Simboli Landau

ANALISI MATEMATICA I: DOMANDE DI TEORIA
SIMBOLI DI LANDAU, ASINTOTI
Oltre alle definizioni richieste, fornire sempre degli esempi.
Quando è richiesto di verificare se una proposizione è vera:
• se la proposizione è vera, bisogna dimostrarla. Meglio poi proporre degli esempi.
• se la proposizione è falsa, bisogna fornire almeno un controesempio che lo mostri.
1. Siano date due funzioni f, g : A → R, e sia c un punto di accumulazione di A.
Scrivere le definizioni di f = O(g), f = o(g), f ∼ g, f equigrande a g, per x → c.
2. Dire se è vero o falso che:
(a) f = o(g), per x → c
=⇒
f = O(g), per x → c
(b) f = o(g), per x → c
=⇒
f ∼ g, per x → c
(c) f equigrande a g, per x → c
(d) f = o(g), per x → c
=⇒
f ∼ g, per x → c
f = o(1), per x → c
=⇒
3. Dato c un punto di accumulazione di A, date f, g : A → R tali che limx→c f (x) =
limx→c g(x) = ∞, scrivere cosa significa che f ha ordine di infinito superiore, uguale o
inferiore a g per x → c. Dire inoltre cosa significa che f e g sono infiniti non confrontabili
per x → c.
4. In particolare, quando c = +∞ e g(x) = x, dare esempi di
(a) f(x) con ordine di infinito 3 rispetto a x, per x → +∞,
(b) f(x) con ordine di infinito superiore a xα , per ogni α > 0, per x → +∞,
(c) f(x) infinito non confrontabile con x, per x → +∞,
(d) f(x) con ordine di infinito inferiore a 1 rispetto a x, per x → +∞.
5. Dire se è vero o falso che:
(a) f (x) = o(ex ), per x → +∞
=⇒
limx→+∞ f (x) = ∞.
(b) e = o(f (x)), per x → +∞
=⇒
limx→+∞ f (x) = ∞.
(c) f (x) = o(xn ), per x → +∞
=⇒
f (x) = o(xk ) per ogni k ≥ n, per x → +∞.
x
6. Dato c un punto di accumulazione di A, date f, g : A → R tali che limx→c f (x) =
limx→c g(x) = 0, scrivere cosa significa che f ha ordine di infinitesimo superiore, uguale
o inferiore a g per x → c. Dire inoltre cosa significa che f e g sono infinitesimi non
confrontabili per x → c.
7. Dire se è vero o falso che:
(a) f (x) = o(x3 ), per x → 0
=⇒
+
(b) f (x) = o(log x), per x → 0
limx→0 f (x) = 0.
limx→0+ f (x) = ∞.
=⇒
(c) f (x) ha ordine di infinitesimo α rispetto a x, per x → 0
per ogni ε ≥ 0, per x → 0.
1
=⇒
f (x) = o(xα+ε )
ASINTOTI
1. Data una funzione definita su una semiretta (a, +∞), dare le seguenti definizioni.
(a) Definizione di asintoto orizzontale di f , per x → +∞.
(b) Definizione di asintoto obliquo di f , per x → +∞.
2. Dire se è vero o falso che:
(a) Una funzione può avere contemporaneamente asintoto orizzontale e asintoto obliquo
per x → +∞.
(b) Se f ha asintoto obliquo per x → +∞
a x, per x → +∞.
=⇒
(c) Se f (x) = mx + q + o(x) per x → +∞
x → +∞.
f è un infinito di ordine 1 rispetto
=⇒
f (x) ha asintoto obliquo per
(d) Se f ha ordine di infinito superiore a 1 rispetto a x, per x → +∞
ha asintoto orizzontale né obliquo per x → +∞.
(e) Se f ha asintoto orizzontale per x → +∞
intorno di +∞.
=⇒
=⇒
f non
f è localmente limitata in un
3. Dimostrare che
(a) Se f è una funzione dispari e y = mx + q è asintoto obliquo di f per x → +∞
=⇒ y = mx − q è asintoto obliquo di f per x → −∞.
(b) Se f è una funzione pari e y = mx + q è asintoto obliquo di f per x → +∞
=⇒ y = −mx + q è asintoto obliquo di f per x → −∞.
4. Dimostrare che, se f è strettamente crescente in (a, +∞) e y = k è asintoto orizzontale
di f per x → +∞ =⇒ esiste (b, +∞) tale che ∀x ∈ (b, +∞), f (x) < k.
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