Es6 - Matematica e Informatica

Esercitazioni di Matematica Discreta
21-03-2005
Funzione di Moebius:
1

 d   - 1k
0

se d  1
se d è prodotto di k primi distinti
se d ha dei fattori primi che si ripetono
Formula di inversione di Moebius:
Se f n    g d  allora
d |n
n
g n     d  f  
d 
d |n
f :N N
Es1. Sia
n   d 2 facendo uso della formula di inversione di Moebius si determini la
d |n
funzione g(n) = n2 e la si calcoli esplicitamente nei casi n = 3 ed n = 4.
Sol. Per la formula di inversione di Moebius si ha n 2 
n
  d  f  d  e quindi:
d |n
9 =  1 f 3   3 f 1  f 3   3
16 =  1 f 4   2 f 2   4 f 1  f 4   2 f 2 .
La funzione di Eulero  n è uguale al numero di numeri minori e primi con n.

1 
1  
1 
r

....1 
Se n = p1r1 p2r2 .... pkk , allora  n   n1  1 
p1 
p2  
pk 

Es2. Quanti sono gli interi minori di 9.000.000 che non sono divisibili né per 2, né per 3, né per 5.
Sol. Dato che 9.000.000 = 26 × 32 × 56, 2, 3 e 5 sono i soli divisori primi di 9.000.000. Allora
 1  1  1 
basta calcolare:  9.000.000  9  106 1  1  1    24  105 .
 2  3  5 
Es3. Determinare il numero dei multipli x di 3 tali che 315  x  316 .
 
 
Sol. Dato che 3 è l’unico divisore primo di 315 e di 316, basta calcolare 315 -  315 e 316 -  3 16
 
 
La soluzione è data da: (316 -  3 16 ) – (315 -  315 ).
Teorema di Eulero
Se MCD (a, m) = 1 allora a m   1mod m .
Piccolo teorema di Fermat
Se p non divide a, allora a p.1  1mod p .
Es4. Quale è la cifra delle unità di 2117125.
Sol. Dato che n ed n5 hanno la stessa cifra delle unità, allora 2117 e 21175 hanno la stessa cifra
delle unità, ma hanno la stessa cifra delle unità anche di (21175 )5 = 211725 ed anche di (211725)5 =
2117125. Quindi la risposta è 7.
Es5. Determinare il resto della divisione per 17 di 2817.
Sol. Per il piccolo teorema di Fermat si ha 2817  28 mod 17  11mod 17 , quindi la risposta è 11.
Es6. Determinare il resto della divisione per 9 di 2710×1919×1028.
Sol. Sappiamo che ogni numero è congruo la somma delle sue cifre modulo 9, quindi
2710  10mod 9 , 1919  20mod 9 ,
1028  1mod 9 .
Quindi, 2710  1919  1028  10  20  200 mod 9  2 mod 9 .
Es7. Determinare il resto della divisione per 23 di 347.
Sol. 47 = 23×2 + 1, quindi 347 = 323×2+1 = (32)23 3  32 3 mod 23  27 mod 23  4 mod 23.
Es8. Dire quali tra i seguenti polinomi sono irriducibili e primitivi in Z2[x]:
x4 + 1,
x4 + x2 + 1, x4 + x + 1.
Sol. x4 + 1 ha 1 come radice, quindi si riduce. I polinomi x4 + x2 + 1, x4 + x + 1 non hanno radici e
quindi sono irriducibili solo se non sono divisibili per l’unico polinomio di 2° grado irriducibile in
Z2[x] che è x2 + x + 1. Si verifica che x4 + x2 + 1 = (x2 + x + 1)2 e che x4 + x + 1 è irriducibile.
Inoltre è anche primitivo, infatti:
x, x2, x3, x4 = x + 1, x5 = x2 + x, x6 = x3 + x2, x7 = x3 + x + 1, x8 = x2 + 1, x9 = x3 + x,
x10 = x2 + x + 1, x11 = x3 + x2 + x, x12 = x3 + x2 + x + 1, x13 = x3 + x2 + 1, x14 = x3 + 1, x15 = 1.
Es9. Dato x2 + mx + 2, dire per quali valori di m è riducibile in Z7[x].
Sol. Per essere riducibile, essendo di 2° grado, deve ammettere una radice. Pertanto il  deve
essere un quadrato. I quadrati di Z7[x] sono 1, 2, e 4. Quindi m2 – 8 = 1 ha soluzione m =  3,
m2 – 8 = 2 non ha soluzione ed m2 – 8 = 4 non ha soluzione.