4. L`amplificatore operazionale

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L'AMPLIFICATORE OPERAZIONALE
4 L'amplicatore operazionale
(ultimo aggiornamento: 9 Marzo 2001)
L'amplicatore operazionale e un elemento circuitale largamente utilizzato nei circuiti elettronici
che elaborano grandezze analogiche. Data la sua importanza e diusione, esso viene trattato
come un blocco fondamentale.
4.1 Caratteristiche dell'amplicatore operazionale ideale
L'amplicatore operazionale ideale e un generatore di tensione controllato in tensione, che presenta un guadagno di tensione innito.
La Fig. 4.1 illustra il simbolo circuitale dell'amplicatore operazionale. Facendo riferimento
ai simboli in gura, l'amplicatore operazionale e descritto dall'equazione:
Vo = EVd = E (V + V )
(4.1)
con E ! 1.
V-
-
Vd = V+ - VV+
+
Vo = E V d
(E ∞)
+
Figura 4.1: Amplicatore operazionale.
Essendo un generatore di tensione controllato in tensione, l'amplicatore operazionale presenta resistenza di uscita nulla. Inoltre, esso non assorbe corrente agli ingressi, o, in altre parole,
la resistenza di ingresso e innita. Le caratteristiche dell'amplicatore operazionale ideale sono
indipendenti dalla frequenza del segnale di ingresso: cio equivale a dire che la banda passante e
innita. Questi parametri sono riassunti nella Tabella 4.1.
Tabella 4.1: Parametri dell'amplicatore operazionale ideale
Nome
Simbolo Valore
Guadagno di tensione a E = VV
1
Resistenza di uscita
Ro
0
Resistenza di ingresso
Ri
1
Banda passante
B
1
o
d
a
Il guadagno di tensione viene indicato in molti testi con il simbolo
conformita con la notazione usata dal simulatore SPICE.
A; qui si preferisce indicarlo con E per
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L'AMPLIFICATORE OPERAZIONALE
L'amplicatore operazionale amplica la dierenza dei due segnali di ingresso V + e V . Il
terminale di ingresso contrassegnato con il segno \+" e detto \ingresso non invertente", mentre
quello contrassegnato con il segno \ " e detto \ingresso invertente".
Si veda anche [1, pagina 72].
4.2 Amplicatore retroazionato
L'amplicatore operazionale e solitamente utilizzato in congurazione retroazionata, cioe il segnale in uscita all'amplicatore e riportato all'ingresso mediante una rete di retroazione (\feedback" ).
Occorre distinguere due casi: il caso in cui il segnale in uscita viene riportato all'ingresso
invertente, e quello in cui il segnale in uscita viene riportato all'ingresso non invertente. Nel
primo caso si ha una retroazione negativa , mentre nel secondo caso si ha una retroazione positiva .
Come si vedra, i due tipi di retroazione hanno eetti diversi sulla stabilita del circuito.
4.3 Amplicatore con retroazione negativa
Il piu semplice circuito con retroazione negativa e illustrato nella Fig. 4.2.
R2
R1
_
+
vin
vout
+
Figura 4.2: Circuito con amplicatore operazionale retroazionato negativamente.
Per risolvere questo circuito e suÆciente applicare le leggi di Ohm e di Kirchho, insieme
con la (4.1). Si ottiene il sistema lineare:
8
>
< vVin Vvout==RR1 i21i2
(4.2)
i1 = i2
>
: v = EV = EV
out
d
dove la terza equazione e la conseguenza del fatto che non entra corrente nell'amplicatore
operazionale. Nel sistema (4.2), l'ultima equazione contiene il guadagno E dell'amplicatore;
poiche, come si e gia detto, E ! 1, ne risulta che la tensione di uscita vout ha un valore nito
solo se Vd = V + V = 0: in questo caso, il prodotto EVd assume la forma indeterminata 1 0,
che puo avere un valore nito. Per poter risolvere il sistema (4.2), quindi, assumiamo che
Vd = V + V = 0
(4.3)
Questa equazione esprime matematicamente il principio della terra virtuale : i due terminali di
ingresso dell'amplicatore operazionale sono alla stessa tensione, benche la corrente di ingresso
sia nulla.
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L'AMPLIFICATORE OPERAZIONALE
E importante notare che la (4.3) non rappresenta una caratteristica fondamentale dell'amplicatore operazionale, ma e una conseguenza dell'impiego dell'amplicatore in congurazione
retroazionata. In assenza di retroazione, la (4.3) non e valida.
Applicando il principio della terra virtuale al circuito della Fig. 4.2, si ottiene V = 0 e il
sistema (4.2) si riduce a
vin = R1 i
(4.4)
vout = R2 i
dove si e posto i1 = i2 = i. Eliminando la corrente i dalle due equazioni (4.4), si ottiene la
soluzione:
R2
vout =
vin
(4.5)
R1
Come si puo notare dalla (4.5), il circuito con retroazione negativa presenta un guadagno
che dipende soltanto dal rapporto tra le due resistenze R2 e R1. Ne consegue che, utilizzando
un amplicatore operazionale e dei resistori, e possibile realizzare circuiti che presentano un
guadagno qualsiasi (maggiore o minore di uno).
4.4 Amplicatore con retroazione positiva
Modichiamo ora il circuito della Fig. 4.2, scambiando fra loro i due ingressi dell'amplicatore
operazionale. Otteniamo il circuito illustrato in Fig. 4.3, che, come si e detto, presenta una
retroazione positiva.
R2
R1
+
_
+
vin
vout
Figura 4.3: Circuito con amplicatore operazionale retroazionato positivamente.
Procedendo in modo analogo al circuito precedente, e applicando il principio della terra
virtuale, si ottiene V + = 0. La soluzione e data da:
vout
che e del tutto identica alla (4.5).
=
R2
R1
vin
4.5 Stabilita del circuito con amplicatore retroazionato
(4.6)
Benche l'analisi dei due circuiti presentati nei paragra 4.3 e 4.4 abbia portato allo stesso risultato, i due circuiti in realta si comportano in modo molto diverso. Questa dierenza di comportamento, che non si nota dalla soluzione matematica e neppure dalla simulazione circuitale
mediante SPICE, richiede di introdurre un nuovo concetto: quello della stabilita .
Facendo un paragone meccanico, le soluzioni trovate per i due circuiti sono analoghe al posizionamento di una pallina su una supercie curva (Fig. 4.4). Nel primo caso, la posizione della
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pallina in x = 0 e stabile, perche per eetto della gravita la pallina tende a riportarsi in questa
posizione in seguito ad ogni piccolo spostamento. Nel secondo caso, invece, la posizione della pallina in x = 0 e instabile, perche basta un minimo spostamento per provocare un allontanamento
dalla posizione iniziale senza possibilita che la pallina vi ritorni spontaneamente.
0
x
0
x
Figura 4.4: Esempio meccanico del concetto di stabilita.
Per illustrare in modo semplice la stabilita, rappresentiamo i due circuiti delle Fig. 4.2 e
4.3 mediante gra, nei quali i nodi corrispondono alle grandezze elettriche e i rami indicano
le relazioni tra queste grandezze. Quando in un nodo entrano due o piu rami, signica che la
variabile elettrica di quel nodo risulta dalla somma algebrica delle grandezze entranti, ciascuna
moltiplicata per il coeÆciente associato al rispettivo ramo.
Il grafo corrispondente al circuito della Fig. 4.2 e illustrato nella Fig. 4.5. Come si puo
facilmente notare, si ha
R1
R2
vin +
vout
(4.7)
v =
R1 + R2
R1 + R2
in quanto la corrente in ingresso all'amplicatore operazionale e nulla. Le altre relazioni discendono direttamente dalla (4.1).
vin
R2
R1 + R2
v-
-1
v+ = 0
R1
R1 + R2
vout
E
+1
vd
Figura 4.5: Grafo corrispondente al circuito della Fig. 4.2.
Il grafo della Fig. 4.5 evidenzia bene la presenza del percorso di retroazione: esso e l'anello
comprendente i nodi (v , vd, vout ). Inoltre, il grafo permette di osservare facilmente che la
retroazione e negativa, perche e negativo il segno del prodotto di tutti i coeÆcienti che si incontrano lungo l'anello di retroazione.
Ovviamente, risolvendo il grafo per E ! 1, si ottiene ancora la soluzione vout = RR vin.
Per analizzare il circuito dal punto di vista della stabilita, consideriamo l'eetto di una piccola
variazione v introdotta in uno dei nodi dell'anello di retroazione, e vediamo quali variazioni
vengono prodotte sugli altri nodi. Ad esempio, supponendo di avere una variazione v positiva
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al nodo v (ingresso invertente), si ha vd = v (con segno negativo) e quindi vout dovra
essere negativa anch'essa. Ma, poiche v dipende a sua volta da vout , il risultato nale e che la
variazione positiva introdotta sul nodo v viene bilanciata da una variazione negativa attraverso
l'anello di retroazione. Per questo motivo, si dice che la soluzione trovata e stabile, in quanto il
circuito tende spontaneamente a compensare ogni scostamento dal punto di lavoro trovato.
Consideriamo ora il grafo corrispondente al circuito della Fig. 4.3, illustrato nella Fig. 4.6.
vin
R2
R1 + R2
v+
+1
v- = 0
R1
R1 + R2
vout
E
-1
vd
Figura 4.6: Grafo corrispondente al circuito della Fig. 4.3.
Qui la retroazione e positiva, perche il prodotto di tutti fattori che si incontrano lungo
l'anello di retroazione ha segno positivo. Consideriamo ora l'eetto di una piccola variazione
v+ positiva introdotta al nodo v+ (ingresso non invertente). Si ha vd = v+ (con segno
positivo); quindi vout dovra essere positiva anch'essa, e, poiche v+ dipende a sua volta da vout ,
la variazione positiva introdotta sul nodo v+ produce una ulteriore variazione positiva attraverso
l'anello di retroazione. Di conseguenza, la tensione ai nodi lungo il percorso di retroazione
continua a crescere indenitamente, no al valore massimo raggiungibile (di solito, no a che la
tensione di uscita raggiunge il valore della tensione di alimentazione positiva dell'amplicatore
operazionale).
Considerando invece una piccola variazione v+ negativa, si trova che le tensioni continuano
a diminuire no a che l'uscita si porta al valore piu negativo che il circuito puo raggiungere.
Quindi la soluzione ricavata e instabile, in quanto basta una minima variazione per far
allontanare il circuito dal punto di lavoro trovato.
Le considerazioni fatte in questo paragrafo spiegano la dierenza di comportamento tra
i due circuiti che si osserva in pratica. Nell'esempio illustrato nella Fig. 4.2, la retroazione
negativa rende stabile il circuito: pertanto, anche se inizialmente (per esempio, al momento
dell'accensione) la condizione di funzionamento e diversa da quella della soluzione trovata, per
eetto della retroazione il Rcircuito si porta in un tempo brevissimo a funzionare con v+ = v
(terra virtuale) e vout = R vin.
Invece, nell'esempio della Fig. 4.3, la retroazione positiva rende instabile il circuito, il quale
di conseguenza ha una probabilita nulla di funzionare con v+ = v . Come si e detto, qualsiasi piccolo scostamento dalla condizione di equilibrio instabile viene amplicato dall'anello di
retroazione; l'uscita raggiunge il valore massimo (positivo o negativo) che puo raggiungere, e
v + 6= v . Per questo motivo, il principio della terra virtuale si applica solo quando l'amplicatore
operazionale fa parte di un circuito in cui e presente una retroazione negativa.
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4.6 Diagrammi di usso
Qualsiasi circuito lineare puo essere analizzato mediante il metodo descritto nel paragrafo precedente. I gra vengono comunemente chiamati diagrammi di usso (in inglese \signal ow
graphs" ) [4] o gra di Mason .
4.7 Esempi di circuiti con amplicatori operazionali
Oltre all'amplicatore invertente (paragrafo 4.3), altri esempi di circuiti frequentemente usati
sono:
l'amplicatore non invertente [1, pagina 75];
l'inseguitore di tensione (\voltage follower") [1, pagina 75];
il sommatore [1, pagina 77];
l'amplicatore della dierenza [1, pagina 78].
Gli ultimi due circuiti possono essere facilmente analizzati applicando il principio di sovrapposizione degli eetti.
4.8 Circuito integratore
Vedere [1, pagine 126{127].
Per il circuito illustrato sul libro di testo, la soluzione nella sua forma piu generale e:
Zt
1
vo (t) =
v (t)dt
(4.8)
RC
1
dove RC = e la costante di tempo dell'integratore.
4.9 Circuito derivatore
Vedere [1, pagine 118{119].
Per il circuito illustrato sul libro, la soluzione nella forma generale e:
dv (t)
vo (t) = RC
dove RC = e la costante di tempo del derivatore.
dt
(4.9)
Il circuito illustrato in gura e realizzato con un amplicatore operazionale ideale, mentre
i componenti passivi hanno i valori: R1 = 220 k
, R2 = 330 k
, C1 = 1 nF, C2 = 200 pF. La tensione
all'ingresso varia nel tempo secondo la legge: vIN (t) = VA (1 + sin 2f0 t), con VA = 1 V e f0 = 1 MHz.
Si ricavi la tensione di uscita vOUT (t).
Esercizio 4.1.
Soluzione. Anzitutto, osserviamo che l'amplicatore operazionale e impiegato in congurazione con
retroazione negativa, per cui si applica il principio della terra virtuale. Indicando con iR1 , iC1 , iR2 e
iC2 le correnti nei quattro componenti passivi, e con i1 e i2 le correnti nei due paralleli RC , tutte con
verso da sinistra verso destra, possiamo scrivere:
i1 = iR1 + iC1 =
vIN
R1
+ C1 dvdtIN
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C2
C1
R2
_
vIN(t)
e
R1
vOUT(t)
+
i2 = iR2 + iC2 =
vOUT
R2
C2
dvOUT
dt
Poiche l'amplicatore operazionale ha una resistenza d'ingresso innita, applicando la KCL all'ingresso
invertente si ottiene i2 = i1 , cioe:
vOUT
R2
C2
dvOUT
dt
= vRIN + C1 dvdtIN
1
Questa e un'equazione dierenziale del primo ordine non omogenea, in cui vOUT (t) e l'incognita, mentre
vIN (t) e nota e la sua derivata dv dt(t) puo essere calcolata facilmente. La soluzione di questa equazione
dierenziale rappresenta l'uscita del circuito nel dominio del tempo.
Nel capitolo successivo si vedra come e possibile ricavare la soluzione di questo esercizio senza dover
risolvere l'equazione dierenziale.
IN
4.10 Problemi
Problema 4.1.
Risolvere l'equazione dierenziale ottenuta nell'esercizio 4.1 a pag. 45.