DOMINIO di FUNZIONI

DOMINIO di FUNZIONI
PREREQUISITI:
Grafici delle funzioni elementari.
Calcolo di EQUAZIONI e
DISEQUAZIONI, intere e fratte.
Tutorial di Barberis Paola - 2009
Definizioni:

FUNZIONE e DOMINIO
LA FUNZIONE E’ UNA LEGGE che associa ad
ogni valore di x uno ed un solo valore di y.
Le funzioni empiriche sono ricavabili sperimentalmente.
Nelle funzioni matematiche il legame fra x ( variabile indipendente)
e y ( var dipendente) è un calcolo matematico e si indica:
y=f(x) forma esplicita oppure F(x,y)=0 forma implicita
 Il GRAFICO di una funzione è la
rappresentazione sugli assi cartesiani
delle coppie ( x;y) che soddisfano la funzione
 Si chiama DOMINIO l’insieme dei valori
di x che rendono calcolabile la y
( graficamente proietto verso l’asse x )
 Si chiama CODOMINIO l’insieme delle immagini y
( graficamente proietto verso l’asse y )
DOMINIO FUNZIONI MATEMATICHE
Funzioni algebriche (operazioni algebriche fra polinomi)
 RAZIONALI (la variabile x non compare sotto radice):
- Intere (x non compare nel Denominatore) Dominio: ∀x∈R
- Fratte (x compare nel Denominatore)
Dominio: Denominatore ≠ 0
 IRRAZIONALI (x sotto radice)
- Intere : Dominio se la radice ha indice pari : Radicando ≥ 0
Dominio se la radice ha indice dispari : ∀x∈R
- Fratte : Denominatore≠ 0
e
Radicando ≥ 0 (se indice pari)
Funzioni trascendenti (non algebriche)
y=ax
y= logax
esponenziale
logaritmica
Dominio: ∀x∈R
Dominio: x > 0 ARGOMENTO > 0
 funzioni goniometriche: seno, coseno e tangente
y= senx , y= cosx Dominio : ∀x∈R
y= tgx Dominio: x≠ π/2+k π
Dominio: funzioni razionali intere
Esempi:
y = 3x ! 4
2 2 1
y= x + x
5
3
x2 !1
y =
10
Si chiamano:
- RAZIONALI perchè la x non compare sotto radice
- INTERE poiché la x non si trova nel Denominatore
Le funzioni razionali intere hanno tutte
Dominio: ∀x∈R
cioè
D:(-∞,+∞)
(qualunque valore di x appartenente ai numeri REALI)
NB: In generale il risultato del Dominio D si può esprimere in due modi:
 scrivendo i valori della x, esempio: x<4 V x≥10
 mediante intervalli numerici, esempio : (-∞,4)U[10,+ ∞)
Ricordo che V significa “oppure” , U significa “UNIONE”.
Dominio: funzioni razionali fratte
x!4
y=
x !5
a)
b)
x!4
y= 2
x !9
c)
x 4 + 4 x !1
y=
10 ! x
- RAZIONALI perchè la x non compare sotto radice
- FRATTE poiché la x si trova nel Denominatore
Poiche’ la DIVISIONE per 0 è OPERAZIONE IMPOSSIBILE
escludo le x che rendono il Denominatore uguale a zero.
Condizione: DENOMINATORE DIVERSO DA ZERO
x!5"0# x"5
Dominio D:(-∞,5)U(5.+∞)
b)
x ! 9 " 0; x " 9 # x " ±3;
D:(-∞,-3)U(-3,+3)U(+3.+∞)
c)
10 ! x " 0;+x ! 10 " 0 # x " +10;
a)
2
2
D:(-∞,10)U(10,+∞)
Dominio: funzioni irrazionali
a)
y = 3x ! 4
b)
y = x + 5x + 4
2
c)
y = x !4
2
- IRRAZIONALI
perché
la x non compare sotto radice
- INTERE poiché la x non si trova nel Denominatore
Due
casi:
La radice con indice Dispari esiste sempre : dominio ∀x∈R
La radice con indice PARI esiste solo se il radicando è positivo o
zero! Devo risolvere la Condizione:
RADICANDO≥0
a)
4
3x ! 4 " 0 # 3x " 4 # x "
3
D: [4/3 , +∞)
b)
x + 5x + 4 ! 0;" # > 0 " x $ %4 & x ! %1
D: (-∞,-4] U [-1,+∞)
c)
x 2 ! 4 " 0;# $ > 0 # x % !2 & x " +2
D: (-∞,-2] U [+2,+∞)
2
Dominio: funzione logaritmica
a)
y = log(5x ! 10)
b)
y = log(x ! 5x)
2
c)
y = log(x ! 16)
2
un logaritmo esiste solo se l’argomento è positivo.
Pertanto devo risolvere la Condizione:
ARGOMENTO >0
a)
5x ! 10 > 0 " 5x > 10 " x > 2
D: (2 , +∞)
b)
x ! 5x > 0;" # > 0 " x < 0 $ x > 5
D: (-∞,0) U (5,+∞)
c)
x !16 > 0;" # > 0 " x < !4 $ x > +4
D: (-∞,-4)U (+4,+∞)
2
2
Esercizio 1 Dominio di funzioni
4!x
y= 2
x +x
x 2 + 10
y= 2
x ! 2x
x!2
y=
x!6
y = x 2 + 3x
x2 + 6
y=
!2x + 6
y = log(x ! 9)
y = log(8 ! 2x)
y = x 2 ! 25
y = 5x + 20
y = x2 + x ! 3
y = 3 5x ! 10
y = !x 2 + 4
2
Esercizio 1 Dominio: soluzioni
x 2 + 10
4 ! x D: ∀x∈R ,x≠0, x≠-1
y= 2
y= 2
x ! 2x
x + x (-∞ ; -1)∪(-1;0) ∪(1;∞)
x!2
y=
x!6
D: ∀x∈R e x≠6
(-∞ ; 6) ∪(6 ; +∞)
x2 + 6
y=
!2x + 6
D: ∀x∈R e x≠3
(-∞ ; 3) ∪(3; +∞)
y = log(8 ! 2x)
D: x < 4
( -∞ ; 4 )
y = 5x + 20
D: x≥-4
[-4 ; +∞)
y = 3 5x ! 10
D: ∀x∈R
(-∞ ; +∞)
D: ∀x∈R e x≠0
(-∞ ; 0) ∪(0 ; +∞)
y = x 2 + 3x
D: x ≤ -3 v x≥ 0
(-∞ ; -3] ∪[0 ; +∞)
y = log(x ! 9)
D: x<-3 v x>3
(-∞ ; -3) ∪(3 ; +∞)
2
x≤-5 v x≥5
y = x 2 ! 25 D:
(-∞ ; -5]∪[5 ; +∞)
y = x2 + x ! 3
y = !x 2 + 4
D: ∀x∈R
(-∞ ; +∞)
D: -2≤x ≤ 2
[-2 ; 2]
2 esercizi Dominio
Esegui sul quaderno gli esercizi proposti e poi controlla le Soluzioni:
a)
d)
d)
6x
y= 2
x !1
17 ! x
y= 4
x !1
x!4
y= 3
x !x
b)
e)
e)
y= x !x
2
y = x + 5x ! x !5
3
3
y = x + 3x + 2x
3
2
y = log(2 ! x)
c)
f)
f)
y = x !9x
3
y = log(x + 3x )
3
2
Soluzioni 2a-b-c Dominio:
a)
y=
6x
x2 ! 1
b)
y = x2 ! x
c)
y = log(2 ! x)
Soluzioni:
a)
Pongo il denominatore diverso da 0 e ottengo
x 2 !1 " 0 # x 2 " 1# x " ±1
b)
c)
D: (-∞,-1) U (-1,+1) U(+1,+∞)
x2 ! x " 0
x 2 ! x = 0 " xi(x !1) = 0 " x = 0, x = 1
! > 0 " concordanza : x # 0 $ x % 1
Pongo il radicando ≥0
E trovo risolvo l’equazione associata:
D: (-∞,0] U [+1,+∞)
Pongo l’argomento del logaritmo maggiore di zero
2 ! x >" !x + 2 > 0
cambio segni e verso
x!2<0" x<2
D: (-∞,+2)
Soluzioni 2d-e-f Dominio
d)
d)
17 ! x
y= 4
x !1
e)
x ! 4 " 0; x ! 4 " 0;
Pongo i due fattori
diversi da 0 (… fai i
passaggi ) si ottiene:
x 3 + 5x 2 ! x !5 " 0
(x + 5)!(x 2 "1) # 0
x + 5 ! 0 " x ! #5
x !1" 0 # x $ !1% x " +1
2
f)
3
f)
y = x !9x
3
Esegui sul quaderno gli esercizi proposti e poi controlla le Soluzioni:
4
4
(x 2 ! 2) " (x 2 + 2) # 0;
e)
y = x + 5x ! x !5
3
x !0
x 2 !9 " 0 # x $ !3% x " 3
Pongo i due fattori ≥0
con il grafo dei
segni ( …svolgilo
tu ) si ottiene:
x 3 ! 9x " 0 # x $ (x 2 ! 9) " 0
D:x ! " 2 # x ! 2
D :!5 " x " !1# x $1
Pongo i due fattori ≥0
con il grafo dei segni,
(..svolgilo tu )si
ottiene il risultato :
D :!3 " x " 0 # x $ 3
Soluzioni 2g-h-i Dominio:
d)
x!4
y= 3
x !x
e)
y = x + 3x + 2x
3
2
f)
y = log(x 3 + 3x 2 )
Soluzioni:
d)
x 3 ! x " 0;
# x(x ! 1) " 0
2
e)
Pongo i due fattori diversi da 0
(fai tu i passaggi ) si ottiene:
x + 3x + 2 ! 0 " x(x + 3x + 2) ! 0
3
2
2
x!0
x + 3x + 2 ! 0 " x # $2 % x ! $1
2
f)
Pongo i due fattori ≥0
con il grafo dei
segni (svolgilo tu )
si ottiene:
x + 3x ! 0 " x # (x + 3) ! 0
3
2
2
x ! 0 " #x $R % {0}
x+3!0" x ! 3
D : x ! ±1" x ! 0
D :!2 " x " !1# x $ 0
Pongo i due fattori ≥0
2
con il grafo dei segni,
(svolgilo tu )si ottiene:
D:x ! 3