01_Introduzione alla Probabilita

Teoria dei Fenomeni Aleatori
IL CONCETTO DI FENOMENO ALEATORIO
Naturali (fisici, chimici,...)
Osservazione di Fenomeni 
Sociali (economici, finanziari, psicologici,...)
sui quali è difficile fare una previsione a causa di meccanismi molto
complessi che li regolano.
1
Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Teoria dei Fenomeni Aleatori
IL CONCETTO DI FENOMENO ALEATORIO
Esempio:
Tutti sappiamo che una goccia di pioggia cade sempre.
Ma se si studia la sua velocità o si cerca di stabilire il punto esatto di caduta
la risposta è tutt’altro che univoca.
Considerando una seconda goccia, pure se osservata con la massima
accuratezza, difficilmente si avrà un risultato compatibile o univoco.

Fenomeno Aleatorio
2
Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Teoria dei Fenomeni Aleatori
INCERTEZZA DEL RISULTATO
 Momentanea - (concetto di “probabilità soggettiva”)
Esempio: l’esito di una partita che si giocherà questa sera
 Fisica e Tecnologica
Esempio: stabilire istante per istante posizione, velocità e accelerazione
di un insieme di corpi. Esempio: le molecole di un gas
 meccanica statistica
 Intrinseca
Esempio: principio di indeterminazione di Heisenberg (1927)
 meccanica quantistica
 Psicologica e sociologica
Esempio: quanto la pubblicità incide sulla vendita di un prodotto
3
Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Teoria dei Fenomeni Aleatori
IL METODO STATISTICO
Alle domande come:
 “Quanto è “casuale” o “aleatorio” il risultato a cui si è pervenuti e
che fiducia riporre in esso?”
 “Quanto si può scommettere sulla validità dell’ipotesi A
rispetto a B con un rischio accettabile?”
Si può rispondere solo all’interno di una logica probabilistica (“matematica
dell’incerto”) definendo metodi statistici in grado di pervenire a leggi generali
partendo dall’osservazione di “tanti casi singoli” o dall’analisi del grado di
fiducia.
4
Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Teoria dei Fenomeni Aleatori
IL METODO STATISTICO
Trasformare un
PROBLEMA REALE
(non trattabile deterministicamente)
in un
PROBLEMA STATISTICO
5
Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Teoria dei Fenomeni Aleatori
ESEMPI DI PROBLEMI STATISTICI
 Problemi connessi al monitoraggio e alla misura di un parametro
(serie storiche)
- Temperatura
- Livello dei bacini fluviali
- Cambio euro-dollaro
- Come evolve nel tempo il prezzo delle azioni della società X nella
borsa Y
- Problemi di marketing
 Problemi connessi alla misure di variazioni
- Tolleranze di fabbricazione
- Stabilità di un mercato azionario
- accuratezza di un sistema
- accuratezza di un processo produttivo
6
Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Teoria dei Fenomeni Aleatori
ESEMPI DI PROBLEMI STATISTICI
 Problemi nella trasmissione di segnali:
- Ricezione di informazione in presenza di disturbi (es. rumore)
- Decodifica di segnali segreti (crittografia)
 Problemi psicologici, sociologici, economici di dipendenza:
-
Legame tra professione e possesso di beni
Legame tra livello scolastico e livello di benessere
Dipendenza delle vendite dagli investimenti pubblicitari
Dipendenza di una malattia dall’età del soggetto

Problema della dipendenza statistica e della correlazione
7
Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Teoria dei Fenomeni Aleatori
ESEMPI DI PROBLEMI STATISTICI
 Problemi di stima:
- Determinazione della popolazione nel 2020
- Valutazione annua e previsione dell’inflazione
- Calcolo del fabbisogno finanziario di uno Stato in un dato anno
finanziario

Problema della previsione statistica
8
Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Teoria dei Fenomeni Aleatori
Un esempio reale
Lancio di due dadi con le facce numerate da 1 a 6 e scommessa sulla
somma X dei valori sulle due facce superiori indicate con Y1 e Y2 :
Y1   1,2,3,4,5,6 
,
Y2   1,2,3,4,5,6 
X  Y1  Y2
X   2,3,4,...,11,12 
Domanda:
Conviene scommettere su X  7 piuttosto che su X  10 ?
9
Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Teoria dei Fenomeni Aleatori
Approccio Sperimentale
Si effettuano N lanci (prove) e si contano il numero di occorrenze di
ciascuna faccia. Si riportano i risultati in un diagramma a barre. Ad esempio
per N  50 :
Diagramma a barre della frequenza assoluta
10
Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Teoria dei Fenomeni Aleatori
Su 100 lanci (prove) si ottiene:
Diagramma a barre della frequenza assoluta
11
Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Teoria dei Fenomeni Aleatori
Su 500 lanci (prove) si ottiene:
Diagramma a barre della frequenza assoluta
12
Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Teoria dei Fenomeni Aleatori
Su 1000 lanci (prove) si ottiene:
Diagramma a barre della frequenza assoluta
13
Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Teoria dei Fenomeni Aleatori
Su 10000 lanci (prove) si ottiene:
Si vede che al crescere delle prove la frequenza assoluta si stabilizza
mostrando un andamento triangolare con massimo per X = 7. Conviene
scommettere sul 7.
14
Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Teoria dei Fenomeni Aleatori
Su 10000 lanci (prove) si ottiene:
Si vede che al crescere delle prove la frequenza assoluta si stabilizza
mostrando un andamento triangolare con massimo per X = 7. Conviene
scommettere sul 7.
15
Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Teoria dei Fenomeni Aleatori
Considerazioni sull’esempio del lancio di due dadi
 Alla faccia di un singolo dado associamo un valore numerico: “variabile
aleatoria” discreta
Y1   1,2,3,4,5,6 
 Caratterizzazione del secondo dado: stesso comportamento del primo,
ma “nuova variabile” Y2 indipendente dalla precedente
Y2   1,2,3,4,5,6 
 Dado “non truccato” o regolare: concetto di variabilità uniforme (modello
uniforme). Dado “truccato”: il risultato è sbilanciato su una faccia
(modello non uniforme)
16
Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Teoria dei Fenomeni Aleatori
Dado NON truccato: Variabilità Uniforme
1666.66
Per un dado non truccato il numero di occorrenze atteso per ogni faccia, su
N prove, è costante e pari a N / 6  1666.66 se N = 10000.
17
Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Teoria dei Fenomeni Aleatori
Dado truccato: Variabilità non Uniforme
In questo caso il dado è sbilanciato a favore delle facce con numerazione
inferiore.
18
Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Teoria dei Fenomeni Aleatori
Considerazioni sull’esempio del lancio di due dadi (continua)
 Modello probabilistico di un oggetto fisico. Nell’esempio del dado
regolare, normalizzando il numero di occorrenze rispetto al numero di
prove, ci si aspetta di ottenere 1/6 quando N   .
1
6
19
Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Teoria dei Fenomeni Aleatori
Considerazioni sull’esempio del lancio di due dadi (continua)
 X è definito dalla somma: X  Y1  Y2 , cioè la variabile X è funzione di
una coppia di variabili Y1 ,Y2  .
 Dopo aver osservato e contato tutti i valori assunti da X è necessario un
“Test Statistico” per verificare l’adattamento del modello alla realtà, cioè
ai dati osservati.
20
Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Teoria dei Fenomeni Aleatori
Probabilità nel continuo
Esempio: Una freccia raggiunge un bersaglio nel punto P, indicando con X
e Y le coordinate di P , la distanza dal centro del bersaglio è R 
Lanciando N frecce sul bersaglio con centro nell’origine:
X 2 Y2 .
P(X,Y)
21
Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Teoria dei Fenomeni Aleatori
Diagramma a barre della frequenza assoluta di R
(distanza dal centro)
22
Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Teoria dei Fenomeni Aleatori
Aumentando il numero di prove
23
Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Teoria dei Fenomeni Aleatori
Diagramma a barre della frequenza assoluta di R
Il diagramma a barre tende ad una curva continua se il numero N di prove
tende ad infinito e la larghezza delle barre è presa sempre più piccola.
24
Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Teoria dei Fenomeni Aleatori
Diagramma a barre della frequenza assoluta di R
Il diagramma a barre tende ad una curva continua se il numero N di prove
tende ad infinito e la larghezza delle barre è presa sempre più piccola.
25
Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Teoria dei Fenomeni Aleatori
Esempio applicativo
o Istallazione di un traliccio sul tetto dell’edificio di Ingegneria
dell’Informazione per la posa dell’antenna di una stazione di riferimento
differenziale GPS.
o Problema: Il vento (fenomeno aleatorio) se fa oscillare il traliccio altera
le misure.
o Impiego dei dati misurati dalla stazione meteo sperimentale (Edificio di
Ingegneria Industriale – Prof. A. Spena) per progettare il traliccio
destinato al sostegno dell’antenna.
26
Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Teoria dei Fenomeni Aleatori
(Dati gentilmente forniti dal Prof. A. Spena e dalla Dott.ssa C. Cornaro)
27
Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Teoria dei Fenomeni Aleatori
Esempio: Capacità di Canale, Banda e Rumore
Il limite teorico C della cadenza di bit che si può trasmettere senza
Ps
errori in funzione della banda del canale B e del rapporto
tra la
Pn
potenza ricevuta Ps e la potenza di rumore Pn , è:

Ps 
C  B  log 2  1  
Pn 

bit/s
Claude E. Shannon, 1948-49
,
28
Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Teoria dei Fenomeni Aleatori
Capacità di Canale, Banda e Rumore
2
1
29
Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Teoria dei Fenomeni Aleatori
IL MODELLO PROBABILISTICO
REALTÀ = Componente Osservabile
+
Componente NON Osservabile
 VEDERE la realtà (osservazioni, acquisizioni, misure)
 CAPIRE la realtà all’interno di una impostazione probabilistica nella
quale l’esistente è esaminato in rapporto a ciò che poteva accadere o
che verosimilmente accadrà.
 AGIRE sulla realtà per raggiungere scopi predefiniti.
La descrizione e la comprensione orientate verso l’azione generano il
modello definito in funzione di una finalità operativa.
30
Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Teoria dei Fenomeni Aleatori
IL MODELLO PROBABILISTICO
DATI  ANALISI STATISTICA  MODELLO

CALCOLO DELLE PROBABILITÀ

MODELLO MATEMATICO PER LA VALUTAZIONE
IN CONDIZIONI DI INCERTEZZA
(Esempio: Controllo del Traffico Aereo)
31
Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Teoria dei Fenomeni Aleatori
Definizione di fenomeno aleatorio
M E TO D I
MISURE O
RILEVAMENTI
S TA TI S TI C I
INFORMAZIONI
SINTESI
DI DATI
MONDO
ESTERNO
AZIONI
PREVISIONE
PER PROGETTO
O VERIFICA
ANALISI
PROBABILISTICA
PROBABILITÀ DI EVENTI
DI INTERESSE
Calcolo delle probabilità e statistica:
connessioni operative nel lavoro dell’ingegnere
32
Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Teoria dei Fenomeni Aleatori
Richiami di teoria degli Insiemi
Definizione di Insieme:
“Una riunione in tutto di oggetti ben distinti” (Cantor)
(collezione)
Classe: estensione di una proprietà P  Ap
Insieme universale (S oppure  ): riunisce tutti gli insiemi
Insieme vuoto (  ): non contiene alcun elemento
33
Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Teoria dei Fenomeni Aleatori
Classificazione degli Insiemi
Insiemi
Finiti
Infiniti
Infinito
numerabile
Infinito non
numerabile
34
Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Teoria dei Fenomeni Aleatori
Rappresentazione degli Insiemi
Diagrammi di Venn
S
S
S
A
A
B
A B
Rappresentazione
dell'insieme A
Unione di due insiemi
A
B
A B
Intersezione di due
di due insiemi
35
Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Teoria dei Fenomeni Aleatori
Operazioni sugli insiemi
E
(E- F)
EF
A
F
A
Insieme Complementare
E
E
FE
Differenza
(E F)
E  F  F  E
F- E
F
Differenza
F
Differenza Simmetrica
36
Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Teoria dei Fenomeni Aleatori
Principali proprietà delle operazioni tra insiemi
[commutatività]
A B  B  A
A B  B  A
[associatività]
 A  B  C  A   B  C 
 A  B  C  A   B  C 
[idempotenza]
A A  A
A A  A
[distributività]
A   B  C    A  B   A  C 
A   B  C    A  B   A  C 
A  
A S  S
A S  A
A  A
Teoremi di De Morgan:
A B  A B
A B  A B
37
Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Teoria dei Fenomeni Aleatori
Corrispondenza tra operazioni su insiemi e logica booleana
Operazioni su Insiemi
Nome
Simbolo
Unione

Intersezione

Complementare
di A
Differenza
simmetrica
A, A' , A c
E F
Operazione corrispondente nella logica
booleana
nome
Simbolo
Simbolo
Circuitale
A
Somma
+
Z
(OR)
B
A
Prodotto

Z
B
(AND)
Negazione
A,  A
(NOT)
A
OR
EF
Z
B
esclusivo
(XOR)
A
B
Z
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
0
0
1
0
1
0
1
1
0
38
Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Teoria dei Fenomeni Aleatori
Rappresentazione di una Partizione dell’insieme A
S
A
B1
B2
B4
B5
B3
A  B1  B2  B3  B4  B5
Bi  B j  
i, j  5
i j
39
Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Teoria dei Fenomeni Aleatori
Richiami di Calcolo combinatorio
Esempio
Quante parole di m = 3 lettere possono essere scritte utilizzando solo le N =
5 vocali? (esempio: aoe, iii, uaa, ...)
Attraverso un diagramma ad albero è facile verificare che si possono
scrivere 5  5  5  125 parole di tre lettere.
In generale vale il seguente principio
 Se una scelta può essere fatta in r modi diversi, per ciascuno dei quali
una seconda scelta può essere effettuata in s modi diversi, e, per
ciascuno dei modi in cui si sono compiute le prime due scelte, una terza
scelta può essere effettuata in t modi diversi (così a seguire …) allora la
successione di tutte le scelte può essere compiuta in r  t  s modi
diversi.
40
Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Teoria dei Fenomeni Aleatori
Calcolo combinatorio
Esempio
Se 6 persone si vogliono mettere in fila da sinistra a destra, in quanti modi
diversi possono farlo?
Formulazione equivalente:
Se 6 persone arrivano contemporaneamente ad uno sportello, in quanti
modi diversi possono mettersi in coda?
Per il primo posto abbiamo 6 possibilità, per il secondo 5 possibilità, …, per
l’ultimo posto 1 possibilità.
Le 6 persone possono mettersi in fila (coda) in 6  5  4  3  2  1  720  6 !
modi diversi.
In generale vale il seguente principio
 Dati n oggetti, essi si possono "mettere in fila" (o “mettere in coda”, o
“mettere in colonna”) in n! modi diversi. Dove:
n!  n   n  1   n  2   ...  2  1
41
Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Teoria dei Fenomeni Aleatori
Calcolo combinatorio
Esempio
In una classe di 25 alunni, si devono scegliere 6 "volontari" per
l’interrogazione. In quanti modi può essere effettuata la scelta?

 Gruppi di 6 alunni che si possono estrarre dai 25. In questo esempio
l’ordine con cui si presentano i 6 alunni nel gruppo non è rilevante, cioè
tutti i gruppi ordinati costituiti dagli stessi ragazzi contano una sola volta

Combinazioni
42
Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Teoria dei Fenomeni Aleatori
Richiami di calcolo combinatorio
Le disposizioni
Le disposizioni (inglese: permutations) di N oggetti presi "ad m ad m" sono i
gruppi ordinati (configurazioni) ottenuti prendendo in un dato ordine m
oggetti su N.
Il numero di tali disposizioni è indicato con DmN .
43
Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Teoria dei Fenomeni Aleatori
Disposizioni di tre oggetti a, b, c (N = 3)
m
CONFIGURAZIONI
DmN
1
a, b, c
3
2
ab, ac, bc,
6
ba, ca, cb
3
abc, acb, bac,
6
bca, cab, cba
ab e ba costituiscono due disposizioni distinte
44
Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Teoria dei Fenomeni Aleatori
Le Disposizioni (segue)
N
Per ricavare una espressione per Dm , si procede per induzione:
D1N  N
D2N  D1N  N  1  N  N  1
D3N  D2N  N  2   N  N  1 N  2 
………………
DmN  N  N  1  ...   N  m  1
Nel caso m = N si hanno le permutazioni (o permutazioni semplici):
DNN  N !  N  N  1 N  2   ...  2  1
Esempio: numero di nomi di siti Web con tre lettere distinte
D326  15600
3
26
  17576 
45
Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Teoria dei Fenomeni Aleatori
Le combinazioni
Le combinazioni di N oggetti presi "ad m ad m" sono i gruppi non ordinati
di m oggetti presi da un insieme di N oggetti.
N
Il loro numero è indicato con Cm .
Combinazioni di tre oggetti a, b, c (N = 3)
m
CONFIGURAZIONI
CmN
1
a, b, c
3
2
ab, ac, bc
3
3
abc
1
46
Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Teoria dei Fenomeni Aleatori
Legame tra Disposizioni e Combinazioni
La relazione tra il numero di disposizioni ed il numero di combinazioni è
DmN  m! CmN
e quindi
 N  N   N  1    N  m  1
N!

C  
m!
m!( N  m)!
 m
N
m
CmN uguaglia il coefficiente binomiale dello sviluppo del binomio
a  b
N
Si intende che:    1
0
26
3
Esempio: C
N
N

m0
 N  m N m
 ma b .
 
D326

 2600
3!
47
Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Teoria dei Fenomeni Aleatori
Il coefficiente binomiale
N
I coefficienti   sono rappresentati da (triangolo di Tartaglia):
m
(N = 1)
1
1
(N = 2)
1
2
1
(N = 3)
1
3
3
1
(N = 4)
1
4
6
4
………
……
……
1
…… ……
Esempio:
Combinazioni delle 26 lettere dell’alfabeto a gruppi di 10:
26
 26 !  4  10 26
C1026  5311735 , D26
“esplosione combinatoria”.
48
Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Teoria dei Fenomeni Aleatori
Esperimenti ed Eventi
Esperimento casuale
È un procedimento di osservazione (misura di una tensione, riconoscimento
di una carta, etc.) dello stato finale del sistema sottoposto ad un processo,
che si suppone ripetibile un numero illimitato di volte con le stesse modalità
di esecuzione.
Risultato dell’esperimento
È lo stato finale del sistema, specificato dai parametri che in un dato
esperimento vengono presi in esame.
49
Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Teoria dei Fenomeni Aleatori
Insieme Universale (o Spazio Campione S) (*)
È l'insieme di tutti i risultati possibili di un esperimento casuale, può essere
finito o infinito.
Prova
Ogni esecuzione dell'esperimento prende il nome di prova.
Evento
Un evento è un insieme di risultati ed è pertanto un insieme appartenente
ad S (un sottoinsieme di S).
____________________
( )
* Spesso l’Insieme Universale è indicato con  .
50
Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Teoria dei Fenomeni Aleatori
Eventi particolari
L'evento impossibile è quello che non si verifica in nessuna prova.
L'evento certo è quello che si verifica in ogni prova.
Esempio:
Nell'esperimento costituito dall'estrazione di una carta, l’evento certo è
l'estrazione di uno qualsiasi dei quattro semi: cuori, quadri, fiori, picche;
l’evento impossibile è l'estrazione di una carta che non esiste.
51
Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Teoria dei Fenomeni Aleatori
Esperimenti ed Eventi - ESEMPIO
 Esperimento: lancio di un dado
y
Tavolo
y0
0
x0
x
 Si possono definire gli eventi semplici
a) Faccia del dado:  1,2,3,4,5,6 
b) La coppia di numeri reali  x0 , y0  che individua la posizione baricentro sul
tavolo
52
Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Teoria dei Fenomeni Aleatori
Operazioni sugli eventi
 Il complementare di un evento A o "negato" A (cioè il non verificarsi di
A) è un evento. A  Tutti gli elementi di S che  ad A .
 L'unione di più eventi è un evento composto da tutti i risultati che
costituiscono i singoli eventi. Per due eventi A e B si scrive A  B o
anche A  B .
 L'intersezione di più eventi è un evento composto dai soli risultati
comuni a tutti gli eventi. Per due eventi A e B si scrive A  B o anche
A B.
 La differenza di due eventi A e B (si scrive A  B ) è un evento composto
dai risultati di A che non fanno parte di B.
53
Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Teoria dei Fenomeni Aleatori
Operazioni sugli eventi
A
1
B
2
3
1
2
3 C
4
5
6
A
4
5
6
Spazio Campione S
lancio di un dado
Ac
A: Faccia “pari”
B: Faccia “multipla di tre”
C: A intersezione B = “faccia 6”
54
Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Teoria dei Fenomeni Aleatori
Eventi incompatibili
Due eventi sono incompatibili se la loro intersezione è l’evento impossibile
(è nulla), cioè gli eventi non hanno elementi (risultati) in comune.
Si scrive A  B   .
A
B
S
55
Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Teoria dei Fenomeni Aleatori
Numero di eventi definibili
Dato un esperimento con N possibili risultati (la cardinalità di S vale N), il
numero di eventi definibili eguaglia il numero di sottoinsiemi dello spazio
campione S:
2N (inclusi  e S)
Esempio:
Se un esperimento ammette 3 risultati: A, B, C, possiamo definire, oltre
all’evento impossibile , i 3 eventi semplici:  A ,  B , C
ed i 4 eventi composti:
 A  B ,  A  C, B  C,  A  B  C .
56
Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Teoria dei Fenomeni Aleatori
Campi
Il risultato di operazioni (unione, intersezione, complementazione) su eventi
è ancora un evento.
La classe degli eventi costituisce quindi un campo o algebra, cioè un
insieme chiuso rispetto alla somma (o unione), al prodotto (o intersezione)
ed alla complementazione.
Nello specificare un esperimento casuale occorre definire la classe degli
eventi in modo che il risultato di somme, prodotti e complementazioni di
eventi sia ancora un evento.
Tale aspetto è poco rilevante dal punto di vista ingegneristico.
57
Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Teoria dei Fenomeni Aleatori
Esempio di risultati
Esperimento: lancio di una freccia contro il piano YZ (bersaglio).
Eventi definibili: i punteggi
f i i  0,1,2,3 , e costituiti dai seguenti
sottoinsiemi di S:

f0 :  z  z0    y  y0   R02
Z
Z0
R1
R0
R2
f3
f0
Y
2



: R   z  z    y  y   R 
:  z  z    y  y   R 
f1 : R   z  z0    y  y0   R02
f2
Y0
2
f3
2
1
2
2
2
2
2
2
0
0
2
0
2
0
2
1
2
2
X
58
Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Teoria dei Fenomeni Aleatori
Il concetto di probabilità
Nel corso della storia, il concetto di probabilità è stata oggetto di numerose
interpretazioni. Storicamente il concetto di probabilità di un evento si è
sviluppato in diversi contesti, a partire dai giochi d'azzardo, seguendo due
filoni principali:
 descrizione di una proprietà oggettiva dell'evento;
 rappresentazione del grado di fiducia nutrito nel verificarsi dell'evento.
59
Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Teoria dei Fenomeni Aleatori
Il concetto di Probabilità - Esempi
Dado 2
(a) Probabilità come descrizione di una proprietà oggettiva dell’evento.
Esempio la probabilità di ottenere 4 lanciando due dadi
Spazio Campione
6
5
4
3
2
1
1 2 3
4 5
6
Dado 1
(b) Probabilità come grado di fiducia nel verificarsi di un evento:
- Valore delle Azioni di una Società nella giornata di domani
- Superamento di un esame universitario
60
Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Teoria dei Fenomeni Aleatori
Il concetto di probabilità (segue)
Le quattro interpretazioni più significative sono le seguenti:
 Assiomatica (Kolmogorov, 1933);
 Frequentista (Von Mises e Laplace);
 Classica (principio della ragione insufficiente, H. Bernoulli, 1713);
 Soggettiva (De Finetti).
61
Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Teoria dei Fenomeni Aleatori
La teoria assiomatica
La teoria assiomatica, introdotta da A. N. Kolmogorov nel 1933 si basa sulla
definizione di alcune caratteristiche (assiomi) che deve possedere la
probabilità P  A  dell’evento A.
Riferimento bibliografico
A. N. Kolmogorov, “Concetti fondamentali di teoria della probabilità”
a cura di Luigi Accardi, Edizioni TEKNOS, Roma, 1995
62
Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Teoria dei Fenomeni Aleatori
La teoria assiomatica (segue)
Essa deve soddisfare i seguenti tre assiomi:
I.
P  A è un numero non negativo:
P  A  0
II. L'evento certo S ha probabilità unitaria:
PS   1
III. Se due eventi A e B non hanno elementi comuni (sono “incompatibili” o
“disgiunti”) la probabilità dell'evento unione è uguale alla somma delle
probabilità dei singoli eventi
P  A  B   P  A  P  B 
63
Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Teoria dei Fenomeni Aleatori
La teoria assiomatica (segue)
L'assioma III. comporta che, se A1 , A2 ,..., AN sono disgiunti
P  A1  A2  ...  AN   P  A1   P  A2   ....  P  AN 
Ciò va esteso al caso di un numero infinito di eventi:
P  A1  A2  ...  P  A1   P  A2   ....
(assioma III. bis dell'additività infinita).
64
Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Teoria dei Fenomeni Aleatori
L’interpretazione frequentista
Si effettua, per un numero N di volte e sempre nelle medesime condizioni,
un esperimento in cui si può osservare se l’evento d’interesse si è verificato
oppure no.
La frequenza relativa f N  A  di un evento A è il rapporto tra il numero di
volte n  A  in cui si è verificato l’evento A ed il numero N di prove
dell'esperimento:
f N  A 
n  A
N
f N  A  
 P  A
N 
65
Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Teoria dei Fenomeni Aleatori
L’interpretazione frequentista (segue)
La frequenza relativa gode delle seguenti proprietà:
 La frequenza relativa dell'evento certo è unitaria
f S   1
 La frequenza relativa di un qualsiasi evento A è non negativa
f  A  0
 Se A e B sono eventi incompatibili si ha
f  A  B   f  A  f  B 
dato che A e B non possono presentarsi simultaneamente.
66
Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Teoria dei Fenomeni Aleatori
La definizione classica
La probabilità di un evento A è il rapporto tra i possibili risultati favorevoli
all'evento A, n  A  , ed il numero N dei possibili risultati:
p  A 
n  A
N
Osservazione:
n  A  ed N non sono i risultati effettivi di un esperimento, ma i possibili
risultati di esso, cioè sono la cardinalità di A (numero di elementi di A) e di S
rispettivamente.
67
Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Teoria dei Fenomeni Aleatori
La definizione classica (continua)
La definizione classica presenta delle ambiguità e conduce a risultati non
corretti nel caso in cui i vari risultati possibili non siano equiprobabili.
Principio della ragione insufficiente
Si deve inserire nella definizione classica la condizione che i diversi risultati
possibili siano equiprobabili.
68
Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Teoria dei Fenomeni Aleatori
Applicazione della definizione classica al lancio di due dadi
Es.: Nel lancio di due dadi calcolare la probabilità che la somma sia 7.
Soluzione 1
Soluzione 2
Soluzione 3
Possibili risultati
Possibili risultati
Possibili risultati
2, 3, ..., 7, ..., 12
11 possibilità
Coppie
(1+1), (1+2), ..., (6+6)
21 possibilità
(non distinguendo tra primo
e secondo dado)
Coppie
(1+1), (1+2), ...,(6+6)
36 possibilità
(distinguendo tra primo e
secondo dado)
Risultati favorevoli
7
1 risultato
Risultati favorevoli
(1+6), (2+5), (3+4)
3 risultati
Risultati favorevoli
1+6, 6+1,2+5,5+2,3+4,4+3 :
6 risultati
1
p
NO!
11
3 1
NO!

p
21 7
6
1

p
36 6
69
Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Teoria dei Fenomeni Aleatori
Critiche alla definizione classica
 La definizione classica di probabilità fa uso del concetto di
equiprobabile, cioè del concetto stesso che dovrebbe definire.
 L'assegnazione dei valori di probabilità secondo la definizione
classica non tiene conto dell'esperienza. A volte la condizione di
equiprobabilità non ha giustificazioni logiche a priori se non la
“ragione insufficiente” e può essere solamente estrapolata
dall'esperienza.
 L'utilizzo della definizione classica è limitato ai casi in cui i
possibili risultati sono equiprobabili e conduce ad ambiguità
quando i possibili risultati sono infiniti.
70
Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Teoria dei Fenomeni Aleatori
Considerazioni sulle definizioni di probabilità
 Teoria assiomatica della probabilità:
Pregio: consente uno sviluppo completo e privo di contraddizioni
ed è possibile considerare “oggetti” ai quali attribuire
opportuni modelli probabilistici (dado).
Limite: nulla dice in ordine ai valori numerici delle probabilità.
 Teoria frequentista della probabilità:
Pregio: permette
di
ricavare
valori
di
probabilità
non
in
contraddizione col metodo assiomatico e inoltre di gettare
un primo ponte verso la statistica.
Limite: i valori di probabilità sono ricavati per N finito.
71
Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Teoria dei Fenomeni Aleatori
Il Paradosso di Bertrand
Dato un cerchio C di raggio r si deve trovare la probabilità p che
una corda AB, selezionata a caso, sia più lunga della lunghezza
(pari a r
3 ) del lato del triangolo equilatero iscritto.
72
Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Teoria dei Fenomeni Aleatori
Soluzione n. 1 del paradosso di Bertrand
r2

4 1
p
 r2 4
A
M
r/2
r
B
73
Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Teoria dei Fenomeni Aleatori
Soluzione n. 2 del paradosso di Bertrand
Arco DE
2 r / 3 1
p


Circonferenza
2 r
3
B
E
A
74
Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Teoria dei Fenomeni Aleatori
Soluzione n. 3 del paradosso di Bertrand
GH
r 1


p
2r 2
FK
MH  MG  r / 2
F
G
A
r/2
B
M
r/2
H
K
75
Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Teoria dei Fenomeni Aleatori
Il Paradosso di Bertrand
Il paradosso deriva dalla imprecisa definizione dell'esperimento
contenuta nella frase:
"selezionare a caso una corda AB"
che dà adito a tre interpretazioni diverse e quindi a tre
esperimenti diversi.
76
Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Teoria dei Fenomeni Aleatori
Probabilità condizionata ed indipendenza
Legame tra eventi: per valutare quantitativamente questa dipendenza
si introduce il concetto di probabilità condizionata.
Se A e B sono due eventi di uno spazio campione S, con P  B   0 si
definisce la probabilità condizionata di A rispetto a B (o “probabilità
di A dato B”), e si indica con P  A| B  , il rapporto:
P A B  
P  AB 
P  B
A
B
S
(AB è l’evento intersezione di A con B)
77
Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Teoria dei Fenomeni Aleatori
Probabilità condizionata - Esempio
Lanciando due dadi (uno rosso e uno nero), si vuole ricavare la
probabilità che la somma delle facce sia 3 dato che (condizionata a) il
dado rosso presenti la faccia 1, 2, 3.
 N = valore della faccia del dado nero;
 R = valore della faccia del dado rosso;
 S = somma: S  R  N ;
P  S  3 | R  3  0
P  S  3 | R  2 
1
6
1
P  S  3,R  1 36 1
P  S  3 | R  1 


6
P  R  1
6
36
78
Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Teoria dei Fenomeni Aleatori
Esempio (segue)
Dado nero
In grigio l’evento S  3
In tratteggio gli eventi condizionanti: R  1 ,R  2 ,R  3
R=1R=2 R=3
Spazio Campione
6
5
4
3
2
1
1 2 3
4 5
6
Dado rosso
79
Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Teoria dei Fenomeni Aleatori
Probabilità condizionata di eventi particolari
 Se A e B sono incompatibili, allora
P  A| B   0

AB  
 Se A  B allora
AB  A
 P  A| B  
P  A
P  B
B
A
S
A
 P  A
B
S
 Se B  A allora
A
AB  B
 P  A| B   1
B
S
(infatti se si verifica B, si verifica sicuramente anche A).
80
Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Teoria dei Fenomeni Aleatori
La probabilità condizionata
secondo l'interpretazione della frequenza relativa
Se si ripete N volte l'esperimento casuale e si indica con n  A  , n  B  e
n  AB  rispettivamente il numero di volte in cui si presenta l'evento A,
l'evento B e ed entrambi:
n  AB 
P  AB 
n  AB 
N
P  A B 


n B
P  B
n B
N
Quindi, la probabilità condizionata di A rispetto a B è uguale,
approssimativamente, alla frequenza relativa con cui si presenta l'evento A
nella successione di prove in cui si verifica l'evento B.
81
Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Teoria dei Fenomeni Aleatori
Proprietà della probabilità condizionata
I)
P  A| B   0
II) P  S | B   1
La probabilità dell’unione di due eventi, dato un terzo evento M, gode della
seguente proprietà:
III)
Se AB   allora
.
(“+” unione , “ ” Intersezione)
1
 P  A  M   P  B  M  
P  A  B | M   P  A| M   P  B | M  
PM 
M
A
B
S
82
Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Teoria dei Fenomeni Aleatori
Fattorizzazione delle probabilità congiunte
Nel caso di due eventi:
P  AB   P  A  P  B A  P  B   P  A B 
Nel caso di tre eventi:
P  ABC   P  C B A  P  BA  P  C B A  P  B A  P  A
Per N eventi:
P  A1 A2  AN   P  AN 1 AN  2  A1   P  AN | AN 1 AN 2  A1  
 P  AN  2  A1   P  AN 1 | AN  2  A1   P  AN | AN 1 AN  2  A1  
 ......................................................................
 P  A1   P  A2 | A1   ... P  AN 1 | AN  2 AN 3  A1   P  AN | AN 1 AN 2  A1 
83
Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Teoria dei Fenomeni Aleatori
Eventi indipendenti
 Due eventi A e B si dicono statisticamente indipendenti se e solo
se la probabilità della loro intersezione si fattorizza nel prodotto
delle loro probabilità:
P  AB   P  A  P  B 
 Gli eventi
A1 , A2 ,..., AN si dicono mutuamente statisticamente
indipendenti se e solo se la probabilità dell'intersezione di un
qualunque loro insieme è uguale al prodotto delle probabilità di
ogni evento in questo insieme:


   
 
P Ak1 Ak2   Akr  P Ak1  P Ak2   P Akr
r : 1  r  N
1  ki  N
84
Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Teoria dei Fenomeni Aleatori
Esempio di eventi indipendenti e dipendenti
,
B
∑
R1
R2
,
1
,
1
∪
∪
A R3
R4
∩
∩
S
Condizione di indipendenza:
∩
1
85
Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Teoria dei Fenomeni Aleatori
Prove Indipendenti e Dipendenti - Esempi
 Nell’esperimento del “lancio di due monete” (due lanci consecutivi
o un lancio contemporaneo di entrambe) è ragionevole pensare
che il presentarsi di “testa” o “croce” su una moneta non modifichi
le probabilità sull’altra. (Indipendenza tra le prove)
 Nella “estrazione di due palline” da un’urna con reinserimento
della pallina estratta, per l’estrazione della prima pallina tutti i
risultati possibili sono equiprobabili così come per la seconda
estrazione che è una replica della precedente. (Indipendenza tra le
prove)
 Nella “estrazione di due palline” da un’urna senza reinserimento
della pallina estratta, per la seconda estrazione si modifica lo stato
del sistema, e quindi lo spazio campione S in relazione alla pallina
estratta precedentemente. (Dipendenza tra le prove)
86
Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Teoria dei Fenomeni Aleatori
Prove Indipendenti - Esempio
Un urna contiene 9 palline Nere e 1 pallina Bianca. Si estraggono in
successione due palline con reinserimento della prima estratta. Si
vince se almeno una delle due palline è bianca. Calcolare la probabilità
di vittoria.
 Prima Estrazione:
P B 
1
10
PN  
9
10
 La seconda estrazione opera sullo stesso sistema, e quindi è una
replica della precedente.
87
Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Teoria dei Fenomeni Aleatori
Prove Indipendenti - Esempio (segue)
Quindi si ha:
1
P B 
10
9
PN  
10
P Vincere   P  B,B   P  B,N   P  N ,B  
 1 1   1 9   9 1  19
      
 10 10   10 10   10 10  100
Si può calcolare la probabilità di vincere anche come:
P Vincere   1  P  Perdere   1  P  N ,N   1 
9 9
19


10 10 100
88
Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Teoria dei Fenomeni Aleatori
Prove Dipendenti - Esempio
Un urna contiene 9 palline Nere e 1 pallina Bianca. Si estraggono in
successione due palline senza reinserimento della pallina estratta. Si
vince se almeno una delle due palline è bianca. Calcolare la probabilità
di vittoria.
Prima Estrazione:
1
P B 
10
9
PN  
10
Seconda estrazione:
P B | B  0
P  N | B  1
PB | N  
1
9
PN | N  
8
9
P Vincere   P  B,B   P  B,N   P  N ,B   P  B  P  B | B   P  B  P  N | B   P  N  P  B | N  

1
1
9 1 1
0  1  
10
10
10 9 5
P Vincere   1  P  Perdere   1  P  N ,N   1 
9 8 1
 
10 9 5
89
Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Teoria dei Fenomeni Aleatori
Indipendenza di eventi e probabilità condizionata
Se A e B sono indipendenti allora
P  A| B  
P  B | A 
P  AB 
P  B
P  AB 
P  A


P  A P  B 
P  B
P  A P  B 
P  A
 P  A
 P  B
Si può dire che "se due eventi sono indipendenti il condizionamento di
un evento dall'altro non ne altera la probabilità".
Il concetto di indipendenza statistica è fondamentale: esso rende la
teoria della probabilità qualcosa di più di una semplice teoria della
misura.
90
Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Teoria dei Fenomeni Aleatori
Probabilità dell’Unione di eventi Disgiunti
A
A B
B
B A
B
P(A + B)= P(A) + P(B - A)
= P(A) +P(B) - P(AB)
Per eventi indipendenti
P  A  B   P  A  P  B   P  A  P  B 
91
Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Teoria dei Fenomeni Aleatori
Rappresentazione di una Partizione dello Spazio Campione S
S
A1
A2
A3
A4
B
A5
S  A1  A2  A3  A4  A5
Ai  Aj  
i, j  5
i j
92
Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Teoria dei Fenomeni Aleatori
Teorema della probabilità totale
La probabilità di un evento B definito su uno spazio campione S può
essere espressa mediante le probabilità condizionate.
Teorema: Data una partizione di S negli m eventi disgiunti:
A1 , A2 ,..., Am
(incompatibili)
la probabilità P  B  è:
P  B   P  A1   P  B | A1   ....  P  Am   P  B | Am 
Dimostrazione:
B  B  S  B   A1  A2  ....  Am 
P  B   P  B  A1  A2  ....  Am    P  B  A1   ....  P  B  Am  
 P  B | A1   P  A1   ....  P  B | Am   P  Am 
93
Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Teoria dei Fenomeni Aleatori
Esempio: il Canale Numerico – Probabilità di Errore
Canale Numerico
Disturbi
Sorgente
Numerica
a
Trasmettitore
Messaggio
Numerico
Trasmesso
s(t)
Rumore
Canale di
Trasmissione r(t)
Segnale
Portante il
Messaggio
Ricevitore
Segnale
Ricevuto
Se
â  a

C  Decisione Corretta
Se
â  a

E  Decisione Errata
Probabilità di Errore:
â
Utente
Messaggio
Numerico
Ricevuto
Prob  Errore  P  E  1  P C
94
Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Teoria dei Fenomeni Aleatori
Canale Numerico
Si opera una trasformazione tra simboli trasmessi e ricevuti
ai  A
A  a0 ,a1 ,...,aM 1 
Canale di Trasmissione
Numerico
bj  B
B  b0 ,b1 ,...,bM 1 
Probabilità “a priori”:
P  ai 
i  0,1,2,...,M  1
Probabilità “congiunte”:
p  ai ,b j 
i, j  0,1,2,...,M  1
Probabilità “a posteriori”:
p  ai | b j 
i, j  0,1,2,...,M  1
Probabilità “di transizione”:
p  b j | ai 
i, j  0,1,2,...,M  1
95
Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Teoria dei Fenomeni Aleatori
Sorgente binaria con Canale Numerico binario simmetrico
a0  0
P0

Sorgente
binaria
b0  0

P1
a1  1
Probabilità a priori
1
1
b1  1
Probabilità di transizione
P  a0  0   P0
p  b0 | a0   1  
p  b1 | a0   
P  a1  1  P1
p  b0 | a1   
p  b1 | a1   1  
P0  P1  1
Probabilità di Errore
P  E   P0  p  b1 | a0   P1  p  b0 | a1   P0    P1    
96
Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Teoria dei Fenomeni Aleatori
Prob. di Errore di bit all’uscita del Filtro Adattato: PAM M-ario
16
8
4
2
97
Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Teoria dei Fenomeni Aleatori
Il teorema di Bayes
Discende direttamente da quello della Probabilità Totale.
Teorema: Data una partizione A1 , A2 ,..., Am di S ed un evento B, la
probabilità dello i-esimo evento Ai condizionata a B è:
P  Ai | B  
P  Ai   P  B | Ai 
P  B | A1   P  A1   ...  P  B | Am   P  Am 
Dimostrazione:
La probabilità congiunta di Ai e B si può scrivere in due maniere
P  Ai B   P  Ai   P  B | Ai 
P  Ai B   P  B   P  Ai | B 
98
Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Teoria dei Fenomeni Aleatori
Il teorema di Bayes (segue)
Combinando queste due espressioni si ottiene
P  Ai | B  

P  Ai   P  B | Ai 
P  B

P  Ai   P  B | Ai 
P  A1   P  B | A1   ....  P  Am   P  B | Am 
dove nello scrivere l'espressione a denominatore, si è usato il
Teorema della Probabilità Totale.
99
Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Teoria dei Fenomeni Aleatori
Teorema di Bayes - Esempio
Un medico sa che un sintomo, indicato con E (es. una febbre
associata ad un dato quadro clinico) è l’effetto di sole tre malattie: H 1 ,
H 2 , H 3 . La ricerca medica ha stabilito che:
P  E | H 1   0.90
P  E | H 2   0.10
P  E | H 3   0.30
inoltre le probabilità di contrarre le malattie sono:
P  H 1   0.03 P  H 2   0.70 P  H 3   0.27
Un paziente mostra il sintomo E, il medico a quale malattia attribuisce
la causa?
100
Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Teoria dei Fenomeni Aleatori
Teorema di Bayes - Esempio
Soluzione:
Bisogna calcolare le:
P  Hi | E 
i  1,2,3
Calcolo delle probabilità a posteriori
P  Hi | E  
P  E | Hi  P  Hi 
PE
per i  1,2,3
P  E   P  E | H 1  P  H 1   P  E | H 2  P  H 2   P  E | H 3  P  H 3   0.178
P  H 1 | E   0.15169
P  H 2 | E   0.39326
P  H 3 | E   0.45505

101
Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Teoria dei Fenomeni Aleatori
Teorema di Bayes - Esempio
 A priori la malattia H 2 è la più probabile ( P  H 2   0.70 ), ma il
sintomo E è con maggiore verosimiglianza associato a H 1 che
sembra essere una malattia rara ( P  H 1   0.03 ).
 A posteriori (presenza del sintomo) il medico propende per H 3 .
102
Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan