1. Che cos`è l`energia 2. Energia Cinetica 3. Lavoro di una forza

Energia e Lavoro
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
Che cos’è l’energia
Energia Cinetica
Lavoro di una forza costante
Lavoro di un forza variabile
Il teorema dell’energia cinetica
Esempio: il lavoro compiuto dalla forza peso
Esempio: il lavoro compiuto per sollevare ed
abbassare un peso
8.  Esempio: lavoro compiuto dalla forza elastica
9.  Esempio: il lavoro compiuto dalla forza di attrito
Che cos’è l’energia- definizione di sistema
Il termine energia è un parola comunemente usata nel nostro colloquiare quotidiano.
Conosciamo molti tipi di energia e gli innumerevoli campi in cui essa può essere utilizzata,
sappiamo che qualsiasi movimento richiede energia, che il controllo di alcune “fonti di energia”
è stato ed è tuttora una delle cause di guerre tra stati…
MA…. Cosa significa in realtà energia?
Ø Dal punto di vista fisico: L’energia è una grandezza fisica scalare associata allo
stato di un corpo o di un sistema di corpi .
Ø Se una forza interviene a cambiare lo stato di un corpo il valore numerico dell’energia che lo
rappresenta si modifica.
Ø La proprietà più importante del nostro Universo è che in esso l’energia si
conserva, si può trasformare , passare da un corpo ad un altro, ma l’energia totale si
deve conservare.
Ø Mediante lo studio dell’energia è possibile risolvere dei problemi di dinamica anche senza
l’utilizzo delle leggi di newton e questo approccio è molto conveniente soprattutto quando si
ha a che fare con forze variabili, cioè quando l’accelerazione non è costante e le equazioni del
moto possono risulta molto complicate.
Ø Definizione di Sistema:
Ø  Un sistema è un modello semplificato di una piccola porzione di
Universo che viene presa in considerazione.
Ø Un sistema può essere composto da: una sola particella, un insieme
di particelle, una regione di spazio..
Ø Un sistema può cambiare di forma e dimensione ( pallina di gomma ..)
Energia Cinetica
Energia cinetica di un corpo : energia associata allo stato di moto del corpo
Se ad un certo istante un corpo si muove con una velocità v, sufficientemente
inferiore alla velocità della luce, l’energia cinetica del corpo in quell’istante é
1 2
K = mv
2
Energia Cinetica
Ø L’energia cinetica aumenta quadraticamente all’aumentare del modulo della
velocità e se un corpo è fermo la sua energia cinetica è nulla
Ø L’energia cinetica dipende linearmente dalla massa del corpo
Ø L’unità di misura dell’energia è il Joule e si ha che:
1J = Kg ⋅ m2 s 2
Ø Vedremo che la variazione di energia cinetica si collega strettamente ad un nuovo
concetto fisico detto Lavoro ( in fisica la parola Lavoro ha un significato diverso da
quello comunemente usato).
Lavoro svolto da una forza costante
!
Consideriamo una forza costante F che agisca su un punto materiale e supponiamo
per semplicità che il moto avvenga nella direzione della forza.
Sia Δr lo spostamento. Definiamo Lavoro della forza il prodotto:
L = F ⋅ Δr
Più in generale se il moto avviene in una direzione diversa rispetto alla forza il
lavoro è definito come il prodotto scalare della forza per lo spostamento :
!
L = F ⋅ Δr = FΔr cosθ
Lavoro ( grandezza scalare)
Dove θ è l’angolo tra la direzione della forza e quella dello spostamento.
Siccome L è uno scalare esso può essere positivo, negativo o nullo:
Ø Se θ<π/2 ( cioè cos θ >0)la forza ha una componente positiva nella
! direzione del
F
moto → L>0 ed il lavoro e’ detto lavoro motore
Δr
θ
Ø Se π/2<θ<π ( cioè cos θ <0) la forza ha una componente negativa
! nella direzione del
moto allora L<0 ed e’ detto lavoro resistente.
F
θ
Ø Se θ=π/2 ( cioè cos θ =0)la forza non ha una componente
nella direzione del moto → L=0
Ø Se θ=0 ( cioè cos θ =1)la forza e lo spostamento sono paralleli
nella direzione del moto → L=F·Δr
Δr
!
F
90°
!
F
Δr
Δr
Alcune considerazioni sul lavoro di una forza
!
L = F ⋅ Δr = FΔr cosθ
!
Poiché Fcosθ può essere vista come la proiezione della forza F sulla direzione dello
spostamento Δr, quando forza e spostamento
hanno direzioni diverse, il lavoro è
!
compiuto solo dalla componente di F nella direzione di Δr.
Se quindi la Forza agente su un corpo è perpendicolare allo spostamento la sua
componente lungo Δr è nulla e quindi non compie lavoro.
Lavoro svolto da una forza variabile(1)
Ø Se la forza agente non è costante ma la traiettoria è lineare (particella che si muove
lungo l’asse x ma con forza che varia in funzione della posizione) allora possiamo scomporre la
traiettoria stessa in intervalli dx sufficientemente piccoli da poter considerare in essi che la
forza sia costante
Ø Possiamo esprimere il lavoro effettuato dalla forza lungo la
traiettoria come la somma dei lavori eseguiti nei singoli
segmenti di traiettoria:
L = Fx1 Δx + Fx2 Δx+ Fx3 Δx+ …. +FxN Δx
Cioè:
N
N
n =1
n =1
L = ∑ Ln =∑ Fxn Δx
Se le dimensioni degli intervalli tendono a zero il numero
degli intervalli cresce fino ad infinito e la somma tende
all’integrale:
N
xf
n =1
xi
L = lim ∑ Fxn Δx = ∫ Fx dx
Δx →0
Il lavoro è pari all’integrale definito di F(x)
calcolato tra xi ed xf , cioè è pari all’area sottesa
dalla curva Fx(x) nell’intervallo Δx = xf-xi
NB: Se la forza fosse costante, Fx potrebbe essere estratto
dall’integrale e si otterrebbe di nuovo L=Fx·Δx
Lavoro svolto da una forza variabile(2)
Se in un sistema costituito da una particella su cui agiscono più forze, il lavoro totale
compiuto sul sistema è dato dalla somma dei lavori effettuati dalle singole forze:
xf
Ltot = ∑ L = ∫ (∑ Fx )dx
NB la somma di integrali di funzioni è uguale
all’integrale della somma delle funzioni
xi
xf
xf
∑ ∫ F dx = ∫ (∑ F )dx
x
xi
x
xi
Consideriamo ora un caso più generale, di una particella che si muove lungo
una
!
traiettoria tridimensionale mentre è soggetta ad una forza risultante∑ F.
Il lavoro,
! che è una grandezza scalare! sarà dato dall’integrale del prodotto scalare
tra∑ F ed il percorso infinitesimo dr :
! !
L = ∫ ∑ F ⋅ dr
L’integrale è calcolato lungo il percorso della traiettoria ( integrale di linea)
NB: In ogni caso il lavoro è una grandezza scalare e le sue dimensioni fisiche
sono: [M][L]2[T]-2
L’unita’ di misura del lavoro è la stessa dell’energia : il Joule
1J = N ⋅ m = Kg ⋅ m2 s 2
Analisi tridimensionale
! !
L = ∫ dL = ∫ F ⋅ dr
Esplicitiamo:
Consideriamo una particella sulla quale agisca una forza :
!
F = Fxiˆ + Fy ˆj + Fz kˆ
dove Fx, Fy, Fz, dipendono da x, y, z rispettivamente (semplificazione)
Supponiamo che la particella compia uno spostamento infinitesimo
!
dr = (dx )iˆ + (dy ) ˆj + (dz )kˆ
Il lavoro infinitesimo dL, svolto dalla forza F mentre la particella si sposta di
! !
sarà:
dL = F ⋅ dr = Fx dx + Fy dy + Fz dz
Il lavoro L svolto da F !durante lo spostamento dalla posizione iniziale
alla posizione finale r f = x f , y f , z f sarà quindi:
(
)
!
dr
!
ri = (xi , yi , zi )
f
f
xf
yf
zf
i
i
xi
yi
zi
L = ∫ dL = ∫ (Fx dx + Fy dy + Fz dz ) = ∫ Fx dx + ∫ Fy dy + ∫ Fz dz
Teorema dell’energia cinetica
Se si può calcolare il lavoro compiuto dalla forza risultante agente su una particella
per effettuare un dato spostamento, sarà possibile calcolare in maniera molto
semplice anche la sua variazione di velocità.
Consideriamo una particella che si muove lungo una traiettoria e scomponiamo la
sua accelerazione nelle componenti tangente at e radiale ar rispetto alla traiettoria
stessa.
Definiamo forza tangenziale Ft la componente della forza nella direzione della
traiettoria.
Forza tangenziale
t
t
f
F = ma
Il lavoro della forza si può scrivere in termini di tale componente:
Ricordiamo che:
dv
Ft = mat = m
dt
dv
at =
dt
L = ∫ Ft dr
i
E sostituendo nell’espressione del lavoro:
f
v
f
f
f
dv
dr
1 2 vf
L = ∫ Ft dr = ∫ m dr = m
dv = m vdv = mv
vi
dt
dt v vi
2
i
i
dr
i
∫
dt
∫
1 2 1 2
L = mv f − mvi
2
2
Dove vi e vf sono le velocità della particella nel punto iniziale e finale dello
spostamento
Teorema dell’energia cinetica
Ricordiamo che per definizione l’energia cinetica di una particella che possiede una
velocità v è pari a:
Avremo quindi che
1 2
K = mv
2
1 2 1 2
mv f − mvi = ΔK
2
2
Variazione dell’energia
cinetica della particella
Possiamo quindi enunciare il TEOREMA DELL’ENERGIA CINETICA:
Quando è svolto lavoro sul sistema e la sola variazione nel sistema è la
variazione del modulo della velocità, il lavoro compiuto dalla forza
risultante che agisce sul sistema è pari alla variazione dell’energia
cinetica della particella che avviene nello spostamento.
1 2 1 2
L = ΔK = mv f − mvi
2
2
Se L>0
ΔK>0
Se L<0
ΔK<0
l’energia cinetica aumenta andando dal punto iniziale i al punto
finale f
l’energia cinetica diminuisce nello spostamento da i ad f
Se L=0
ΔK=0
l’energia cinetica non varia
Lavoro compiuto dalla forza gravitazionale
Ø Consideriamo una pallina di massa m che viene gettata in aria verticalmente con
una velocità iniziale v0
Energia
v=0
1
K i = mv02
2
!
Fg
cinetica
iniziale
Ø La pallina è soggetta alla forza gravitazione
!
!
Fg = −mg
Ø A causa della presenza di tale forza la velocità della
pallina, diminuisce e quindi anche l’energia cinetica
K =0
v
!
Fg y
1 2
K = mv
2
v0
!
Fg
Ki =
1 2
mv0
2
Ø Il lavoro che la forza gravitazionale fa sulla pallina durante lo spostamento Δy è:
⎧− mgΔy
⎪
=
L = Fg Δy cos θ ⎨
⎪+ mgΔy
⎩
Mentre la pallina sale ( θ=180° perche la forza e lo spostamento
hanno versi opposti)
Mentre la pallina scende ( θ=0° perche la forza e lo spostamento
sono equiversi)
Il segno positivo sta ad indicare che la forza gravitazionale trasferisce energia
mgΔy alla particella sotto forma di energia cinetica
Esempio di applicazione del teorema dell’energia cinetica(1)
B!
vB
Consideriamo due punti A e B posti uno sopra all’altro a distanza h
!
ed un corpo di massa m che si muove da A !a B con! velocità iniziale v A.
!
!
Fg = mg
Tale corpo è soggetto alla sola forza peso Fg = mg.
Determinare la distanza h se B è la posizione di massima altezza che il
corpo può raggiungere
Possiamo risolverlo da un punto di vista puramente energetico
(invece che da un punto di vista dinamico)
h
!
vA
y
A
L’unica forza che agisce è la forza peso
Il lavoro sarà sicuramente negativo in quanto lo spostamento da A a B ha verso
opposto alla forza peso :
!
L = Fg ⋅ Δr = −mgΔy
L = −mgh
1 2 1 2
Per il teorema dell’energia cinetica si ha: L = −mgh = ΔT = (TB − TA ) = mvB − mv A
2 !
2
0
1 2
− mgh = − mv A
2
v A2
h=
2g
Risultato già visto nello studio
della caduta del grave
Lavoro compiuto per sollevare ed abbassare un peso
Supponiamo di sollevare una cassa di massa m dal pavimento ad un’altezza h e poi
poggiarlo a terra di nuovo
Ø Durante il sollevamento agiscono due forze
!
F
Forza applicata alla cassa per sollevarla (stesso
verso dello spostamento)
La
!
Fg
Forza gravitazionale (verso opposto a quello dello
spostamento)
Lg= -mgh
ΔK sollevamen to = K f − K i = La + Lg = La − mgh
Ø Mentre la cassa viene posata di nuovo a terra
( spostamento verso il basso) ancora agiscono due forze
!
F
!
Fg
Forza applicata alla cassa per non lasciarla cadere ( verso opposto allo spostamento)
La=-Fh
Forza gravitazionale (stesso verso verso dello spostamento)
Lg= mgh
ΔK abbassamento = K f − K i = La + Lg = La + mgh
Lavoro compiuto per sollevare ed abbassare un peso
ΔK sollevamen to = K f − K i = La + Lg = L a −mgh
§  La forza applicata trasferisce energia
alla cassa (La >0)
§  La forza gravitazionale sottrae energia
alla cassa (Lg <0)
ΔK abbassamento = K f − K i = La + Lg = La + mgh
§  La forza applicata sottrae energia alla
cassa (La <0)
§  La forza gravitazionale trasferisce
energia alla cassa (Lg >0)
NB: Nel caso in cui la cassa parta da ferma (Ki=0) e arrivi alla fine dello
spostamento ferma (Kf=0), o nel caso più generale in cui Kf e Ki siano uguali le due
relazioni si riducono a:
La + Lg = 0
La = − Lg = −mgh(cos θ )
Il lavoro compiuto dalla forza applicata
è uguale ed opposto al lavoro compiuto
dalla forza gravitazionale
Per completezza
NB: Il lavoro per spostare un qualsiasi corpo dal pavimento ad un’altezza h ( con
velocità iniziali e finali nulle) e riabbassarlo sul pavimento ( sempre con velocità
iniziali e finali nulle) è NULLO ( non confondete il lavoro con la fatica … ☺)
Lavoro svolto da una molla(1)
Consideriamo una forza elastica agente in una dimensione:
F = −kx
Il segno negativo significa che la forza è sempre rivolta in senso contrario a quello
dello spostamento dalla posizione di equilibrio x=0. La forza tende quindi sempre a
riportare la molla alla posizione di equilibrio e per questo viene chiamata Forza di
Richiamo
Se x>0 la forza è negativa,
Se x<0 la forza è positiva,
Quando x=0 la molla non è deformata e la forza è nulla.
Quindi se agganciamo un corpo poggiato su un piano orizzontale ad una molla e lo
spostiamo di una distanza xmax esso comincerà ad oscillare tra +xmax e –xmax
passando per x=0
Il lavoro compiuto da una molla sarà quindi dato dall’integrale ( poiché F varia in
funzione di x):
xf
xf
1
L = ∫ F ( x)dx = − ∫ kx dx = − kx 2
2
xi
xi
xf
xi
1
1
= kxi2 − kx 2f
2
2
1 2 1 2
L = kxi − kx f
2
2
Lavoro svolto da una molla(2)
xf
1 2 1 2
L
=
kxi − kx f
L = − ∫ kx dx
2
2
x
i
!
F
Forza e spostamento sono
entrambi rivolti verso il
centro di equilibrio, sono
quindi equiversi
Se xi = - xmax ed xf = 0
0
L− xmax 0
1 2
= − ∫ kx dx = kxmax > 0
2
−x
max
spostamento
!
F
Forza e spostamento
sono in verso opposto
Se xi = 0 ed xf = xmax
xma x
spostamento
L0 xma x
1 2
= − ∫ kx dx = − kxmax < 0
2
0
Il lavoro compiuto dalla molla per andare da –xmax a +xmax è quindi nullo!
xmax
L=−
∫ kx dx =
− xmax
1 2
1 2
− kxmax + kxmax = 0
2
2
Lavoro svolto da una molla(3)
Grafico di F=-kx in funzione di x
L’area in giallino è il lavoro della forza di
richiamo F della molla durante lo spostamento
da –xmax a +xmax.
È evidente che le due aree triangolari ( quella
corrispondente al lavoro da –xmax a 0 e quella
da 0 a +xmax ) si annullano a vicenda,
essendo state ottenute moltiplicando la base
pari a xmax una volta per kx ed un’altra per –kx
Poiché il lavoro è proprio la somma di queste due aree (tenendo conto dei segni )
il lavoro è nullo
Il lavoro svolto dalla forza d richiamo della molla è nullo quando lo spostamento
iniziale rispetto all’equilibrio e quello finale coincidano
xf
L = − ∫ kx dx =
xi
1 2 1 2
− kxi + kx f
2
2
Se xi = xf
1 2 1 2
L = − kx f + kx f = 0
2
2
Lavoro svolto da una forza applicata alla molla
Supponiamo di spostare
! il blocco collegato alla molla lungo l’asse della molla
applicando una forza Fa .
!
Ø Durante lo spostamento
: Fa compie un lavoro La , mentre la forza di richiamo
!
della molla Fm compie il lavoro Lm
Ø La variazione di energia cinetica del blocco sarà data dalla somma dei due lavori:
ΔK = K f − K i = La + Lm
Ø Se il blocco attaccato alla molla è fermo prima e dopo lo spostamento la variazione
di energia cinetica è nulla e quindi è nullo anche il lavoro svolto.
La = − Lm
Questo si può spiegare tenendo conto del fatto che la forza applicata e la forza di
richiamo hanno segno opposti e quindi anche i lavori effettuati dalle due forze.
Lavoro della forza d’attrito
Ø Consideriamo il caso dell’azione della forza di attrito dinamica su un corpo in moto
lungo una certa traiettoria C che effettua uno spostamento d lungo tale traiettoria.
!
Ø La forza d’attrito f d è sempre opposta allo spostamento ed il lavoro svolto da tale
forza sarà quindi sempre negativo
Traiettoria C
! !
Latt = ∫ f d dr = ∫ − µd Ndr
Ø Il lavoro è dato da:
Ø Se la componenete Normale alla superficie è costane ( non dipende dalla posizione)
Si potrà scrivere:
Latt = −µd N ∫ dr
∫ dr = d
L att = −µd Nd
dove d è lo spostamento effettuato dalla posizione iniziale i alla posizione finale f
lungo la traiettoria ( attenzione NON è la differenze tra la posizione iniziale e la
posizione finale poiché questo integrale è un integrale di linea e dipende dal percorso
effettuato
NB: Il lavoro è sempre lavoro resistente e dipende dalla traiettoria effettiva del
punto materiale. A parità di µd ed N il lavoro dipende dal percorso e non è
esprimibile come differenza dei valori di una funzione nei due punti di partenza ed
arrivo.
Potenza
Se vi chiedessero cosa differenzia il motore di una Ferrari da quello di una 500 cosa vi
verrebbe spontaneo rispondere?
Sicuramente ( SPERO ) una delle risposte sarebbe i cavalli motore… o la Potenza!
Ma che cos’è la potenza?
Ø  La Potenza è la RAPIDITÀ con cui viene sviluppata una certa quantità di lavoro:
P=
L
Δt
Potenza media
P=
dL
dt
Potenza Istantanea
Ø  La potenza si misura in watt (W) dove 1W=J/s ( spesso si trova espressa in termini
di cavallo-vapore (CV) dove 1CV=735,5W
NB: Nel caso particolare in cui una particella si sposta lungo una direzione rettilinea
sotto l’azione di una forza costante F che forma un angolo θ con la direzione dello
spostamento si potrà scrivere la potenza in termini della forza e della velocità v
della particella stessa:
dL
P=
dt
Se θ<π/2
Se π/2 <θ< π
dL F cosθdx
dx
P=
=
= F cosθ
= Fv cosθ
dt
dt
dt
P>0
P<0 la forza esegue un lavoro resistente
! !
P = F ⋅v
Energia Potenziale
Ø Un altro tipo generico di energia è l’ENERGIA POTENZIALE che rappresenta
l’energia associata allo stato di un sistema di corpi che interagiscono reciprocamente
per mezzo di un campo di forze.
ES: sistema pallina-Terra che interagiscono mediante la forza gravitazionale.
Ø L’energia Potenziale è energia immagazzinata, pronta ad essere
trasformata in una qualche altra forma di energia come ad esempio
energia cinetica
Esempi: La molla compressa (Energia potenziale elastica), un oggetto sospeso nel
vuoto ad una certa distanza dal suolo (Energia potenziale gravitazionale) …
Ø Il lavoro può essere espresso oltre che mediante la variazione di energia
cinetica anche mediante la variazione di energia potenziale
Consideriamo il sistema pallina-terra che interagisce attraverso la forza
gravitazionale, se applichiamo una forza esterna al sistema per sollevare lentamente
la pallina dalla quota ya alla quota yb ( spostamento Δy= yb – ya ) compiamo sul
sistema un certo lavoro che, se la pallina risulta a riposo prima e dopo lo
spostamento, non può trasformarsi in energia cinetica ( che rimane nulla).
Non c’è neanche variazione di energia interna, in quanto non c’è motivo che l’energia
della pallina aumenti =>
L’energia fornita dall’esterno viene “immagazzinata” pronta ad essere trasformata
in energia cinetica non appena la pallina viene lasciata cadere .
Questa energia è proprio “Energia Potenziale”
Energia potenziale (2)
Consideriamo ora di lanciare in aria la pallina, sappiamo che la forza gravitazionale
svolge un lavoro Lg negativo sulla pallina che sta salendo, questo perché la forza
gravitazionale “sottrae” energia all’energia cinetica della pallina
Questa energia sottratta viene “immagazzinata” sotto forma di energia potenziale
gravitazionale del sistema pallina-terra
La pallina rallenta fino a fermarsi e poi comincia a ricadere, a causa della forza di
gravità
Mentre la pallina cade la forza gravitazionale questa volta svolge un lavoro positivo
sulla pallina, l’energia immagazzinata ( energia gravitazionale del sistema pallinaterra) viene ora convertita in energia cinetica della pallina.
Si può schematizza re questo processo dicendo che la variazione di energia
potenziale gravitazionale è pari all’opposto del lavoro svolto sulla pallina dalla forza
gravitazionale:
ΔU = − Lg
Stesso ragionamento può essere fatto sul sistema blocco-molla visto pocanzi.
ΔU = − Lm
Forze conservative
Affinché si possa parlare di energia potenziale di un sistema, il sistema e le forze che
agiscono su di esso devono avere determinate proprietà.
Ø Il sistema deve consistere di due o più oggetti ed il corpo ed il resto del sistema
devono interagire mediante una forza
Ø Quando la configurazione del sistema cambia (es: cambiamenti di posizione o
cambiamento di stato di una molla…) la forza compie lavoro (L1) sul corpo con
trasferimento dell’energia cinetica in un’altra forma di energia
Ø Quando si cambia il senso della variazione della configurazione la forza inverte il
trasferimento di energia svolgendo lavoro (L2)
Ø Se e solo se L1=-L2, cioè se solo se il trasferimento di energia può essere
invertito, si può parlare di energia potenziale
Ø Forze che presentano tali proprietà vengono dette FORZE CONSERVATIVE
Ø La forza gravitazionale e la forza elastica sono forze conservative
Ø Le forze di attrito non sono forze conservative ( l’energia cinetica viene trasformata
in energia termica ed il processo non è invertibile) e l’energia termica non è
un’energia potenziale
Forze Conservative
Come facciamo a capire se una forza è conservativa?
Ø Il lavoro compiuto da una forza conservativa su una particella che si
muove tra due punti qualsiasi non dipende dal percorso eseguito ma solo
dalle posizioni iniziale e finale
Ø Per calcolare del lavoro eseguito è quindi possibile
utilizzare qualsiasi percorso colleghi il punto iniziale a
con quello finale b.
Ø Il lavoro è esprimibile come differenza dei valori di una funzione nei punti finale
ed iniziale della traiettoria.
L = Lab1 = Lab 2 = Lab
Ø Nel caso in cui si invertano il punto iniziale e finale, ovvero si inverte la direzione
di percorrenza della traiettoria, cambia solo il segno del lavoro eseguito.
L = Lab = − Lba
Ø Un qualunque percorso chiuso può essere pensato come la somma di un percorso di
andata tra due punti qualunque della traiettoria ed un percorso di ritorno tra gli
stessi punti.
Si ha quindi che il lavoro di una forza conservativa che agisce su una
particella che si muove lungo un percorso chiuso è nullo
L = Lab1 + Lba 2 = 0
Determinazione dell’energia potenziale (1)
Consideriamo un corpo che fa parte di un sistema sul quale agisca una forza
conservativa F.
Quando la Forza compie lavoro la variazione dell’energia potenziale è pari
all’opposto del lavoro svolto.
ΔU = (U f −U i ) = −L
Nel caso generale in cui la forza conservativa varia durante lo spostamento:
xf
ΔU = − L = − ∫ F ( x)dx
xi
! !
ΔU = − L = − ∫ Fdr
f
i
Ø Non esiste una forma generale per l’energia potenziale, ma dipende dalla
forza conservativa a cui si riferisce.
Ø L’energia potenziale di una forza conservativa permette di calcolare rapidamente il
lavoro eseguito su qualunque traiettoria.
Ø Da una forza conservativa non si può ricavare lavoro se il percorso è
chiuso, ovvero, come si dice, se il processo è ciclico.
Energia potenziale e Lavoro
Abbiamo visto che la variazione di energia potenziale è pari all’opposto del
lavoro svolto dalla forza conservativa agente sulla particella facente parte
del sistema in studio
ΔU = − L
A partire dalla definizione si può osservare che:
Ø Se l’energia potenziale aumenta, il lavoro eseguito è negativo ( il lavoro viene fatto
dall’esterno sul sistema)
ΔU > 0
L<0
Ciò significa che non si può estrarre lavoro dalla forza durante un processo in cui
l’energia potenziale aumenta, ma sarà necessario fornire lavoro dall’ esterno perché
il processo sia possibile.
Ø Se l’energia potenziale diminuisce, il lavoro eseguito e’ positivo e si può utilizzare
durante il processo.
ΔU < 0
L>0
L’energia potenziale indica la capacità della forza di fornire lavoro.
Ø L’energia potenziale è definita a meno di una costante, infatti:
se aggiungiamo (o sottraiamo) una costante c all’energia potenziale:
U '= U + c
la nuova espressione per l’energia potenziale soddisfa ancora la relazione: ΔU
ΔU ' = U ' ( B) − U ' ( A) = U ( B) + c − U ( A) − c = ΔU = − L
= −L
Energia potenziale gravitazionale
Consideriamo una particella di massa m che si muove verticalmente lungo l’asse y
da un punto yi ad un punto yf. Tale particella subisce il lavoro svolto dalla forza
gravitazionale .
La variazione di energia potenziale sarà data da:
yf
yf
yf
ΔU = − L = − ∫ Fg ( y)dy = − ∫ (− mg )dy =mg y y = mgΔy
yi
yi
ΔU = mgΔy
i
Δy = y f − y i
In fisica sono importanti solo le variazioni ΔU di energia potenziali ( l’energia potenziale
è sempre definita a meno di una costante)
A volte però per semplificare i calcoli conviene associare un particolare valore di U ad una
certo stato del sistema in cui la particella si trova in una determinata posizione y.
Se quindi associamo un valore Ui =0 all’energia potenziale del sistema nella configurazione
iniziale ( o di riferimento) yi=0 , possiamo scrivere:
Δy = y − yi = y
U = mgy
Energia potenziale
gravitazionale
L’energia potenziale gravitazionale associata ad un sistema particella-Terra dipende
dalla posizione verticale y della particella rispetto alla posizione di riferimento y=0
Energia Meccanica e conservazione dell’Energia Meccanica
Consideriamo un corpo che si muove dal punto A al punto B sotto l’azione della sola
forza gravitazionale, il lavoro compiuto sul corpo è quindi pari sia alla variazione
dell’energia potenziale gravitazionale cambiata di segno, sia alla variazione di
energia cinetica del corpo :
LAB = −mgh = −ΔU = U A −U B = mgyA − mgyB
1
1
LAB = ΔT = TB − TA = mvB2 − mv2A
2
2
TA +U A = TB +U B
1
mv2 + mgy = T +U = costante
2
B y
B
h=yB-yA
1
1
mgyA − mgyB = mvB2 − mv2A
2
2
1
1
mv2A + mgyA = mvB2 + mgyB
2
2
y
U B = mgyB
1
K B = mvB2
2
U A = mgyA
A yA
1
K A = mv2A
2
Energia Meccanica e conservazione dell’Energia Meccanica
L’energia meccanica E di un sistema è l’energia totale data dalla somma dell’energia
cinetica e dell’energia potenziale relativa ai corpi che compongono il sistema stesso.
E = U+T
Per il lavoro delle forze conservative valgono allora due relazioni:
1)  Teorema dell’energia cinetica ( questo teorema vale per tutte le forze,
conservative e non):
1
1
2
L = mvf − mvi2 = Tf − Ti = ΔT
2
2
2) Definizione di energia potenziale ( questa vale solo per le forze
conservative):
L = U i − U f = − ΔU
L = Tf − Ti = ΔT = −ΔU = U i −U f
U i + Ti = U f + Tf
PRINCIPIO DI CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA MECCANICA:
Quando in un sistema isolato agiscono solo forze conservative l’energia
potenziale e quella cinetica posso variare singolarmente, ma la loro
somma, l’energia meccanica E del sistema, deve rimanere costante
E = U + T = cost
conservazione
dell’energia
meccanica
Principio di conservazione dell’Energia Meccanica- Applicazione
E = U + T = cost
ΔE = ΔU + ΔT = 0
Il principio di conservazione dell’energia meccanica ci permette di risolvere in
maniera molto semplice problemi che dal punto di vista dinamico sarebbero molto
complessi
Energia totale e forza peso
Abbiamo visto che l’energia potenziale gravitazionale può essere espressa come:
U=mgy
Sappiamo che, nel caso della caduta di un grave, si conserva l’energia totale data da:
E =T+U= ½m v2 + mgy = costante
Consideriamo quindi un corpo che scivola su un piano inclinato privo di attrito.
La reazione vincolare è sempre perpendicolare alla traiettoria e non compie lavoro.
Se il corpo parte da fermo da un’altezza h, arriverà alla fine del piano con velocità
tale che:
E = Ui +Ti = mgh + 0 = Uf +Tf = 0 + ½ m v2
Da cui:
v = 2 gh
La velocità è quindi indipendente dalla massa del corpo (come già sapevamo) e
dall’inclinazione del piano.
Nel moto l’energia potenziale si e’ trasformata in energia cinetica.
Esempio
Consideriamo un camion che scendendo da una discesa incontra poi una salita che
ha una pendenza di 15°.
Quando arriva alla salita ha una velocità di 130 km/h.
Calcolare la distanza minima L dall’inizio della salita che il camion deve percorre
prima di fermarsi ( non c’è attrito ed il pilota toglie la marcia).
E = cost = Ti + U i = Tf + U f
h
Stato iniziale ( camion che affronta la salita):
1
Ti = mvi2
Ui = 0
2
Stato finale ( camion che si ferma):
Tf = 0
h = L sin(15°)
( )
U f = mgh = mgL sin 15°
1
E = mvi2 = mgL sin 15°
2
Conservazione dell’energia meccanica:
L=
2
i
mv
( )
2mg sin 15°
=
2
i
v
( )
2g sin 15°
( )
=
(36.1m s)
2
2 ⋅ 9.81⋅ 0.258
= 258m
Energia potenziale elastica
Consideriamo un sistema blocco-molla con il blocco attaccato ad una delle estremità
della molla di costante elastica k.
Durante lo spostamento del blocco dalla posizione xi alla posizione xf la forza di
richiamo F=-kx compie del lavoro sul blocco.
La variazione di energia potenziale sarà data da:
xf
yf
xi
yi
ΔU = −L = − ∫ Fm (x)dx= − ∫
1 2 xf 1
−kx dx = k x
= k Δx 2
xi
2
2
( )
1
2
2
ΔU = k x f − xi
2
(
)
Analogamente a quanto fatto per l’energia potenziale gravitazionale, associamo un
valore di U ad una posizione di riferimento.
Poniamo U=0 quando x=0 (cioè quando il blocco passa per la posizione di
equilibrio della molla)
1 2
U = kx
2
Energia
potenziale
elastica
Energia totale e forza elastica
Nel caso di una forza elastica si conserva l’energia meccanica data dalla somma:
1
1
E = cost = T +U = mv2 + kx 2
2
2
Ø Quando la molla viene compressa oppure dilatata aumenta lo spostamento x e
quindi l’energia potenziale.
Ø Affinché l’energia meccanica del sistema si conservi, l’energia cinetica (e la velocità
del corpo) deve diminuire, fino al limite di massima compressione o dilatazione in
cui si ha :
x = xmax
T = 0 ed U = U max = E
Ø Durante il processo di allungamento o compressione della molla, la molla
compie lavoro resistente
Ø Quando la molla torna verso la sua posizione di riposo l’energia potenziale si
trasforma in energia cinetica: U diminuisce e T aumenta finché nella posizione x=0
si ha:
x =0
U = 0 e T = Tmax = E
Ø Durante il processo di “scaricamento della molla” la molla compie lavoro
motore
Quando la molla passa per il punto di equilibrio la velocità raggiunge il
valore massimo (in modulo).
NB:
Il lavoro totale compiuto durante una oscillazione completa
NULLO .
è
Esempio: il pendolo
Pendolo: Un corpo di massa m è fissato ad un punto tramite un
filo inestensibile di lunghezza L
(oppure ad un’asticella di massa
trascurabile) sottoposto alla forza peso.
Il corpo è, ogni istante, sottoposto sia
alla forza peso P, sia alla tensione del
filo T , che lo mantiene a distanza
costante L dal punto fisso, ed è diretto
come il filo.
Lo spostamento è sempre
perpendicolare alla tensione del filo,
lungo una traiettoria circolare
Esempio: il Pendolo (2)
Dato un pendolo costituito da un filo inestensibile di lunghezza L e da una
massa m attaccato ad esso, determinare la velocità del pendolo nel punto
più basso di oscillazione se l’angolo massimo di oscillazione è θmax
• Le forze che agiscono sul pendolo sono la tensione
del filo T e la forza peso P. Lo spostamento è
sempre lungo la tangente alla traiettoria circolare
che compie la massa m durante la sua oscillazione
• La tensione del filo quindi non compie lavoro in
quanto istante per istante è perpendicolare allo
spostamento.
• Il lavoro è svolto solo dalla forza peso.
La variazione di energia potenziale sarà quindi :
LP = −ΔU = −mgyf + mgyi
Scegliamo come riferimento per le quote la quota minima.
Durante l’oscillazione si conserva l’energia totale data da:
E = T+U=½m v2 + mgy = costante
ymax
Nella posizione di massima altezza avremo: E = U= mgymax = mgL (1 - cosθmax)
(K=0)
Nella posizione di minima quota avremo invece: E = K = 1/2 m v2
(U=0)
1/2 m v2 = mgL(1 - cosθmax)
(
v = 2gL 1 − cosθ max
)
L cosθmax
θmax
L-L cosθmax =L(1- cosθmax )
L
Lavoro svolto su un sistema da una forza esterna
Consideriamo una forza esterna che agisce su un sistema.
Il lavoro è l’energia trasferita a o da il sistema per mezzo della forza
esterna che agisce su di esso
Sistema
L>0
Energia
trasferita
al sistema
Sistema
L<0
Energia
sottratta al
sistema
Ø Se il sistema è costituito da un’unica particella puntiforme il trasferimento di
energia avviene solo attraverso la variazione di energia cinetica
Ø Se il sistema è più complesso la variazione di energia può avvenire anche
attraverso altre forme (es: energia potenziale)
Lavoro delle forze non conservative
Ø Nel caso in cui agiscano forze non conservative, quali la forza d’attrito, non si può
definire una energia potenziale.
f
Ø Il lavoro dipende dalla traiettoria
1
1
2
2
L
=
F
dr
=
mv
−
mv
∫
Ø È sempre valido il teorema dell’energia cinetica:
t
f
i
2
2
i
Ø Se agiscono contemporaneamente forze conservative e forze non conservative il
lavoro compiuto sul sistema sarà dato dalla somma del lavoro compiuto dalle forze
conservative e da quello compiuto dalle forze non conservative:
f
L = Lc + Lnc =
f
∫i Fct dr
#"!
+
non dip. dal percorso
Ma è vero anche che: L =
ci
©
v
Lnc = ΔU c + L
dip. dal percorso
1
1
mv2f − mvi2
2
2
1 2 1 2
Lnc = ΔU c + mv f − mvi
! 2
2
U −U
cf
∫i Fnct dr = −ΔU c + Lnc
#"!
(
si può quindi scrivere:
)(
)
= U c + Tf − U c + Ti = E f − Ei = ΔE
f
i
Il lavoro delle forze non conservative è pari alla variazione di energia
meccanica
Lnc = ΔE
Sistemi di punti materiali -Forze interne ed esterne
!
F ji
Fij = − F ji
Pi
Pj
!
Fij
Ø Consideriamo un sistema di n punti materiali, interagenti tra loro e con il resto
dell’universo.
Ø In generale sul punto
! I j agiranno forze esercitate dagli altri n-1 punti materiali
dette forze
! E interne F e le forze esercitate da agenti esterni al sistema, dette forze
esterne F .
Ø La forza agente sul singolo punto j e’ data dalla risultante di tutte le forze agenti:
!
!I
!E
Fj = ∑ Fnj + ∑ Fk
n
k
Ø Per le forze
interne vale il principio!di azione e reazione: per ogni forza
!
interna Fij esiste un’altra forza interna F ji tale che Fij =- Fji .
Sistemi di punti materiali -Forze interne ed esterne
!
!
!E
Fj = ∑ Fnj + ∑ Fk
n
k
Ø Consideriamo la risultante di tutte le forze agenti su tutti i punti di un sistema:
!
!
!
! E ⎞ ! I ! E
⎛
R = ∑ F j = ∑ ⎜ ∑ Fnj + ∑ Fk ⎟ = R + R
j
j ⎝ n
k
⎠
Risultante delle forze
agenti sul j-simo
puntodel sistema
Somma di tutte le
forze ESTERNE
agenti sul
j-simo punto del
sistema
Somma di tutte le
forze ESTERNE
agenti sul j-simo
punto del sistema
Ø Le forze interne si annullano a coppie quindi:
Somma di tutte
le forze
INTERNE
agenti sul
sistema
Somma di tutte
le forze
INTERNE
agenti sul
sistema
!I
! ⎞
!
⎛
R = ∑ ⎜ ∑ Fnj ⎟ = ∑ Fnj = 0
j ⎝ n
⎠ jn
Si ha che:
La risultante delle forze agenti su un sistema è pari alla risultante delle
sole forze esterne
!
! E ⎞ ! E
⎛
R = ∑ ⎜ ∑ Fk ⎟ = R
j ⎝ k
⎠
Quantità di moto(1)
!
p
Nuova grandezza : la quantità di moto
Ø La quantità di moto di un corpo di massa m è un vettore pari al prodotto
della vettore velocità moltiplicato per la massa del corpo stesso
!
p = mv
Ø La quantità di moto ha stessa direzione e verso del vettore velocità
Ø Questa grandezza racchiude in sé sia le proprietà di moto del corpo che di
resistenza alla modifica di tale moto .
Ø La quantità di moto ha un significato più generale della massa o della velocità
prese singolarmente, e distingue tra corpi di masse diverse che si muovono con
stessa velocità.
Ø Le dimensioni della quantità di moto sono [M][L][T]-1 e l’unità di misura è kg·m/s
Ø La quantità di moto di un corpo spesso è chiamata “momento! del corpo”
Ø Se il corpo si muove in una direzione qualsiasi dello spazio, p si può descrivere
mediante le sue tre componenti lungo x,y e z:
!
p = px î + py ĵ + pz k̂
dove:
! p = mv
x
## x
" py = mvy
#
#$ pz = mvz
Quantità di moto(2)
La quantità di moto permette di definire la seconda legge di Newton in una forma
generalizzata.
!
!
La forma che abbiamo visto :
F = ma
∑
vale infatti solo nel caso in cui m rimanga costante.
Riformulando questa legge mediante la quantità di moto, si includono anche i casi
un cui m varia.
Legge di Newton generalizzata:
La rapidità di variazione della quantità di moto ( la sua derivata ) di un
corpo è proporzionale alla risultante delle forze che agisce sul corpo ed
ha la stessa direzione
! dp!
∑ F = dt
Forma generalizzata
della 2° legge di Newton
La quantità di moto di una
particella varia se su di essa
è applicata una forza
risultante non nulla
Naturalmente se m è costante le due formule coincidono:
!
!
!
!
! dp d mv
!
!
dm
dv
dv
∑ F = dt = dt = dt v + m dt = m dt = ma
!
( )
0
Sistemi di punti materiali -Forze interne ed esterne
!
F ji
Fij = − F ji
Pi
Pj
!
Fij
Ø Consideriamo un sistema di n punti materiali, interagenti tra loro e con il resto
dell’universo.
Ø In generale sul punto
! I j agiranno forze esercitate dagli altri n-1 punti materiali
dette forze
! E interne F e le forze esercitate da agenti esterni al sistema, dette forze
esterne F .
Ø La forza agente sul singolo punto j e’ data dalla risultante di tutte le forze agenti:
!
!I
!E
Fj = ∑ Fnj + ∑ Fk
n
k
Ø Per le forze
interne vale il principio!di azione e reazione: per ogni forza
!
interna Fij esiste un’altra forza interna F ji tale che Fij =- Fji .
Sistemi di punti materiali -Forze interne ed esterne
!
!
!E
Fj = ∑ Fnj + ∑ Fk
n
k
Ø Consideriamo la risultante di tutte le forze agenti su tutti i punti di un sistema:
!
!
!
! E ⎞ ! I ! E
⎛
R = ∑ F j = ∑ ⎜ ∑ Fnj + ∑ Fk ⎟ = R + R
j
j ⎝ n
k
⎠
Risultante delle forze
agenti sul j-simo
puntodel sistema
Somma di tutte le
forze ESTERNE
agenti sul
j-simo punto del
sistema
Somma di tutte le
forze ESTERNE
agenti sul j-simo
punto del sistema
Ø Le forze interne si annullano a coppie quindi:
Somma di tutte
le forze
INTERNE
agenti sul
sistema
Somma di tutte
le forze
INTERNE
agenti sul
sistema
!I
! ⎞
!
⎛
R = ∑ ⎜ ∑ Fnj ⎟ = ∑ Fnj = 0
j ⎝ n
⎠ jn
Si ha che:
La risultante delle forze agenti su un sistema è pari alla risultante delle
sole forze esterne
!
" ! % !
R = ∑$ ∑ FkE ' = R E
&
j # k
Un sistema per il quale risulta che la risultante delle forze esterne agenti
su di esso è nulla si dice ISOLATO
Un sistema che non scambia massa con l’esterno si dice CHIUSO
Quantità di moto di un sistema isolato
Se consideriamo un sistema! isolato (RE=0) , costituito da due o più particelle
la quantità di moto totale P di tale sistema, dato dalla! somma delle
quantità di moto delle particelle che lo compongono ( P = ∑ pi ) , si conserva
i
Per semplicità consideriamo un sistema costituito da due particelle
di massa m1 ed
m2 che interagiscono tra di loro.
L’interazione tra le due palline! per il
! terzo principio della dinamica avviene
!
!
mediante una coppia di forze
! F12 e F
! 21 tali che:
F12 = − F21
F21 + F12 = 0
Per il secondo principio della dinamica questa relazione si può riscrivere:
!
!
m1a1 + m2a2 = 0
m1
!
dv1
dt
+ m2
!
dv2
dt
=0
Se la massa delle due particelle rimane costante nel tempo si può trasformare la
somma di derivate in una derivata della somma:
!
!
!
!
d m1v1 d m2v2
d m1v1 + m2v2
+
=0
=0
dt
dt
dt
!
!
! !
!
!
d
m
v
+
m
v
d
p
+
p
dP
Ma:
1 1
2 2
1
2
P = la quantità di moto totale del
=
=
=0
sistema isolato
dt
dt
dt
Si trova quindi che:
!
in un sistema isolato la variazione
dP
della quantità di! moto totale del
=0
dt
sistema è nulla e P rimane costante
(
(
) (
)
(
)
(
)
!
P = costante
)
Esempio dell’arciere
Un arciere di massa mA= 60kg è fermo su un blocco di ghiaccio ( assenza di attrito)
e tira una freccia di massa mF= 0.50 kg orizzontalmente a 50m/s.
L’arciere comincerà a muoversi immediatamente dopo il lancio?
Se sì, con quale velocità ?
Questo esercizio non può essere svolto solo utilizzando la conservazione
della quantità di moto del sistema ARCIERE-FRECCIA
Il sistema in realtà non è isolato in quanto sia sulla freccia che sull’arciere agisce
la forza gravitazionale e la normale . Queste forze però sono perpendicolari al moto
del sistema. Non esistono quindi forze esterne che agiscono lungo l’asse orizzontale
e possiamo considerare il sistema isolato lungo tale direzione.
La quantità di moto totale del sistema lungo la direzione orizzontale si deve
conservare:
mAvA + mF vFx = mAvAi + mF vFi = mAvAf + mF vFf = costante
x
Poiché prima del lancio la quantità di moto del sistema era nulla anche dopo il
lancio essa dovrà risultare nulla, quindi poiché la freccia si muove anche l’arciere si
dovrà muovere in modo da compensare con la sua quantità di moto la quantità di
moto della freccia:
m
mAvAi + mF vFi = 0
mAvAf + mF vFf = 0
vAf = −
F
mA
vFf = −0.42m s
Impulso e quantità di moto
Abbiamo visto che la quantità di moto di una particella varia se su di essa agisce
!
una forza risultante non nulla:
!
dp
∑ F = dt
Riscriviamo questa relazione esplicitando dp e quindi integriamo per ottenere la
variazione della quantità di moto nell’intervallo di tempo Δt=tf -ti:
!
!
dp = ∑ Fdt
f
tf
i
ti
! !
!
!
∫ dp = pf − pi = Δp =
!
∫ ∑ Fdt
Questo integrale della forza rispetto al tempo è definito IMPULSO DELLA FORZA
!
I
! tf
!
!
I = ∫ ∑ Fdt = Δp
ti
L’impulso è un vettore che ha stessa direzione della variazione della quantità di moto
e le dimensioni della quantità di moto
Quando la forza applicata è costante (nel tempo) l’impulso è dato semplicemente dal
prodotto della forza per l’intervallo di tempo in cui essa è applicata
! !
!
I = F Δt = Δp
Impulso per un sistema di corpi
Nel caso di un sistema di particelle sul quale agisce una forza risultante esterna che
produce quindi una variazione della quantità di moto totale del sistema si ha:
! tf !
!
I = ∫ Rdt = ΔP
dove
ti
!
!
R = ∑ Fest
L’impulso passato ad un sistema è pari alla variazione della quantità di
moto totale del sistema nell’intervallo di tempo Δt
Quindi, quando viene dato ad un sistema un impulso, significa che una certa
quantità di moto viene fornita al sistema dall’esterno
NB: per come è definito l’impulso, graficamente esso è
uguale all’area sottesa alla curva F(t) in funzione di t,
nell’intervallo di tempo compreso tra ti e tf .
tf
I=
Introducendo il concetto media temporale della forza
risultante media
!
1 !
R =
Rdt
∫
Δt
∫ ∑ Fdt
ti
!
R = Fmedia
risultante
media
ti
si può esprimere il teorema dell’impulso
tramite la relazione equivalente:
!
!
!
I = ΔP = R Δt
Nel caso particolare che la forza risultante sia costante
nel tempo l’impulso può essere riscritto nella forma:
!
! !
I = ΔP = RΔt
!
R = costante
Forze impulsive ed urti
Approssimazione dell’Impulso:
Ø In molte situazioni si può assumere che una delle forze agenti su una particella
agisca per un breve intervallo di tempo, ma che in tale intervallo sia molto più
intensa delle altre.
Ø In questa approssimazione si può trascurare il contributo all’impulso da parte
delle altre forze agenti e la variazione di quantità di moto della particella sarà
determinata dall’impulso della sola forza dominante.
Ø Negli urti tra particelle si assume che la mutua interazione tra le particelle
nell’urto sia molto più intensa di tutte le forze esterne.
Ø L’urto può essere dovuto ad un contatto fisico tra due corpi (valido solo a livello
macroscopico) o ad un’interazione molto intensa che non prevede il “contatto
fisico” ( urto a livello microscopico)
Ø Quando due particelle di massa m1 ed m2 si urtano e consideriamo queste due
particelle come un sistema isolato, la loro quantità di moto totale si conserva
infatti:
f
!
!
Δp1 = ∫ F12 dt
i
f
!
!
Δp2 = ∫ F21dt
!
!
Δp1 + Δp2 = 0
!
!
dove F12 = − F21
!
!
Δp1 = −Δp2
i
!
!
!
!
p1i − p1 f + p2i − p2 f = 0
! !
Pi = Pf = cost
%
%
%
%
p1i + p2i = p1 f + p2 f
!
"
$
!#
!
" $!#
%
%
Pi
Pf
Urti
Abbiamo appena visto che negli urti si conserva la quantità di moto del
sistema, in generale però NON si conserva l’energia cinetica.
Proprio in funzione del comportamento dell’energia cinetica gli urti vengono
differenziati in tre categorie:
Ø Urti elastici nei quali si conserva anche l’energia cinetica del sistema ΔK=0
Ø Urti anelastici nei quali NON si conserva l’energia cinetica del sistema ΔK≠0
Ø Urti perfettamente anelastici nei quali NON si conserva l’energia cinetica del
sistema (ΔK≠0) ed i corpi dopo l’urto risultano uniti l’uno all’altro e si comportano
come un singolo corpo di massa m1+m2
Mentre la quantità di moto si conserva in tutti i tipi di urti, l’energia
cinetica si conserva solo negli urti elastici
Urti elastici (non c’è dissipazione di energia cinetica)
Consideriamo due! particelle
di massa m1 ed m2, che si muovono lungo una retta con
!
velocità iniziali v1i e v2i
Nell’ urto elastico valgono le relazioni:
m1v1 + m2v2 = m1v1 + m2v2
i
Conservazione della
quantità di moto
Conservazione
dell’energia cinetica
i
f
f
!m v! + m v! = m v! + m v!
2 2i
1 1f
2 2f
# 1 1i
"1
# m v2 + 1 m v2 = 1 m v2 + 1 m v2
$ 2 1 1i 2 2 2i 2 1 1f 2 2 2 f
da cui (nel caso di moto in una dimensione) si può ricavare che:
"m − m %
2'
v1 = $$ 1
v1
'
f
# m1 + m2 & i
! 2m $
!m − m $
" 2m %
1
1&
2
& v1 + # 2
' v2 v2 = #
v2
+ $$
#
&
#
&
'
f
" m1 + m2 % i " m1 + m2 % i
# m1 + m2 & i
(dimostrazione alla lavagna)
NB: le velocità
possono essere
positive negative o
nulle
Urti elastici- qualche caso particolare
! 2m $
!m − m $
"m − m %
" 2m %
1
2
1&
2'
2
#
&
#
$
'
v
=
v
+
v2i
v1f = $$ 1
v
+
v
2f
1i
1i
2i
#
&
#
&
'
$
'
" m1 + m2 %
" m1 + m2 %
# m1 + m2 &
# m1 + m2 &
v1f = +v2i
Ø Se m1=m2
v2 f = v1i
Cioè in un urto frontale tra due particelle
uguali queste si scambiano la velocità
Ø Se la particella 2 è inizialmente in quiete ( v
2i
Ø Se m1>>m2 e
v2i = 0
v1f ≅ v1i
v2 f ≅ 2vif
Ø Se m2>>m1 e v2i
=0
v1f ≅ −v1i
v2 f ≅ 0
=0)
"m − m %
2'
v1f = $$ 1
v1i
'
# m1 + m2 &
! 2m $
1
& v1i
v2 f = ##
&
" m1 + m2 %
Cioè se una massa molto pesante urta una massa
leggera inizialmente ferma, la pallina molto più
pesante prosegue indisturbata il suo moto mentre
la massa più piccola rimbalza con velocità doppia
rispetto a quella iniziale della particella pesante
Cioè se una massa molto leggera urta una massa
molto pesante inizialmente ferma, la pallina
leggera inverte la sua direzione mantenendo
costante la sua velocità mentre quella pesante
rimane ferma
Urto perfettamente anelastico
Consideriamo due! particelle
di massa m1 ed m2, che si muovono lungo una retta con
!
velocità iniziali v1i e v2 i
Dopo un urto perfettamente anelastico tra le due particelle
esse risultano “ fuse
!
insieme” e si muovono con una stessa velocità finale v f
La quantità totale del sistema si conserva:
(
)
m1v1i + m1v2i = m1 + m2 vf
vf =
m1v1i + m1v2i
m1 + m2
Conoscendo quindi le velocità iniziali delle due particelle è possibile
calcolare la velocità finale comune
Sistema di punti
In generale, per determinare completamente il moto di un sistema costituito da n
punti materiali, si deve risolvere un sistema di 3n equazioni. Abbiamo infatti che:
Il moto del sistema verrà descritto da n equazioni vettoriali (una per ciascun punto):
!
!
m j a j = Fj
con j=1,n
Ed ognuna di queste equazioni vettoriali può essere riscritta come tre equazioni
lungo x,y,z:
m j a j = Fj
x
x
m j a j = Fj
y
y
m j a j = Fj
z
j = 1,n
z
Definiamo allora per ciascun punto i-simo le seguenti grandezze:
Posizione:
Accelerazione:
Momento Angolare:
!
ri
!
!
ai = Fi mi
! !
!
Li = ri × mivi
velocità
!
vi
!
!
pi = mivi
Ti = 1 2mivi2
quantità di moto
energia cinetica
Per il sistema complessivo di punti definiamo inoltre:
Quantità di moto totale del sistema
Momento angolare totale del sistema
Energia cinetica totale del sistema
!
!
!
P = ∑ pi = ∑ mi vi
i !
i !
!
!
L = ∑ Li = ∑ ri × mi vi
i
i
T = ∑Ti = ∑1 2mivi2
i
i
Centro di massa di un sistema
Descrivere il moto di un corpo esteso o di un sistema di punti può risultare molto
complicato dato che ogni punto del corpo si muove in maniera differente dagli altri
seguendo traiettorie differenti
Consideriamo per esempio una mazza da baseball che viene lanciata roteando in
aria.
Benché il moto sia complicato e differente per ciascuna
parte della mazza, esiste un punto della mazza che si muove
come se in esso fosse contenuta tutta la massa della mazza e
come se tutte le forze esterne agissero su di lui => moto parabolico
Centro di Massa: di un corpo o di un sistema di corpi è il punto che si muove come se
tutta la massa fosse contenuta in esso e come se tutte le forze esterne agissero su di
esso
Permette quindi di descrivere il moto complessivo del sistema
Dal punto di vista matematico, si definisce centro di massa di un sistema di punti
materiali il punto geometrico la cui posizione è individuata dal raggio vettore:
!
mi ri
!
∑
Rcm = i m =
∑ i
i
!
!
!
!
!
m1r1 + m2 r2 + m3r3 + m4 r4 + .......+ mn rn
m1 + m2 + m3 + m4 + .......+ mn
Posizione media,
pesata in funzione
delle masse
Centro di Massa
!
mi ri
!
∑
Rcm = i m =
∑ i
!
!
!
!
!
m1r1 + m2 r2 + m3r3 + m4 r4 + .......+ mn rn
m1 + m2 + m3 + m4 + .......+ mn
i
dove
!
R cm
!
Rcm = x cm iˆ + y cm ˆj + z cm kˆ
!
ri = x i iˆ + y i ˆj + z i kˆ
Esempio: Centro di massa di due particelle di massa m1 ed m2
Poste entrambe sull’asse x
xcm
∑ mi xi
= i m =
∑ i
m1 x1 + m2 x2
m1 + m2
i
Se m2 > m1, xcm si troverà più vicino alla posizione x2
Centro di massa
Esempio: Centro di massa di tre particelle di massa m1 ed m2 ed m3 come mostrate
in figura .
!
!
∑ mi ri
Rcm = i m =
∑ i
!
!
!
m1r1 + m2 r2 + m3r3
m1 + m2 + m3
i
⎧ x1 = d
!
⎪
r1 → ⎨ y1 = 0
⎪m = 2m
⎩ 1
⎧ x2 = d + b
!
⎪
r2 → ⎨ y2 = 0
⎪m = m
⎩ 2
xcm =
m1 x1 + m2 x2 + m3 x3
m1 + m2 + m3
ycm =
m1 y1 + m2 y2 + m3 y3
m1 + m2 + m3
=
=
⎧ x3 = d + b
!
⎪
r3 → ⎨ y3 = h
⎪m = 4m
⎩ 3
2 md + m ( d + b ) + 4 m ( d + b )
2m+ m+ 4m
0 + 0 + 4 mh
7m
=
7 md + 5 mb
7m
4
= h
7
!
5 ⎞ ˆ 4 ˆ
⎛
ˆ
ˆ
Rcm = xcm i + ycm j = ⎜ d + b ⎟i + bj
7 ⎠ 7
⎝
5
=d+ b
7
Moto di un sistema di particelle
Consideriamo un sistema costituito da n punti materiali.
Assumendo che la massa totale M =
∑ mi del sistema rimanga costante possiamo
i
determinare la velocità del centro di massa integrando il vettore posizione del CM:
!
vcm =
!
dRcm
dt
!
dr
mi i
dt
∑
!
1
i
=
=
m
v
∑
i
i
∑ mi
M i
i
Ricordando la definizione di quantità di moto totale del sistema:
Possiamo scrivere:
!
!
1
vcm =
P
M
!
!
P = Mvcm
!
!
!
P = ∑ pi = mi vi
Velocità del
centro di massa
i
Quantità di
moto totale del
sistema
La quantità di moto totale del sistema è pari al prodotto della massa totale
del sistema per la velocità del suo centro di massa=> cioè è uguale alla !
quantità di moto di una particella di massa M che si muove con velocità vcm
Moto di un sistema di particelle (2)
Analogamente a quanto fatto per la velocità si può ricavare l’accelerazione del
!
centro di massa:
dvi
!
acm =
!
dvcm
dt
∑ mi dt
!
1
i
=
=
∑ mi ai
m
i
∑
M i
i
Se il sistema di riferimento è inerziale:
! int
! ext ! int ! ext
!
mi ai = ∑ F ji + ∑ F ji = Fi + Fi
j
j
Ricordando che la risultante delle forze interne è nulla:
!
acm
!
!
!
1
1
R
=
∑ mi ai =
∑ Fest =
M i
M i
M
! est
!
R = Macm
Teorema del centro di massa:
Ø il centro di massa si muove come un punto materiale in cui sia concentrata tutta la
massa del sistema ed a cui sia applicata la risultante delle forze esterne, oppure,
Ø la risultante delle forze esterne agenti sul sistema di particelle è uguale alla massa
totale del sistema moltiplicata per l’accelerazione del centro di massa