quantita` di moto

QUANTITA’ DI MOTO
Gli urti tra palline
• Un modello di studio
• Newton osservò che la velocità e
la massa hanno un ruolo
importante nel moto
Quantità di Moto
• La quantità di moto di un corpo è il prodotto
della massa del corpo per la sua velocità
p = mv
•E’ una grandezza vettoriale che dipende dalla direzione e dal
verso della velocità
•Si misura in kg·m/s
Esempio
• Un atleta di 100 kg corre con velocità di 4
m/s. Un proiettile da 1 kg esce dalla bocca
di fuoco con v=500 m/s.
Quale dei due corpi ha quantità di moto
maggiore?
p(atleta)=100*4=400 kg·m/s
p(proiettile)=1*500=500 kg·m/s
• Il proiettile che ha massa minore dell’atleta,
ha comunque quantità di moto maggiore,
questo perché il modulo della quantità di
moto dipende sia dalla massa sia dal
modulo della velocità
Forza e variazione della quantità di moto
• Newton originariamente espresse la sua II
Legge in termini di quantità di moto, anziché
di accelerazione:
“la velocità di variazione della quantità di
moto di un corpo è uguale alla forza agente
sul corpo”
∆ p p − p0 mv − mv0 m( v − v0 )
∆v
F=
=
=
=
= m
= ma
∆t
t − t0
t − t0
t − t0
∆t
Una variazione della quantità di moto di un
corpo è indice del fatto che su tale corpo sta
agendo una forza (forza media)
∆p
F=
∆t
Legame tra quantità di moto e impulso
• Esamineremo la durata dell’azione della
forza agente sul punto materiale, oltre
che la forza stessa e la variazione di
velocità che il punto materiale subisce.
• Se si sceglie un intervallo di tempo
sufficientemente piccolo, in modo da
ritenere praticamente costante la forza
agente durante l’intervallo di tempo
scelto, l’equazione diventa:
∆v
F = ma = m
F ∆ t = m∆ v
∆t
Impulso
F∆ t = I ∆ t
F ∆ t = m∆ v = ∆ p
• Il Teorema della quantità di moto afferma che
l’impulso esercitato da una forza su un corpo in
un intervallo di tempo è uguale alla variazione
della quantità di moto del corpo nello stesso
intervallo di tempo
Forza variabile
• In un processo d’urto, la
forza che esercita
l’impulso non è
costante, ma varia nel
tempo, in generale
passando molto
rapidamente da un
valore nullo ad un
valore massimo e poi
annullandosi di nuovo
molto rapidamente.
Area = F∆ t = impulso
Esempio di applicazione dell’impulso
• Consideriamo l'urto di un motociclista
contro un muro:
• Supponendo che la massa del motociclista
sia di 60 kg , la velocità con cui colpisce il
muro 10 m/s (soli 36 km/h !!!) ed il tempo in
cui dura l'urto 0,2 s , calcoliamo la forza che
agisce sul motociclista in modo da fermarlo
(forza esercitata dal muro).
Applicando la formula dell'impulso si ha (supponendo che il
fenomeno avvenga nella stessa direzione così da passare dai
vettori agli scalari) :
per cui, sostituendo i numeri si ottiene :
(la velocità finale è ovviamente nulla ed il segno - è perché la
forza è opposta alla velocità).
Considerando che 1 N corrisponde al peso di
circa 0,1 kg , la forza trovata corrisponde a
circa 300 kg .
Ci rendiamo allora conto di quanto grande sia
questa forza anche se la velocità d'urto è così
piccola !!!
Se il tempo in cui dura l'urto fosse maggiore, per
esempio 1 s , troveremmo una forza minore,
esattamente pari a :
per cui il danno in questo caso sarebbe minore.
Per ottenere danni minori per i passeggeri, le
automobili vengono costruite in modo che un
eventuale urto duri più tempo. Questo avviene,
per esempio, se il muso dell'auto è
sufficientemente "tenero" in modo da contrarsi
progressivamente durante l'urto.
Principio d’inerzia
• In assenza di forze un punto materiale
F
=
m
a
si muove a velocità costante (principio
se F = 0 m ≠ 0 a = 0 ⇒ v = cos t
d’inerzia)
• La massa di un punto materiale non
cambia nel corso del tempo
• In assenza di forze la quantità di moto
di un punto materiale si mantiene
costante (forma alternativa del
principio d’inerzia)
F ∆ t = m∆ v = ∆ p
se F = 0 ∆ p = 0 ⇒ p = cost
Conservazione della quantità di moto
• Consideriamo due carrelli collegati da un filo
e fra cui è posta una molla in tensione. Le
masse dei due carrelli sono
e
(consideriamo la massa
della molla trascurabile). Supponiamo che gli
attriti siano trascurabili.
Ad un certo istante tagliamo il filo che tiene uniti i due
carrelli. La molla si distende e comunica una forza ai due
carrelli che cominceranno a muoversi con velocità opposte.
Qual è in modulo il valore delle due velocità?
Misurando queste velocità si verifica che, come intuitivamente
potevamo supporre, la velocità che acquista il corpo di massa
doppia è esattamente la metà dell'altra. Cioè :
Supponiamo che sia
e
Possiamo allora verificare facilmente che il prodotto fra la
massa e la velocità del primo corpo è uguale al prodotto
fra la velocità e la massa del secondo corpo. Cioè :
e
D'altra parte, prima che la molla scattasse, quando i carrelli erano uniti,
velocità erano nulle per cui
si aveva :
e
Ma le velocità sono grandezze vettoriali dotate di intensità, direzione e
verso, per cui, se consideriamo
positivo il verso di , avendo
verso opposto, per i corpi dopo che è
scattata la molla dovremo
scrivere
e
.
Di conseguenza avremo :
e
Arriviamo quindi ad una importantissima constatazione :
la somma dei prodotti di massa e velocità (considerata come vettore)
prima e dopo lo
scatto della molla è nulla.
Ovvero :
Zero prima, zero dopo : la quantità di moto complessiva del sistema non è
cambiata nel tempo, essa si è
conservata !
Siamo allora pervenuti ad una nuova legge di natura.
In un sistema isolato (cioè un sistema di corpi isolato dall'esterno)
considerato rispetto ad un sistema di
riferimento inerziale, la quantità di moto totale (ovvero la somma delle
quantità di moto, intese in
senso vettoriale, dei singoli corpi che costituiscono il sistema) è costante
nel tempo, ovvero si conserva.
Riferendoci all'esempio precedente:
•i due carrelli costituiscono un sistema con buona approssimazione isolato
in quanto gli attriti sono ridotti al minimo e la forza di gravità è
neutralizzata dal tavolo su cui i carrelli sono posti
•il tavolo si può considerare un buon sistema di riferimento inerziale
• prima dello scatto della molla la quantità di moto totale è nulla perché le
velocità sono nulle
•dopo lo scatto della molla abbiamo due quantità di moto diverse da zero,
ma con valori opposti, per cui la
loro somma (la quantità di moto totale del sistema) è ancora zero.
Supponiamo che il secondo carrello sia fissato al tavolo, in modo
da non potersi spostare quando la cordicella viene bruciata.
Si avrebbe ancora conservazione della quantità di moto?
No perché il sistema non è isolato, ma soggetto ad una forza
esterna che tiene fermo il secondo carrello.
Supponiamo che la superficie eserciti sui due carrelli lo stesso
attrito. In queste condizioni quando i carrelli si fermano:
a)hanno percorso la stessa distanza
b)il più leggero ha percorso una distanza doppia del più
pesante
c)il più leggero ha percorso una distanza quadrupla del più
pesante
m1 = 2kg
v10 = 10m / s = 2v20
m2 = 4kg = 2m1
v 2 0 = 5m / s
v1 = 0
v2 = 0
F1 = F2 ⇒ m1a1 = m2 a2 ⇒ a1 = 2a2
⇒
v10
t1
= 2
v2 0
t2
⇒
2v 2 0
t1
= 2
v2 0
t2
⇒ t1 = t 2
1 2
1
1

2
2
s1 = v10 t1 + a1t1 = 2v20 t 2 + 2a2t 2 = 2 v20 t 2 + a2t 2  = 2 s2
2
2
2


La legge di conservazione della quantità di moto non è
propriamente una nuova legge della dinamica, indipendente
dalle altre, da aggiungere alle tre leggi di Newton. Essa in
effetti deriva matematicamente dalla II e III legge di
Newton.
Infatti, considerando l' "istante" dello scatto della molla, per il III
principio della dinamica, il corpo 1 esercita sul corpo 2 una forza
uguale in intensità ma opposta in verso a quella esercitata dal corpo
2 sul corpo 1 . Supponiamo che tale forza sia F = 50 N .
D'altra parte, per il II principio della dinamica si ha F = m·a da cui le
accelerazioni che subiscono i
due corpi risultano in intensità :
e
Supponiamo che il tempo in cui il corpo 1 spinge sul corpo 2 sia uguale a
tempo in cui 2 spinge contro 1 e sia t = 0,4s . Siccome si tratta di moti
uniformemente accelerati si ha quindi le seguenti velocità:
e
Moltiplicando le masse per le velocità si ottiene infine :
e
Da cui si vede che la quantità di moto si conserva. Abbiamo quindi
dimostrato che la legge di conservazione della quantità di moto non è
una "nuova" legge di natura, ma deriva direttamente dai principi di
Newton.
Esempi di conservazione della quantità
di moto
1) Urto elastico fra due corpi: conservazione della quantità di moto e
dell’energia cinetica
2) Urto anelastico con "unione" dei due dopo l'urto: conservazione
della quantità di moto, ma non dell’energia cinetica.
3) Fucile
Un fucile ha una massa molto grande rispetto alla massa di un
proiettile. Prima di sparare, la quantità di moto totale (del fucile e del
proiettile) è nulla. Quando si spara, il proiettile esce a grande velocità
mentre il fucile rincula a bassa velocità in modo che la quantità di moto
del proiettile uguagli in intensità la quantità di moto del fucile
(rendendo così la quantità di moto totale ancora nulla).
(trascuriamo la quantità di moto
dei gas prodotti dall'esplosione).
4) Bomba
Quando una bomba esplode, le schegge vengono scaraventate in tutte
le direzioni. Per il principio di conservazione della quantità di moto, la
somma di tutte le quantità di moto (naturalmente intese come vettori)
delle schegge (e delle particelle dei gas sprigionati dall'esplosione) è
nulla, se era nulla la quantità di moto della bomba prima di esplodere.
5) Motore a reazione
Il motore a reazione che spinge gli aerei ed i missili funziona proprio
grazie al principio di conservazione della quantità di moto. Il gas che
fuoriesce dal motore a reazione è formato da innumerevoli particelle di
massa molto piccola ma dotate di velocità molto grande. In questo modo,
come per il rinculo del fucile, il missile o l'aereo avanza nel verso
opposto a quello del gas.
Conservazione della quantità di moto su
due direzioni
Negli esempi precedenti circa la legge di conservazione della quantità di
moto, ci siamo quasi sempre limitati al semplice caso di moti lungo una
sola direzione (retta).
Vediamo ora in particolare cosa avviene se le quantità di moto (che sono
rappresentate da vettori) giacciono su direzioni diverse.
Consideriamo il caso di un urto con cambio di direzione, per esempio
l'urto di una palla da biliardo
contro un'altra, ferma, che avvenga non esattamente nel centro. In
questo caso la quantità di moto della prima palla sarà uguale alla
somma vettoriale delle due quantità di moto che le palle assumono
dopo l'urto, somma vettoriale che, come noto, si esegue con la regola
del parallelogramma.
Sia
la quantità di moto della palla 1 prima dell'urto. Siano
e
le quantità di moto della palla 1 e della palla 2 dopo l'urto. La
quantità di moto della palla 2 prima dell'urto, essendo ferma, è nulla. Si
ha allora :
Possiamo allora scrivere :
dove la somma va intesa in
senso vettoriale (regola del
parallelogramma).
Possiamo dare al fenomeno dell'urto illustrato sopra una differente, ma
equivalente, descrizione.
Immaginiamo di scomporre i due vettori dopo l'urto
e
nelle
direzioni orizzontale e verticale nel seguente modo :
Dalla figura si vede bene che le
componenti e sono opposte e
quindi si annullano a vicenda.
Rimangono in gioco le
componenti e
che,
sommate, danno
, la quantità
di moto prima
dell'urto.
ESERCIZIO
Consideriamo un protone di massa
che urta alla velocità
un nucleo di elio. In seguito all'urto, il protone rimbalza
(tornando indietro sulla stessa direzione) con una velocità
.
Sapendo che la velocità dopo l'urto del nucleo di elio
è
, si calcoli la massa del nucleo di elio. Si consideri il
nucleo di elio immobile prima dell'urto.
Applicando le regole, perveniamo quindi al valore finale
Si noti la "potenza" della legge di conservazione della quantità di moto.
Senza conoscere il tipo di interazione,
ovvero le forze che intervengono nell'urto fra le due particelle, siamo stati
in grado di calcolare la massa del
nucleo dell'elio !!!