Studio della caduta libera di un grave

Studio della caduta libera di un grave
Scopo dell’esperienza
Ci si propone di studiare la dipendenza del tempo di caduta di un oggetto dotato di massa
dall’altezza iniziale. Tale studio verrà utilizzato per determinare quali forze, nei limiti
dell’accuratezza degli esperimenti svolti, producono effetti osservabili sul moto dei corpi analizzati.
Strumentazione
L’apparato sperimentale è costituito da un micromagnete che
tiene una sfera d’acciaio nella posizione iniziale, su una
piattaforma in plexiglass fissata ad un’asta graduata che
consente di variare la quota di partenza acciaio da 2 cm a 96 cm
con passo minimo di 1 cm. La posizione di partenza è fissata
tramite tre supporti di contatto posti sotto un dispositivo di
sgancio. Un apposito interruttore consente di sganciare la sfera,
fornendo il segnale di avvio ad un contatore elettronico per la
misura del tempo di caduta. Il contatore viene arrestato dal
contatto della sfera con una piastra di raccolta.
Il minimo intervallo di tempo misurabile dal contatore è 0.1 ms.
Richiamo della teoria
Nel caso più semplice di caduta libera in assenza di attrito il
moto del grave è un moto rettilineo uniformemente accelerato,
con retta di moto verticale.
In questo caso la relazione tra tempo di caduta t e quota di
1
partenza h è data da h  gt 2 (1), dove g è il modulo
2
dell’accelerazione di gravità.
Nel caso in cui non sia trascurabile l’attrito viscoso tra corpo e
aria l’equazione del moto del grave (scegliendo come
riferimento un’asse y verticale verso l’alto):
d2y
m 2  mg  kv y (2)
dt
dove y indica la posizione della particella, m la sua massa, g il modulo dell’accelerazione di gravità,
k il coefficiente di forma del corpo, η la viscosità dell’aria, e vy la componente y della velocità
istantanea.
Determinando la legge oraria del moto si dimostra che la relazione tra quota di partenza e tempo di
caduta è:
k

mg  m   m t t0  
h
 1  t  t 0  (3)
 e
k  k 


Risultati e discussione
Caso 1 pallina di acciaio di 1 cm di diametro
E’ stato misurato il tempo di caduta per 40 diverse altezze iniziali nell’intervallo tra 2 cm e 95 cm.
L’errore di lettura dell’altezza di partenza è stato stimato in 0.5 mm, considerando che si sono scelte
quote di partenza pari a valori interi in centimetri, e che lo spessore delle tacche della scala graduata
verticale è di circa 1 mm. Avendo l’accortezza di fissare la piattaforma in plexiglass entro la linea
delle tacche l’errore massimo è appunto di 0.5 mm.
Per quanto riguarda l’errore sul tempo di caduta la stima è stata fatta misurando 5 volte il tempo di
caduta per due diverse quote di partenza ottenendo i seguenti valori:
h (cm)
95
47
t1 (ms)
439.6
310.5
t2 (ms)
440.2
310.2
t3 (ms)
440.3
310.7
t4 (ms)
439.8
310.7
t5 (ms)
440.2
309.9
t
440.2
310.4
Δtmax
0.45
0.4
t
0.4
0.3
I valori ottenuti consentono di osservare che la variazione del tempo tra una misura e l’altra è
maggiore dell’errore di lettura (metà della più piccola cifra misurata, quindi 0.05 ms). Si osserva
t  t min
è confrontabile alla deviazione standard
inoltre che la semidispersione massima t max  max
2
dei dati t, e dell’ordine di 0.5 ms. Tale valore verrà pertanto usato come errore massimo sui tempi,
che saranno riportati con 3 cifre significative, arrotondando all’intero più vicino (al ms) il dato
sperimentale.
I risultati sperimentali ottenuti sono riportati nella figura seguente (punti):
Figura 1: Dipendenza sperimentale (punti) e linea di best-fit con l’equazione (1) (curva) per la
sferetta d’acciaio
Iniziando l’analisi dal modello più semplice (attrito con l’aria trascurabile, e quindi caduta
uniformemente accelerata) i dati sperimentali sono stati adattati alla dipendenza teorica
1
h  g (t  to) 2 . Il miglior adattamento (linea continua in Figura 1) è stato ottenuto per i seguenti
2
valori dei parametri:
g=9.767 0.005 ms-2
to è stato fissato a 0, perché se lasciato libero si ottiene un valore compatibile con 0 entro l’errore.
2=0.6734
Plot delle differenze tra curva di fit e dati
Al fine di analizzare la bontà dell’accordo tra curva teorica e dati sperimentali è stata graficata la
differenza esperimento-teoria. Si ricorda che un buon accordo tra curva di best fit e dati è
evidenziato da differenze distribuite casualmente intorno allo zero, e compatibili con lo 0 entro
l’errore.
L’andamento ottenuto, riportato in Figura 2 consente di concludere che nei limiti dell’accuratezza
dell’esperimento compiuto il moto di caduta della sferetta di acciaio è uniformemente accelerato, e
che quindi l’attrito con l’aria non produce effetti osservabili.
Figura 2: Differenza tra i valori sperimentali e quelli della curva di best-fit con l’equazione (1) per
la sferetta d’acciaio.
Caso 2, attrito non trascurabile
L’esperimento è stato ripetuto per un secondo oggetto, costituito dalla pallina di acciaio attaccata ad
una base di plexiglass circolare con due “ali” in carta.
I risultati ottenuti sono riportati in Figura 3 (punti):
Figura 3: Dipendenza sperimentale (punti) e linea di best-fit con l’equazione (1) (curva) per il
secondo grave.
Anche in questo caso si è considerata inizialmente la relazione teorica per il moto uniformemente
accelerato, ottenendo il miglior adattamento (linea continua in Fig. 3) per i seguenti valori dei
parametri:
g=8.423 0.004 ms-2
2=126
I valori ottenuti consentono già di dubitare della bontà del modello utilizzato, sia perché il valore di
g ottenuto è ben più piccolo di quello ottenuto per la sferetta di acciaio (e di quello atteso), sia
perché il valore del 2 è decisamente maggiore di 1.
Per avere una conferma di questa conclusione sono state graficate in Figura 4 le differenze tra dati
sperimentali e miglior curva teorica.
Figura 4: Differenza tra i valori sperimentali e quelli della curva di best-fit per il secondo grave.
In tal caso si osserva uno scostamento sistematico della curva teorica dai dati sperimentali, ben più
grande della barra di errore.
Questo risultato conferma che la legge del moto uniformemente accelerato non è in grado di
descrivere correttamente il moto del corpo.
L’analisi è stata pertanto ripetuta adattando i dati sperimentali all’andamento teorico previsto per la
caduta in presenza di attrito viscoso riportato nell’equazione (3).
A tal fine è stata misurata la massa del corpo con una bilancia analitica, ottenendo m=25.580.01g
Il miglior adattamento (vedi Fig. 5) è ottenuto per i seguenti valori nei parametri
g=10.06 0.03 ms-2
kη=(3.6760.005)10-2Nsm-1
2=2.15
Figura 5: Dipendenza sperimentale (punti) e linea di best-fit con l’equazione (3) (curva) per il
secondo grave.
In tal caso si nota come il X2 sia sensibilmente migliorato.
Le differenze tra esperimento e curva teorica (vedi Figura 5) sono per questo modello più piccole di
prima, e compatibili con 0 entro l’errore.
Figura 6: Differenza tra i valori sperimentali e quelli della curva di best-fit con l’equazione (3) per
il secondo grave.
Questi risultati consentono di concludere che il moto del secondo grave risente dell’attrito viscoso
con l’aria, e pertanto non è un semplice moto uniformemente accelerato.
Tale differenza è ragionevolmente da attribuire alla differenza di forma tra i due corpi, da cui
l’attrito viscoso dipende tramite il fattore k.
Per quantificare la differenza di attrito nei due casi analizzati possiamo confrontare i coefficienti di
forma dei due corpi.
Per la pallina di acciaio il coefficiente di forma è dato da k=6πr (dove r è il raggio della sfera), pari
a 9.42 cm.
Per il secondo corpo k si può stimare come rapporto tra il valore di best fit di kη e il valore della
viscosità dell’aria η= 1.8 ×10-5 N s m-2 , ottenendo k=2.04·105 cm.
I valori ottenuti consentono di concludere che la forza di attrito viscoso tra il secondo corpo e l’aria,
a parità di velocità, è oltre 20 mila volte più intensa di quello tra aria e pallina d’acciaio.