Tema d` esame del 15 Maggio 2007

Geometria B1 - Geometria 13BCG
Per ognuno dei seguenti quiz indicare l’ unica risposta corretta tra le quattro proposte.
Esercizio 1. Siano date le rette r : x = 0, y = 0, ed s : x = z, y = z.
a) r ed s sono sghembe.
b) r ed s sono ortogonali ed incidenti ad infinite rette.
c) r ed s sostengono due dei tre lati di un triangolo equilatero.
d) r ed s sostengono due dei tre lati di un triangolo rettangolo.
(d) è vera. Infatti, le due rette sono incidenti nell’ origine ma non ortogonali. Il
triangolo rettangolo si ottiene prendendo un punto su s e la sua proiezione ortogonale
sull’ altra retta. Ad esempio, i punti (0, 0, 0), (1, 1, 1), (0, 0, 1) sono vertici di un triangolo
rettangolo costruiti come spiegato.
Esercizio 2. Siano dati due punti A, B ed un piano α.
a) Se d(A, α) = d(B, α) allora la retta AB è parallela ad α.
b) Se d(A, α) = d(A, B), allora la sfera di centro B passante per A è tangente ad α.
c) Se d(A, C) = d(B, C) per ogni punto C ∈ α allora A e B sono coincidenti.
d) Se il punto medio M di A, B appartiene ad α, allora d(A, α) = d(B, α).
(d) è vera. Siano A0 e B 0 le proiezioni ortogonali di A e B su α, rispettivamente. I
triangoli AA0 M e BB 0 M sono rettangoli, hanno ipotenuse uguali perché M è punto medio
di AB, ed angoli AM̂ A0 , B M̂ B 0 uguali perché opposti al vertice. Quindi i due triangoli
sono uguali ed in particolare AA0 = BB 0 ossia d(A, α) = d(B, α).
Esercizio 3. Sia data la conica
x2 y 2
+
− x + 1 = 0.
4
2
√
γ è un’ ellisse di semiassi 2 e 2.
√
γ è un’ iperbole di semiassi 2 e 2.
γ è una conica degenere.
La retta tangente a γ in (2, 0) ha equazione y = 0.
γ:
a)
b)
c)
d)
(c) è vera. Infatti, l’ equazione di γ può essere scritta come
y2
x
2
=0
( + 1) +
2
2
e quindi γ è un’ ellisse degenere.
Esercizio 4. Sia f : R5 → R3 un’ applicazione lineare.
a) f è iniettiva.
b) Se dim ker(f ) = 2, allora f è suriettiva.
c) f è invertibile.
d) Se dim ker(f ) = 3, allora f è suriettiva.
(b) è vera. Infatti, per il Teorema del Rango, dim Im(f ) = dim R5 − dim ker(f ) =
5 − 2 = 3, e quindi f è suriettiva.
1
2
Esercizio 5. Sia data la matrice reale

1 0 0
A =  0 0 1 .
0 −1 0
a)
b)
c)
d)

A2 è diagonalizzabile.
Il polinomio caratteristico di A ha tutte radici reali.
A non è invertibile.
A è diagonalizzabile.
(a) è vera. Infatti, la matrice A2 è uguale a


1 0
0
A2 =  0 −1 0 
0 0 −1
ed è diagonale, quindi diagonalizzabile usando la matrice identica.
Esercizio 6. Sia dato il sottospazio
U = L((1, 0, −1), (2 + a, 1 + a, −1), (1, 3, 0)) ⊂ R3 .
a)
b)
c)
d)
dim U = 3 per ogni a ∈ R.
dim U = 1 per qualche a ∈ R.
U non è un sottospazio perché non contiene il vettore nullo.
dim U = 2 per un solo valore di a ∈ R.
(d) è vera. Infatti, poiché i vettori (1, 0, −1), (1, 3, 0) sono linearmente indipendenti,
allora dim U ≥ 2 per tutti i valori di a ∈ R. Inoltre, dim U = 2 se, e solo se, la matrice


1
0
−1
 1
3
0 
a + 2 a + 1 −1
ha rango 2. Questa condizione è equivalente a chiedere che la matrice precedente abbia
determinante 0 ossia 2a − 2 = 0 che è vera solo per a = 1.
Esercizio 7. Siano dati i numeri complessi z, w con Re(w) 6= 0.
a) Qualunque sia z ∈ C, si ha che Re(z/w) = Re(z)/Re(w).
b) Se z 3 = w, allora w è radice terza di z.
c) Se z 2 = w, e w2 = z, allora w è radice terza di 1.
d) Se Im(w) = 0, allora |zw| = |z|Re(w).
(c) è vera. Infatti, sostituendo nella prima la seconda equazione abbiamo w4 = w.
Poiché w 6= 0, allora possiamo dividere per w ed abbiamo l’ equazione w3 = 1. Quindi, w
è radice terza di 1.
Esercizio 8. Sia f : R3 → R3 l’ applicazione lineare definita come
f (x, y, z) = (x + y − z, 2y − z, 2x + y − 2z).
Calcolare gli autovalori di f, una base per ogni suo autospazio e stabilire se f è semplice.
Senza effettuare altri calcoli, ma giustificando la risposta, dire se f è invertibile.
3
Svolgimento.
La matrice associata ad f è uguale ad


1 1 −1
A =  0 2 −1  .
2 1 −2
Il polinomio caratteristico di f è p(t) = det(A − tI) = −(t − 1)2 (t + 1), e quindi gli
autovalori di f (radici reali di p(t)) sono t1 = 1 di molteplicità m(1) = 2, e t2 = −1 di
molteplicità m(−1) = 1.
L’ autospazio V (1) è dato dai vettori che risolvono il sistema (A − I)X = 0. Svolgendo
i calcoli, otteniamo le equazioni y − z = 0, 2x + y − 3z = 0 ossia x = z, y = z. Quindi
V (1) = L((1, 1, 1)) ossia dim V (1) = 1 ed una sua base è B1 = ((1, 1, 1)).
Analogamente, l’ autospazio V (−1) si ottiene risolvendo il sistema lineare (A+I)X = 0
ed otteniamo x = −y, z = 3y. Quindi, V (−1) = L((−1, 1, 3)) ed ha dimensione 1 con base
B−1 = ((−1, 1, 3)).
f non è semplice perché uno dei suoi autospazi ha dimensione diversa dalla molteplicità
del corrispondente autovalore. In dettaglio, dim V (1) 6= m(1).
f è invertibile perché t = 0 non è autovalore di f.
½
x+y =1
Esercizio 9. Siano dati il punto A(1, 0, 2) e la retta r :
x − z = −1.
√
(1) Scrivere l’ equazione della sfera σ di centro A e raggio 3, e trovare i punti B, C
in cui r la interseca.
(2) Scrivere l’ equazione del piano β per B ortogonale ad r e verificare che esso è
tangente a σ.
(3) Determinare le distanze di A e di C da β e dedurre la posizione di B e C rispetto
ad A ed a σ.
Svolgimento. (1) L’ equazione della sfera σ è
σ : (x − 1)2 + y 2 + (z − 2)2 = 3.
Svolgendo i calcoli, si ha
σ : x2 + y 2 + z 2 − 2x − 4z + 2 = 0.
Per calcolare i punti in cui r interseca σ basta risolvere il sistema

 x+y =1
x − z = −1
 x2 + y 2 + z 2 − 2x − 4z + 2 = 0.
Dalle prime due equazioni otteniamo y = 1 − x, z = 1 + x. Sostituendo nell’ ultima
equazione otteniamo 3x2 − 6x = 0, e quindi x1 = 0, x2 = 2. In corrispondenza, otteniamo
i due punti B(0, 1, 1) e C(2, −1, 3).
(2) L’ equazione parametrica della retta r è r : x = t, y = 1 − t, z = 1 + t, e quindi un
vettore parallelo ad r è v = (1, −1, 1). Il piano β passa per B ed è ortogonale a v, quindi
la sua equazione è x − y + z + d = 0 con d che verifica 0 − 1 + 1 + d = 0 ossia d = 0.
Quindi,
β : x − y + z = 0.
√
√
La distanza tra il centro A di σ ed il piano β è d(A, β) = |3|/ 3 = 3. Poiché il raggio
di σ è uguale alla distanza tra il centro e β abbiamo che β è tangente a σ.
4
√
√
(3) d(A, β) = 3, d(C, β) = 2 3 e quindi B e C sono estremi di un diametro di σ.
Essendo A il centro di σ, A è anche punto medio di B, C.