INTRODUZIONE ALLE STRUTTURE ALGEBRICHE

 I NTR OD UZIONE ALLE STRUT TURE ALGE BRICHE
Lo studio delle strutture algebriche astratte innanzitutto consente
economia di pensiero, mediante l'unificazione in teorie generali degli esempi
particolari già noti, di cui sono messi in luce gli elementi fondamentali. Inoltre
fornisce strumenti e metodi per una migliore comprensione delle proprietà
delle operazioni dell'algebra classica, poiché sono evidenziati, mediante
l'esame di situazioni diverse, nozioni e risultati sovente di non agevole
comprensione con l'approccio diretto.
In queste pagine sono mostrate alcune nozioni di base ed i tipi più
comuni di strutture algebriche con operazioni interne. I concetti introdotti
sono accompagnati da esempi di vario livello, quasi sempre proponibili anche
in una scuola secondaria superiore e talvolta anche nella scuola media
inferiore. Come prerequisiti per la comprensione del testo sono richieste
alcune nozioni sugli insiemi, sulle relazioni d'equivalenza e d'ordine, sulle
funzioni e sui numeri.
§ 1. Operazioni binarie e loro proprietà.
Una operazione binaria (interna) in un insieme non vuoto X è una
"macchina" che ad una qualunque coppia ordinata (x, y) di elementi di X
associa sempre uno ed un solo "risultato" z appartenente ad X. In altri termini,
una operazione in X è una applicazione (o funzione) da X×X ad X. Per indicare
una operazione si usano i simboli +,
× , ⋅, *, °
ecc.
Di solito nelle
considerazioni "astratte" si adopera il simbolo . ; in tal caso il risultato
dell'operazione sulla coppia (x,y) è detto prodotto ed è indicato con x . y o più
brevemente con xy.
La struttura algebrica più semplice è una coppia (X, ⋅) formata da un
insieme X (non vuoto), detto sostegno della struttura, e dall'operazione
binaria . su X.
Se X è un insieme finito con n elementi, per definire una operazione si
può costruire una tabella, simile alla tavola pitagorica, che contiene i risultati.
" 1 2 3
Per esempio, sia X = 1,2,3 la tabella
{
}
1 1 2 2
2 1 3 1
3 2 3 1
definisce una operazione in X.
!
!
1
In essa per esempio: 2 " 3 = 1, 2 " 1 = 1 , ecc. Ognuna delle 9 caselle interne della
tavola contiene uno ed uno solo dei 3 elementi di X. Ne segue che sull'insieme
X si possono definire ben 39 = 19.683 operazioni diverse! Naturalmente non
!
tutte saranno in qualche modo interessanti. Ciò che le rende tali è la presenza
di particolari proprietà.
!
Vediamo ora un elenco delle proprietà che rendono interessante una
operazione su un insieme X. Scriveremo spesso, come detto sopra, ab in luogo
di a . b.
1.
Proprietà associativa: per ogni a, b, c∈X si ha a(bc)=(ab)c.
2.
Proprietà commutativa: per ogni a,b∈X si ha ab=ba.
3.
Elemento neutro: esiste un elemento e∈X tale che:
per ogni a∈X, a . e = e . a = a .
4.
Elementi simmetrici (se c'è un elemento neutro e):
per ogni a∈X esiste a'∈X tale che a . a' = a'. a = e.
5.
Leggi di cancellazione:
destra: da ab = cb segue a = c;
sinistra: da ab = ac segue b = c.
6.
Esistenza di operazioni inverse:
destra: per ogni a,b∈X esiste uno ed un solo x∈X tale che ax = b;
7.
sinistra: per ogni a,b∈X esiste uno ed un solo y tale che ya = b.
Proprietà di idempotenza: per ogni a∈X si ha a . a = a.
8.
Elemento assorbente: esiste u∈X tale che, per ogni a∈X, a . u = u . a = u .
La lista si potrebbe allungare. Le proprietà elencate si trovano negli
esempi più importanti, ma non contemporaneamente. Il primo passo è scoprire
quali di queste proprietà possano coesistere, quali si escludano a vicenda,
quali siano conseguenza di altre.
Alcune relazioni tra queste proprietà si scoprono facilmente perché
sono conseguenza immediata delle definizioni. Per esempio in una struttura
(X, ⋅) vi è al massimo un elemento neutro: difatti dati per assurdo due elementi
neutri e1 ed e2 , si avrebbe e1 . e2 = e2 , poiché e1 è elemento neutro, ma anche
e1 . e2 = e1 poiché anche e2 è elemento neutro, dunque per l'unicità del
prodotto si avrebbe un assurdo. Per questo è possibile usare l'articolo
determinativo "lo". L'elemento neutro di solito viene indicato con 1X. Allo
stesso modo si prova che vi è al più un elemento assorbente. Inoltre, se
l'operazione è associativa, ogni elemento ha un solo simmetrico. La presenza
delle proprietà 1, 3, 4 implica la presenza delle 5, 6 e (se X ha più di un
2
elemento) l'assenza delle 7, 8, mentre la 2 può valere o no. Per altro le 5, 6
non implicano la 4, ecc.
Alcuni esempi di strutture algebriche note chiariranno meglio la
situazione; indichiamo con
N, Z, Q, R, C rispettivamente gli insiemi dei numeri
naturali (compreso lo zero), interi relativi, razionali, reali, complessi.
1.I.
(N, +) ha le proprietà 1, 2, 3, 5. L'elemento neutro è lo zero.
1.II. (Z,+), (Q,+), (R,+) hanno le proprietà 1, 2, 3, 4, 5, 6. L'elemento neutro è
lo zero, ogni elemento x ha un simmetrico -x, detto opposto di x.
1.III. (N, ⋅) ha le proprietà 1, 2, 3, 8. L'elemento neutro è 1, l'elemento
assorbente è lo zero.
1.IV. (N, MCD), dove MCD indica il massimo comune divisore, ha le proprietà
1, 2, 3, 7, 8. L'elemento neutro è lo zero, l'elemento assorbente è 1.
1.V.
Sia
℘(X) l'insieme dei sottoinsiemi di un insieme X e sia ∪ l'unione
insiemistica: (℘(X),∪) possiede le proprietà 1, 2, 3, 7, 8. L'elemento
neutro è il vuoto, l'elemento assorbente è X.
1.VI. Sia X = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Le tavole seguenti definiscono quattro operazioni
in X: la prima possiede le proprietà 1, 3, 4, 5, 6; la seconda le proprietà 1,
2, 3, 7, 8; la terza le proprietà 2,3, 4, 5, 6; l'ultima le proprietà 3, 5, 6.
°
1
2
3
4
5
6
^
1
2
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*
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•
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1
6
6
4
5
1
2
3
a)
Alcune delle proprietà si possono leggere direttamente sulla tavola:
La proprietà commutativa si traduce nella simmetria della tavola rispetto
alla diagonale che esce dal vertice in alto a sinistra (diagonale principale).
3
b)
L'elemento neutro dà luogo ad una riga e ad una colonna (nella stessa
posizione) uguali rispettivamente alla riga sopra la tavola ed alla colonna
a sinistra della tavola.
c)
La legge di cancellazione assicura che in ogni riga e colonna ogni
elemento compare una volta sola.
d)
Ogni elemento ha un simmetrico se e solo se in ogni riga e colonna
compare l'elemento neutro e se le posizioni da esso occupate sono
simmetriche rispetto alla diagonale principale.
e)
L'idempotenza si traduce nel fatto che la diagonale principale è uguale
alla colonna a sinistra della tavola.
f)
L'elemento assorbente ha solo se stesso nella sua riga e nella sua colonna.
Un discorso a parte si deve fare per la proprietà associativa: è la
proprietà più importante, ma è la più difficile da leggere sulla tavola.
Nel
seguito vedremo perché la prima tavola dell'esempio 1.vi) dia luogo ad una
operazione associativa; la seconda operazione è: x∧y = minore tra x ed y, per
ogni x,y∈X, ed è associativa. Per la terza basta qualche prova per trovare una
terna non associativa: (2*3)*4 = 4*4 = 1, mentre 2*(3*4) = 2*6 = 3; si noti che
ogni elemento è inverso di se stesso. La quarta operazione non è associativa e
l'elemento 4 ha inverso destro diverso dall'inverso sinistro: 4•5=1, 6•4=1.
§ 2. Operazioni finitarie e strutture algebriche
La parte dell'algebra che studia le proprietà generali delle strutture
algebriche si chiama "Algebra universale".
anche operazioni
Essa prende in considerazione
con un numero di fattori diverso da due; per esempio le
operazioni ternarie che operano su tre fattori, e così via. Si definisce poi
operazione unaria su X ogni funzione da X ad X ed operazione zeroaria ogni
elemento di X (per es. l'elemento neutro). Chiameremo sinteticamente
operazione finitaria
su X una operazione n-aria, con n intero ≥ 0.
Una
struttura algebrica è una sequenza formata da un insieme e da una o più
operazioni finitarie: X, f1, f2,K, f r .
(
)
Vediamo ora una breve lista delle più comuni specie di strutture
algebriche e per ciascuna alcuni esempi ed alcune nozioni. Osserviamo che,
!
quando non vi sia pericolo di ambiguità, una struttura algebrica X, f1, f2,K, f r
(
)
viene denotata anche solo con X.
2.I. Semigruppo (S,.): l'operazione . è associativa.
!
4
Un esempio è ({n∈N| n≥1}, +); un altro esempio è l'insieme dei monomi non
costanti con l'operazione di moltiplicazione.
Una nozione che si può introdurre in un semigruppo è quella di potenza. Sia
(S,.) un semigruppo e sia x∈S. Poniamo x1 =x e per ogni altro n∈N, n>1,
poniamo: xn = xn-1. x. Valgono per queste potenze le due proprietà seguenti:
per ogni m,n∈N, m,n≥1, e per ogni x∈S si ha xm . xn = xm+n e (xm)n = xmn.
Si noti che se xy = yx allora per ogni n∈N si ha (xy)n = xn yn .
Sulla nozione di potenza torneremo fra breve trattando di monoidi e di gruppi.
Nota. Se l'operazione è indicata con + allora si usa il termine multipli
anziché potenze e in tal caso si scrive nx anziché xn.
2.II. Monoide
(M,.,1M): l'operazione . è associativa ed 1M ne è
l'elemento neutro.
Un esempio è (N,+,0), un altro è (N,.,1). Vediamo altri due esempi:
-
I monoidi delle parole: sia A un insieme finito di oggetti che chiameremo
lettere; con esse formiamo delle sequenze finite, le parole nell'alfabeto A.
Consideriamo anche la parola vuota, indicata per esempio con ø. Sia FA
l'insieme delle parole nell'alfabeto A, compresa la parola vuota, e definiamo in
esso la seguente operazione: date due parole w1 e w2, giustapponiamo la
seconda alla prima ottenendo una nuova parola formata dalla sequenza delle
lettere della prima e della seconda. Per esempio, se w1 ="abba" e w2 ="cabad",
la parola ottenuta è w="abbacabad". Indichiamo con ≈ questa operazione, detta
concatenazione di parole: essa possiede la proprietà associativa e la parola
vuota è il suo elemento neutro. Pertanto (FA, ≈, ø) è un monoide, detto
monoide delle parole nell'alfabeto A. Tale monoide ha in ogni caso infiniti
elementi.
- I monoidi delle funzioni: sia X un insieme non vuoto e sia XX l'insieme delle
funzioni da X in sé; definiamo in XX la seguente operazione °, detta
composizione di funzioni: siano f, g∈XX; per ogni x∈X siano y = f(x) e z = g(y):
poniamo (g °f)(x) = z. Si può dimostrare che questa operazione è associativa e
che ha per elemento neutro la funzione identità idX che ad ogni x∈X associa se
stesso. Il monoide (XX, °, idX) si chiama monoide delle funzioni di X. Se X ha n
elementi, dal calcolo combinatorio sappiamo che esso possiede nn elementi .
5
Una proprietà dei monoidi è l'unicità dell'eventuale simmetrico di un
elemento: se x ha due simmetrici x' ed x" si ha:
x'=x'.1M = x'.(x.x") = (x'.x).x" = 1M.x" = x", cioè x'=x".
In un monoide si può inoltre ampliare la nozione di potenza ponendo
x0 =1M. Le proprietà delle potenze enunciate per i semigruppi continuano a
valere anche se qualche esponente è nullo.
2.III. Gruppo (G,.,1G,'): l'operazione . è associativa, 1G è l'elemento
neutro e ogni elemento x ha il simmetrico x' (con l'apice ' indichiamo la
funzione, cioè l'operazione unaria, che ad ogni x associa il suo simmetrico x').
Se l'operazione . possiede anche la proprietà commutativa il gruppo si dice
abeliano. Di solito nei testi di algebra un gruppo è indicato soltanto con (G,.).
Esempi di gruppi abeliani sono (usando la scrittura abbreviata): (Z,+), (Q,+),
(Q*,. ) dove con
Q* indichiamo l'insieme dei numeri razionali non nulli e con .
l'usuale moltiplicazione. Il gruppo ({1,-1},.) (sempre indicando con . l'usuale
moltiplicazione) è un esempio di gruppo finito con 2 elementi. Costruiamo ora
altri esempi di gruppi finiti:
- I gruppi simmetrici (SX,°): sia X un insieme non vuoto e sia SX l'insieme delle
biiezioni dell'insieme X su di sé (permutazioni
di X). L'operazione ° è la
composizione di funzioni: essa è una operazione in SX poiché si può dimostrare
che
componendo
due
permutazioni
si
ottiene
come
risultato
una
permutazione. L'elemento neutro è l'identità su X ed ogni permutazione a
possiede una simmetrica a', detta permutazione inversa, tale che se a(x) = y
allora a'(y) = x. Se come insieme X scegliamo l'insieme {1, ... , n}, il gruppo
simmetrico SX si denota con Sn. Dal calcolo combinatorio sappiamo che Sn
possiede n!= 1 "2 "Ln elementi. La prima delle quattro tavole di moltiplicazione
dell'esempio 1.VI è la tavola del gruppo simmetrico (S3 ,°), che ha 6 elementi e
non è abeliano, come già abbiamo osservato. Più in generale, non è difficile
!
verificare che, se n è maggiore di 2, il gruppo (Sn,°) non è abeliano.
- I gruppi diedrali (Dn, °): dato un poligono regolare con n lati (n≥3), vi sono
2n isometrie (o congruenze) del piano che lo trasformano in sé, come
sappiamo dalla geometria; esse sono: le n rotazioni di ampiezza
2k"
, 0 # k # n $ 1, intorno al centro O del poligono e le n simmetrie assiali
n
rispetto agli n assi di simmetria del poligono (tutti passanti per O). L'insieme
!
di tali isometrie si indica con Dn, (D2n su qualche testo) e si può dimostrare
che la composizione di due elementi di Dn è ancora un elemento di Dn.
6
L'elemento neutro è la funzione identità del piano, identificabile come la
rotazione di ampiezza nulla intorno ad O. Se r è una rotazione di ampiezza
2n"k #
2k"
, la sua simmetrica è la rotazione di ampiezza
; mentre ogni
n
n
(
)
simmetria assiale ha per simmetrica se stessa. Il gruppo Dn ha 2n elementi e si
!
vede facilmente che non è abeliano.
!
L'operazione . di un gruppo (G,.) possiede le proprietà 5 e 6 delle lista
iniziale (legge di cancellazione ed esistenza delle operazioni inverse). Si noti in
particolare che se l'operazione non è commutativa non è detto che le due
"equazioni" ax = b e ya = b abbiano la stessa soluzione: se indichiamo con a' il
simmetrico di a, si ha infatti x = a'b, mentre y = ba' e può accadere che a'b sia
diverso da ba'.
In G si possono definire inoltre anche le potenze con esponente intero
negativo: se x∈G e x' è il suo simmetrico, per ogni n∈N, n > 0, poniamo
x"n = x#
( )
n
. In tal modo, x-1 = x' e per questo il simmetrico di x è usualmente
denotato con x-1 . Inoltre valgono anche in questo nuovo caso le proprietà già
!
viste per le potenze in un monoide. L'insieme delle potenze ad esponente
intero relativo di un elemento x si denota con x . Il numero di elementi di
questo insieme si chiama periodo di x.
Per esempio, nel gruppo (Dn,°) ogni simmetria ha periodo 2, la
!
2"
rotazione di ampiezza
ha periodo n e le altre rotazioni sono le sue potenze.
n
!
Nel gruppo (Z,+) ogni elemento diverso da 0 ha periodo infinito; si ha inoltre
1 = Z (ricordiamo che se l'operazione è indicata con + si parla di multipli
!
anziché di potenze).
Quando in un gruppo (G,.) vi è un elemento x tale che x = G allora il
gruppo si dice ciclico ed x si chiama generatore di G. Con questa terminologia,
(Z,+) è ciclico, generato da 1. Un gruppo ciclico è sempre abeliano.
!
2.IV. Anello (A,+,.,1A):
(A,+) = (A,+, 0A, -) è un gruppo abeliano;
(A, ., 1A) è un monoide e valgono le due proprietà distributive (destra e
sinistra) di . rispetto a +, ossia:
per ogni a, b, c∈A, (a+b)c = ac+bc e a(b+c) = ab+ac .
Se l'operazione . è commutativa l'anello si dice commutativo.
(Z,+,.,1) è un anello commutativo. Vediamo altri esempi:
7
- Anelli di funzioni: siano X un insieme ed (A,+,.,1A) un anello. Nell'insieme AX
costituito dalle funzioni da X ad A definiamo le seguenti operazioni, dette
operazioni punto per punto:
se f,g∈AX, per ogni x∈X poniamo
$f +g x =f x +g x
&
&
% f " g x = f x " g x . Consideriamo inoltre le due funzioni costanti O ed 1 tali
&
&' #f x = #f x
(
)( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
che O(x) = 0A ed 1 (x)=1A per ogni x∈X. Si prova facilmente che con queste
!
operazioni AX è un anello in cui O è l'elemento neutro di + e 1 quello di .. Se
l'anello A è commutativo lo è anche l'anello delle funzioni.
- Anelli di successioni: Sia A un anello commutativo e consideriamo l'insieme
AN delle successioni, cioè delle funzioni da
N ad A. Definiamo in esso la
seguente moltiplicazione (detta convoluzione): se f,g∈AN poniamo:
per ogni n∈N,
(f.g)(n) = f(0)g(n)+f(1)g(n-1)+f(2)g(n-2)+...+f(n)g(0).
Questa operazione è associativa ed ha per elemento neutro la funzione 1 che a
0 associa 1A e agli altri n> 0 associa 0A. Indichiamo poi con + l'addizione
punto per punto: (AN, +, ⋅, 1) è un anello commutativo.
- Aritmetiche finite: sia m∈Z, m > 1 e sia Am = {0,1,...,m-1}. In questo insieme
definiamo le seguenti operazioni:
#a + b = resto della divisione di a + b per m
$ m
% a "m b = resto della divisione di a " b per m
L'elemento neutro di +m è 0, quello di "m è 1; l'opposto di x è m-x. Si ottiene
un anello commutativo con m elementi. Interessante è il caso di m = 12,
!
perché dà luogo all'Aritmetica dell'orologio. Qui sotto vediamo le tavole di
!
!
addizione e moltiplicazione di A6 :
In un anello (A,+,.,1A) si ha sempre x.0A = 0A.x = 0A. Un anello si dice
integro se vale la legge di annullamento del prodotto: x.y = 0A solo se x = 0A
oppure y = 0 . Per esempio, (Z,+,.,1) è integro, mentre A , + , " ,1 non lo è, in
(
A
6
6 6
quanto 3 "m 2=0; si noti che in questo anello l'equazione
soluzioni!
)
3x2 =3x
ha 6
!
!
8
Gli
elementi
di
un
anello
che
hanno
l'inverso
rispetto
alla
moltiplicazione . si dicono elementi unitari
e costituiscono un gruppo
.
(UA, ,1A), detto gruppo delle unità dell'anello. Nel caso di Z gli elementi
unitari sono solo 1 e -1. Nel caso di A6 gli elementi unitari sono 1 e 5, cioè
quelli primi con 6. (Si potrà generalizzare ad un numero m qualsiasi?).
In un anello (A,+,.,1A) il periodo di 1A nel gruppo additivo (A,+) si
chiama caratteristica
di A. Per esempio
Z ha caratteristica infinita (e si usa
dire che ha caratteristica zero), mentre A6 e l'anello delle funzioni da un
insieme qualunque X ≠ ø ad A6 hanno caratteristica 6. Se l'anello è
commutativo ed integro allora si può dimostrare che la caratteristica o è zero
oppure è un numero primo.
Divisibilità in un anello. Dati a,b in un anello (A,+,.,1A), si dice che a è
multiplo di b e che b è divisore di a se esiste c∈A tale che a = bc. Se a, b∈A, si
chiama massimo comune divisore di a e b ogni elemento d tale che:
(1) d è divisore di a e b
(2) ogni altro divisore comune c di a e b è divisore anche di d.
Analogamente si può dare la nozione di minimo comune multiplo. Non è detto
però che in un anello qualsiasi ogni coppia di elementi possieda un massimo
comune divisore o un minimo comune multiplo.
Nell'anello degli interi le due nozioni seguenti sono equivalenti: un
elemento i∈Z si dice indecomponibile se quando risulta i = xy allora uno dei
due fattori x oppure y è unitario (cioè, nel caso di
Z, vale ±1). Un elemento p si
dice primo se tutte le volte che divide un prodotto xy allora divide almeno
uno dei fattori. Si prova facilmente che ogni primo è anche indecomponibile,
ma
vi sono anelli in cui non vale il viceversa. Per esempio, sia
$
'
A = %z " C z = a + b #5, a, b " Z ( : è un sottoinsieme del campo complesso ed è
&
)
!
!
un anello rispetto alle operazioni del campo complesso stesso. L'elemento
#
& #
&
3 = 3 + 0 "5 di A è indecomponibile: infatti l'equazione % x + y "5 ( ) %z + t "5 ( = 3
$
' $
'
non ha soluzioni intere se non quelle ovvie con y = t = 0 e xz = 3. D'altra parte,
#
& #
&
3 divide 3 + 6 "5 = %2 + "5 ( ) %4 + "5 ( senza dividere nessuno dei due fattori,
$
' $
'
!
quindi non è primo. Lo stesso esempio prova che in questo anello vi sono
elementi che si possono scomporre in fattori indecomponibili in più modi
!
essenzialmente diversi fra loro.
Da quanto precede si può comprendere come lo studio di vari tipi di
anelli consenta un'analisi più approfondita delle nozioni classiche della teoria
della divisibilità.
9
2.V. Campo (F,+,.): è un anello commutativo in cui tutti gli elementi
diversi da 0 sono invertibili. Posto F* = F\{0 }, si ha che (F*,.) è un gruppo
F
F
abeliano, coincidente con il gruppo UF degli elementi invertibili. Un campo è
un anello integro, quindi ha caratteristica 0 oppure un numero primo p.
Esempi di campi sono
Q, R, C e l'aritmetica finita Ap , con p primo.
Ampliamento quadratico di un campo. Sia K un campo e sia u∈K che non sia il
,*#a b " u &
,.
quadrato di altri elementi di K. Consideriamo l’insieme F = +%
( a, b ) K / .
,-$ b
,0
a '
Rispetto alle usuali operazioni con le matrici, si vede facilmente che F è un
anello con unità e commutativo. Di più, poiché il !determinante è " = a 2 # u $ b2
ed u non è un quadrato in K, allora solo la matrice nulla è non invertibile.
!
#a b " u &)1 1 # a )bu &
Escluso questo caso, si ha %
( = %
( + F . Pertanto, F è un campo.
a '
* $)b
a '
$b
)+"a 0%
-+
Si noti che il sottoinsieme delle matrici “scalari” *$
' a ( K . forma a sua
+,#0 a &
+/
!
"0 u %
"u 0%
volta un campo, identificabile con K. Posto i = $
' , si ha i 2 = $
' ( u.
1 0&
0 u&
#
#
!
Nel caso di K = R, u = -1, si ottiene sostanzialmente il campo complesso C.
Un
campo finito con
!
q elementi
si
!
denota con
GF(q). La sua
caratteristica è necessariamente un numero primo p e si può dimostrare che si
ha sempre q = pn per un opportuno n > 0. Si può anche dimostrare che per
ogni primo p e per ogni n ≥ 1 esiste uno e "sostanzialmente" un solo campo di
ordine pn.
2.VI Reticolo (R, ∨, ∧), dove ∨ e ∧ sono operazioni binarie associative,
commutative e tali che per ogni a, b " R si ha:
a∨a = a = a∧a
(idempotenza delle due operazioni)
a∨(a∧b) = a = a∧(a∨b) !
(legge di assorbimento).
Due esempi di reticoli costruiti sull'insieme dei numeri naturali sono:
- (N, MCD, mcm), in cui le due operazioni hanno anche elementi neutri (0 e 1
rispettivamente) e le due operazioni sono anche distributive l'una rispetto
all'altra;
- (N, max, min), dove max{a, b} e min{a, b} indicano rispettivamente il più
10
grande ed il più piccolo fra a e b. In quest'ultimo, solo max ha elemento
neutro, lo zero.
Gli (eventuali) elementi neutri di ∨ ed ∧ si indicano con 0R ed 1R
rispettivamente. Un reticolo si dice complementato se ha gli elementi neutri e
per ogni elemento x esiste un elemento x' tale che x∨x' = 1R, x∧x' = 0R .
Un reticolo si dice distributivo se le due operazioni sono distributive
l'una rispetto all'altra. Se è anche complementato, ogni suo elemento ha un
solo complemento.
Un reticolo si dice infine algebra di Boole se è distributivo e
complementato, e si indica in tal caso con (A, ∨, ∧, 0A, 1A, '). Per esempio, se X
è un insieme e "(X) è l'insieme dei suoi sottoinsiemi,
("(X), #, $, %, X,&)
è
un'algebra di Boole (indicando con Y' il complementare di un sottoinsieme Y di
X). Un altro
! esempio è fornito dall'insieme D = {1, 2,! 3, 5, 6, 10, 15, 30} dei
divisori di 30: indicando con x' il quoziente 30/x, si ha che (D, MCD, mcm, 30,
1, ') è un'algebra di Boole. Si può dimostrare che un'algebra di Boole finita ha
2n elementi, per un n " N opportuno.
In un'algebra
di Boole (A, ∨, ∧, 0A, 1A, ') definiamo la seguente
!
operazione, detta differenza simmetrica: x+y = (x∧y')∨(x'∧y): si può dimostrare
che (A, +) è un gruppo abeliano e che (A, +, ∧, 1A) è un anello, detto anello di
Boole. In esso ogni elemento è opposto di se stesso (cioè A ha caratteristica 2)
ed è il quadrato di se stesso, ossia A è idempotente. Inversamente, da ogni
anello
di
Boole
si
può
costruire
un'algebra
di
Boole
ponendo
x " y = x # y, x $ y = x + y + x # y, x% = 1A + x .
!
In un reticolo (R, ∨, ∧) poniamo: x ≤ y se x∧y = x. Si può dimostrare che
la relazione ≤ è un ordine in R, tale che per ogni a,b " R si ha
$sup(a, b) = a " b
%
.
& inf(a, b) = a #
!b
Per esempio, in (N, mcm, MCD) la relazione d'ordine associata è "a è divisore
(
)
di b"; in "(X), #, $ la relazione
è "A è sottoinsieme di B". Inversamente, ogni
!
insieme ordinato (R, ≤) nel quale per ogni coppia {x, y} di elementi esistano
l'estremo
superiore ed inferiore, è un reticolo in cui x∨y = sup{x, y} ed
!
x∧y = inf{x, y}. In particolare, ogni insieme totalmente ordinato è un reticolo
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ed è distributivo.
Un insieme ordinato (X, ≤) è spesso chiamato poset . I reticoli sono quindi dei
particolari poset. Nel caso finito è possibile rappresentare un poset mediante
un diagramma di Hasse. Esso è basato sulla relazione seguente, detta di
copertura: "x, y # X, x p y se x < y e non esiste z∈X, x < z < y. Nel diagramma
gli elementi di X sono rappresentati mediante punti, con le condizioni
seguenti: se x < y allora x è più in basso di y e una linea collega x ed y se x p y .
!
In figura i diagrammi di Hasse dell’insieme dei divisori di 12 ordinato sia
mediante l’ordine naturale di N sia mediante la relazione “è divisore di”.
!
fig. 1.2.
NOTA. Gli argomenti sopra esposti si trovano in parte anche nei libri di
scuola secondaria, corredati da esercizi di vario livello di difficoltà e da cenni
storici opportuni. La simbologia non è uniforme e talora anche alcune
definizioni possono differire da un testo all'altro: per esempio nella definizione
di anello in molti testi non è richiesta la presenza dell'elemento neutro
moltiplicativo.
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