Probabilità e Statistica

Probabilità e Statistica
Compito intermedio n.2
12/06/02
TEORIA
Versione in parte riveduta e corretta per
essere meglio utilizzata come esercizio.
Cognome e Nome
Esercizio 1
Si lancia un dado equilibrato fino a che non si ottiene un numero minore di
quattro. Quale tipo di legge di probabilita’ modella il numero di lanci necessari ?
o Geometrica di parametro p=0.33
SI
NO
o Bernoulli di parametro p=0.50
SI
NO
o Bernoulli di parametro p=0.33
SI
NO
o Geometrica di parametro p=0.50
SI
NO
Esercizio 2
Sia X una variabile aleatoria reale di legge uniforme sull’intervallo [-7,-2].
o Scrivere l’espressione della densita’ di X.
o Quanto vale E(X) ?
o Scrivere l’espressione della funzione di ripartizione di X e disegnarne il grafico.
Esercizio 3
Sia X1,X2,...,X16 un campione estratto da una popolazione di legge Normale di
media 3 e varianza 81.
Quale delle seguenti affermazioni sono vere ?
o X2 ha legge normale di media 3 e varianza 81.
o
o (X1 +...+X16 )  16 * 3 ha legge normale di media 3 e varianza 81
9*9
o
S9 =
X1 +...+X9
9
Vera
Falsa
Vera
Falsa
Vera
Falsa
Vera
Falsa
ha legge normale di media 3 e varianza 9
Vera
Falsa
ha legge normale standard
Vera
Falsa
ha legge normale di media 1/3 e varianza 9
o S9 = X1 +...+X9 ha legge normale di media 3 e varianza 9
9
o
o
(X1 +...+X16 )  16 * 3
9*9
(X1 +...+X16 )  16 * 3
9*9
Esercizio 4
Per stimare la media di una variabile aleatoria X si estraggono due campioni,uno
di numerosita' 50 e uno di numerosita' 100 dalla stessa popolazione. Viene fissato un
valore del livello del test.
Quali delle seguenti affermazioni sono corrette ?
o L'intervallo di confidenza relativo
al campione da 100 e’ piu' ampio
SI
NO
o L'intervallo di confidenza relativo
al campione da 50 e' piu' ampio
SI
NO
o L'intervallo di confidenza relativo al
campione da 100 e' sempre contenuto
in quello relativo al campione da 50.
o Nessuna delle affermazioni precedenti
e’ vera
SI
SI
NO
NO
Esercizio 5
Sia X1,X2,...,X16 un campione i cui valori portano a rifiutare a livello 5% l’ipotesi
H0 che la media sia uguale a 120 contro H1 che sia diversa da 120 .
UTILIZZANDO LO STESSO CAMPIONE :
rifiuto anche a livello 10%
SI
NO
NON SI PUO’ SAPERE
rifiuto anche a livello 1%
SI
NO
NON SI PUO’ SAPERE
Per esercizio provare a motivare queste affermazioni
Probabilità e Statistica
Compito intermedio n.2
12/06/02
ESERCIZI
Versione in parte riveduta e corretta per
essere meglio utilizzata come esercizio.
Cognome e Nome
Esercizio 1
Un laboratorio analizza il contenuto in sali minerali disciolto in 14 diverse
sorgenti d'acqua di una zona (ovviamente non sono noti i valori di media e varianza).
I valori ottenuti sono i seguenti :
x14 =2.34
2
s14
=0.25
1. Costruire un intervallo di confidenza al 95% per la media .
2. Effettuare un test sulla media CON LIVELLO 5% con ipotesi principale H0 il
fatto che la media valga 2.35, e utilizzando le tre ipotesi alternative H1:
diversa, maggiore e minore di 2.35, specificando ogni volta la regione di
rifiuto e la decisione.
H1 : media diversa da 2.35
H1 : media minore di 2.35
H1 : media maggiore di 2.35
Esercizio 2
Sia X una variabile aleatoria di legge Normale di media m incognita e varianza 4 .
1. Determinare il valore di m tale che P(X ≤ 2)=0.65.
2. Si considerino ora 100 variabili aleatorie di legge normale come al punto 1
utilizzare il valore di m determinato prima) e sia S100 la loro somma.
Calcolare P(S100 ≤ 60)
Esercizio 3
Si effettua un sondaggio per stimare la proporzione di abitanti di un comune
favorevoli all’apertura di un nuovo supermercato.
Vengono intervistate 400 persone e solo 100 si dichiarano favorevoli.
1. Costruire un intervallo di confidenza al 90% per la percentuale di favorevoli.
2. Effettuare un test a livello 3% con ipotesi principale H0 : p=0.27 scegliendo a
piacere una delle possibili ipotesi alternative H1 , indicando la regione di
rifiuto e la decisione.
Esercizio 4
Si seleziona un campione di 8 bulloni prodotti da un macchina automatica .Il
valore del diametro dei bulloni (mm) e’ riportato nella tabella seguente:
252
248
251
233
260
250
249
253
Si supponga che il diametro X dei bulloni segua una legge normale con varianza nota
 2 =0.36 mm.
1. Costruire un intervallo di confidenza per la media di X al livello 95%.
2. Effettuare un test a livello 1% di HO : media = 250 contro H1 : media <250
indicando al regione di rifiuto e la decisione.