋅ (V1 + V2 )
eliminare le parentesi e svolgere i calcoli
P1 ⋅ V3 = P3 ⋅ V1 + P3 ⋅ V2
l’incognita deve stare a primo membro, scambiare i membri
P3 ⋅ V1 + P3 ⋅ V2 = P1 ⋅ V3
trasportare i termini senza incognita a secondo membro
P3 ⋅ V1 = P1 ⋅ V3 − P3 ⋅ V2
P ⋅V − P ⋅V
V1 = 1 3 3 2
P3
isolare l’incognita V1 dividendo entrambi i membri per il suo coefficiente
(V1 + V2 )V3
(V1 + V2 )V3
P3
Ricavare x
( a + 2x) : x = (b + c) : c
a + 2x b + c
=
x
c
c ( a + 2x ) (b + c ) x
=
cx
cx
c ( a + 2 x ) = (b + c ) x
ca + 2cx = bx + cx
2cx − bx − cx = −ca
cx − bx = −ca
x ( c − b ) = −ca
x=−
trasformare in frazioni
calcolare il minimo comune denominatore
( cx )
eliminare i denominatori, moltiplicare per cx entrambi i membri
eliminare le parentesi e svolgere i calcoli
trasportare tutti i termini con l’incognita a primo membro e
tutti i termini senza l’incognita a secondo membro
semplificare termini simili (stessa parte letterale)
raccogliere la x a fattor comune
isolare l’incognita x dividendo entrambi i membri per il coefficiente della x cioè
(c − b)
ca
c −b
DIPARTIMENTO DI MATEMATICA – ITS
ITS ROSSI VICENZA