lezione 12, Induzione

Lezione 12: Induzione
• LEMANS\lenz.htm
ESPERIMENTI DI FARADAY (1831)
•
Mutua induttanza: due spire A e B sono disposte in modo tale
che il flusso del campo magnetico generato dalla corrente che
fluisce in A attraverso B sia non nullo. Se la corrente che fluisce in
A varia nel tempo, allora una corrente fluisce in B.
•
Movimento relativo: Se la corrente in A non cambia, ma varia
la posizione di A rispetto a B, ancora si rileva una corrente in B.
•
Quando un ramo di un circuito si muove e muovendosi taglia
il flusso magnetico, una corrente viene indotta nel circuito.
Legge di Faraday
Da un esame delle esperienze mostrate, Faraday
comprese che la corrente era indotta dalla variazione
del flusso Φ di B nel tempo attraverso la superficie
delimitata dal circuito. Tale variazione, infatti, ha
luogo:
1) se cambia nel tempo B (anche a causa di un
cambiamento nel tempo della corrente che lo genera)
2) se cambia nel tempo la superficie delimitata dal
circuito, invero il circuito
3) se si muove il circuito in un campo non costante.
Detta Emf la ‘tensione’ indotta nella spira (volt) che fa
muovere le cariche e Φ il flusso del campo magnetico
attraverso una superficie di cui la spira è contorno
(weber),
legge di Faraday
d
Emf = − Φ
dt
FEM
Emf è chiamata FORZA ELETTROMOTRICE INDOTTA
d
E ⋅ dl = − Φ
Emf =
dt
circuito
Non appena cessa la variazione di flusso,
termina pure il passaggio di corrente
E non è conservativo
Il segno della corrente, e quindi di Emf, è tale che l’induzione
magnetica generata da questa produca un flusso che si oppone alla
variazione di flusso che ha originato il fenomeno (legge di LENZ)
Spira e magnete:
d
Emf = RI = − Φ B
dt
Nel caso di N spire:
d
Emf = RI = − N Φ B
dt
La corrente indotta nella spira ha un verso tale che il campo magnetico generato
dalla corrente si oppone alla variazione di campo magnetico che l’ha indotta (legge
di Lenz).
Avvicinando un magnete ad una spira, B (e quindi ΦB) attraverso la spira aumenta e
viene indotta nella spira una corrente. La spira si comporta come un dipolo magnetico µ
ed il verso della corrente è tale che µ è orientato in senso contrario a B. Se si allontana il
magnete dalla spira, il verso di µ cambia. Una cosa analoga accade muovendo la spira e
tenendo fisso il magnete.
Alternatori 1
Φ B = B ⋅ n S = B S cos ϑ
ω
ϑ (t ) = ωt
Φ B (t ) = B S cos ωt
d
Emf = − Φ B = BSω sin ωt
dt
Β
θ
Alternatori 2
• applet_italia\generator_ita.htm
Esercizio- una spira a sezione quadrata di lato 5cm, costituita da 100
avvolgimenti, è immersa in un campo di induzione B=0.6 T,
entrante nel foglio, costante nella regione in cui è inizialmente
collocata la spira (regione gialla). La spira viene ‘estratta’ verso dx
a velocità costante in un tempo pari a 0.1s. Si calcolino:
1) La variazione di flusso
2) emf e correnti indotte sulla spira
3) Energia dissipata se la resistenza complessiva della spira
R=100Ω
4) La forza media necessaria per estrarre la spira
y
1) Φ f = 0;
z
x
B = −0.6 T u z
Φ i = NBS = 100 ⋅ 0.6 ⋅ 25 ⋅10 − 4 = 0.15 Wb
∆Φ = −Φ i
Soluzione (continua)
∆Φ 0.15
1.5
2) emf = =
= 1.5 V ; i =
= 15 mA ;
t
0.1
100
3) Energia dissipata =
t
Ri 2 (t ) = (15 ⋅10 −3 ) 2 ⋅100 ⋅ 0.1 = 2.25 ⋅10 −3 J
0
L 2.25 ⋅10 −3
−2
4) F =
=
4
.
05
⋅
10
N
=
−2
∆x
5 ⋅10
Esercizio - Un generatore deve fornire una tensione ac (50 Hz),
il cui valore di picco V=220 V. Sapendo che le spire che lo
costituiscono sono immerse in un campo uniforme B=0.2 T e
che l’area di una spira A=0.02 m2, calcolare il numero di spire
necessarie.
V(t ) = 220 cos[(2π 50)t ]
V(t ) = NSB(2π 50)[cos(2π 50)t ]
55 ⋅1000
220
220
= 175
=
=
N≥
314
SB(2π 50) 0.02 ⋅ 0.2 ⋅ (2π 50)
Una spira circolare di raggio R=10 cm si trova in un campo
magnetico uniforme di induzione B=1 kG sin ωt x,
ω=2π1000 rad/s, diretto perpendicolarmente al piano della
spira. Si calcoli l’intensità della corrente che circola nella
spira.
z
B
y
Una spira quadrata di lato d= 50 cm , posta come mostrato in
figura 1, è immersa in un campo di induzione magnetica B(t).
Si calcoli la fem indotta ai capi della spira, considerando il
sistema nel vuoto.
B(t ) = (20 ⋅ xy ⋅ cos(1000t ) yˆ + 100 ⋅ x ⋅ sin(1000t )zˆ ) Wb/m 2
y
x
Il flusso è dato da :
Φ=
( Bx xˆ + By yˆ + Bz zˆ ) ⋅ zˆ dxdy =
Spira
0.5m 0.5m
0
0
Bz dxdy = sin(1000t )
0.5m 0.5m
0
0
x2
100 xdxdy = sin(1000t ) ⋅ 100Wb/m ⋅
2
0.5 m
0.5 m
2
y0
= 6.25 ⋅ sin(1000t ) Wb
0
Per la legge di Faraday la fem indotta è data dalla derivata temporale del flusso appena calcolato:
d
fem = − Φ = −6250 ⋅ cos(1000 t ) V
dt
Motore elettrico
y
i
B uniforme
asse
x
i (t ) = I 0 cos ωt
z
M = × B = mBi n × i y = −i (t ) SB sin ϑ i x
Motore elettrico
applet_italia\ElectricMotor_ita.htm
Induttanza (Henry 1832)
Un filo percorso da corrente genera un campo magnetico, che
genera un’ AUTOINDUZIONE con il circuito stesso.
Il flusso Φ che si concatena con il circuito è
proporzionale alla corrente che fluisce nel circuito:
Φ(B) = Li essendo B ∝ i
L viene detto INDUTTANZA
L dipende dalla geometria e dal mezzo circostante
Unità di misura dell’induttanza
[L] = H
henry
1 H = 1 Wb/A = 1Vs/A = 1Ωs
Simbolo:
Esercizio- Calcolare l’induttanza di un solenoide di lunghezza
l molto maggiore del diametro, di sezione S con n spire per
unità di lunghezza.
B
z
B = µ 0 in i z
2
Φ(B) = nlSB = µ 0in Sl
N = 400 spire
l = 40 cm
-3
S = 10 m
2
2
L0 = µ 0 n Sl
L0 = 0.5 mH
Permeabilità magnetica relativa
Se il solenoide è riempito con un materiale ferromagnetico
B
B = µr B0
µ r è chiamata permeabilità magnetica relativa
µ r può valere anche qualche migliaio
2
Φ(B) = nlSB = µ r µ 0in Sl
µ r = 1000
L = 0.5 H
L = µ r L0
Esercizio- Calcolare l’induttanza di un tratto di cavo coassiale di
raggi Ri e Re, di lunghezza l molto maggiore del raggio esterno, in
cui i conduttori siano percorsi da correnti uguali in modulo e
opposte in verso. Lo spazio tra i due conduttori è riempito d’aria
2πrB = µ 0 i
i
B
C
A
D
l
Ri ≥ r
r ≥ Re
B=0
B=0
Ri ≤ r ≤ Re
µ 0i
B=
iφ
2πr
Il flusso attraverso la superficie ABCD vale:
Φ (B ) =
Re
Ri
Re
µ 0i
µ 0i
l ln
ldr =
2π
Ri
2πr
L’induttanza L vale allora:
Re
µ0
L=
l ln
2π
Ri
Regime transitorio in un circuito induttivo
di
E + Ei = E − L = Ri
dt
di
L + Ri = E
dt
E
R
iR (t ) = − exp − t
R
L
Aprendo il circuito..
E
R
i (t ) = exp − t
R
L
RI(t)
E
R
i (t ) =
1 − exp − t
R
L
RI(t)
Extracorrente di chiusura/apertura
L’energia dissipata per effetto Joule durante l’extracorrente di apertura:
R
E
i (t ) = exp − t
R
L
∞
∞
E
dt Ri (t ) = dt R
R
0
0
2
E
=R
R
2
2
R
exp − 2 t =
L
L 1 2
= Li0
2R 2
Energia immagazzinata nel campo magnetico
La potenza istantanea W fornita dal generatore:
di
W = E i= L + Ri i =
dt
U (t ) =
t
0
di
L idt =
dt
i0
0
1 2 1
Lidi = Li0 = i0Φ
2
2
Per un solenoide
1
1
1
2
U = Φ i = (µ0 ni ) nlS i =
(µ0 ni ) lS
2µ 0
2
2
Densità di energia immagazzinata
nel campo magnetico
u=
U
τ
=
1
2µ 0
(µ0 ni )
2
=
1
2µ 0
B
2
VALIDA SEMPRE
Mutua induzione
i1 ≠ 0; i2 = 0
Φ1 (B1 ) = L1i1
i2
i1
Φ 2 (B1 ) = M 21i1
i1 = 0; i2 ≠ 0
Φ1 (B 2 ) = M 12i2
Φ 2 (B 2 ) = L2i2
Coefficiente di mutua induzione
M 21 = M 12 = M
Esercizio- Calcolare la mutua induttanza fra due solenoidi
sovrapposti di lunghezza l molto maggiore del diametro,
entrambi di sezione S, il primo con n1 e il secondo con n2
spire per unità di lunghezza.
Φ 2 (B1 ) = l ⋅ n2 ⋅ S ⋅ B1 = l ⋅ n2 ⋅ S ⋅ µ ⋅ i1 ⋅ n1
M = l ⋅ n2 ⋅ S ⋅ µ ⋅ n1
Quindi, per due solenoidi sovrapposti di uguale lunghezza
M = l ⋅ n2 ⋅ S ⋅ µ ⋅ n1
2
2
L1 = µ n1 Sl
µ = µ0 µ r
L2 = µ n2 Sl
Se n1 = n2
L1 = L2 = M
Se n1 > n2
L1 > M > L2
2
M = L1 L2
Nel caso generale
2
M ≤ L1 L2
Si definisce il COEFFICIENTE DI ACCOPPIAMENTO k
M = k L1 L2
(−1 ≤ k ≤ 1)
Accoppiamento tra due circuiti
i1 ≠ 0; i2 ≠ 0
i2
i1
Φ1 (B ) = L1i1 + Mi2
Φ 2 (B ) = M i1 + L2 i2
Se le correnti variano nel tempo…
dΦ ( B1 + B 2 )
Ei = −
dt
di2
di1
Ei1 = − L1
−M
dt
dt
di2
di1
Ei2 = − M
− L2
dt
dt
Trasformatore
i1 ≠ 0; i2 = 0
Ei1 L1 N1 n1
=
=
=
Ei2 M N 2 n2
Se le due bobine sono
sovrapposte
Trasformatore
N1
Ei1
=k
N2
Ei2
k ≤1
FEM differenziale
d
d
E ⋅ dl = ∇ × E ⋅ n dS = − Φ = −
B ⋅ n dS
dt
dt S
∂S
S
S
d
∇ × E + B ⋅ n dS = 0
dt
d
∇×E = − B
dt
III equazione di Maxwell
3/10/03 Si calcoli l’induttanza di un solenoide cilindrico di
diametro d=2cm e lungo 40 cm , nel quale 1000 spire sono
avvolte in un nucleo di ferro (µr=1000).
• 22/3/2004 Una spira quadrata di lato d= 50 cm , posta
come mostrato in figura 1, è immersa in un campo di
induzione magnetica B(t). Si calcoli la fem indotta ai capi
della spira, considerando il sistema nel vuoto.
Compito di Fondamenti di Elettromagnetismo del 1.12.03
•
a)
b)
c)
Un generatore di tensione costante E=50 V, all’istante t=0 viene chiuso sopra un circuito costituito
da una resistenza R=10Ω e un’induttanza L=0.4 H poste in serie. Si calcolino:
L’intensità della corrente erogata subito dopo la chiusura del circuito;
L’intensità di regime i dopo un tempo molto lungo dalla chiusura
A quale istante l’intensità è metà rispetto a quella di regime.
L’andamento temporale della corrente vale:
In particolare:
i (t ) = i∞ (1 − e − t /τ )
dove:
τ = L/R
a) i (0) = 0
E
b) i (t → ∞) → i∞ = = 5 A A regime non c’è più variazione di flusso
R
1
c)
= 1 − e −t / τ
ln 0.5 = −t / τ
t = −τ ln 0.5 = 0.028 s
2