INDICE CAPITOLO 2. MATERIALI PER L’ELETTRONICA 2.1. INTRODUZIONE 2.2. CONDUTTORI 2.3. ISOLANTI 2.4. SEMICONDUTTORI 1.1.1. Modello a Dualità di Carica 1.1.2. Mobilità 1.1.3. Densità di Corrente di drift in un Conduttore 1.1.4. Densità di Corrente in un Semiconduttore 1.1.5. Aspetti Fenomenologici nei Semiconduttori 1.1.6. Diffusione 1.1.7. Equazioni del Trasporto 1.1.8. Relazione di Boltzmann 1.1.9. Equazione di Continuità 1.1.10. Silicio 2. MATERIALI PER L’ELETTRONICA 2.1.Introduzione I materiali per applicazioni elettriche/elettroniche sono generalmente classificati in funzione del loro valore di resistività ρ [Ω cm] (o del suo inverso, la conducibilità σ [Siemens/cm]): Materiale Resistività [Ωcm] Isolanti ρ > 105 Semiconduttori 10-3< ρ < 105 Conduttori ρ < 10-3 Tabella 1: classificazione dei materiali in funzione della loro resistività La resistività (o la conducibilità) sono parametri che descrivono globalmente le caratteristiche del processo di conduzione elettrica del materiale considerato. 2.2.Conduttori Conduttori sono quei materiali che rendono facilmente disponibili un gran numero di elettroni per la conduzione di corrente elettrica. Candidati ad essere buoni conduttori sono i materiali con pochi elettroni di valenza, in quanto è energeticamente più favorevole per un atomo perdere elettroni di un orbita quasi del tutto vuota, piuttosto che elettroni di un orbita quasi completa. E’ per questo che in generale buoni conduttori sono i metalli, ossia elementi con pochi atomi di valenza. Classici esempi sono: il rame, l’alluminio, l’argento, l’oro. E’ importante sottolineare il fatto che, essendo l’energia strettamente correlata alla temperatura, già a temperatura ambiente gli elettroni di valenza dei conduttori sono liberi per la conduzione perchè con energia sufficiente da “allontanarsi” dal nucleo. 1 Gli elettroni di valenza ancora legati al nucleo posseggono un valore di energia che risulta in un range denominato banda di valenza. Quando invece gli stessi elettroni acquistano una energia tale da svincolarsi dal nucleo ed essere disponibili alla conduzione allora la loro energia risulterà di valore esterno alla banda di valenza e cadrà nella banda di conduzione. I conduttori hanno tipicamente un gran numero di elettroni con energia in banda di conduzione. Nel campo della fisica atomica l’unità di misura che si adotta per l’energia è l’elettronvolt (eV) che rappresenta l’energia acquisita da 1 elettrone sottoposto a differenza di potenziale di 1 volt (1eV=1.602*10-19J). 0 elettroni (a T=0 K) 4N stati banda di conduzione Energia E Atomi isolati 2N elettroni (p) 6N stati EG 4N elettroni 4N stati banda di valenza 2N elettroni (s) 2N stati Livelli energetici delle cortecce più interne dell’atomo d0 d metallo isolante semiconduttore Figura 1: andamento delle bande di energia per i diversi tipi di materiali La banda di energia compresa fra la banda di valenza e quella di conduzione, che si definisce come banda proibita (o gap) è per i conduttori (come evidenziato in figura), trascurabile (≤ 0.01eV) o nulla. Quando un potenziale elettrico è applicato alle facce di un conduttore, gli elettroni liberi (in banda di conduzione) si muovono nella direzione imposta dal campo creando un flusso di cariche in movimento e quindi una corrente elettrica. La resistenza elettrica R di un conduttore, è funzione delle caratteristiche fisiche del materiale adottato (ρ) e di quelle geometriche, ossia lunghezza (l) e sezione (s): l [Ω] s La tabella che segue riporta valori tipici di resistività di comuni conduttori. R=ρ Materiale Argento Costantana Oro Composizione Cu+45%Ni+1%Mn 2 ρ (@20°C) [Ωcm] 1.59*10-6 50*10-6 2.24*10-6 ∆ρ/°C [%/°C] 0.41 0.002 0.40 Manganina Mercurio Nichel-Cromo Rame Rame elettrolitico 42*10-6 9.84*10-5 107*10-6 1.67*10-6 1.72*10-6 Cu+12%Ni+2%Ni 80%Ni+20%Cr 99.99% 99.9% ricotto 0.001 0.0011 0.40 0.93 Tabella 2: alcuni conduttori con i rispettivi valori di resistività L’unità di misura della resistenza elettrica è l’ohm (Ω). 2.3.Isolanti Negli isolanti gli elettroni di valenza sono strettamente legati ai loro atomi e l’energia per liberarli è di gran lunga maggiore di quella necessaria nel caso dei conduttori. Rimanendo quindi gli elettroni legati al nucleo, il loro numero disponibile per la conduzione si rivela assai piccolo e, di fatto, non conducono. Nel caso degli isolanti la banda proibita ha un intervallo energetico di alcuni eV, e un materiale sarà tanto un buon isolante quanto maggiore sarà quest’intervallo energetico. Nel caso del diamante, ad es., che è un ottimo isolante, la banda proibita è di 7eV. La tabella che segue mostra alcuni materiali isolanti e la loro resistività media Materiale ρ [Ωcm] Ceramica 109÷1012 Gomma 1011÷1014 Legno secco 106÷1012 Vetro 108÷1012 Tabella 3: alcuni isolanti con i loro valori di resistività 2.4.Semiconduttori La maggior parte dei dispositivi elettronici sfrutta le proprietà delle giunzioni tra materiali semiconduttori caratterizzati da proprietà diverse, oppure tra metallo e semiconduttore. Lo studio di tali dispositivi richiede perciò la conoscenza delle proprietà chimiche, fisiche, termiche ed elettriche dei semiconduttori. I semiconduttori presentando una gap energetica non eccessivamente ampia, ma non trascurabile (tipicamente non supera ≅1.5eV). Esempi tipici di semiconduttori, fra i più adottati in elettronica, sono il silicio (Si) con una gap (Eg) pari a Eg≅1.12eV, il germanio (Ge) con Eg≅0.72eV, l’Indio (In) con Eg≅0.23eV, l’arseniuro di gallio (GaAs) con Eg≅1.41eV. 3 Evuoto q·χ q·φS Econduzione Energy gap EF Evalenza Figura 2:esempio di diagramma a bande: Silicio intrinseco ( il Livello di Fermi è circa al centro tra EC ed EV) Il Livello di Vuoto rappresenta il livello energetico di riferimento superato il quale l’eccesso di energia è di natura cinetica. La banda di energia proibita è posizionata sotto il livello di vuoto. Definizioni: qφS : Funzione Lavoro qχ : Affinità Elettronica Si Ge Ga As Costante dielettrica εr 11.9 16.0 12.9 Costante reticolare [Å] 5.43 5.64 5.63 Band gap [eV] 1.12 0.66 1.42 µn [cm2/Vs] µn [cm2/Vs] ni [cm-3] ρ (@300K) [Ωcm] 1450 450 1.45⋅1010 230000 3900 1900 8500 400 13 2.4⋅10 6 9⋅10 45 7.8⋅108 Un semiconduttore cosidetto puro è definito come semiconduttore intrinseco. Tale tipo di semiconduttore non ha un numero di elettroni in banda di conduzione tale da poter generare una ragionevole corrente elettrica. Per incrementare questo numero una possibilità consiste nel far acquisire agli elettroni in banda di valenza una energia sufficiente a far si che oltrepassino la gap. Un modo per far ciò è quello di innalzare la temperatura del materiale (il calore è una forma di energia): aumenta così la corrente a parità di campo applicato. I semiconduttori hanno perciò un coefficiente di temperatura negativo, ossia la loro resistenza diminuisce all’aumentare della temperatura. Questo mezzo di aumentare il numero di elettroni, cosidetti portatori, a favore di una maggiore corrente elettrica è però evidentemente poco praticabile. Una ulteriore modalità è data dal cosiddetto drogaggio del semiconduttore, che rende il semiconduttore estrinseco. Per conoscere la dislocazione dei portatori ad un determinato valore di energia, occorre considerare sia il numero di stati disponibili sia il numero di portatori presenti. La funzione densità di stati, N(E), è proporzionale alla radice quadrata dell’energia e rappresenta il numero di stati disponibili ad essere occupati (e non quanti poi siano effettivamente occupati). Il numero medio di stati disponibili effettivamente occupati è calcolabile dalla sua probabilità di occupazione ad una data temperatura T, tramite la statistica di Fermi-Dirac, che determina la funzione di distribuzione delle probabilità mediante confronto tra l’energia di un dato portatore e l’energia di Fermi EF (il cui valore è di separazione tra gli stati occupati e quelli liberi). 4 La probabilità che uno stato di energia pari all’energia di Fermi sia occupato è ½. Il valore di energia di Fermi è quindi di separazione tra gli stati che hanno maggior probabilità di essere occupati (E<EF) e quelli che hanno maggior probabilità di essere vuoti (E>EF). E E E Banda di Conduzione EC EF EV ------+ + + Banda di Valenza 0 0.5 1 f(E) ρ(E) N(E) Figura 3: effetto del drogaggio di tipo “n” con innalzamento del livello di energia di Fermi E EC EF EV E E Banda di Conduzione - - - +++++++ Banda di Valenza 0 0.5 1 f(E) N(E) ρ(E) Figura 4: effetto del drogaggio di tipo “p” con riduzione del livello di energia di Fermi La distribuzione di Fermi-Dirac f(E) indica la probabilità che un elettrone occupi un certo stato elettronico avente energia E: 1 f (E ) = E − EF 1 + e kT in cui: k: costante di Boltzmann [eV/K], T: temperatura assoluta [K], EF: livello energetico di Fermi La moderna tecnologia elettronica utilizza un numero di materiali semiconduttori semplici, ossia costituiti da un’unica specie atomica (Si, Ge), e/o composti, ossia costituiti da più specie atomiche (GaAs, InP, SiGe, AlGaAs). 1.1.1. Modello a Dualità di Carica • • Dato un semiconduttore sottoposto ad una d.d.p., la corrente I misurata è dovuta sia ad un flusso di cariche positive che procedono con velocità di trasporto up diretta nel verso del campo elettrico, sia ad un flusso di cariche negative che procedono con velocità un diretta in verso opposto. Le velocità sono da intendersi velocità medie. 5 • Le cariche negative (elettroni) viaggiano con energie tipiche della banda di conduzione; le cariche positive (lacune) viaggiano con energie tipiche della banda di valenza. J E up un Figura 5 Quindi, dato un campo elettrico Ē, le ūp ed ūn per quanto riguarda i versi sono quelle disegnate in figura, essendo la forza pari F = q ⋅ E 1.1.2. Mobilità In un conduttore, posto ad una determinata temperatura, gli elettroni si muovono in modo casuale. La direzione del loro moto varia ad ogni collisione (elettrone-ione del reticolo cristallino o elettrone-elettrone). La distanza media percorsa tra due urti successivi è denominata libero cammino medio ed il moto casuale degli elettroni determina mediamente una corrente nulla nel materiale considerato, mentre ai suoi capi è rilevabile una tensione aleatoria (rumore) . Applicando ad un conduttore una tensione V, quindi un campo elettrico Ē [V/cm], la situazione varia: si ottiene una corrente non nulla detta corrente di Drift. In modo sperimentale può essere rilevata la relazione tra campo elettrico Ē e la velocità media degli elettroni ū [m/s]. 1.1.3. Densità di Corrente di drift in un Conduttore Si consideri la figura sottostante, rappresentante un conduttore, dove: I d L w A = d*w L = Lunghezza del conduttore. N = Numero di elettroni nel condutore. T = tempo medio necessario ad un elettrone per percorrere il conduttore. N/T = numero di elettroni che attraversa la sezione S nell’unità di tempo. Per quanto attiene la corrente I, si può scrivere: I = -(-q ⋅ u⋅N N ) ) = (q ⋅ L T 6 Per quanto riguarda la densità di corrente si ha, dalla precedente relazione: J= I u⋅N = q⋅ = q ⋅ n⋅u = ρ⋅u L⋅A A Dove : J [A/m2] è la densità di corrente; ρ [Q/cm3] è la densità di carica 1.1.4. Densità di Corrente in un Semiconduttore La densità di corrente J [A/m2] può essere quindi espressa come: J = ρ mu 3 Dove ρm è la densità di carica [Q/cm ], ū è la velocità media degli elettroni [m/s], σ è la conducibilità ed Ē il campo elettrico [V/cm]. Indicando con p la concentrazione di carica positiva [cm-3] e con n la concentrazione di carica negativa [cm-3], si ha: per le lacune per gli elettroni ρm = q p ρm = q n J p = + qpu p J n = − qnun Moltiplicando e dividendo il secondo membro per E e considerando: u up = µ pE ⇒ µp = p E u un = − µ n E ⇒ µn = − n E µp positivo ūp ha la medesima direzione e medesimo verso di Ē ⇒ ⇒ µn positivo ūn ha la medesima direzione e verso opposto di Ē Quindi: J p = qpu p E ; J n = − qnun E Si definiscono: σ p = qpµ p conducibilità delle lacune σ n = qnµ n conducibilità degli elettroni Si può definire una conducibilità totale da ognuna delle conducibilità parziali: σ tot = q ⋅ (p ⋅ µ p + n ⋅ µ n ) In questo caso, la densità di corrente J diventa: J = σ tot ⋅ E La conducibilità (σ) dipende dal numero di elettroni in banda di conduzione e dal numero delle lacune in banda di valenza Il numero di elettroni in banda di conduzione dipende da Eg e T ma anche dall’energia assorbita dal materiale (termica, radiazione,….) • Nei semiconduttori, in generale, s aumenta con la T. • Nei metalli, assunto in prima approssimazione R=R0(1+α T), s cresce al diminuire della T. 7 1.1.5. Aspetti Fenomenologici nei Semiconduttori Se si considera una barra di semiconduttore a cui venga applicata una d.d.p., la distribuzione di tale potenziale risulta lineare e come conseguenza la densità di carica risulta nulla, cioè la densità delle cariche mobili è bilanciata da quelle fisse. Infatti dall’Equazione di Poisson ρ ∇2V = − ε0 ⋅ εV risulta che, se V ha andamento lineare lungo la barra, allora: ρ≡0. 1.1.6. Diffusione L’effetto diffusivo, in assenza di forze che lo contrastino, produce un flusso di particelle in direzione ortogonale alla superficie di eguale concentrazione delle particelle stesse. Tale flusso procede dalle alte alle basse concentrazioni e con intensità legata al livello del gradiente. Indicando con φp e con φn le densità di flusso rispettivamente di lacune e di elettroni si può scrivere che: φ p = − D p ⋅ grad (p) φ n = −D n ⋅ grad (n) I coefficienti di diffusione Dp, Dn sono dati da: Dp = L2p Dn = τp dove: Ln e L p τn e τ p L2n τn rappresentano le lunghezze medie di diffusione. rappresentano i tempi medi tra urti successivi per gli elettroni e le lacune ⎤ [D ] = [D ] = ⎡⎢ cm ⎥ sec 2 p n ⎣ ⎦ Tra i coefficienti di diffusione e la mobilità sussistono le relazioni di Einstein seguenti: k ⋅T k ⋅T Dp = µn Dn = µp q q Valori tipici per T = 300K del coefficiente di diffusione per elettroni e lacune del Si e del Ge Silicio: Germanio Dp = 13 cm2/sec Dp = 50 cm2/sec Dn = 35 cm2/sec Dn = 100 cm2/sec T è la temperatura assoluta e k è la costante di Boltzman (1,35*10-23 [J/K]). Inoltre valgono le seguenti relazioni: Dp Dn T = = VT = Volt µp µn 11.600 Corrente di diffusione: Moltiplicando i flussi φn e φp per la carica degli elettroni e delle lacune si ottengono le densità di corrente Jn e Jp: J n = q ⋅ D n ⋅ grad (n ) J p = −q ⋅ D p ⋅ grad (p ) 8 Assumendo il gradiente nullo nelle direzione degli assi y e z si potrà scrivere, lungo l’asse x, le seguenti due relazioni per le densità di corrente: J p = −q ⋅ D p ⋅ p d p (x) dx J n = q ⋅ Dn ⋅ Jp , φp n d n(x) dx φn Jn φp , φn Jp Jn x x Figura 6 1.1.7. Equazioni del Trasporto Gli effetti elettrico e diffusivo coesistono in un semiconduttore. La legge che descrive il movimento delle cariche è la combinazione dei due termini, uno di drift, dipendente dal campo, l’altro di diffusione , dipendente dal gradiente di concentrazione. Quindi le espressioni delle due densità di corrente Jp e Jn sono di seguito rappresentate : d p (x ) ⎧ ⎪J p = q ⋅ p ⋅ µ p ⋅ E − q ⋅ D p ⋅ d x ⎪ ⎨ ⎪ d n (x ) ⎪J n = q ⋅ n ⋅ µ n ⋅ E + q ⋅ D n ⋅ dx ⎩ DRIFT DIFFUSIONE Per quanto attiene la corrente totale: J tot = J p + J n 1.1.8. Relazione di Boltzmann Si consideri il caso di un semiconduttore in cui la concentrazione delle lacune vari con x. 9 p1 p2 x1 x2 Figura 7 Se in tale semiconduttore non è applicata alcuna tensione la Jtot deve essere nulla, pertanto: I drift = I diffusione D h = µ h ⋅ VT KT ≅ 26 mV alla temperatura di 300°K q Inoltre, per esempio per le lacune si ha: dV dp dp dV µ p ⋅ q ⋅ µh = − q ⋅ Dh = − h dV = − ; ⇒ dx dx p Dh VT dove : p2 VT = dp 1 ∫p p = − VT 1 V2 ∫ dV V1 V21 = VT ⋅ log p1 da cui si ottiene : p2 V21 p1 = p 2 ⋅ e VT Relazione di Boltzmann Procedendo in modo analogo si ottiene, per gli elettroni la relazione complementare seguente : −V21 n1 = n 2 ⋅ e VT 1.1.9. Equazione di Continuità Bilancio di conservazione dei portatori di carica. Si consideri un volume V, delimitato dalla superficie S, contenente lacune con densità p. V S Figura 8 Il numero totale di lacune P nel volume dato può essere espresso come segue: P = ∫ p ⋅ dV V La variazione di P nel tempo è data da: dP = d p ⋅ dV ∫ dt dt V 10 Tale variazione può essere dovuta, per esempio, ad un flusso uscente o entrante di cariche, più una variazione, nel processo di generazione-ricombinazione entro il volume. Sia allora: G = n° di coppie generate nell’unità di volume e nell’unità di tempo R = n° di coppie che si ricombinano nell’unità di volume e nell’unità di tempo ā = versore normale ad S, in un determinato punto. Allora si può scrivere per le lacune: d ∫ p ⋅ dV = ∫ (G − R ) ⋅ dV − ∫ φ p • a ⋅ dS dt V V S 1 d p ⋅ dV + ∫ (R − G ) ⋅ dV = − ∫ div (J p ) ⋅ dV qV V dt V ∫ ⎡d p ⎤ 1 + ( R − G ) + ⋅ div (J p )⎥ ⋅ dV = 0 q V ⎣ dt ⎦ ∫⎢ dove φp = J p q dp 1 + ( R − G ) + ⋅ div (J p ) = 0 dt q Ora si ponga: G = G th + G ′ Gth coppie generate per effetto termico nell’unità di tempo. G’ coppie generate per altri effetti nell’unità di tempo. Quindi: R − G = R − Gth − G′ Ponendo inoltre: U = R − G th 11 1.1.10. Silicio Il silicio è il materiale semiconduttore più utilizzato in elettronica. Strutturalmente l’atomo di silicio si dice completo1 quindi elettricamente neutro, avendo 14 protoni e 14 elettroni e possiede 4 elettroni nell’orbita di valenza. Specificamente al livello M (n=3) ha 2 elettroni nell’orbitale s e 2 nell’orbitale p. Questa caratteristica lo rende instabile con tendenza ad unirsi con altri elementi al fine di condividerne gli elettroni di valenza e completare l’orbitale p. Il completamento dell’orbitale p si ottiene con altri 4 elettroni: una possibilità è quella di legarsi con 2 atomi di ossigeno che, notoriamente, hanno 2 elettroni di valenza, formando così l’ossido di silicio (SiO2) assai più stabile. Proprio in virtù di questa maggiore stabilità il silicio seppur in natura diffusissimo (è circa il 27% della litosfera) lo si trova per lo più sotto forma di composti. (a) (b) (c) Figura 9: (a) struttura cristallina dell’atomo di silicio (b) schematizzazione di legame (c) elettrone svincolato dall’atomo che lascia un posto non occupato definito lacuna Nel caso del silicio gli elementi di cui solitamente viene drogato sono tipicamente l’arsenio (As) o il boro (B), a seconda delle proprietà elettriche di cui lo si vuol dotare. L’Arsenico, ad esempio, è un elemento pentavalente, ossia dotato di 5 elettroni di valenza (specificamente al livello M, n=3, ha 2 elettroni nell’orbitale s e 3 nell’orbitale p). Ha quindi 1 elettrone in più del necessario per poter completare l’orbitale p del livello n=3 del silicio, mettendo in comune con quest’ultimo gli elettroni di valenza. Arsenico e silicio per questo non si trovano legati in natura, ma artificialmente in laboratorio. Il fine di quest’opera di impiantazione di elettroni di arsenico nel silicio è proprio quella di poter sfruttare l’elettrone in più, non legato ormai ad alcun atomo, per la conduzione. Il drogaggio diminuisce quindi, in questo caso, la resistenza del silicio, che si dice di tipo n. Drogando il silicio con elementi trivalenti, ossia che hanno solo 3 elettroni di valenza (ad esempio il boro), anziché 4 come servirebbe al silicio per completare la banda di valenza, si ottiene che la corrente elettrica avviene non più per trasporto di elettroni della banda di conduzione (carica negativa), ma di lacune cioè di elettroni in banda di valenza (carica positiva). Il posto dell’elettrone in meno che occorrerebbe al completamento dell’orbitale di valenza, produce una vacanza (o lacuna) che è nella pratica equivalente ad una carica positiva, in quanto capace di attrarre, o essere riempita da un elettrone. 1 Un atomo si definisce completo quando il numero di elettroni è pari a quello dei protoni, in modo tale che le cariche elettriche risultano bilanciate e si ha neutralità complessiva dell’atomo. 12 Figura 10: tavola periodica degli elementi in cui si evidenziano i possibili candidati per il drogaggio del silicio Sia con drogaggio con elementi pentavalenti che trivalenti, il silicio continua, ovviamente, a rimanere neutro, data l’uguaglianza delle cariche elettriche positive e negative (l’atomo di silicio è di per se completo, così come lo è quello dell’arsenico o del boro). In termini da bande di energia l’introduzione delle lacune corrisponde ad inserire all’interno dell’energy gap un livello vicino alla banda di valenza dal quale gli elettroni possono facilmente “saltare” nella banda di valenza stessa e partecipare ai processi di conduzione elettrica del silicio. (A) (b) Figura 11: (a) drogaggio di tipo “p”e (b) drogaggio di tipo “n” del semiconduttore 13