logica Booleana - Dipartimento di Matematica

Il sillogismo secondo Boole
Il matematico inglese George Boole è noto per aver dato alla logica
matematica una veste algebrica (calcolo proposizionale).
Nel suo linguaggio, le proposizioni o enunciati elementari sono
variabili, cui si assegna il valore di verità 1 o 0 a seconda che esse
siano vere o false. Se x è una proposizione, la sua negazione sarà
rappresentata da 1-x. Data un’altra proposizione y, la proposizione “x
e y “ viene indicata dal prodotto xy. In questo modo l’aritmetica ci dice
che “x e y” è vera (cioè xy = 1) se e solo se x e y sono entrambe vere
(cioè x=1 e y=1).
Le deduzioni avvengono per mezzo di opportune manipolazioni delle
identità algebriche. Un esempio lampante è dato dalla soluzione dei
sillogismi.
In un sillogismo le due premesse possono essere della forma:
Tutti gli X sono Y
Tutti gli Y sono Z
In altri termini:
Non è possibile che qualcosa sia X e non Y al contempo
Non è possibile che qualcosa sia Y e non Z al contempo
In formule:
x(1-y) = 0
y(1-z) = 0
Eliminando y da questo sistema di due equazioni si ricava:
x(1-z) = 0
che si legge:
Tutti gli X sono Z.
D’altra parte questa è l’ovvia conseguenza delle due premesse.
Vediamo un altro esempio:
Tutti gli X sono Y
Nessuno Z è Y
x(1-y) = 0
zy = 0
Nessuno Z è X
zx = 0
Questo sillogismo ed il precedente sono risolubili, ossia, nel
linguaggio aristotelico, sono perfetti.
In altri casi nulla si può
ragionevolmente dedurre dalle premesse: l’eliminazione di y dalle
equazioni conduce ad un’identità banale.
Tutti gli X sono Y
Tutti gli Z sono Y
x(1-y) = 0
z(1-y) = 0
----------------------
xz = xz
Questo è un esempio di sillogismo imperfetto.
Le premesse che abbiamo visto sinora contengono affermazioni su
“tutti” e “nessuno” degli appartenenti ad una certa classe: sono
premesse universali. Si dicono particolari, invece, quelle che
riguardano solo una parte degli individui, come, ad esempio:
Alcuni X sono Y
La traduzione algebrica di questo enunciato è
vx = vy,
dove si intende che la variabile v può assumere, indifferentemente, il
valore 0 o il valore 1. L’enunciato va infatti inteso in questo senso: è
possibile (non si esclude) che un X possa essere Y.
Esso comprende quindi tutti i seguenti casi, che riportiamo in
tabella:
Non X
X
X
Non X
Y
Y
Non Y
Non Y
x
0
1
1
0
y
1
1
0
0
v
0
0 oppure 1
0
0 oppure 1
Possiamo adesso risolvere il sillogismo:
Alcuni X sono Y
Tutti gli Y sono Z
vx = vy
y(1-z) = 0
Alcuni X sono anche Z
vx = vxz
Vediamo, infine un esempio che necessita di un artificio formale. Se
traduciamo le premesse seguenti in formule, nel solito modo,
Nessun X è Y
Nessuno Z è Y
xy = 0
zy = 0
ci accorgiamo di non poter eliminare la y. Conviene allora riscrivere
la seconda premessa in un’altra forma, equivalente: non si esclude
che un non Z sia Y, però si esclude che Z sia Y. I casi possibili questa
volta sono:
Non Z
Z
Non Z
Y
Non Y
Non Y
1-z
1
0
1
y
1
0
0
Essi sono tutti compresi nella scrittura
v(1-z) = y
che si legge, anch’essa:
Alcuni non Z sono Y
Procedendo in questo modo si perviene alla conclusione:
Alcuni non Z non sono X
v(1-z)x = 0.
Il linguaggio algebrico di Boole fu inizialmente ideato per la teoria
degli insiemi. In effetti il sillogismo si presta ad essere trattato anche
in termini di insiemi. Si denota con 1 l’insieme universo, che raccoglie
tutti gli individui, mentre 0 indica l’insieme vuoto. Le variabili x ey
rappresentano gli insiemi degli individui che sono X e Y
rispettivamente. Il prodotto di due simboli va interpretato come
l’intersezione degli insiemi corrispondenti.
Così, ad esempio,
l’uguaglianza
xy = 0
esprime il fatto che gli insiemi x e y non hanno elementi in comune
(sono disgiunti) ossia “nessun X è Y”.
Se invece “tutti gli X sono Y”, allora sono disgiunti l’insieme x e
l’insieme ottenuto dall’insieme universo eliminando (sottraendo)
l’insieme y, detto complementare di y, e denotato con 1-y. Ecco perché
in questo caso la formula è
x(1-y) = 0.
La dicitura “alcuni X” che compare negli enunciati particolari si
traduce, nel linguaggio della teoria degli insiemi, nella nozione di
sottoinsieme o parte di x. Questo sottoinsieme si ottiene intersecando
x con un certo insieme v (che può essere anche vuoto, cioè uguale a
0), ossia come prodotto vx.
Il sillogismo secondo Eulero