Analisi della risposta dinamica

Analisi della risposta dinamica
Risposta dinamica del trasduttore: descrive, in termini di un modello
matematico basato su equazioni differenziali alle derivate parziali, le
relazioni, basate su opportune leggi fisiche, tra il misurando x(t) e l'uscita
y(t).
y(t)=f(x(t))
x(t)
Sensore
§  Caso lineare
–  La risposta del sistema si valuta attraverso lo studio della funzione di
trasferimento ingresso-uscita del sistema trasduttore.
•  Modello matematico lineare attraverso equazioni differenziali
§  Trattazioni semplificate
–  Modelli a parametri concentrati
–  Analogie tra sistemi fisici
Page §
1
Risposta dinamica
§  La relazione tra uscita e misurando (modello descrittivo del sensore)
può essere espressa da un equazione differenziale nella sola variabile
tempo
–  Ipotesi: lineare a coefficienti costanti.
§  Ordine dell'equazione = ordine del sensore stesso cui si riferisce;
–  Parliamo infatti di elementi sensibili del primo ordine, del secondo ordine e di
ordine superiore.
§  Soluzione = risposta temporale del sensore al segnale in ingresso.
–  Complessa per ordini superiori al secondo
Equazione differenziale
lineare del 2o ordine
Page §
2
Calcolo Risposta dinamica
§  Metodo della trasformata di Laplace
–  Sostituzione delle equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti con equazioni
algebriche (la cui soluzione è più agevole)
§ Determinazione della risposta temporale del sensore
–  Implementazione del modello descrittivo in termini di equazioni differenziali a
coefficienti costanti che legano il misurando all'uscita e che contengono i parametri
del sensore stesso
–  Effettuare la trasformazione di Laplace sulle equazioni differenziali temporali
ottenendo delle equazioni algebriche nella variabile s
–  Risolvere le equazioni algebriche in s
–  Effettuare la trasformazione inversa di Laplace per ottenere la risposta temporale
del sensore
§  La Funzione di Trasferimento F(s) di un sistema lineare è definita come il rapporto
fra la trasformata di Laplace della variabile di uscita e quella della variabile in ingresso
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3
Trasformate e anti-trasformate di Laplace
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4
Risposta in frequenza
s è un variabile complessa la cui parte immaginaria è costituita
dalla frequenza angolare del segnale in ingresso (pulsazione ω)
§ Risposta a segnali di ingresso sinusoidali (risposta in frequenza)
–  Risposta a sinusoidi di ampiezza unitaria con pulsazione angolare ω
( frequenza f=2π/ω )
–  Utilizzo delle s-trasformate e sostituzione di s=jω
–  Nota la risposta in frequenza è possibile conoscere la risposta a
qualsiasi segnale in ingresso di natura periodico
•  Fourier: un qualsiasi segnale periodico può essere scomposto in una serie di
sinusoidi di frequenze diverse
§ Diagrammi di Bode
–  rappresentazione grafica della risposta in frequenza di un sistema
lineare tempo invariante (LTI) e che consiste in due grafici che
rappresentano rispettivamente l'ampiezza (Ao/Ai) e la fase della
funzione complessa di risposta in frequenza
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5
Diagrammi di Bode
Esempio: filtro di Butterworth primo ordine
Frequenza di taglio (attenuazione 3dB):
Banda passante
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V0
1
=
Vi
2
Sfasamento
di 90 gradi
Esempio: sistema massa-molla-smorzatore
Nella prossima esercitazione andremo a studiare un caso di
applicazione del metodo della Trasformata di Laplace
a
f (t)− f e (t )− f v (t )= m ẍ (t )
f e (t )= k x (t )
f v (t )= A ẋ (t )
Equilibrio forze
f (t )= m ẍ (t )+ a ẋ( t)+ k x (t )
2
ms X ( s)+ asX ( s)+ kX ( s)= F ( s)
Trasformata di Laplace
F ( s)
X ( s)=
2
ms + as+ k
F ( s)
F ( s)
k
k
X ( s)=
= 2
m 2 a
s + s+ 1 s 2 + 2 ζ s+ 1
k
k
ω0 ω0
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•  Risoluzione diretta
Analisi della risposta dinamica
Risposta dinamica del trasduttore: descrive, in termini di un modello
matematico basato su equazioni differenziali alle derivate parziali, le
relazioni, basate su opportune leggi fisiche, tra il misurando x(t) e l'uscita
y(t).
y(t)=f(x(t))
x(t)
Sensore
§  Caso lineare
–  La risposta del sistema si valuta attraverso lo studio della funzione di
trasferimento ingresso-uscita del sistema trasduttore.
•  Modello matematico lineare attraverso equazioni differenziali
§  Trattazioni semplificate
–  Modelli a parametri concentrati
–  Analogie tra sistemi fisici
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Analogie nei sistemi fisici
Nell’ambito dello studio di sistemi fisici si presenta spesso il caso in cui due
sistemi di natura diversa risultano essere descritti da equazioni formalmente
identiche (Nota: utili per ottenere il modello descrittivo di un sensore/
trasduttore).
Page §
analogia tra
sistemi meccanici
ed elettrici
interpretazione dei fenomeni ele8rici, meno dire8amente intuibili, in termini di fenomeni meccanici Secolo
scorso
analogia tra
sistemi elettrici e
meccanici
avvalersi di modelli ele8rici, per lo studio di sistemi meccanici (meno maneggevoli sia in costruzione sia in sperimentazione) Più
recente
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Analogie tra sistemi fisici
§  Come è noto dalla teoria dei sistemi, è possibile istituire analogie tra
sistemi elettrici, meccanici, idraulici, fluidodinamici, termici......
§  Fattori della potenza: grandezze caratterizzate dalla proprietà per cui il
loro prodotto rappresenta una potenza
–  Esempio: correnti e tensioni nei sistemi elettrici, forza e velocità per i sistemi
meccanici.
§ Tra queste grandezze e tra i loro integrali è possibile scrivere relazioni che
assumono significati analoghi al concetto elettrico di impedenza.
§  I concetti della teoria classica delle reti di bipoli lineari saranno utilizzati
come riferimento per introdurre e spiegare i concetti propri dei sistemi di
natura diversa (e.g. Meccanici, fluidodinamici, termici).
–  Questo punto di vista renderà quindi possibile studiare alcune delle proprietà
notevoli legate alla struttura dei sistemi fisici prescindendo dalla natura delle variabili
in gioco e riferendosi ad esse genericamente con i nomi di “corrente”, “carica”,
“tensione” e così via.
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10
Analogie tra sistemi fisici
§  I fattori della potenza nella classe di sistemi studiati vengono
associati al concetto di trans-variabile (in inglese acrossvariable o two-point variable) e per-variabile (in inglese
through-variable o one-point variable)
–  Trans-variabile: variabile il cui valore si misura "ai capi"
–  Per-variabile: variabile il cui valore si misura su una "sezione'”.
§  nei sistemi elettrici è naturale identificare la trans-variabile con
la tensione e la per-variabile con la corrente.
§ Il prodotto “trans-per” dà effettivamente origine ad una potenza
V(t)* I(t)= P(t)
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ANALOGIE DI MAXWELL e FIRESTONE
§  Maxwell –  Forze (f) e velocità (v) corrispondono rispeHvamente a differenze di potenziale (e) e correnJ (i). Forze (f)
Tensioni (e)
Velocità (v)
Correnti (i)
§  Firestone –  le forze (f) corrispondono alle correnJ (i) e le velocità alle differenze di potenziale (e) Page §
12
Forze (f)
Correnti (i)
Velocità (v)
Tensioni (e)
Analogie tra sistemi fisici
§  Il rapporto della trans-variabile e della per-variabile nei sistemi elettrici
assume il significato di resistenza
§  Opportune relazioni integro-differenziali introducono i concetti di elemento
reattivo: capacità e induttanza.
§  Per omogeneità formale, è quindi consuetudine considerare, accanto alle
variabili per- e trans- le grandezze integrali delle stesse.
–  Grandezze intensive: per- e trans- variabile il cui prodotto dà una potenza
–  Grandezze estensive: integrali delle per- e trans- delle variabili intensive.
corrente
carica
Page §
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Flusso magnetico
Tensione
Analogie tra sistemi fisici
§  Caso elettrico
–  la per-variabile intensiva è la corrente
–  la trans-variabile intensiva è la tensione
–  la per-variabile estensiva è la carica
–  la trans-variabile estensiva è il flusso di induzione magnetica
–  da per-intensiva a trans-intensiva si passa moltiplicando per R (resistenza)
–  da per-intensiva a trans-estensiva si passa moltiplicando per L (induttanza)
–  da trans-intensiva a per-estensiva si passa moltiplicando per C (capacità)
–  da estensiva ad intensiva si passa derivando (moltiplicando per s in Laplace).
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Analogia elettromeccanica
§  Sistemi elettrici
–  Elementi dissipativi
•  Resistori
–  Elementi immagazzinatori di energia
•  Energia elettromagnetica (induttori)
•  Energia elettrostatica (condensatori)
§  Sistemi meccanici
–  Elementi dissipativi (pistone, attrito viscoso)
–  Elementi immagazzinatori di energia potenziale elastica (massa, molle)
Simbolismo:
“F” forza
“v” velocità
“A” il coefficiente di attrito,
“M” la massa
“K” il coefficiente di elasticità di una molla.
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Analogie tra sistemi fisici
§  Caso Meccanico
–  È naturale considerare come variabili intensive la velocità e la forza, il cui
prodotto dà una potenza meccanica.
–  Non è univoca l'associazione trans/per a seconda dei metodi utilizzati
•  Maxwell e Firestone, vediamo le caratteristiche nel dettaglio dei singoli metodi
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Analogie tra sistemi fisici - Maxwell
§  Analogia di Maxwell
–  La velocità assume il significato di per-variabile intensiva (corrente) e la forza
quello di trans-variabile intensiva (tensione).
–  L'attrito gioca il ruolo della resistenza, in quanto costante di proporzionalità tra
forza e velocità. (F=K*v)
–  Le variabili estensive sono la posizione (integrale della velocità) e l'impulso
della forza (integrale della forza, di dubbia interpretazione). Il passaggio da pervariabile estensiva e trans-variabile intensiva è dato dalla costante elastica.
L'elasticità è l'analogo di un fenomeno capacitivo (lineare), mentre il passaggio
da trans-variabile estensiva a per-variabile intensiva si ha attraverso la massa e
quindi l'inerzia rappresenta l'analogo dei fenomeni induttivi (lineari)
•  Metodo più intuitivo e diffuso
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Forze (f)
Tensioni (e)
Velocità (v)
Correnti (i)
Analogie tra sistemi fisici - Firestone
§  Analogia di Firestone
–  La velocità assume il ruolo di trans-variabile intensiva e la forza quello di pervariabile intensiva.
–  In questo caso l'attrito gioca il ruolo della conduttanza, mentre il significato di
inerzia ed elasticità è scambiato.
•  Il ragionamento che sta dietro questa metodologia è quello di conservare la topologia
degli schemi nel passaggio da meccanico a elettrico
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Forze (f)
Correnti (i)
Velocità (v)
Tensioni (e)
Leggi di Kirchhoff
§  In un circuito la somma delle per-variabili intensive (I nel caso elettrico) che
attraversano i rami entranti in un nodo è nulla (legge di Kirchhoff ai nodi).
§  In un circuito la somma delle trans-variabili intensive (V nel caso elettrico) ai capi
dei rami costituenti una maglia è nulla (legge di Kirchhoff alle maglie).
§  In particolare, più elementi (bipoli) collegati in modo da essere interessati dalla
stessa per-variabile intensiva (I) si diranno in serie, mentre più elementi collegati
in modo da essere interessati dalla stessa trans-variabile intensiva (V) si diranno
in parallelo.
§  Si osservi che, scambiando il ruolo della per- e trans- variabile, si ottiene il cambio
della topologia da serie a parallelo e viceversa.
§  Esempio: due corde collegate ad una massa condividono la stessa velocità
(stessa per-variabile intensiva) ma in linea di principio agiscono su di essa con
forze differenti (trans-variabili intensive diverse): sono quindi in serie tra loro. Si
osservi che se si utilizzasse l'analogia di Firestone, il sistema sarebbe in parallelo.
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Analogie Elettrico-meccaniche
Ele m e n to M e c c a n ic o
Ele m e n to Ele ttric o C o rrisp o n d e n te
N e ll’a na lo g ia d i M a xwe ll
Sim b o lo
No m e
Eq u a zio n e Sim b o lo
Ele m e n to
F= Av
d i Attrito
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20
M o lla
F= M d v
d t
M a ssa
d F= Kv
dt
No m e
Eq u a zio n e
Re siste n za
e = Ri
C o n d u tta n za
e = Ld i
C a p a c ità
In d u tta n za
C a p a c ità
de= 1
i
dt C
No m e
In d u tta n za
Eq u a zio n e
i= G e
i= C d e
dt
d i= 1 e
dt L
Modelli a
parametri
concentrati
Scritti in termini di
per/trans
variabili intensive
Esempio: sistema catetere – trasduttore di pressione
§  Misure di pressione/portata di fluido
§  Ambito cardiovascolare: pressione del sangue e flusso (portata volumetrica)
all'interno dei vasi arteriosi
–  Metodi non invasivi (meno precisi)
–  Metodi minimamente invasivi basati sull'introduzione di cateteri
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21
Esempio: sistema catetere – trasduttore di pressione
§  Cateteri
–  Tubi lunghi (1.20 m) e flessibili che vengono inseriti attraverso vasi periferici e
fatti risalire nelle zone più centrali dell'apparato cardiovascolare (Esempio:
cavità cardiache e sistema coronarico). Realizzati con materiali biocompatibili.
–  Prelievo di campioni di sangue, iniezione di sangue o di liquidi di contrasto,
interventi terapeutici (Esempio: angioplastica)
–  Cateteri strumentati sono utilizzati per misure a scopo diagnostico: pressione,
flusso, saturazione di ossigeno, pH, gas disciolti......
–  Misure di pressione/portata
•  Microtrasduttore in punta o esterno idraulicamente connesso al sangue
–  Modellazione della risposta dinamica: condiziona il progetto dell'intero sistema
identificando i parametri sui quali il progettista può agire
Page §
22
Misura di pressione con trasduttore esterno
§  Un catetere viene inserito in un’arteria o in una vena. La pressione P
presente all’estremità del catetere agisce su una colonna di soluzione
fisiologica; quest’ultima, essendo incomprimibile, trasmette la pressione al
trasduttore esterno (diaframma)
Misura di pressione con
trasduttore esterno
vienedetto
inseritotrasduttore
in un’arteria o inprimario,
una vena. La pressione
P presente la
§  Il diaframma, in questo
caso
è un elemento
• Un catetere
all’estremità del catetere agisce su una colonna di soluzione fisiologica; quest’ultima,
cui deformazione dipende
dalla pressione applicata
essendo incomprimibile, trasmette la pressione al trasduttore esterno (diaframma)!
Il diaframma,
in questoviene
caso detto
trasduttoretramite
primario, èun
un elemento
la cui
§  La deformazione• del
diaframma
misurata
sensore
deformazione dipende dalla pressione applicata!
esterno (e.g. ottico,
trasformatore differenziale o altri)
• La deformazione del diaframma viene misurata tramite un sensore esterno (e.g. ottico,
o altri)!
§  Vogliamo valutaretrasformatore
gli effetti differenziale
del design
meccanico del sistema
• si vuole rispondere: in che modo un segnale istantaneo
§  La domanda a cui
a cui si vuole rispondere: in che modo un segnale istantaneo di pressione
• La domanda
di pressione influenza
la
conseguente
deformazione
diaframma
x? x=kP
influenza la conseguente deformazione
del diaframmadel
x? Idealmente
vorremmo
Idealmente vorremmo x=kP
Vogliamo valutare gli effetti del design meccanico del sistema!
Page §
23
Misura di pressione con trasduttore esterno
§  Tre sottosistemi
–  La cavità (lume) piena di liquido all'interno del catetere
–  Il diaframma elastico (trasduttore primario)
–  Il trasduttore di spostamento del centro del diaframma
–  Numerosi parametri fisici che governano la risposta del sistema
•  Il catetere e il fluido contenuto nel lume costituiscono un sistema distribuito di elementi
infinitesimi tutti dotati di massa, deformabilità (il diaframma elastico, la parete del
catetere) e di elementi dissipativi (viscoelasticità del catetere e viscosità del liquido, sia
esso sangue o soluzione fisiologica).
•  Ciò fa si che il sistema sia descrivibile, attraverso una analogia elettromeccanica, con
lo stesso formalismo delle linee di trasmissione elettrica conducendo ad una forma
propria della cosiddetta "equazione dei telegrafisti".
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24
Ci interessa conoscere la relazione tra
pressione in ingresso (pressione
sanguigna) e pressione misurata sul
trasduttore primario (diaframma)
E' possibile fare delle approssimazioni e identificare nel sistema catetere
alcuni parametri concentrati che ne riassumano il comportamento. Dal
punto di vista fluidodinamico, infatti, il fluido che scorre all'interno di un
catetere presenta un'inerzia idraulica, una resistenza e una deformabilità
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25
Misura di pressione con trasduttore esterno
§  Parametri che influiscono: peso della colonna del fluido (inerzia idraulica),
attriti viscosi (µ), lunghezza (L), sezione del tubo (πr2), deformabilità del
diaframma
§  Ipotesi: fluido Newtoniano, flusso laminare stazionario
§  E’ possibile risolvere il problema attraverso un’analogia elettrica che
dipende da
–  Resistenza idraulica (Rc) dovuta alla viscosità del fluido nel catetere
(proporzionale alla lunghezza e all’inverso della sezione)
•  Ottenuta attraverso la formula di Poiseuille
–  Inerzia idraulica (Lc) dovuta alla massa del liquido nel catetere (dipende dalla
densità del liquido ρ e dal volume V del catetere)
–  Deformabilità del sistema dovuta in gran parte al diaframma Cd
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26
Page §
27
Misura di pressione con trasduttore esterno
Page §
28
Misura di pressione – Analogia Elettrica
Analogia fluidodinamica/ elettrica: il sistema può essere rappresentato
come un circuito elettrico RLC (sistema secondo ordine)
pi(t) → vi(t) pressione in ingresso (misurando non noto)
po(t) → vo(t) pressione in uscita (variabile da stimare)
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29
Transvariabili
intensive
Page §
30
L’ultimo aspetto di cui tener conto è la de
deformabilità
del
sen
Abbiamo
quindi
che
ilda
compo
è
però
molto
più
grande
di
o(t)Misura
→ diaframma
vo(t)
pressione
in
uscita
(variabile
di
uscita,
composta
principalmente
da
costituito
dal
circuito
serie
RLC,
raff
di pressione – Analogia Elettrica
nel
modello
approssim
caratterizzare
tramite
un
sistema
d
timare) deformabilità
tre
componenti
elastiche:
diaframma,
senso
del
sensore
e
del
catetere
circuito rappresenta la ∆pressione san
costituito
dal molto
circuito
serie
RLC,
ra
Cd =piùLa
diaframma
è
però
grande
di
qu
nel
modello
approssimato.
deformab
tensione misurata ai ∆capi del con
laAbbiamo
pressione
s
∆circuito rappresenta
deformabilità
del
sensore
e
del
catetere
che
quin
l’equazione al
Cd diaframma).
= tensione Impostando
misurata
ai deformabilità
capi del
c
caratterizzare
tramit
modello approssimato.
La
nte ! nel ∆
   ()
! ()
v
=
L
+ Rcostituito
+
vcircuito
diaframma).
Impostando
l’equazione
i(t) ∆
cCdi(t)  quindi
cCdche il
o(t)
Abbiamo
comporta
dal
Cd =
 

∆
  ()circuito !
()

rappresenta
caratterizzare
un
da cui
si=ricava
la funzione
di
trasferim
vi(t)
LcCtramite
+ che
RcCil
+ vodel
(t)
d quindi
dsistema
Abbiamo
comportame



#
#
tensione
misurata

costituito
dal
circuito
serie
RLC,
raffi
caratterizzare
tramite
un
sistema
del
sec
=
da
cui
si
ricava
la
funzione
di
trasfer
Misura
di
pressione
con
(
+
,
$
"
$ %&  #'
diaframma). Imposta
'

#

circuito
rappresenta
la pressione
san
costituito
dal)$*circuito
serie
RLC, raffigur
& )$ =
()
+$ ,

trasduttore
"
$ %&   ' ( esterno
'
v
(t)
=
L
C
+
R
i pressione
c d delsangui
c
circuito
rappresenta
la
Confrontando
ottenuta
con
tensione
misurata
ai
capi
con

)l’equazione
*
)
$ &
$

di(t)
dv
(t)
o
tensione
misurata
ai
capi
del
conden
v
(t)
=
v
(t)
+
R
i(t)
+
L
da
cui
si
ricava
la fun
Confrontando
l’equazione
ottenuta
c
caratteristica
dei
sistemi
del
secondo
or
i
o
c
c
diaframma).
Impostando
l’equazione
al
i(t)
=
C
Fig. 5.2d
dt

#
# alla m
dt
#


diaframma).
Impostando
l’equazione
una
caratteristica
dei sistemi
! ()del( secondo
=
 ()
mite il suo H(s)
disegno
ed
rappresentazione
+$ ,
=
'




%


'
$
&
vi(t) = LcC
+
R
C
+
v
(t)
"
#  c d! ()
o )  ()
 d'./0
'0
)
*
$
$
&


circuitale
H(s)
=
v
(t)
=
L
C
+
R
C
+
v
(t)
i
c
d
c
d
o


31

'./0

 '0i
 parametri
è possibilericavare
ωl’equaz
0 e ξ,
Confrontando
Page §
 rappresenta
# )$ *circuito
circuito
la pressione
san
)#$ costituito
dal
serie
RLC, raffigur
&
=
( esterno
+$ ,
 ()

trasduttore


%
 ' l’equazione
' ai
$ –&Analogia
"
v i(t)pressione
= Lottenuta
+con
R
cCd delsangu
Misura
di
pressione
circuito
rappresenta
Confrontando
tensione
misurata
capi
con

)$ *& Elettrica
)$la

di(t)
dvo (t)
tensione
misurata
ai
del
conden
vi (t)
=dei
vo (t)
+da
Rccapi
i(t)
+L
cui
si
ricava
la fun
Confrontando
l’equazione
ottenuta
c
caratteristica
sistemi
del
o
csecondo
diaframma).
Impostando
l’equazione
al
i(t) = Cd
dt

#
# alla m
dt
#


diaframma).
Impostando
l’equazione
  () dei sistemi
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+$ ,
H(s)
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



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%

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'
'
$
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vi(t) = LcC
+ vo(t)
" d
#+ RcC

()
 d'./0
'0




vi(t) =H(s)
LcC=
d


! ()
)$ *& )$ 
+
R
C
+
v
c d
o(t)

'./0
'0



 parametri
è
possibile
ricavare
i
ωl’equaz
0 e ξ,
Confrontando
dadacui
si
ricava
la
funzione
di
trasferim
cui
ricava
funzione
di trasferiment
possibile
ricavare
i
parametri
ωsist
0 e
 risonanza
#è si
# e la
caratteristica
dei
fattore
di
smorzamen
=
#
#

#
(
+$,e
,
=$%risonanza
fattore
di
smorzam

(
+
" L’uguaglianza
$tra l’equazione
H(s) =  5.9 e 5.1
$&%&  '') * '
'
"
)
 './0 '0
)$$ *&
e 5
& )$$
L’uguaglianza
tra
l’equazione
5.9
4
%
#
$5 &
è$5possibile
ricavare
i
Confrontando
l’equazione
ottenuta
con
Confrontando
l’equazione
con
la
1
=
;
ξ
=
4
%&ottenuta
#

Fattore di
Frequenza di
.=
√3%
5$
1
=
;
ξ
risonanza
e fattor
smorzamento
risonanza
caratteristica
dei sistemi
secondo
ordin
.5del
√3%
caratteristica
dei
sistemi
secondo
o
$ del
# le espressioni
Sostituendo
5.4,
5.6
e
5.7
#
L’uguaglianza
tra
l’e
Sostituendo
le
espressioni
5.4,
5.6
e
H(s)
=

H(s) = 
'./0
'0 


4$ 5%&
#
∆
 ∆
 './0
 ∆
 '0

 ∆ ; ξ =
1
=
1
=
6
;
ξ
=

6
è possibile
ricavare
i 8parametri
ω0 e ξ, .chia
 1 7
3%
=
6
;
ξ
=
√∆
5$
6
∆
7
8
è possibile ricavare
i
parametri
ω
e
ξ,
0
7 ∆

7 ∆
risonanza e fattore Sostituendo
di smorzamento,
le espres
Tali
equazioni
sono
importa
e Tali
fattore
di smorzamen
equazioni
sono
impor
32 risonanza

L’uguaglianza
tra
l’equazione
5.9
e
5.10
fo
 ∆

Page §
Misura di pressione con trasduttore
esterno
1
> n è uguale a quello di un sistema del
o per < n e
G ssecondo
Misura
pressione – Analogia Elettricas 2 2 s 1
pendenza
retta di
+40dB/decade)
2
n
n
1
G j
2
n
2
2 j
n
Soluzione
Sistema del
secondo
ordine: Diagramma
di
1
= Bode del modulo
2
1 1
j !2
2
n ωn=ω0 n
Diagramma del modulo
2
G j
dB
=
20 log
1
2
2
2
n
[7]
n
> n è uguale a quello di un s
Il diagramma del modulo per < n e
ordine con polo doppio ( pendenza retta +40dB/decade)
o subisce•delle
modificazioni
ω>>ωn
pendenzache
di dipendono
-40 dB perdadecade (azione del doppio polo)!
mette in evidenza
di un massimo
della curva
sovra-elongazioni
in dipendenza
di ζ! per
• ω≈ωnl’esistenza
2
si ottiene
sempre
massimo quando ζ<0.7!
• in particolare
nza della pulsazione
1
2
diun
valore
p
n
il massimo è alla frequenza ωp=ωn(1-2 ζ2)0.5!
•
1
• ζ= 0.7 passa-basso del secondo ordine con pulsazione di taglio ωn!
1 2
Page §
33
G j
= - arctg
G j
2
n
2
1 Elettrica
1 Misura
j2
di
pressione
con
Misura
di2 pressione
–
Analogia
2 trasduttore
n
n
mma della fase
esterno
n
Risposta in frequenza
Sistema del secondo
ordine: diagramma di
Diagramma
dellafase
fase
- arctg
0 = 0°
nBode della
!
2
arctg
= -90°
= n
ωn=ω0
2
n
= - arctg
1
2
n
2
1 1
G j
1
n
=
- arctg 0 = 0°
- arctg
n
n
2
= -90°
1 1
n
1
2
n
2
G j
j2
-180°
= - arctg
1
2
n
n
2
n
2
No distorsione di fase
-180°
n
Se ζ≈0.7 e ω<<ωn il segnale pressorio passa
invariato e è possibile seguire la variazione
istantanea della pressione da misurare
Page §
34
=
- arctg 0 = 0
- arctg
n
n
-180°
2
1 1
Misura di pressione – Analogia Elettrica
In sintesi possiamo dire che:
§  Il Sistema è del secondo ordine (Ordine dell'equazione = ordine del sensore )
§  Le risposte della funzione di trasferimento ci dicono che per ω << ω0 e per ζ =
0.7, il segnale pressorio passa inalterato ed è quindi possibile stimare le
variazioni di pressione nel tempo.
§  Visto che il segnale pressorio è legato alla pulsazione cardiaca (e.g 60 battiti al
minuto → 1Hz → ωpc =6,28Hz quindi vorremmo avere almeno ω0 > 20Hz)
§  Su quali parametri possiamo agire per far si che le frequenze di interesse
siano all’interno della banda passante?
–  ρ, µ dipendono dal fluido (non modificabili) r,L non modificabili per vincoli anatomici
§  L’unico parametro rimasto è la deformabilità del diaframma . Per aumentare la
frequenza di risonanza dovrei diminuire la deformabilità del diaframma, ma:
–  Per spostamenti non superiori alla metà dello spessore, lo spostamento x del centro
della membrana dipende linearmente dalla pressione applicata
–  ridotta sensibilità del trasduttore
§  In generale è difficile avere una riproduzione fedele dell’onda pressoria
–  Sono comunque molto usati in ambito clinico (catetere Swann-Ganz)
Page §
35
Page §
36