Liceo Scientifico `A

Verifica di Matematica
tempo a disposizione: 2h
Nome e Cognome:
Data: 14 Gennaio 2016
Classe: 5A
PROBLEMA
Considera la funzione
f ( x) 
a  ln x
b
x
a. Sapendo che il grafico della funzione passa per il punto A(1,2) e ammette ivi come tangente la retta
passante per A e parallela alla bisettrice del primo e terzo quadrante, determina i valori di a e di b.
In corrispondenza dei valori di a e b trovati, rispondi ai seguenti ulteriori quesiti.
b. Determina l’ascissa del punto in cui il grafico della funzione ha tangente orizzontale.
c. Determina l’equazione della parabola avente l’asse y come asse di simmetria, tangente nel punto A al
grafico di f.
d. Determina i parametri h e k in modo che la funzione g (x ) così definita :
hx 3  kx se

g x   
 f ( x)
se

x 1
x 1
sia continua e derivabile in R.
QUESITO 1
Due curve si dicono ortogonali in un punto P se in quel punto formano un angolo retto. Determina k in
modo che le due curve di equazioni
d’intersezione con l’asse y.
y  kx3  kx  1e y  e 2 x siano ortogonali nel loro punto
QUESITO 2
Il campo elettrico E generato da una sfera di raggio R piena, carica positivamente, in funzione della distanza
r dal centro della sfera è descritta dalla seguente espressione
 1

 40

E

 1
 4
0


Q
r
R3
rR
con

Q
r2
 0  8,8544  10 12 coulomb2/N*m2
rR
Dopo aver disegnato il grafico, discuti la continuità e la derivabilità della funzione.
QUESITO 3
Conigli in pericolo Un batterio particolarmente diffuso negli allevamenti di conigli ne causa la cecità. La
rapidità di diffusione della popolazione batterica è descritta dalla legge:
B(t )  N  ln( t 2  2t  1)
dove N è il numero iniziale di conigli presenti nell’allevamento,
B (t ) è il tasso di variazione della popolazione batterica e il tempo t è espresso in giorni.
a. Dopo quanti giorni si ha il massimo della diffusione della popolazione batterica?
b. Dopo quanti giorni la diffusione della popolazione batterica si arresta?