Esercitazione Sistemi e Modelli n.4 05/11/2015 Esercizio 1 Dato il sistema continuo autonomo caratterizzato dalla seguente matrice modale: 1 −1 F = 1 1 se ne deduca la stabilità tramite equazione di Lyapunov. Soluzione. Scegliamo come matrice Q: Q= 1 0 0 1 chiaramente definita positiva (i due autovalori, λ = 1, sono entrambi positivi). Poniamo la matrice P incognita a b P = = PT b c A questo punto, determiniamo la matrice P risolvendo l’equazione di Lyapunov con la matrice Q scelta in precedenza: F T P + P F = −Q −1 = 1 a+b b+c a + b −a + b = + = −a + b −b + c b + c −b + c 2(a + b) −a + 2b + c −1 0 = = = −Q −a + 2b + c 2(−b + c) 0 −1 ⇒ FTP + PF = 1 −1 1 1 a b b c + a b b c Dall’uguaglianza precedente si ottiene il seguente sistema: 1 2(a + b) = −1 a = − 2 −a + 2b + c = 0 ⇒ b = 0 c = − 12 2(−b + c) = −1 Si può vedere quindi che la matrice P ottenuta 1 −2 P = 0 0 − 21 1 1 (1) (2) non è definita positiva (gli autovalori sono negativi) e quindi si può concludere che il sistema non è asintoticamente stabile. Tramite i teoremi sulle equazioni di Lyapunov, in tal caso, non si può affermare nulla, in generale, a proposito dell’eventuale stabilità semplice. Tuttavia, in questo caso, un metodo veloce per valutare se il sistema è 1 semplicemente stabile o instabile è calcolarne gli autovalori. Definiamo quindi il polinomio caratteristico: 2 det (λI − F ) = (λ − 1) + 1 = λ2 − 2λ + 2 Gli autovalori sono: λ=1± √ −1 = 1 ± j La parte reale degli autovalori risulta essere positiva e quindi il sistema è instabile. Esercizio 2 Dato il sistema −3 u, y = 1 1 x 0 1 a • si risolva l’equazione di Lyapunov con Q(a) = , dove a è un parametro reale, e si denoti con a 1 P (a) la corrispondente soluzione (punti 1.5); ẋ = −1 −1 2 −1 x+ • si può dedurre qualcosa sulla stabilità del sistema ricorrendo alla coppia (P (0), Q(0))? Ed alla coppia (P (1), Q(1))? (punti 1) Soluzione. L’equazione di Lyapunov F T P + P F = −Q fornisce la soluzione 5−2a 1+2a 12 12 P = 1+2a 8+4a 12 Particolarizzando ai casi a = 0, 1, si ha: 1 0 1 Q(0) = , Q(1) = 0 1 1 1 1 12 , P (0) = 5 12 1 12 1 12 2 3 , P (1) = 1 4 1 4 1 4 1 da cui si vede facilmente che P (0), P (1) e Q(0) sono definite positive, mentre Q(1) è semidifinita positiva. • Nel caso a = 0 si può concludere per la stabilità asintotica, essendo V (x) > 0 e V̇ (x) < 0. • Nel caso a = 1 si può concludere per la stabilità (almeno) semplice, essendo V (x) > 0 e V̇ (x) ≤ 0. Utilizzando Krasowskii, si può concludere per la stabilità asintotica anche in questo caso, in quanto N T consiste di vettori paralleli a 1 −1 e, ponendo x2 = −x1 nelle equazioni di stato, si conclude facilmente: ẋ1 = −3x1 ẋ1 = 0 da cui x1 = x2 = 0. Esercizio 3 Dato il sistema non lineare ẋ1 = ax1 − x31 (3) x32 (4) ẋ2 = ax2 − si studi la stabilità dell’equilibrio nell’origine al variare del parametro reale a 1. ricorrendo, quando possibile, alla linearizzazione 2. ricorrendo, nei casi critici, alla funzione V (x1 , x2 ) = x21 + x22 . 2 Soluzione. 1. Linearizzando si ottiene F = Jf |eq = a − 3x21 0 0 a − 3x22 = |(0,0) a 0 0 a = aI, da cui l’autovalore doppio λ = a, e quindi si ha instabilità se a > 0 e stabilità asintotica se a < 0. 2. Nel caso critico a = 0, calcolando V̇ , si trova facilmente V̇ (x1 , x2 ) = 2x1 x˙1 + 2x2 x˙2 = −2 x41 + x42 che è definita negativa. Si ottiene quindi la stabilità asintotica. Esercizio 4 Dato il sistema ẋ1 = x2 (5) ẋ2 = ax2 − x1 − b2 x32 (6) si studi la stabilità dell’equilibrio nell’origine al variare dei parametri a e b con il metodo della linearizzazione e ricorrendo, ove necessario, alla funzione 1 2 1 2 x + x 2 1 2 2 V (x1 , x2 ) = Soluzione. Linearizzando si ottiene: F = Jf |e q = 0 −1 1 a , da cui segue il calcolo degli autovalori: 2 det(sI − F ) = s − as + 1 =⇒ λ1,2 = a± √ a2 − 4 2 • se a > 0, gli autovalori sono entrambi a parte reale positiva e quindi si ha instabilità; • se a < 0, gli autovalori sono entrambi a parte reale negativa e quindi si ha stabilità asintotica; • se a = 0 entrambi gli autovalori hanno parte reale nulla e quindi il teorema sulla linearizzazione non è applicabile e non ci dà alcuna informazione. Utilizziamo quindi Lyapunov. Con a = 0, il sistema diventa: x˙1 = x2 x˙2 = −x1 − (7) b2 x32 Da cui, utilizzando la V (x1 , x2 ) proposta,si ottiene: V̇ = x1 x˙1 + x2 x˙2 = x1 x2 − x1 x2 − b2 x42 = −b2 x42 ≤ 0 che è solamente semidefinita negativa. Possiamo concludere quindi per la stabilità (almeno) semplice. Utilizziamo ora Krasowskii per studiare se la stabilità è solamente semplice o anche asintotica. L’insieme N di tutti i punti in cui la V̇ (x1 , x2 ) si annulla è dato da: N = (x1 , x2 ) ∈ R2 | − b2 x42 = 0 3 (8) • se b 6= 0, l’insieme N è costituito da tutti i punti del tipo con x2 = 0. Dalle equazioni della dinamica, risulta quindi: x˙1 = 0 x˙2 = −x1 (9) (10) Da x2 = 0 risulta anche x˙2 = 0, da cui x1 = 0. Perciò non esistono traiettorie, diverse dalla traiettoria identicamente nulla, che giacciano in N . Possiamo concludere quindi per la stabilità asintotica. • se b = 0, l’insieme N è costituito da tutti i punti di R2 , perciò il sistema risulta solamente semplicemente stabile. In questo caso si poteva anche notare che, nel caso a = b = 0, il sistema diventa lineare, con matrice F pari a 0 1 F −1 0 da cui si ricavano i due autovalori distinti λ1,2 = ±j, che ci permettono di concludere subito per la stabilità solo semplice. 4