divB=0 - CISAM Proceeding - Earth

SOLENOIDALITÀ DEL CAMPO DI INDUZIONE MAGNETICA
E CONSERVAZIONE DELLA QUANTITÀ DI MOTO TOTALE
Sergio Severini1, Alessandro Settimi2
C.I.S.A.M. – R.T.O. /Divisione E.M.C.
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2
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SOMMARIO
Il seguente abstract si propone di discutere gli aspetti fisici di un sistema costituito da particelle cariche, massive e
non relativistiche, quali sorgenti in moto di un campo elettromagnetico (e.m.) che si propaga nello spazio, riempito da
un mezzo materiale lineare, omogeneo ed isotropo. Viene studiato il legame fisico tra la conservazione della quantità di
moto (q.d.m.) totale e la solenoidalità per il campo di induzione magnetica. Questo studio presenta un nuovo contesto in
cui la condizione necessaria per la divergenza nulla dell'induzione magnetica nell'intero spazio, nota come condizione di
solenoidalità, deriva direttamente dalla conservazione della q.d.m. totale del sistema, cioè sorgenti più campo.
Il lavoro, in generale, giunge a risultati che lasciano alcuni quesiti aperti sull'esistenza, o quantomeno l'osservabilità, dei
monopoli magnetici, teoricamente plausibile unicamente sotto opportune ipotesi di simmetria, che, a parere degli autori,
potrebbero comunque costituire un interessante argomento di discussione scientifica soprattutto nell' ambito della fisica
sperimentale.
1. INTRODUZIONE
L’elegante descrizione del campo elettromagnetico
(e.m.) fornita dalle equazioni di Maxwell è un
argomento indubbiamente consolidato in fisica. Molti
testi riportano in dettaglio tali equazioni insieme ad i
relativi sviluppi ed applicazioni [1]. Nel presente
abstract, discuteremo essenzialmente l’equazione di
Maxwell riguardante la divergenza del campo di
induzione magnetica B al fine di darne una nuova
interpretazione. Prenderemo in considerazione un
sistema costituito da particelle cariche, massive e non
relativistiche, quali sorgenti in moto di un campo e.m.
che si propaga nello spazio, riempito da un mezzo
materiale lineare, omogeneo ed isotropo.
L'idea del collegamento tra la quantità di moto (q.d.m.)
totale e la solenoidalità di B è stata suggerita dalla
constatazione della struttura dell'equazione di Lorentz
in cui l'induzione magnetica agisce perpendicolarmente
alla velocità delle particelle in modo che non viene
prodotta alcuna variazione di lavoro. In un sistema
isolato, infatti, la q.d.m. totale è una costante del moto
e, dunque, è un invariante da cui dedurremo la
necessità della solenoidalità di B .
Questo studio si propone di ottenere un risultato che, in
generale, lascia alcuni quesiti aperti sulle teorie dei
monopoli magnetici e le conseguenti trattazioni
analitico-sperimentali; si rimanda il lettore interessato a
questi argomenti alla vasta bibliografia presente in
letteratura per gli approfondimenti dei vari aspetti [2].
Comunque, nel nostro lavoro, verranno discusse
particolari condizioni di simmetria in cui l'ipotesi di
non-solenoidalità per il campo di induzione magnetica,
e quindi l’esistenza dei monopoli magnetici, potrebbe
sussistere in maniera coerente con la conservazione
della quantità di moto totale.
2. RUOLO DELLA Q.D.M
SULLA II EQ. DI MAXWELL.
Consideriamo il problema fisico in cui un sistema
finito di sorgenti discrete in moto, costituito da cariche
puntiformi, massive e non relativistiche, generi un
campo elettromagnetico (e.m.). Lo spazio sia riempito
da un mezzo materiale lineare, omogeneo ed isotropo.
Ogni particella di massa mα, carica qα, dotata di una
posizione r (t ) e di una velocità (non relativistica)
v (t )  dr dt è soggetta alla seguente equazione di
Newton-Lorentz [1]:
d 2 r (t )
m

dt 2
(1)
q  E (r (t ), t )  v (t )  B(r (t ), t ) 
dove E è il vettore campo elettrico e B il campo di
induzione magnetica. La (1) è l’equazione di
evoluzione per il nostro sistema (particelle cariche +
campo e.m.).
La quantità di moto (q.d.m.) totale del sistema sarà
quindi:
dr (t )
PTOT (t )   m  
dt

(2)
  D(r , t )  B(r , t ) d 

dove D è il vettore spostamento elettrico pari a  E .
Possiamo notare la parte meccanica e quella
elettromagnetica (Minkowski) nell’eq. (2). L'integrale
nell’eq. (2) può essere esteso ad un "qualsiasi" volume
chiuso, sufficientemente grande ma finito, tale da
includere tutte le sorgenti e.m. ed il campo stesso. Tale
volume chiuso, indicato con Г, è, nel caso più generale,
un dominio non simmetrico rispetto al sistema di
riferimento fissato. Perciò, il volume Γ individua un
sistema isolato ove la q.d.m. viene conservata. Se
siamo in questa ipotesi per Γ, allora la quantità di moto
totale dovrà essere invariante: in altre parole la (2)
diventa una costante del moto e non varia col tempo.
La derivata temporale della q.d.m. totale (2) sarà:
dPTOT
dt
  m

d 2 r (t )
dt 2

B
 D
 
 B(r , t )  D(r , t ) 

t
 t
che con un po’ di algebra diventa:

 d

dPTOT
1
   B(r , t )(  B)d 
dt
 
(3)
(4)
Questa condizione dà luogo al risultato preannunciato.
Osservando l'eq. (4), se la quantità di moto PTOT si
conserva, allora è valida la condizione di stazionarietà:
dPTOT / dt  0 ; quindi, anche il secondo membro dell'eq.
(4) deve annullarsi. Tale membro deve annullarsi per
"qualsiasi" scelta del volume Γ, pertanto non rimane
che applicare solo la legge di annullamento del
prodotto alla funzione integranda B ( B) . Se l'
induzione magnetica B ( r , t ) è generalmente diversa
da zero, allora tale campo deve essere necessariamente
solenoidale, quindi   B  0 .
3. MONOPOLI MAGNETICI
Invertendo la logica della proposizione, “ceteris
paribus”, qualora  B  0 consegue necessariamente
che dPTOT dt  0 . In generale, questo risultato
dimostra che l’esistenza di monopoli magnetici viola il
principio della conservazione della quantità di moto
(q.d.m.) in un sistema isolato. Il corsivo di in generale
evidenzia, invero, che il campo di induzione magnetica
potrebbe essere non-solenoidale, così ammettendo
l’esistenza dei monopoli magnetici definiti da una
divergenza non nulla di B ( r , t ) . Non vi sarebbe
contrasto con la conservazione della q.d.m., purché si
realizzino particolari condizioni di simmetria, descritte
di seguito.
Infatti, la condizione dPTOT dt  0 è coerente con l'eq.
(4) anche in altri due casi, qui di seguito riportati:
I) L'induzione magnetica è nulla, i.e. B  0 ; il caso I)
è il caso banale.
II) L'integrale (4) sia esteso a un volume Γ, simmetrico
rispetto all'origine O del sistema di riferimento scelto, e
il campo
sia una funzione pari
B (r , t )
[ B(r , t )  B(r , t ) ] oppure dispari [ B(r , t )   B(r , t ) ]
del vettore posizione r . In tal caso, la sua divergenza
 B  0 è generalmente una funzione non
evanescente e, rispettivamente, dispari o pari. In altri
termini, se B ( r , t ) avesse una parità ben definita,
allora l'integrando B (r , t )(  B ) sarebbe una funzione
dispari, integrata sul dominio simmetrico Γ. Sotto
questa condizione, l'integrale (4) si annullerebbe anche
qualora  B  0 (quindi, potrebbero esistere
monopoli magnetici). Cosi, si può pervenire ad una
eventuale esistenza dei monopoli magnetici partendo
da principi primi e applicando la sola elettrodinamica
classica. Finora, l'ipotesi dei monopoli magnetici era
nata ed è stata discussa solo nell'ambito della fisica
quantistico-relativistica. Infatti, molti sono stati gli
esperimenti dedicati alla scoperta di tali monopoli, con
tecniche che prendono spunto dalla teoria delle
stringhe, alla fisica delle particelle, fino all’astrofisica.
Secondo questo studio, la condizione necessaria per
l’osservabilità di questi monopoli, che è la
distribuzione omogenea delle sorgenti, potrebbe
collassare al limite in quelle condizioni di singolarità
ipotizzate dalla teoria cosmologica nell’istante del Big
Bang. Si potrebbe proporre un esperimento anche
concettuale che tendesse a recuperare quelle condizioni
originarie.
4. CONCLUSIONI
Per concludere, il caso II) è vero da un punto di
vista del Matematico, poiché l’integrale (4) è nullo per
un campo pari o dispari definito nel dominio
simmetrico Г; tuttavia rimane indeterminato dal punto
di vista del Fisico, dovendo provare ancora se la
soluzione desunta come vera dalla Matematica debba
essere scartata come assurda oppure possa avere anche
un senso reale nella Fisica; ed infine lascia in sospeso
la discussione anche dal punto di vista del Filosofo
della Natura e delle Scienze: infatti, ammesso che
venisse accertata sperimentalmente l'esistenza del
monopolo magnetico, rimarrebbe da giustificare
teoricamente, ma anche logicamente e così
filosoficamente, la ragionevolezza della sussistenza
naturale solo in simmetrie privilegiate, tra cui
quella radiale, per quel campo di induzione
magnetica.
5. RINGRAZIAMENTI E APPROFONDIMENTI
Gli autori, Ing. S. Severini ed A. Settimi, sono
molto grati al prof. Luciano Mistura, al Dott. Omar El
Gawhary e al Dott. Luca Spogli per i preziosi e
stimolanti suggerimenti ricevuti, riguardo la
discussione sulla solenoidalità del campo di induzione
magnetica e la conservazione sulla quantità di moto.
Approfondimenti sulla trattazione effettuata nel
presente contributo possono essere trovate in [3].
6. BIBLIOGRAFIA
[1] L. D. Landau and E. M. Lifshitz, The Classical
Theory of Fields, Fourth Revised English Edition,
Course of Theoretical Physics, Volume 2 (ButterworthHeinemann, Oxford, 1975), 402 pp..
[2] P. Dirac, "Quantised singularities the the
electromagnetic field", Proc. Roy. Soc. (London) A
133, 60 (1931).
[3] S. Severini, A. Settimi, “Solenoidalitá e quantitá di
moto” - Antinomie sull'esistenza dei monopoli
magnetici”, INTERSCIENZE Edizioni Scientifiche
(Milano, Italia, 2012), 60 pp. [ISBN 978-88-96623-015].