FILTRI in io z a or lav …. e n 1 Introduzione Cosa sono i filtri? o II Cfiltri sono dei quadripoli particolari, che presentano attenuazione differenziata in funzione della frequenza del segnale applicato in ingresso. In pratica essi bloccano il passaggio di alcune frequenze, consentendo il passaggio di altre. Classificazione. Una possibile classificazione dei tipi di filtri può essere la seguente, basata sui componenti con i quali essi sono costruiti: • Filtri “passivi” - sono costituiti solo da bipoli elementari R,L,C. • Filtri “attivi” - fanno uso anche di transistor e circuiti integrati; 2 Classificazione 3 Classificazione Filtri passivi • costituiti da componenti passivi: resistenze, condensatori e induttori • nessun elemento di amplificazione (transistor, op-amp, etc) • nessun guadagno del segnale • 1 ° ordine: il progetto è semplice (basta usare le equazioni standard per trovare la frequenza di risonanza del circuito) • 2 ° ordine: complesse equazioni di progetto • non richiedono alimentatori • non sono condizionati dalle limitazioni di banda degli op-amp • possono essere usati a frequenze molto alte • sono in grado di gestire grandi livelli di tensione o di corrente 4 Classificazione Filtri attivi: • senza induttori • composti da op-amp, condensatori e resistenze • possono fornire guadagni anche molto elevati • generalmente più facili da progettare • l’impedenza di ingresso alta impedisce il carico eccessivo della sorgente da cui sono pilotati • la bassa impedenza di uscita di tali filtri impedisce l’influenza da parte del carico • l’uso alle alte frequenze è limitato dal prodotto guadagno-larghezza di banda degli op-amp • facili da regolare su una vasta gamma di frequenze senza alterare la risposta desiderata 5 Classificazione Una successiva classificazione, che tiene conto della banda passante, è invece quella che prevede i seguenti tipi di filtro: • • • • Passa basso Passa alto Passa banda Elimina banda ( o arresta banda o notch ). Passa-Basso Passa-Banda Passa-Alto Elimina-Banda 6 Filtro Passa Basso La banda passante di un PASSA BASSO è, per definizione, compresa tra 0 Hz (segnale continuo) e la frequenza di taglio fc , in corrispondenza della quale il valore della tensione di uscita diventa il 70.7% (-3dB) del valore massimo assunto dalla stessa tensione nella banda passante. 7 Filtro Passa Basso La banda passante ideale, rappresentata in figura dalla zona in colore compresa tra le linee tratteggiate, si porta istantaneamente a zero (cioè è caratterizzata da una pendenza infinita) in corrispondenza della frequenza fc . La larghezza di banda di questo tipo di filtro risulta pertanto uguale ad fc. 8 Filtro Passa Basso Sebbene una risposta ideale non sia praticamente realizzabile, è comunque possibile ottenere pendenze (roll-off ) di -20 dB/decade e anche maggiori. La figura riporta i diagrammi di Bode di alcuni filtri passa basso passivi , con pendenza diversa (1°, 2° e 3° ordine). 9 Filtro Passa Basso La pendenza di -20 dB/decade si ottiene mediante un'unica rete RC composta da una resistenza e da un condensatore. Per realizzare pendenze maggiori ( ordine maggiore) occorre collegare opportunamente tra loro più reti RC. Ciascuna di tali reti viene chiamata POLO. La frequenza di taglio di un filtro RC è quella per cui si ha che Xc = R e pertanto è data dalla relazione 1 fc = 2 ⋅π ⋅ R ⋅ C 10 Filtro Passa Alto La risposta del filtro PASSA ALTO consiste nella attenuazione di tutti i segnali con frequenze inferiori a fc , e nel lasciare invece passare tutti i segnali con frequenze superiori a fc. Come per il Passa Basso la frequenza di taglio è la frequenza in corrispondenza della quale il valore della tensione di uscita diventa il 70.7% (-3dB) del valore massimo assunto dalla stessa tensione nella banda passante (figura). 11 Filtro Passa Alto Come nel caso del filtro passa basso RC, anche la frequenza di taglio del Passa Alto corrisponde alla frequenza in corrispondenza della quale si ha Xc = R e, di conseguenza, è data dalla relazione 1 fc = 2 ⋅π ⋅ R ⋅ C La risposta di un filtro Passa Alto si estende da fc fino a una frequenza il cui valore risulta fissato dalle limitazioni imposte dall'elemento attivo (transistor o amplificatore operazionale) utilizzato nel filtro. 12 Filtro Passa Alto La risposta ideale, indicata dalla zona in colore racchiusa nelle linee tratteggiate, si porta istantaneamente a zero (pendenza infinita) in corrispondenza di fc. Tale comportamento è, ovviamente, irrealizzabile. E’ però possibile ottenere pendenze di 20 dB/decade o multipli di questo valore, tenendo presente che ciascun POLO (cioè ciascuna rete RC) introduce una pendenza di 20 dB/decade. 13 Filtro Passa Banda Un filtro Passa Banda consente il passaggio di tutti i segnali le cui frequenze fanno parte di una BANDA compresa tra una frequenza limite inferiore e una frequenza limite superiore, mentre impedisce il passaggio di tutti i segnali con frequenze esterne alla suddetta banda. 14 Filtro Passa Banda La larghezza di banda (BW) è definita come la differenza tra la frequenza di taglio superiore (fc2) e la frequenza di taglio inferiore (fc1): BW = f c 2 − f c1 Le frequenze di taglio sono le ascisse della risposta in frequenza in corrispondenza delle quali l'ampiezza della risposta stessa è il 70.7% del suo valore massimo. 15 Filtro Passa Banda Queste frequenze di taglio vengono anche chiamate frequenze a -3 dB. La frequenza rispetto alla quale risulta centrata la banda passante viene chiamata FREQUENZA CENTRALE f0 . Essa è definita come media geometrica delle frequenze di taglio: f0 = f c1 ⋅ f c 2 16 Filtro Passa Banda Il fattore di qualità Q di un filtro passa banda è il rapporto tra la frequenza centrale e la larghezza di banda del filtro stesso: f0 Q= BW Il valore di Q è un'indicazione della SELETTIVITÀ di un filtro Passa Banda. Quanto più elevato è Q, tanto più stretta risulta la larghezza di banda e, di conseguenza, migliore risulta la selettività del filtro per un dato valore di Q. 17 Filtro Passa Banda I filtri Passa Banda vengono talvolta classificati: • a banda stretta se è Q > 10 • a banda larga se è Q < 10 Il fattore di qualità Q può anche essere espresso in funzione del fattore di smorzamento ξ (damping factor) del filtro nel modo seguente: Q 1 2⋅ ξ 18 Filtro Elimina Banda Un'altra categoria di filtri attivi è quella dei filtri Elimina Banda (che vengono a volte designati anche con il termine inglese NOTCH ). Il comportamento di questo tipo di filtro esattamente l’opposto di quello del filtro passa banda. Nel filtro Elimina Banda, infatti, tutti i segnali con frequenze comprese in una data larghezza di banda vengono respinti mentre è consentito il passaggio a tutti i segnali con frequenze esterne ad essa. 19 Filtro Elimina Banda Nella figura è riportato un esempio di risposta in frequenza di un filtro elimina banda passivo. Si noti che, esattamente come nel caso della risposta in frequenza del filtro Passa Banda, la larghezza di banda è l'insieme di frequenze comprese tra i punti a 3dB. 20 Curva di risposta Passa -Basso: approfondimento 21 Curva di risposta Passa - Banda: approfondimento 22 Check-up • La larghezza di banda di un filtro Passa Basso è determinata da…………… • Che cosa limita la larghezza di banda di un filtro Passa Alto? • In un filtro Passa Banda, che relazione esiste tra il Q e la larghezza di banda? • In che modo la selettività di un filtro dipende dal Q del filtro? • Quanto vale il Roll-Off di un Passa-Alto del III ordine? 23 Filtri di ordine 1 in io z a or lav …. e n 24 Filtri di ordine 1 Premessa - A Nello studio dei filtri si farà spesso riferimento al concetto di funzione di trasferimento del filtro o, più in generale, di un quadripolo. In questo contesto essa può essere definita come rapporto tra le tensioni di uscita e di ingresso (nella variabile complessa s = jω). Vi Filtro Funzione di trasferimento: Vo H Vo Vi 25 Filtri di ordine 1 Premessa – B I filtri del PRIMO ORDINE sono caratterizzati da: • 1 polo nella funzione di trasferimento • pendenza, in valore assoluto, di 20 dB per decade • massimo sfasamento tra Vo e Vi, in valore assoluto, pari a 90° Nota: i POLI sono le radici del polinomio al denominatore della Funzione di trasferimento. 26 Filtri passivi del I ordine 27 Filtro RC passivo Passa-Basso H( s ) Vo 1 Vi 1 + s ⋅ RC Polinomio di I grado: un polo 28 Filtro RC passivo Passa-Basso Ponendo s=jω nella precedente funzione di trasferimento si ottiene la risposta in frequenza: H( jω) V o ( jω) V i( jω) 1 1 + jω ⋅ RC Il modulo di H(jω) rappresenta il rapporto tra l’ampiezza del segnale sinusoidale all’uscita del filtro e quello all’ingresso, alla pulsazione ω. Il modulo di H(jω) vale: H( jω) 1 1 1 + jω ⋅ RC 1 + ( ωRC) 2 La fase, cioè lo sfasamento introdotto dal quadripolo-filtro, è : φ ωRC − atan 1 1 atan 0 −atan ( ωRC) 29 Filtro RC passivo Passa-Basso Desiderando esprimere il modulo del guadagno in forma logaritmica, si ha: |H(jω )|dB = 20log |H(j ω)| |H(jω )|dB = Quindi, in definitiva: |H(jω )|dB = 30 Filtro RC passivo Passa-Basso I diagrammi sottostanti mostrano le risposte in ampiezza e fase di un filtro RC Passa Basso I ordine - passivo. 31 Filtro RC passivo Passa-Basso 32 Filtro RL passivo Passa-Basso Un filtro passivo del I ordine Passa-Basso può essere ottenuto anche mediante una rete RL , come da figura La funzione di trasferimento si determina con lo steso metodo visto per il Passa – Basso RC ed è la stessa, a patto di sostituire la costante di tempo RC con L/R (costante di tempo di un circuito LR): G( s ) Vo Vi 1 1+ s⋅ L R 33 Filtro RC passivo Passa - Alto La corrente risulta: La tensione in uscita è: V o( s ) I( s ) ⋅ R V i( s ) R+ 1 ⋅R sC e quindi il rapporto uscita – ingresso vale H( s ) Vo s ⋅ RC Vi 1 + s ⋅ RC Polinomio di I grado: uno zero Polinomio di I grado: un polo 34 Filtro RC passivo Passa - Alto 35 Filtro RC passivo Passa - Alto Un filtro passivo del I ordine Passa-Alto può essere ottenuto anche mediante una rete RL , come da figura La funzione di trasferimento si determina con lo steso metodo visto per il Passa – Alto RC ed è la stessa, a patto di sostituire la costante di tempo RC con L/R: G( s ) Vo Vi s⋅ L R 1+ s⋅ L R 36 Filtri Attivi del I ordine 37 Filtro RC attivo Passa - Alto Un filtro attivo Passa Alto del primo ordine può essere realizzato con una cella RC ed un amplificatore operazionale (non invertente) R R OUT + C Vi R La funzione di trasferimento è: Vi Vo Vo R2 sCR = 1 + Vi R1 1 + sCR Vo 38 Filtro RC attivo Passa - Basso Un filtro attivo Passa Basso del primo ordine può essere realizzato con una cella RC ed un amplificatore operazionale (non invertente) R2 R1 OUT R C Vi + U1 Vo La funzione di trasferimento è: Vi Vo R2 1 = 1 + Vi R1 1 + sCR Vo 39 Filtro RC attivo Passa - Alto Un’altra possibile configurazione circuitale per filtri attivi Passa Alto del I ordine è mostrata nella figura seguente. C Rf Rs OUT Vi + U1 La funzione di trasferimento è: Vo sCR f Vo =− Vi 1 + sCRs 40 Filtro RC attivo Passa-Basso Un’altra possibile configurazione circuitale per filtri attivi Passa Basso del I ordine è mostrata nella figura seguente. Cf Rf Rs OUT Vi + U1 Vo La funzione di trasferimento è: R Vo 1 =− f Vi Rs 1 + sC f R f 41 Filtri di II ordine in io z a or lav …. e n 42 Filtri Passivi di ordine 2 Premessa I filtri del SECONDO ORDINE sono caratterizzati da: • 2 poli nella funzione di trasferimento • pendenza, in valore assoluto, di 40 dB per decade • massimo sfasamento tra Vo e Vi, in valore assoluto, di 180° 43