STUDIO DI UNA FUNZIONE y = x3

STUDIO DI UNA FUNZIONE
y = x 3 ! 2x 2 + x ! 2
FUNZIONE RAZIONALE INTERA
DOMINIO : ( -∞ ; + ∞ )
SIMMETRIE
f (!x) = (!x)3 ! 2(!x)2 ! (!x) ! 2 = !x 3 ! 2x 2 + x ! 2
nessuna simmetria
INTERSEZIONI CON GLI ASSI
INT asse x
$
$" x = 2
3
2
3
2
2
2
' y = x ! 2x + x ! 2 " 0 = x ! 2x + x ! 2 " racc _ parz : x (x ! 2) + 1(x ! 2) = 0 " (x ! 2)(x + 1) = 0 % 2
%
&" x + 1 = 0 " # < 0
'y = 0
&
AA = (2;0) _
# y = x 3 ! 2x 2 + x ! 2 " y = 0 ! 0 + 0 ! 2 = !2
INT asse y $% x = 0
B= (0;-2)
SEGNO DELLA FUNZIONE : f(x)>0
x 3 ! 2x 2 + x ! 2 > 0 _ grado _ sup : la _ scompongo
(x ! 2)(x 2 + 1) > 0 _ studio _ i _ segni _ fattori > 0
N1 > 0; x ! 2 > 0 " x > 2
N 2 > 0; x 2 + 1 > 0 " # < 0,conc : SEMPRE
Risposta: f(x)>0 per x>2
LIMITI AGLI ESTREMI DEL DOMINIO ( -∞ ; + ∞ ) E ASINTOTI
Limite per x che tende a meno infinito
Limite per x che tende a più infinito
3
2
lim x " 2x + x " 2 = "# + # " # " 2 = +# " #;F _ IND
lim x 3 # 2x 2 + x # 2 = +" # " + " # 2 = +" # ";F _ IND
x!"#
x!+"
2 1 2
lim x 3 (1" + 2 " 3 ) = "#(1+ 0 + 0 + 0) = "#
x x x
NOTA: le funzioni raz intere non hanno asintoti
x!+"
x!"#
2 1 2
lim x 3 (1 # + 2 # 3 ) = +"(1 + 0 + 0 + 0) = +"
x x x
Questi primi risultati riportati nel grafico.
Tutorial di P. Barberis –agg 2012
STUDIO DI UNA FUNZIONE
y = x 3 ! 2x 2 + x ! 2
PUNTI STAZIONARI E INTERVALLI DI MONOTONIA
Calcolo derivata prima y' = 3x 2 ! 4x + 1
Punti stazionari: y’=0
3x 2 ! 4x + 1 = 0, IIgrado " x1,2 =
Intervalli monotonia: y’>0
3x 2 ! 4 x + 1 > 0,
" # > 0, conc " x <
4 ± 16 ! 12
1
" x1 = ; x2 = 1;
6
3
1
$ x >1
3
x=1/3 è ascissa del Massimo
x=1 è ascissa del Minimo
trovo le ordinate sostituendo nel testo
MAX = (1/3;-50/27)
MIN=(1;-2)
CONCAVITA’ E PUNTI DI FLESSO
Calcolo derivata seconda y" = 6x ! 4
Trovo eventuali punti di flesso y”=0
2
6x ! 4 = 0 " x =
3
2
3
per x<2/3 la funzione volge la concavità verso il basso
per x>2/3 la funzione volge la concavità verso l’alto
per x=2/3 poiché cambia la concavità c’è punto di Flesso e trovo l’ordinata: F=(2/3;-52/27)
Studio la concavità y”>0; 6x ! 4 > 0," x >
GRAFICO COMPLETO
(software freeeware GeoGebra www.geogebra.org )
Tutorial di P. Barberis –agg 2012