Introduzione - Enea Frascati

INTRODUZIONE ..................................................................................................................................................... 3
CAPITOLO 1 ............................................................................................................................................................ 8
PRINCIPI DI PROTONTERAPIA .......................................................................................................................... 8
1.1 LA PROTONTERAPIA ................................................................................................................................................ 9
1.1.1 i vantaggi clinici della protonterapia ............................................................................................................... 9
1.1.2 Peculiarità dei fasci di protoni ....................................................................................................................... 12
1.2 CENTRI DI ADROTERAPIA NEL MONDO .................................................................................................................. 13
1.3 RICHIESTE CLINICHE E PARAMETRI FISICI DI UN FASCIO DI PROTONI ................................................................. 16
1.3.1 la profondità di penetrazione ed il range ....................................................................................................... 16
1.3.2 Modulazione dell’ energia e SOBP ................................................................................................................ 17
1.3.3 distribuzione della dose in direzione trasversale ........................................................................................... 20
1.3.4 il problema del movimento degli organi ........................................................................................................ 22
1.4 CENNI DI RADIOBIOLOGIA ..................................................................................................................................... 23
1.4.1 quantificazione degli effetti biologici ............................................................................................................. 23
1.4.2 efficacia biologica di protoni e ioni carbonio ................................................................................................ 26
CAPITOLO 2 ...........................................................................................................................................................28
IL PROGETTO TOP - IMPLART ..........................................................................................................................28
2.1 DESCRIZIONE DEL PROGETTO TOP-IMPLART.................................................................................................. 28
2.2 IL PROGETTO SATELLITE ISPAN.......................................................................................................................... 30
2.3 DESCRIZIONE DELL’INIETTORE ............................................................................................................................ 31
2.3.1 L’iniettore Accsys-Hitachi PL-7 ..................................................................................................................... 31
2.3.2 La sorgente di protoni duoplasmatron ........................................................................................................... 33
2.3.3 RFQ: Radio – Frequency Quadrupole ........................................................................................................... 35
2.3.4 DTL: Drift Tube Linac ................................................................................................................................... 39
2.4 IL FOCHEGGIAMENTO DEL FASCIO: I QUADRUPOLI ............................................................................................. 41
2.5 LA DEFLESSIONE DEL FASCIO: IL MAGNETE DI DEFLESSIONE .............................................................................. 45
CAPITOLO 3 ...........................................................................................................................................................48
GRANDEZZE CHE CARATTERIZZANO IL FASCIO ........................................................................................48
3.1 CARATTERIZZAZIONE DELLA DINAMICA TRASVERSALE DI UN FASCIO DI PROTONI ........................................... 48
3.1.1 la matrice di trasferimento ed il teorema di Liouville .................................................................................... 49
3.1.2 emittanza e parametri di Twiss ...................................................................................................................... 51
3.1.3 la matrice del fascio ....................................................................................................................................... 53
3.1.4 emittanza RMS e emittanza normalizzata ....................................................................................................... 54
3.2 CARATTERIZZAZIONE DELLA DINAMICA LONGITUDINALE DI UN FASCIO DI PROTONI ........................................ 56
3.2.1 Guadagno di energia del fascio ..................................................................................................................... 56
3.2.2 L’energy spread ............................................................................................................................................. 58
3.3 INTERAZIONE TRA FASCIO DI PROTONI E MATERIA .............................................................................................. 59
3.3.1 Lo stopping power .......................................................................................................................................... 59
3.3.2 La curva di Bragg .......................................................................................................................................... 62
3.3.3 Il range ........................................................................................................................................................... 63
3.3.4 La dose assorbita e la dose equivalente ......................................................................................................... 65
CAPITOLO 4 ...........................................................................................................................................................67
MISURE DI EMITTANZA E DEI PARAMETRI DI TWISS ................................................................................67
4.1 IL PRINCIPIO DI MISURA ........................................................................................................................................ 67
4.2 LE CONDIZIONI SPERIMENTALI DI MISURA ........................................................................................................... 71
4.2.2 La linea di trasporto del fascio ...................................................................................................................... 71
4.2.2 I parametri operativi dell’iniettore ................................................................................................................ 74
4. 3 PROCEDURA DI MISURA ........................................................................................................................................ 76
4.4 PRESENTAZIONE E DISCUSSIONE DEI RISULTATI OTTENUTI ................................................................................ 80
4.4.1 Misure a 3 MeV .............................................................................................................................................. 80
4.4.2Misure a 7 MeV ............................................................................................................................................... 85
4.5 CAUSE D’INCERTEZZA NELLA MISURA DI EMITTANZA ......................................................................................... 88
1
CAPITOLO 5 ...........................................................................................................................................................89
MISURE DI RANGE E PICCO DI BRAGG ...........................................................................................................89
5.1 PRINCIPIO DI MISURA ............................................................................................................................................ 89
5.2 LE CONDIZIONI SPERIMENTALI DI MISURA ........................................................................................................... 89
5.2.1 condizioni sperimentali per le misure di range .............................................................................................. 90
5.2.2 condizioni sperimentali per la misura di picco di Bragg ............................................................................... 95
5.3 MISURE DI RANGE.................................................................................................................................................. 95
5.4 CONFRONTO TRA RISULTATI SPERIMENTALI E SIMULAZIONI: SRIM 2011 ........................................................ 98
5.5 MISURA DI PICCO DI BRAGG ............................................................................................................................... 104
5.6 VALUTAZIONE DELL’INCERTEZZA PER LE MISURE DI RANGE E PICCO DI BRAGG............................................. 106
CAPITOLO 6 .........................................................................................................................................................108
OTTIMIZZAZIONE DELLA LINEA DI TRASPORTO DEL FASCIO PER ESPERIMENTI DI ....................108
RADIOBIOLOGIA ................................................................................................................................................108
6.1 DESCRIZIONE DEL SOFTWARE: TRACE3D ........................................................................................................... 108
6.2 LE CONDIZIONI SPERIMENTALI ........................................................................................................................... 109
6.3 IMPOSTAZIONE DELLA SIMULAZIONE ................................................................................................................. 110
6.4 SIMULAZIONI CON FASCIO ORIZZONTALE .......................................................................................................... 112
6.5 SIMULAZIONI CON FASCIO VERTICALE ............................................................................................................... 115
CAPITOLO 7 .........................................................................................................................................................119
MISURE DI DOSE ................................................................................................................................................119
7.1 PRINCIPIO DI MISURA........................................................................................................................................... 119
7.2 IL SISTEMA DI RILASCIO DELLA DOSE ................................................................................................................. 120
7.3 MISURE PRELIMINARI DI DOSE ........................................................................................................................... 124
7.3.1 La catena di misura ...................................................................................................................................... 124
7.3.2 Verifica dell’affidabilità della catena di misura .......................................................................................... 125
7.4 CALIBRAZIONE DEL FASCIO PER ESPERIMENTI DI RADIOBIOLOGIA .................................................................. 127
7.5 ANALISI DOSIMETRICA ........................................................................................................................................ 129
CONCLUSIONI .....................................................................................................................................................135
APPENDICE A ......................................................................................................................................................138
2
Introduzione
La protonterapia a fasci esterni è una pratica radioterapica che consiste nell’irradiare un volume
tumorale con un fascio di protoni. Il grande vantaggio clinico di un tale trattamento, rispetto alla
radioterapia tradizionale, risiede nel particolare andamento del profilo di dose depositata all’interno
di un tessuto, in funzione della profondità. Quest’andamento prende il nome di curva di Bragg, la
quale è caratterizzata dall’avere una regione iniziale piatta, nella quale l’energia ceduta ai tessuti è
molto ridotta, seguita da un picco di dose rilasciata, prossimo al termine del percorso della particella
nel mezzo. Grazie a quest’andamento del profilo di dose si riesce a colpire selettivamente il volume
bersaglio, inviando la dose minima ai tessuti circostanti.
Fig. 1 curva di Bragg
Sebbene la protonterapia rappresenti una pratica clinica recente, è presto diventato un
trattamento largamente riconosciuto nell’ambito della medicina oncologica, tanto che, al termine
del 2010, ben 80000 pazienti in tutto il mondo sono stati sottoposti a tale terapia.
Un ulteriore vantaggio della protonterapia rispetto alla radioterapia convenzionale, basata
sull’uso dei raggi X, riguarda la maggior efficacia biologica relativa (Relative Biological
Effectiveness) di un fascio di protoni rispetto ad un fascio di raggi X. A parità di dose depositata, un
fascio di protoni genera un maggior numero di danni biologici nel materiale rispetto ad un fascio di
raggi X.
3
Il fascio di protoni viene generato da una macchina acceleratrice la quale può essere circolare
(sincrotrone o ciclotrone) o lineare (linac). A differenza della maggior parte dei centri di
protonterapia usualmente basati sull’impiego di macchine circolari, il progetto TOP – IMPLART,
condotto da ENEA in collaborazione con Istituto Superiore di Sanità (ISS) e IFO (Istituti
Fisioterapici Ospedalieri), ha scelto un acceleratore lineare per la realizzazione di un centro di
protonterapia a Roma, presso l’IFO.
L’obiettivo finale è la realizzazione di un centro di protonterapia basato su un acceleratore
lineare da 230 MeV composto da una serie di moduli disposti in sequenza. L’impianto TOPIMPLART prevede la realizzazione dell’acceleratore in due fasi: una prima fase in cui sarà
realizzato e reso operativo un impianto da 150 MeV, completo dei dispositivi di rilascio di dose per
il trattamento dei tumori superficiali e semi-profondi, e una seconda fase in cui l’impianto sarà
esteso in lunghezza, per produrre un fascio di energia sino a 230 MeV, al fine di trattare anche le
lesioni profonde.
Lo scopo è non solo di migliorare le caratteristiche tecniche del fascio terapeutico, grazie alle
superiori qualità ottiche dei fasci prodotti dagli acceleratori lineari, ma soprattutto di realizzare una
macchina modulare, che sia progettabile in dimensioni appropriate tali da diminuire i costi di
impianto e permettere una maggiore diffusione della protonterapia.
L’impianto sarà dedicato oltre che alla radioterapia clinica anche alla radiobiologia con
protoni: sono previsti perciò laboratori di biologia cellulare e molecolare, per l’irraggiamento di
piccoli animali e colture cellulari. Tra gli obiettivi scientifici dell’attività di radiobiologia ci saranno
lo sviluppo di modelli “in vivo” e “in vitro” per lo studio di meccanismi cellulari e molecolari
coinvolti nei processi di cancerogenesi e di risposta all’irraggiamento con protoni ed esperimenti
per la caratterizzazione biologica del fascio, in termini di RBE, sopravvivenza cellulare, tempi di
riparo, attività proliferativa e di riassorbimento cellulare dopo il trattamento.
Poiché la prima fase del progetto ha dei risvolti di ricerca scientifica che richiedono attenzione
e necessitano un avvio preventivo rispetto alle opere infrastrutturali, il programma prevede la
realizzazione e la messa in funzione del prototipo del linac in un sito di test presso l’ENEA di
Frascati, nel quale ovviamente è esclusa ogni pratica clinica. Il bunker sarà capace di accogliere
l’intero acceleratore fino a 150 MeV, per consentire tutti i test preliminari di dosimetria e tutte le
misure che garantiscono l’accettabilità di una tale apparecchiatura in un sito medicale. Inoltre si
4
prevede l’utilizzo di un primo segmento di accelerazione fino a 17.5 MeV per l’effettuazione di
esperimenti radiobiologia nell’ambito del programma satellite ISPAN, che prevede l’irraggiamento
di campioni biologici e piccoli animali e lo sviluppo dei sistemi dosimetrici per la misura delle
qualità del fascio radiante.
I valori di corrente media richiesti all’acceleratore, che opera in maniera impulsata, sono
dell’ordine di 1-10 nA per la protonterapia e di 0,1pA fino a qualche pA per la sperimentazione
radiobiologica.
La parte iniziale dell’acceleratore, denominata iniettore, è un acceleratore per protoni prodotto
dalla ditta statunitense ACCSYS, attualmente installato presso il centro ENEA di Frascati.
L’iniettore è composto principalmente dalle seguenti tre parti: la sorgente di protoni duoplasmatron,
il radiofrequency quadrupole (RFQ) da 3 MeV ed il drift tube linac (DTL), all’uscita del quale il
fascio di protoni possiede un’energia di 7 MeV.
Fig. 2 L’iniettore (modello PL7 della ditta ACCSYS) installato nel bunker dell’ ENEA-Frascati
L’iniettore è seguito da una linea di trasporto del fascio composta da quadrupoli magnetici, per
la focalizzazione del fascio di protoni e di adattamento trasversale alla sezione accelerante
successiva, e da un magnete di deflessione verticale, in modo da poter effettuare esperimenti di
radiobiologia sia con fascio orizzontale (magnete “off”) sia con fascio verticale (magnete “on”) a
energia variabile fino a 7 MeV.
5
L’obiettivo della tesi è l’ottimizzazione del sistema di rilascio di dose da parte del fascio di
protoni a bassa energia prodotto dall’iniettore, per l’irraggiamento di campioni cellulari.
Il lavoro è fondamentalmente diviso in tre parti:
1) misure di caratterizzazione del fascio in termini di caratteristiche trasversali (dimensioni e
divergenza) ed energia del fascio direttamente all’uscita dell’acceleratore
2) messa a punto di un sistema di rilascio di dose su campioni biologici e del sistema di misura
della dose nella posizione del campione
3) ottimizzazione del setup sperimentale (parametri dell’acceleratore, sistema di trasporto
fascio) in accordo con i requisiti richiesti dagli esperimenti di radiobiologia in termini di
dose (0,1 Gy  6 Gy) e uniformità sul campione.
In particolare le caratteristiche trasversali del fascio all’uscita dell’iniettore sono state
determinate mediante l’esecuzione di misure di emittanza (ε) e parametri di Twiss (α e β), nel piano
orizzontale e verticale, alle energie di 3 MeV e 7 MeV, attraverso il metodo del “quadrupole-scan”.
L’effettiva energia del fascio all’uscita dell’iniettore è stata determinata tramite misure di
range, e si è ricostruita sperimentalmente la curva di Bragg, che permette l’individuazione della
profondità alla quale viene rilasciata la massima dose.
Partendo dalle caratteristiche del fascio, misurate all’uscita dell’iniettore, sono stati ricavati,
mediante diverse simulazioni numeriche, i valori ottimali per i gradienti magnetici dei quadrupoli,
per differenti dimensioni del fascio nella posizione di irraggiamento dei campioni.
Infine si è caratterizzato il fascio dal punto di vista dosimetrico, in termini di carica accumulata
e dose assorbita. È stato progettato e realizzato un sistema di rilascio della dose, si sono ricavati i
valori di carica accumulata corrispondenti all’intervallo di dose richiesta per gli esperimenti di
radiobiologia e determinati i corrispondenti parametri della macchina.
L’ultima parte della tesi riporta i risultati delle prime misure dosimetriche su rivelatori a tracce
nucleari, preliminari ai successivi test di irraggiamento di campioni cellulari.
Tutta l’attività sperimentale è stata svolta presso i laboratori dell’ENEA, presso il Centro
ENEA di Frascati dove è istallato ed in funzione l’iniettore del fascio di protoni.
6
7
Capitolo 1
Principi di protonterapia
La radioterapia a fasci esterni prevede il trattamento di lesioni neoplastiche mediante l’utilizzo di
radiazioni ionizzanti ad alta energia, le quali sono in grado di depositare all’interno dei tessuti
un’energia sufficiente a distruggere o danneggiare il materiale genetico contenuto nelle cellule,
rendendo quest’ultime incapaci di crescere e di riprodursi.
Il fascio di radiazioni è generalmente prodotto da un acceleratore di particelle, e viene
indirizzato sul volume bersaglio da trattare. L’obiettivo principale della radioterapia è quello di
provocare il maggior danno possibile al tessuto lesionato, risparmiando i tessuti sani circostanti,
specialmente nei casi in cui questi tessuti rappresentino organi vitali [1].
Ciò si traduce nel garantire che il fascio radiante depositi la dose richiesta nel target con la
maggior accuratezza possibile. Tuttavia è impossibile conoscere la precisa posizione del volume
tumorale, sarà sempre presente un margine d’incertezza, che costringe ad irradiare una porzione di
tessuto superiore a quella deputata al trattamento, per essere certi che la terapia abbia i suoi effetti.
Vediamo in che modo l’ICRU (International Commision on Rradiation Units) definisce i
volumi che entrano in gioco nel momento in cui si pianifica una seduta radioterapica, tramite la
raccomandazione ICRU 50:
Fig. 1.1 Definizioni dei volumi da considerare durante una seduta radioterapica (ICRU 50)
8
il GTV (gross tumor volume) rappresenta l’estensione visibile, evidente o dimostrabile
dell’accrescimento maligno, il CTV (clinical target volume) è il volume che deve essere trattato per
raggiungere gli scopi della terapia, il PTV (planning target volume) contiene il CTV, e a sua volta il
GTV, e considera l’effetto di tutte le possibili variazioni geometriche ed inaccuratezze, per garantire
che la dose prescritta sia assorbita dal CTV; infine ci sono il TV (treated volume), che indica il
volume delimitato da un’area di isodose ritenuta appropriata per raggiungere gli scopi del
trattamento, e l’IV (irradiated volume) che è il volume che riceve una dose significativa rispetto alla
tolleranza dei tessuti sani [2].
Nel seguito del capitolo viene in primo luogo presentato un breve confronto tra protonterapia e
radioterapia convenzionale, nel quale sono stati analizzati pro e contro di entrambi i trattamenti.
Successivamente, dopo aver illustrato la distribuzione dei centri di adroterapia nel mondo, segue
una descrizione delle richieste cliniche e parametri fisici corrispondenti associati al fascio di
protoni. Infine segue un rapida presentazione di alcune delle grandezze radiobiologiche, utilizzate
per la quantificazione degli effetti biologici dovuti a radiazioni ionizzanti.
1.1 La protonterapia
La protonterapia rappresenta una particolare branchia della radioterapia, nella quale il fascio di
particelle è costituito da protoni. Nel seguente paragrafo vengono analizzati i vantaggi e gli
svantaggi del trattamento protonterapico, confrontandolo con la radioterapia convenzionale, sia dal
punto di vista clinico che dal punto di vista tecnico.
1.1.1 i vantaggi clinici della protonterapia
La radioterapia convenzionale viene eseguita con fasci di elettroni o raggi X. Tale trattamento è
caratterizzato da un profilo di dose rilasciato nei tessuti, in funzione della profondità, che raggiunge
il picco massimo dopo pochi centimetri di penetrazione nel mezzo irradiato, per poi decadere
esponenzialmente; è evidente che la radioterapia convenzionale non è ideale per curare tumori
profondi. Per depositare la quantità di energia richiesta nel volume da trattare, infatti, sarebbe
necessaria una deposizione di dose eccessiva per i tessuti che lo precedono, danneggiandoli
oltremodo.
Per questo, negli anni, si sono sviluppate una serie di tecniche radioterapiche come la IMRT
(Intensity Modulated Radiation Therapy), che consiste nel trattare il volume bersaglio con più fasci,
disposti ad angolazioni differenti rispetto al paziente, o la IGRT (Image Guided Radiation
9
Therapy), nella quale prima di ogni trattamento viene controllata la posizione precisa del volume
tumorale (GTV), tramite esami di imaging. Entrambe queste tecniche terapiche sono state
sviluppate per diminuire al massimo la dose depositata nei tessuti sani.
Nell’immagine seguente si può osservare in che modo, nella IMRT, aumentando il numero di
fasci che irradiano il volume bersaglio, diminuisce la dose rilasciata ai tessuti confinanti [3]. Nella
parte superiore dell’immagine sono presenti delle mappe di densità di dose, nella parte inferiore
vengono riportati il profilo di dose reale (arancione) e quello ideale (verde). In particolare si vede
che con un solo fascio, per trattare il bersaglio con un determinato valore di dose è necessario
depositare nei tessuti che lo precedono una dose decisamente superiore a quella necessaria per la
terapia; con due fasci si riesce ad inviare una dose superiore nel bersaglio, tuttavia la distribuzione
di dose assume un valore ancora troppo elevato al di fuori del target. Con quattro fasci infine la
situazione tende a migliorare, il bersaglio riceve la dose prescritta e nei tessuti circostanti si osserva
una diminuzione della dose depositata.
Fig. 1.2 Variazione della distribuzione di dose in funzione del numero di fasci
Il trattamento che maggiormente riesce a colpire selettivamente il target, inviando la dose
minima ai tessuti circostanti, è quello adroterapico, nel quale i tessuti tumorali vengono irradiati con
fasci di particelle cariche pesanti, tipicamente protoni o ioni carbonio.
Il grande vantaggio clinico di questo trattamento risiede nel particolare andamento del profilo di
dose depositata da un fascio di particelle cariche pesanti in funzione dello spessore attraversato.
Quest’andamento prende il nome di curva di Bragg, la quale è caratterizzata dall’avere una regione
iniziale piatta, nella quale l’energia ceduta ai tessuti è molto ridotta, seguita da un picco di dose
rilasciata prossimo al termine del percorso della particella nel mezzo. Grazie a questo andamento
10
del profilo di dose, possono essere trattati anche tumori profondi, senza che venga depositata una
dose eccessiva nei tessuti circostanti e precedenti l’obiettivo [4-cap.1]. I profili di dose depositata in
acqua per protoni, elettroni e raggi X vengono riportati nell’immagine seguente.
Fig. 1.3 Curve dose profondità per protoni da 200 MeV, elettroni da 20 MeV e raggi X da 8 MV
Per meglio apprezzare la capacità balistica dei protoni, viene citato uno studio che ha messo a
confronto l’esposizione dei tessuti durante sedute di IMPT (Intensity Modulated Proton Thearapy) e
IMRT, per la cura di tumori esofagei distali [5].
Fig. 1.4 Mappa di densità di dose assorbita per IMRT (sinistra) e IMPT (destra)
11
Lo studio ha evidenziato che la IMPT comporta una diminuzione della dose assorbita dagli organi
adiacenti al volume di trattamento, come il cuore ed i polmoni, rispetto alla IMRT. Il trattamento
con protoni, dunque, permette di aumentare la dose prescritta al volume tumorale senza aumentare
l’esposizione di organi vitali, incrementando notevolmente le probabilità di cura ed ottimizzando il
risultato terapeutico del trattamento di tumori prossimi ad organi critici.
1.1.2 Peculiarità dei fasci di protoni
Realizzare un fascio di protoni è ben più complesso della realizzazione di un fascio di elettroni o
fotoni. La difficoltà realizzativa consiste nel fatto che i protoni presentano una massa a riposo 2000
volte maggiore di quella di un elettrone, e quindi protoni ed elettroni rispondono in maniera
differente quando si trovano ad essere accelerati da un campo elettrico. In particolar modo,
all’interno di una struttura accelerante, gli elettroni raggiungono la velocità della luce molto
rapidamente, mentre i protoni la raggiungono solo quando possiedono un’energia di qualche GeV 1.
L’andamento della velocità della particella in funzione dell’energia, per protoni ed elettroni viene
riportato nell’immagine 1.5.
Fig. 1.5 Velocità in funzione dell’energia per elettroni e protoni
La velocità delle particelle viene misurata tramite il termine relativistico β, il quale non è altro
che il rapporto tra la velocità della particella e la velocità della luce. Per generare fasci di protoni,
all’energia necessaria per i trattamenti di protonterapia (70  240 MeV) è risultato necessario
Elettronvolt (eV): è l’unità di misura dell’energia utilizzata in ambito atomico; è definito come l’energia cinetica
acquistata da un’elettrone libero quando è accelerato da una differenza di potenziale di 1 V nel vuoto.
1 eV = 1,602∙10-19 J .
1
12
sviluppare strutture acceleranti a basso valore di β; questo comporta un adattamento della struttura
alla velocità crescente dei protoni durante l’accelerazione ed un frequente focheggiamento del
fascio, che in generale tende ad essere defocheggiato sia dai campi a radiofrequenza impiegati
nell’accelerazione sia dagli effetti repulsivi della carica spaziale che a bassa velocità tendono ad
allargare le dimensioni trasversali del fascio [6]. Nel caso della protonterapia la seconda causa di
defocheggiamento legata alla carica spaziale risulta trascurabile dati i bassi valori delle correnti
richieste (dell’ordine dei nA di corrente media).
1.2 centri di adroterapia nel mondo
L’adroterapia è una pratica clinica recente, infatti, sebbene il primo trattamento adroterapico risalga
al 1954, solamente nel 1990 avvenne la prima seduta protonterapica in un centro ospedaliero per
adroterapia, eseguita presso il “Loma Linda University Medical Center”, in California. Negli anni a
seguire, visti i brillanti risultati ottenuti, la protonterapia divenne presto una pratica clinica
largamente riconosciuta nell’ambito della medicina oncologica, tanto che, al termine del 2010, ben
80000 pazienti in tutto il mondo sono stati sottoposti a tale terapia.
Ad oggi sono in funzione numerosi centri specializzati in adroterapia, e molti sono in costruzione o
in fase avanzata di progetto. In tabella 1.1 vengono riportati i centri adroterapici funzionanti al
termine del 2010, in tabella 1.2, invece, quelli in via di costruzione o in fase di progetto.
Si nota che in alcuni centri non si eseguono terapie con protoni, bensì con ioni carbonio. La terapia
con ioni carbonio rappresenta oggi la nuova frontiera in ambito oncologico, ed è oggetto di
numerosi studi di ricerca, sia in ambito tecnologico che clinico, a causa della sua specificità e dei
complessi modelli radiobiologici associati, indispensabili per la pianificazione del trattamento [7].
13
Tab. 1.1 Centri adroterapici in funzione nel mondo
14
Tab. 1.2 Centri adroterapici in costruzione o in fase avanzata di progetto
15
1.3 richieste cliniche e parametri fisici di un fascio di protoni
Il fascio di protoni, uscente dalla macchina acceleratrice, deve rispettare determinati parametri
clinici, cui corrispondono specifiche grandezze fisiche. Tutte le grandezze fisiche che verranno
citate nel seguito saranno dettagliatamente descritte nel capitolo 3 della tesi.
1.3.1 la profondità di penetrazione ed il range
I tumori possono trovarsi a differenti profondità all’interno dell’organismo, ed in base alla loro
disposizione si dividono in tumori superficiali e tumori profondi. La grandezza fisica
corrispondente alla profondità di penetrazione è il range (paragrafo 3.3.3). Supponendo che il
tumore sia puntiforme un fascio di protoni monoenergetico possiede un range ben definito; in
radioterapia l’intervallo di energia richiesto per un fascio di protoni è 70  240 MeV, cui
corrisponde un range nei tessuti che va da 4 cm (tumori oculari) a 36 cm (tumori molto profondi)
[8].
Fig. 1.6 Range in funzione dell’ energia in acqua
Tuttavia i tumori non sono puntiformi ma hanno delle dimensioni ben precise e, spesso, delle
forme irregolari. È quindi necessario agire sul fascio affinché la dose venga inviata uniformemente
su tutto il volume da trattare. Nei successivi due paragrafi si descrive in che modo le necessità di
dover modificare il fascio vengono soddisfatte.
16
1.3.2 Modulazione dell’ energia e SOBP
Il volume occupato da un tumore è composto da uno spessore ed una superficie, i quali sono
rispettivamente parallelo ed ortogonale all’ordinata lungo la quale il fascio avanza. Affinché in tutto
lo spessore del volume bersaglio venga depositata la dose richiesta il fascio di protoni
necessariamente non può essere monoenergetico, ma deve variare la sua energia durante la seduta.
La modulazione dell’energia può essere effettuata tramite sistemi passivi e attivi. I sistemi
passivi vengono utilizzati qualora l’acceleratore a disposizione fornisca in uscita un fascio ad
energia fissa. In questi casi l’energia del fascio viene modificata attraverso un dispositivo
assorbitore; questo è composto di uno o più blocchi in carbonio, posti sulla linea di trasporto del
fascio, i quali rallentano le particelle fino a fargli raggiungere l’energia desiderata. La regolazione
dell’energia in uscita viene ottenuta impostando lo spessore totale dei blocchi assorbitori. La
caratteristica principale che un tale dispositivo deve possedere è un tempo di risposta minore
possibile, in modo da permettere una variazione rapida dell’energia. La presenza del degradatore di
energia inevitabilmente produce un peggioramento delle qualità del fascio, in particolare incrementa
l’energy spread (paragrafo 3.3.2) e contribuisce al fenomeno dello scattering laterale [9].
Fig. 1.7 Esempio di un dispositivo degradatore
Maggiore è il salto di energia imposto dal dispositivo assorbitore, maggiore è l’energy spread
indotto sul fascio. In figura 1.8 sono presenti una serie di curve che rappresentano gli spettri di
energia di un fascio di protoni all’uscita di un dispositivo degradatore, parametrizzate in base
all’energia finale richiesta.
La finestra tratteggiata rappresenta l’intervallo di tolleranza rispetto all’energia media, cui di solito
ci si riferisce, il quale è ±0,5%. All’aumentare dell’intervallo di tolleranza, la curva di Bragg
17
associata avrà una pendenza dopo il picco meno accentuata; ciò comporta una diminuzione delle
proprietà balistiche del trattamento in quanto viene ceduta una quantità di energia maggiore oltre il
picco di dose rilasciata [9].
Fig. 1.8 Spettro di energia di un fascio di protoni a 250 MeV “frenato” a 230, 172, 100 e 75 MeV (sinistra) ed effetti dell’intervallo di
tolleranza sulla curva di Bragg (destra)
Per evitare che al paziente giunga una radiazione eccessivamente policromatica,
successivamente al degradatore viene posto un sistema di selezione dell’energia costituito da due
dipoli magnetici che fanno eseguire una traiettoria curva al fascio. In questo modo solo le particelle
che possiedono l’energia richiesta riescono a seguire la traiettoria imposta, mentre le particelle
aventi energia indesiderata si perdono.
Oltre a produrre un peggioramento del fascio in direzione longitudinale, il dispositivo
degradatore peggiora le qualità del fascio anche in direzione trasversale, a causa del fenomeno dello
scattering laterale. Lo scattering laterale è un fenomeno strettamente correlato all’interazione
Coulombiana elastica tra le particelle e i nuclei della materia attraversata, e comporta un aumento
dell’emittanza del fascio (paragrafo 3.1.2). Ad un aumento di emittanza corrisponde
un’allargamento delle dimensioni del fascio trasversalmente alla direzione di propagazione.
L’angolo di scattering è inversamente proporzionale alla quantità di moto del proiettile, dunque, a
parità di energia, le particelle più pesanti sono caratterizzate da una traccia più rettilinea. Verso la
fine della traccia, cioè quando la velocità (e quindi la quantità di moto) della particella diminuisce,
lo scattering laterale diventa più significativo; la presenza di questo fenomeno deve essere
18
chiaramente tenuto in considerazione nel momento in cui si pianifica una seduta protonterapica,
affinchè non vengano irradiati anche tessuti circostanti il target [10].
La modulazione dell’energia tramite sistemi attivi evita tutti gli inconvenienti associati ad un
sistema passivo e riguarda le macchine acceleratrici più moderne. Con un sistema attivo l’energia
del fascio viene modulata direttamente all’interno dell’acceleratore, mediante una variazione della
potenza di alimentazione dei generatori a radiofrequenza. Ovviamente la variazione della potenza di
alimentazione viene resa possibile solamente a partire da un energia superiore ai 70 MeV, limite
inferiore dell’intervallo di energia di interesse terapico (tumori oculari) [4].
Sottoporre il bersaglio ad un fascio di protoni di energia variabile corrisponde, per quanto
riguarda la dose depositata (par. 3.3.4), a sommare una serie di curve di Bragg, ciascuna
corrispondente ad una delle energie che il fascio assume durante il trattamento. La somma di queste
curve produce una nuova curva avente un picco allargato, che prende il nome di SOBP (spread out
Bragg peak). L’ampiezza del picco corrisponde allo spessore del tumore [4].
Fig. 1.9 Spread out Bragg peak
La dose D ad una generica profondità zi è data dalla somma pesata dei contributi di dose
normalizzata dj di n singole curve di Bragg aventi diverse posizioni di picco Zj:
19
n
D( zi )  W j d j ( zi ),
(1.1)
j 1
laddove i “pesi” Wj sono introdotti al fine di ottenere un picco di dose assorbita del valore voluto,
che sia “piatta” (flat top) nei limiti di uniformità di dose richiesti [11].
La curva dose-profondità del SOBP presenta ancora una rapida discesa, tale che oltre il limite
distale del bersaglio c’è un minimo rilascio di dose, sebbene la modulazione abbia l’effetto di
incrementare notevolmente la dose d’ingresso rispetto a quella del fascio singolo. Questo effetto
può essere parzialmente ridotto mediante l’irradiamento del bersaglio da angolazioni diverse,
attraverso l’utilizzo di una testata rotante (gantry).
1.3.3 distribuzione della dose in direzione trasversale
Così com’è stata modulata l’energia del fascio per coprire lo spessore del target, allo stesso modo è
necessario allargare il fascio in modo da investire uniformemente nel piano trasversale il volume
tumorale. Anche in questo caso, l’operazione di adattare il fascio alle dimensioni trasversali del
target può essere eseguita con sistemi passivi o attivi. Il sistema passivo produce l’allargamento del
fascio tramite l’utilizzo di due stadi di diffusione del fascio. Il primo si occupa di aumentare la
larghezza del fascio e, nel caso di figura 1.10, di modulare l’energia; il secondo stadio, invece,
rende uniforme il profilo del fascio. Per eliminare le code del profilo del fascio, vengono posizionati
dei collimatori che frenano la radiazione indesiderata prima che questa penetri nel paziente [9,11].
Fig. 1.10 Sistema passivo per l’allargamento del fascio
20
Però, come già accennato, i volumi delle masse tumorali non possiedono forme regolari. Per
questo è necessario modellare ulteriormente la distribuzione di dose, tramite l’utilizzo di
compensatori personalizzati, i quali vengono disposti il più vicino possibile al paziente, affinchè
l’irradiazione avvenga solo nel target.
Sebbene il sistema passivo per l’allargamento del fascio sia ad oggi la tecnica più utilizzata,
diverse sono le sue controindicazioni: in primo luogo sono presenti i medesimi inconvenienti
relativi alla modulazione dell’energia del fascio. Con questo sistema, inoltre, non si riesce a colpire
unicamente il volume di tessuto tumorale ma vengono irradiati anche i tessuti prossimi al target,
specialmente quelli più distanti rispetto alla linea che unisce l’uscita dell’acceleratore ed il centro
del target [12].
Fig. 1.11 Sistema passivo di modulazione e modellamento del profilo del fascio
Come nel caso della modulazione di energia, il sistema attivo per la distribuzione di dose in
direzione trasversale risulta esente dagli svantaggi del sistema passivo. Il sistema attivo offre la
massima flessibilità per quanto riguarda la pianificazione della distribuzione di dose nel target.
Nel sistema attivo il volume del target viene suddiviso in tanti volumetti elementari, chiamati
voxel, ed in ciascuno di questi viene inviata la dose prescritta per mezzo di un pencil beam di
protoni. Le dimensioni del fascio devono, quindi, essere ridotte, in modo da poter dividere il
bersaglio in un numero di voxel sufficienti a permettere un trattamento protonterapico quanto più
accurato. Il pencil beam, per raggiungere ciascun voxel, viene modulato in energia ed indirizzato
nella zona da trattare tramite una coppia di dipoli magnetici che permettono la deflessione del fascio
in entrambe le direzioni del piano trasversale.
21
Fig. 1.12 Confronto della distribuzione di dose tra sistema passivo (giallo) e sistema attivo (rosso)
Entrambi i sistemi di modulazione dell’energia e deflessione del fascio devono possedere ottime
caratteristiche dinamiche, per permettere una rapida variazione di energia e posizione del pencil
beam [9,13].
Irradiando un target con la tecnica del pencil beam, viene pianificata la dose da somministrare
a ciascun voxel; tuttavia la dose per un voxel non può essere pianificata indipendentemente da
quella rilasciata nei voxel circostanti. Per raggiungere lo strato più profondo del volume bersaglio,
infatti, il fascio deve attraversare tutti i voxel che lo precedono rilasciandovi una dose non
trascurabile, la quale deve essere considerata nel calcolo di dose prescritta per ciascun voxel [11].
1.3.4 il problema del movimento degli organi
Un problema non di poco conto si verifica allorché il volume tumorale si trovi in prossimità di
organi che si muovono, conseguentemente alla respirazione del paziente. Il movimento del target,
infatti, può comportare una non corretta somministrazione della dose con conseguenti sovra- e/o
sottodosaggi locali.
Tre sono le strategie che sono state studiate per ridurre questi effetti, le quali, in ordine di
complessità, sono:
1) la distribuzione di dose viene sincronizzata con la fase di espirazione del paziente. Tale processo
prende il nome di “ respiratory gating”, in questo modo gli effetti della respirazione sulla
distribuzione di dose sono ridotti al minimo;
2) Il tumore viene irradiato più volte da diverse angolazioni, in questo modo i movimenti degli
organi causano un sovra-sottodosaggio minimo (< 3%);
22
3) i movimenti vengono rilevati da un apposito dispositivo, il quale produce in uscita, in tempo
reale, la posizione 3D del target. Queste informazioni vengono inviate al sistema attivo di consegna
del fascio e modulano l’energia e la deflessione dello stesso, in modo che la radiazione giunga nel
punto esatto pianificato per la terapia [13].
1.4 cenni di radiobiologia
Nel seguente paragrafo viene descritto in che modo gli effetti biologici prodotti da un campo
radiante, dipendono dalla natura della radiazione. In primo luogo verranno descritte le grandezze
utilizzate per quantificare gli effetti biologici e la loro dipendenza dalle caratteristiche della
radiazione, in seguito si analizzerà lo studio di queste grandezze nel caso delle particelle più
utilizzate in adroterapia: i protoni e gli ioni carbonio.
1.4.1 quantificazione degli effetti biologici
Come detto nei paragrafi precedenti, l’obiettivo primo della radioterapia è quello di irradiare nella
maniera più accurata possibile il volume tumorale, depositando la dose minima nei tessuti
confinanti. L’ottenimento di questo obiettivo non passa soltanto attraverso l’ottimizzazione del
trattamento, in termini di accuratezza con la quale si rilascia la dose, ma anche in termini di
efficacia biologica della radiazione, ovvero della capacità della radiazione di danneggiare il tessuto
tumorale.
L’efficacia biologica della radiazione viene quantificata da un parametro chiamato RBE
(relative biological effectiveness) calcolato come il rapporto tra la dose assorbita nell’irradiazione
con un campo di riferimento (raggi X a 220 keV) e la dose assorbita nell’irradiazione con il campo
di interesse, quando la curva di sopravvivenza2 delle cellule irradiate scende al 10%,
RBE 
Dref
D
. (1.2)
2
Curva che rappresenta la percentuale di particelle sopravvissute in funzione della dose assorbita; le caratteristiche di
questa curva dipendono dalla natura delle cellule analizzate e dalle caratteristiche della radiazione cui sono esposte;
generalmente la curva di sopravvivenza può essere approssimata da un andamento lineare-quadratico descritto dalla
S  So e (DD ) , dove S/S0 indica la sopravvivenza, D la dose assorbita e α e β sono parametri
2
seguente relazione:
che caratterizzano la risposta alla dose assorbita dalla particolare coltura cellulare.
23
Fig. 1.13 Curve di sopravvivenza per il fascio di riferimento (X-ray) e il fascio di interesse
Se il valore di RBE risulta maggiore di 1, allora la radiazione in oggetto sarà più efficace rispetto a
quella di riferimento, in quanto per ottenere lo stesso effetto è stata necessaria una dose minore
[10,11].
L’RBE risulta fortemente dipendente dall’energia che la particella cede al mezzo attraversato,
definita dal LET3 (Linear Energy Transfer). A bassi valori di LET gli eventi di ionizzazione sono
meno frequenti e, di conseguenza, il danno arrecato a livello cellulare è minore, al crescere del LET
i fenomeni di ionizzazione diventano più frequenti causando un aumento dell’RBE; per LET molto
elevati, infine, le ionizzazioni risultano estremamente concentrate in una regione di spazio limitata
con l’effetto di causare un danno elevato ma concentrato, per questo, raggiunto un massimo, l’RBE
decresce per valori di LET crescenti [11].
3
LET 
dE
, rappresenta l’energia che la particella cede al mezzo attraversato per unità di lunghezza della traiettoria
dx
che la particella percorre.
24
Fig. 1.14 Andamento del LET in funzione dell’RBE, per valori di sopravvivenza pari all’ 80%, 10%, 1%
Oltre che dal LET, l’RBE è anche dipendente dal numero atomico delle particelle che
compongono il fascio radiante; in particolare all’aumentare del numero atomico, il valore massimo
di RBE diminuisce e trasla verso valori di LET più elevati (fig. 1.15). Tale comportamento rivela
come l’RBE non dipende solo dal LET, che indica la dose totale rilasciata, ma anche dall’energia
delle particelle, che determina la distribuzione radiale degli eventi di ionizzazione attorno alla
traccia della particella [11].
Fig. 1.15 Andamento dell’ RBE in funzione del LET per varie particelle
Descritta la dipendenza dell’RBE dalle caratteristiche del fascio radiante, si passa all’analisi
della dipendenza di questa grandezza dalle caratteristiche delle cellule irradiate. La capacità di un
gruppo di cellule di riparare i danni subiti è la caratteristica cellulare che maggiormente influenza il
valore dell’RBE, in particolare cellule che possiedono una buona capacità di riparazione presentano
una spalla pronunciata nella curva di sopravvivenza, mentre cellule che non possiedono questa
25
capacità presentano una curva di sopravvivenza dall’andamento lineare. Questo comportamento fa
si che l’RBE sia più elevato in colture cellulari con elevate capacità di riparazione [11].
Fig. 1.16 Curve di sopravvivenza (sinistra) e RBE in funzione del LET (destra) per cellule con capacità di riparazione e non
Tale dipendenza è di notevole importanza dal punto di vista clinico, in quanto diversi tessuti
biologici presentano spesso diverse capacità di riparazione, ciò comporta una notevole differenza
tra i vari tessuti in termini di RBE e quindi di efficacia del trattamento somministrato.
Un’altra caratteristica cellulare, che influenza il valore di RBE, è la quantità di ossigeno
contenuta nel tessuto in analisi: i tessuti non ossigenati mostrano una minor sensibilità alla
radiazione, mentre tessuti ben ossigenati sono più sensibili. In termini di curve di sopravvivenza i
tessuti ossigenati presentano una pendenza superiore rispetto ai tessuti non ossigenati. Per esprimere
quantitativamente questo effetto, s’introduce una nuova grandezza: l’OER (Oxygen Enhancement
Ratio) definita come il rapporto tra la dose necessaria a produrre un determinato effetto biologico
(D) e la dose che produrrebbe lo stesso effetto se il tessuto fosse completamente ossigenato in aria a
pressione atmosferica (D0). Un valore di OER pari a 1 evidenzia che il tessuto in analisi risponde
all’irradiazione indipendentemente dall’ossigenazione, valori maggiori di 1 indicano una
dipendenza della risposta dall’ossigenazione [11].
1.4.2 efficacia biologica di protoni e ioni carbonio
Per quanto riguarda i protoni si può considerare un valore di RBE generico pari a 1,0  1,1, senza
considerare possibili variazioni di questo valore in funzione delle modalità di somministrazione di
dose e della dipendenza dell’RBE stesso dal LET. Diversi studi, infatti, non hanno dimostrato che
l’utilizzo di un valore unico per l’RBE, per i fasci di protoni, comporti un incremento nella
frequenza delle complicazioni a seguito del trattamento [14].
26
Differente è il discorso degli ioni carbonio, in questo caso, infatti, il valore dell’RBE varia in
funzione del LET della particella: nel canale d’ingresso, dove il LET è basso l’RBE assume valore
unitario, nel picco di Bragg, dove si ha il LET massimo l’RBE triplica. Da questo punto di vista lo
ione carbonio si candida come miglior particella per i trattamenti di adroterapia, in quanto focalizza
la sua efficacia biologica al termine del range ossia proprio dove si vuole determinare il maggior
danno.
27
Capitolo 2
Il progetto TOP - IMPLART
2.1 Descrizione del progetto TOP-IMPLART
Il progetto TOP-IMPLART, sviluppato da: centro ricerche ENEA, Istituto Superiore di Sanità
(ISS), e IFO (Istituti Fisioterapici Ospedalieri), ha come obiettivo la costruzione di un centro di
protonterapia a Roma, presso l’IFO.
La prima parte dell’acronimo, “TOP”, significa “terapia oncologica con protoni”, e deriva da un
progetto precedente, il progetto “TOP-ISS”, sviluppato da ISS e ENEA dal 1998 al 2005; la
seconda parte dell’acronimo, “IMPLART”, significa “Intensity Modulated Proton Linear
Accelerator for Radio Therapy”.
Il progetto prevede la costruzione di un acceleratore di protoni lineare a media energia compatto,
realizzato in due fasi distinte: la prima caratterizzata da un’energia massima del fascio di 150 MeV,
la seconda fino a 230 MeV di energia [15].
La macchina si basa su di un iniettore lineare da 7 MeV, prodotto dalla ditta ACCSYSHITACHI, installato presso il centro ENEA di Frascati a cui verranno aggiunti ulteriori moduli
lineari di accelerazione in grado di innalzare l’energia a 30, 70, 150 ed infine 230 MeV.
Il progetto prevede la presenza di tre sale per il trattamento protonterapico, delle quali: una per il
trattamento dei tumori superficiali con un fascio di energia massima di 150 MeV, e due per il
trattamento dei tumori profondi con un fascio fino a 230 MeV. In figura 2.1 viene mostrata la
pianta del progetto del centro di protonterapia [15].
Fig 2.1 Pianta del centro di protonterapia previsto dal progetto (IFO)
28
La prima fase di costruzione dell’acceleratore viene completamente svolta presso il centro di
ricerca ENEA, a Frascati, in una struttura idonea allo sviluppo dell’acceleratore. Terminata la prima
fase, l’acceleratore verrà spostato presso l’IFO e qui verrà completato lo sviluppo della struttura. Al
termine della prima fase l’acceleratore avrà un aspetto simile a quello presente in figura 2.2 [15].
Fig. 2.2 Rappresentazione 3D dell’acceleratore al termine della prima fase
La scelta dell’energia del fascio al termine della prima fase non è casuale, infatti un fascio avente
energia di 150 MeV percorre all’interno dell’organismo circa 15 cm. A 230 MeV invece la
profondità di penetrazione raggiunge oltre 30 cm.
Fig. 2.3 Numero di pazienti in funzione della profondità della lesione
29
Al termine della prima fase, dunque, si potrà avviare il trattamento adroterapico dei tumori situati
ad una profondità inferiore a 15 cm e, contemporaneamente, procedere allo sviluppo
dell’acceleratore. Osservando l’istogramma di figura 2.3, si nota che con un energia di 150 MeV è
possibile eseguire il trattamento adroterapico per oltre il 50 % delle lesioni idonee al trattamento
con i protoni [15].
2.2 Il progetto satellite ISPAN
Un vantaggio portato dalle strutture acceleranti lineari, piuttosto che circolari, è quello di permettere
uno sviluppo modulare dell’acceleratore e quindi permettere di effettuare misure, verifiche e
certificazioni ogni qualvolta venga aggiunto un modulo alla struttura esistente [15]. Grazie a questa
possibilità, è stato possibile dare vita al progetto ISPAN, che prevede l’esecuzione di esperimenti di
radiobiologia a bassa energia, complementari agli obiettivi del progetto TOP-IMPLART.
L’acronimo ISPAN sta per “Irraggiamento Sperimentale con Protoni per Modelli Cellulari ed
Animali”.
L’obiettivo del progetto ISPAN è quello di realizzare un impianto di riferimento per la
radiobiologia con protoni, attraverso l’esecuzione di sessioni sperimentali i cui risultati si
riferiscono sia al campo della distribuzione e misurazione della dose inviata al campione, sia al
campo delle analisi radiobiologiche. Gli esperimenti previsti dal progetto ISPAN sono: irradiazione
di colture cellulari (cellule V79), con un fascio avente energia di 3 MeV e 7 MeV, ed irradiazione di
piccoli animali ad un energia di 17,5 MeV. Gli esperimenti a 3 MeV e 7 MeV verranno eseguiti in
due configurazioni differenti: una con fascio orizzontale e l’altra con fascio verticale, ottenuto
tramite il magnete di deflessione, di cui si rimanda la descrizione al paragrafo 2.5. Gli esperimenti a
17,5 MeV verranno eseguiti esclusivamente con il fascio orizzontale.
Le attività sperimentali appena descritte permetteranno:
1) la valutazione dell’efficacia terapeutica della sorgente, in termini di RBE, sopravvivenza
cellulare, tempi di riparo, attività proliferativa e di riassorbimento cellulare successivi al
trattamento;
2) la possibilità di standardizzare protocolli di trattamento riguardanti il guadagno terapico, il
frazionamento, il tempo totale di trattamento;
3) il confronto tra protocolli clinici convenzionali e protocolli con protoni e
4) l’analisi dell’efficacia della combinazione dell’irradiazione con farmaci chemioterapici o a target
molecolare [16].
30
2.3 Descrizione dell’iniettore
2.3.1 L’iniettore Accsys-Hitachi PL-7
Nel bunker dell’edificio 30 dell’ENEA, a Frascati, è in funzione l’iniettore: l’acceleratore lineare di
protoni PL – 7, prodotto dalla ditta Accsys-Hitachi.
In figura 2.4 si può osservare l’acceleratore in tutti i suoi componenti principali che sono:
A) Una sorgente di protoni di tipo duoplasmatron, seguito da un piccolo sistema di trasporto;
B) Un primo acceleratore di tipo RFQ (radiofrequency quadrupole) fino a 3 MeV;
C) Un secondo acceleratore di tipo DTL (drift tube linac) fino a 7 MeV;
D) Tre racks contenenti l’elettronica di controllo e l’alimentazione della sorgente, i controlli del
sistema da vuoto e l’alimentazione a RF dell’RFQ e del DTL;
E) Un computer di controllo con programma in Labview [17].
L’RFQ e il DTL sono acceleratori a radiofrequenza operanti ad una frequenza RF di 425 MHz.
La potenza RF necessaria alla loro alimentazione è generata da 30 triodi planari (tubi EIMAC, CPIYU176A), 15 per ognuno dei due sistemi (identici) di alimentazione delle due macchine
componenti l’acceleratore (RFQ e DTL), ed in particolare 1 per il primo preamplificatore, 2 per il
secondo pre-amplificatore, e 12 per l’amplificatore finale.
Fig. 2.4 Iniettore PL - 7
31
L’iniettore PL – 7 può essere utilizzato per tre scopi differenti: per produrre Fluoro – 18 (Fmode), per produrre un fascio di protoni (P-mode) e per eseguire esperimenti di radiobiologia (Rmode). Nella tabella seguente vengono riportate le caratteristiche del fascio per ciascuna modalità di
funzionamento [15]:
F-mode
P-mode
R- mode
Energia, MeV
7
7
3-7
corrente, mA
8-10
0.03
Durata dell’impulso, s
50-100
0.0010.03
7
Frequenza di ripetizione, Hz
50-100
250
100
7
Tab. 2.1 Caratteristiche del fascio per le tre modalità di funzionamento
Per cambiare modalità di funzionamento da F-mode a P-mode si inserisce un diaframma, attivato
pneumaticamente dal sistema di controllo e montato all’ingresso dell’RFQ, che intercetta quasi tutto
il fascio, lasciandone passare solo una piccola parte. In figura 2.5 si riconosce il diaframma con
“l’impronta” del fascio su di esso [17].
Fig. 2.5 Diaframma per protonterapia
Nella tabella 2.3 vengono riportati i parametri di funzionamento principali dell’iniettore nella
modalità P-mode [15]:
32
Frequenza di lavoro
Energia del fascio all’uscita della sorgente duoplasmatron
Energia del fascio all’uscita dell’RFQ
Energia del fascio all’uscita del DTL
Corrente massima all’uscita dell’iniettore
Lunghezza degli impulsi del fascio (FWHM)
variabilità corrente tra un impulso e l’altro (pulsed)
Frequenza di ripetizione degli impulsi
4250.1
30
3.0
7.0
0.3-30
3-7
10-100
30-300
MHz
keV
MeV
MeV
µA
µsec
%
Hz
Tab. 2.2 Parametri di funzionamento dell’iniettore Accsys PL - 7
Nei seguenti paragrafi verranno brevemente descritti i componenti dell’iniettore, ossia la
sorgente duoplasmatron, l’RFQ ed il DTL.
2.3.2 La sorgente di protoni duoplasmatron
La sorgente di protoni duoplasmatron è una sorgente di ioni alimentata a gas, tipicamente idrogeno
[18]; nell’immagine seguente viene riportato uno schema della sorgente duoplasmatron per protoni.
Fig. 2.6 sorgente di protoni duoplasmatron
33
Nella configurazione classica della sorgente duoplasmatron, ideata da Manfred von Ardenne, viene
prodotto un arco, a bassa pressione, tra un catodo ed un anodo. All’interno della sorgente deve
essere mantenuto il vuoto per ottenere una buona efficienza della sorgente. Nel catodo è presente un
filamento, tipicamente in tungsteno, percorso da una corrente di valore tale da produrre elettroni per
emissione termoionica; sempre nel catodo viene inviato il gas, tramite una valvola che ne regola il
flusso. La tensione d’arco, indicata in figura con Varc, permette la rottura del dielettrico e la
creazione di plasma4 che, per la presenza dell’elettrodo intermedio di forma conica, si trova
confinato in uno spazio ristretto diminuendo, di fatto, il volume occupato dal plasma (regione A).
Sebbene il plasma sia globalmente neutro, le particelle che lo compongono sono cariche dando
origine all’effetto di carica spaziale che tende a far espandere il plasma. Per evitare l’espansione del
plasma viene utilizzato un campo magnetico che esercita una pressione sul plasma sufficiente a
mantenerlo confinato nello spazio desiderato. Nell’elettrodo intermedio è presente un piccolo foro
che permette il passaggio del plasma. Come si può notare dalla figura 2.6, tra elettrodo intermedio e
anodo è presente un ulteriore elettrodo, chiamato anodo di Pierce, posto ad un potenziale positivo
che addensa ancora di più il plasma e cattura gli elettroni. In questa zona della sorgente (regione B),
i protoni presenti nel plasma sono attratti dall’elettrodo di estrazione, posto ad un potenziale
negativo, imposto dalla tensione di estrazione Vextr, dell’ordine dei kV; dunque, a valle dell’anodo
di Pierce si forma il fascio di protoni, in rosso nella figura 2.6 [19].
Superato l’elettrodo di estrazione, il fascio presenta un’energia molto bassa (decine di kV), a
queste energie il fenomeno di carica spaziale è dominante e tende ad aumentare le dimensioni il
fascio. Per evitare che all’ingresso dell’RFQ giunga un fascio con caratteristiche inadeguate, la
sorgente è accoppiata all’RFQ tramite una linea di trasporto a bassa energia composta da: un
elettrodo posto ad un potenziale negativo, una lente unipolare ed un diaframma. L’elettrodo posto
ad un potenziale negativo serve ad evitare che gli elettroni tornino indietro alla sorgente, se avessero
superato l’elettrodo di estrazione. La lente unipolare focalizza il fascio. Il diaframma limita
l’intensità del fascio al valore richiesto ed elimina le aberrazioni prodotte dalla lente unipolare.
4
Con il termine plasma si indica, nella scarica elettrica in un gas, la regione caratterizzata da densità ioniche (positiva e negativa)
elevate e sensibilmente uguali. Il termine è anche utilizzato per indicare un gas fortemente ionizzato e, nel complesso,
elettricamente neutro: in concreto, un sistema costituito da ioni positivi e negativi, liberi, con uguali concentrazioni, più
eventualmente molecole neutre in non elevata concentrazione.
34
La lente unipolare focalizza fasci di particelle cariche mantenendo inalterata l’energia del
fascio; è composta da almeno tre elettrodi cilindrici disposti in serie ed in asse, come in figura 2.7
[20]. Gli elementi della lente sono simmetrici, ciò che il fascio perde (acquista) in energia nel
raggiungere l’elettrodo centrale lo recupera (perde) nell’uscire dalla lente.
Una volta che il fascio è stato focalizzato, è pronto per entrare nell’RFQ, attraverso il diaframma
con un energia, di 30 keV.
Fig. 2.7 Focalizzazione prodotta dalla lente unipolare
2.3.3 RFQ: Radio – Frequency Quadrupole
L’ RFQ è un acceleratore lineare in grado di accelerare, focheggiare e impacchettare un fascio di
particelle cariche tramite la semplice presenza del campo a radiofrequenza.
Qualsiasi fascio di ioni ha origine da uno stadio caratterizzato da una bassa velocità e la tecnologia
adottata per accelerare il fascio in questo stadio contribuisce in maniera fondamentale alle
prestazioni complessive dell’acceleratore. L’RFQ è l’acceleratore lineare che meglio risponde
all’esigenza di accelerare fasci di ioni a bassa energia, e si è imposto molto rapidamente come
iniettore della maggior parte degli acceleratori di protoni e di ioni per la sua relativa semplicità
costruttiva, la sua affidabile progettabilità, la sua robustezza e le ottime caratteristiche del fascio che
genera. Permette, inoltre, la trasmissione di fasci intensi con efficienza dell’ordine del 90% [4cap.2].
35
Fig. 2.8 RFQ, struttura a quattro vani
La struttura dell’RFQ consiste in una cavità a radiofrequenza occupata da quattro elettrodi, per
questo viene chiamata struttura a quattro vani, osservabile in figura 2.8. In figura 2.9 viene, invece,
riportata un’immagine della sezione di ingresso di un RFQ a quattro vani.
Fig. 2.9 Sezione d’ingresso di un RFQ a quattro vani
36
La proprietà unica dell’RFQ di accelerare e focheggiare contemporaneamente il fascio di protoni è
dovuto alla particolare forma dei quattro elettrodi, modellata appositamente per ottenere questo
obiettivo [21-cap.8].
Il focheggiamento viene ottenuto applicando ai quattro elettrodi una tensione alternata con polarità
opposta tra un elettrodo e l’adiacente, in una configurazione che prende il nome di simmetria
quadrupolare. In questo modo le particelle che si trovano su una traiettoria differente da quella di
riferimento (l’asse centrale dell’RFQ) saranno sottoposte ad un campo elettrico trasverso variabile
nel tempo. In figura 2.10 viene riportato l’andamento del campo a radiofrequenza in funzione del
tempo e l’azione del campo sul fascio al variare del campo: nel caso particolare se il campo è
positivo il fascio viene focalizzato nel piano verticale, se è negativo la focalizzazione avviene nel
piano orizzontale, quando il campo è nullo il fascio non viene focalizzato [22].
Fig. 2.10 Focalizzazione nell’RFQ
Per ottenere l’accelerazione delle particelle è invece necessario che gli elettrodi siano modellati
come in figura 2.11: gli elettrodi vengono modulati longitudinalmente, con periodo pari a βλ, dove
β è il termine relativistico e λ la lunghezza d’onda del campo RF. In questo modo si sviluppa una
componente longitudinale del campo elettrico che accelera i protoni [23].
37
Fig. 2.11 Modulazione longitudinale degli elettrodi dell’RFQ
Come riporta anche la leggenda della fig. 2.11, con a si indica la distanza minima dell’elettrodo
dall’asse, con ma la distanza massima e con m il fattore di modulazione pari al rapporto tra distanza
massima e distanza minima dall’asse.
La frammentazione del fascio permette la formazione di pacchetti (bunch) stabili di protoni che
vengono più agevolmente accelerati fino all’energia finale desiderata. Per dividere in bunch un
fascio di particelle continuo è necessario che il campo elettrico a RF deceleri le particelle più
avanzate e acceleri le particelle più indietreggiate, rispetto ad un punto che, idealmente, rappresenta
il baricentro del bunch. Avviato il processo di raggruppamento viene incrementato gradualmente il
valore della fase sincrona (Φ) verso il valore massimo del campo accelerante, dove l’accelerazione
è più efficiente. Man mano che il fascio viene accelerato a velocità superiori, i baricentri dei vari
bunch si allontanano reciprocamente ed il ∆Φ tra le particelle di uno stesso pacchetto si riduce: il
fascio è stato impacchettato [21-cap.8].
In definitiva L’RFQ è costituito da una sequenza di celle di lunghezza βλ, dove per ogni cella
possono essere variati:
1) il raggio del canale che permette il passaggio del fascio, il quale influenza l’intensità del
focheggiamento;
2) il fattore di modulazione, la cui variazione comporta variazioni del campo accelerante;
38
3) la fase del baricentro del bunch rispetto al campo RF, che caratterizza l’impacchettamento e
l’accelerazione del fascio;
L’alimentazione a radiofrequenza è comune a tutte le celle dell’RFQ, sebbene anch’essa può
essere variata a seconda delle esigenze [23].
2.3.4 DTL: Drift Tube Linac
All’uscita dell’RFQ il fascio di protoni ha raggiunto un’energia di 3 MeV ed è pronto per entrare
nel DTL dove alla sua uscita avrà un’energia di 7 MeV. Il fascio all’uscita dell’RFQ non ha bisogno
di essere in nessun modo accoppiato al DTL poiché, come detto nel paragrafo precedente, l’RFQ
accelera e contemporaneamente focheggia il fascio; inoltre le camere a vuoto di RFQ e DTL sono
posizionate ed allineate in un’unica struttura rigida di supporto.
Il DTL è composto da una cavità risonante all’interno della quale viene inviato il campo a RF
necessario ad accelerare le particelle. La componente di campo elettrico che si sviluppa all’interno
della cavità risulta ovviamente composta da una semionda poisitiva ed una negativa. Affinchè i
protoni prodotti dall’RFQ guadagnino energia sempre nella stessa direzione è necessario
suddividere la cavità del DTL in gap di accelerazione e spazi di propagazione libera (drift). In
questo modo nei gap di accelerazione i protoni guadagnano energia sempre dello stesso segno,
mentre i drift preservano le particelle dalla semionda negativa di campo elettrico.
Il DTL ha una lunghezza di 153,7 cm e possiede 22 celle [15]. In figura 2.12 viene riportato un
disegno della sezione di un DTL, in figura 2.13 invece l’immagine dell’interno di un DTL.
L’accelerazione delle particelle avviene nel gap presente tra un drift ed il successivo, dunque è
li che il campo elettrico dovrà avere valore massimo, affinché i protoni vengano accelerati
efficientemente. In figura 2.14 si può osservare la distribuzione del campo elettrico all’interno della
cavità a RF [24].
39
Fig. 2.12 Sezione di un DTL e sue parti
Fig. 2.13 Interno di un DTL
40
Fig. 2.14 Distribuzione campo elettrico nella cavità
Con il termine cella si intende la porzione di DTL compresa tra il centro di un gap di
accelerazione ed il successivo, comprendente un drift. I protoni, avanzando all’interno del DTL,
aumentano la loro velocità; poiché il campo a RF possiede la stessa frequenza in tutta la cavità, per
avere la massima sincronia tra protoni e campo accelerante le celle devono possedere lunghezza
variabile pari a βλ.
Gli spazi di drift presenti all’interno della cavità sono sorretti da degli steli; se il campo
elettrico è il medesimo per ogni cella della struttura, la differenza di potenziale tra una cella e l’altra
dipende dalla lunghezza della cella stessa; le correnti generate da questa differenza di potenziale
scorrono sulla superficie interna della cavità e sui drift ed ovunque sono in fase in modo che non
scorra alcuna corrente sugli steli e non si accumuli carica netta sui drift. All’interno di ciascun drift
è presente un piccolo quadrupolo magnetico che ha il compito di focalizzare il fascio affinché
questo non assuma dimensioni trasversali non accettabili. Sulla superficie interna della cavità
vengono inoltre fissati dei post-accoppiatori, aventi lunghezza pari a λ/4, che forniscono
l’accoppiamento tra le celle che compongono il DTL, rendendo la distribuzione del campo meno
sensibile ad errori. Infine, sempre sulla superficie della cavità, sono presenti degli stantuffi di
sintonizzazione che garantiscono il controllo della frequenza e dell’ampiezza del campo a RF
all’interno della cavità [22-cap.4].
2.4 Il focheggiamento del fascio: i quadrupoli
All’uscita del PL – 7 il fascio possiede un energia di 7 MeV, ma il DTL non è in grado di
focalizzare il fascio al pari dell’RFQ. Il fascio quindi avrà dimensioni trasversali troppo grandi, sia
41
per eseguire esperimenti di radiobiologia, sia per l’accoppiamento dell’iniettore al modulo
successivi di accelerazione
In questi casi è necessario focalizzare il fascio ottenendo così delle dimensioni trasversali che
rispondano di volta in volta alle esigenze che si presentano. Lo strumento utilizzato per la
focalizzazione del fascio è il quadrupolo. I quadrupoli utilizzati nell’ambito del progetto TOP –
IMPLART sono i quadrupoli DANFYSIK, di cui in figura 2.15 viene riportata un immagine e lo
schema costruttivo [15].
Fig. 2.15 Immagine (a sinistra) e schema costruttivo (a destra) del quadrupolo DANFYSIK
Nella tabella seguente vengono riportate le caratteristiche principali del quadrupolo DANFYSIK.
Apertura per passaggio fascio
60 mm
Gradiente
20 T/m
Lunghezza
123 mm
Potere focheggiante
0.6 T
Tensione nominale
22.9 V
Corrente nominale
137 A
Peso totale
112 kg
Tab 2.3 Caratteristiche principali quadrupolo DANFYSIK
Il principio di funzionamento di un quadrupolo è il seguente: viene fatta scorrere una corrente
costante nelle bobine del quadrupolo, in modo che tra due bobine adiacenti si sviluppi un campo
42
magnetico; le espansioni metalliche su cui sono avvolte le bobine diventano i poli di un magnete
permanente [25]. Dal momento che non è presente nessun campo elettrico, le particelle che
attraversano il quadrupolo sperimentano una forza pari a:

 
F  q  v  B. (2.1)
In figura 2.16 vengono riportati i campi magnetici presenti in un quadrupolo e le forze applicate
sulle particelle.
Fig. 2.16 Campo magnetico e forze sulle particelle in un quadrupolo
Come si può osservare in figura 2.15 il quadrupolo non viene poggiato su uno dei lati lunghi
della sua struttura, bensì ruotato di 45°, la rotazione comporta il vantaggio di avere le forze di
focalizzazione su assi coincidenti con quelli del sistema di riferimento.
Le componenti del campo magnetico all’interno di un quadrupolo possono essere così scritte:

 
Bx   g  y

  (2.2)
By   g  x
dove g rappresenta il gradiente di campo magnetico imposto nel quadrupolo, la cui unità di misura è
il T/m.
43
Sostituendo le eqq. 2.2 nella 2.1 si ottengono le risultanti delle forze agenti sulle particelle, sul
piano orizzontale e sul piano verticale:
 
Fx  q  v  By  qvgx
(2.3)
 
Fy  q  v  Bx  qvgy,
la forza di focheggiamento è lineare sui piani orizzontale e verticale. Dalle eqq. 2.3 si osserva che la
forza di focalizzazione è proporzionale, oltre che alla carica, alla velocità delle particelle, al
gradiente magnetico e alla posizione; in particolare vengono focheggiate solo le particelle fuori
asse, ossia che non si trovino sulla traiettoria di riferimento, individuata dall’ origine del piano
traverso xy. Le risultanti delle forze applicate sulle particelle, osservabili in figura 2.17, fanno si che
un quadrupolo che focheggia in un piano defocheggia nell’altro [25].
Fig. 2.17 risultanti delle forze agenti sulle particelle in un quadrupolo (fascio entrante nel foglio)
In particolare la configurazione di fig. 2.17 focalizza in orizzontale e defocheggia in verticale. Per
ottenere una focalizzazione del fascio in entrambi i piani risulta necessario l’utilizzo di almeno due
quadrupoli: uno focheggiante in orizzontale ed uno in verticale. Una struttura che prevede la
presenza di due quadrupoli, che lavorano per focalizzare il fascio in entrambi i piani, prende il nome
di FODO (fig. 2.18) [25].
44
Fig. 2.18 Sequenza FODO con due quadrupoli
2.5 la deflessione del fascio: il magnete di deflessione
Il magnete di deflessione verticale risulta necessario per l’esecuzione degli esperimenti di
radiobiologia che prevedono l’irradiazione dal basso verso l’alto di colture cellulari. In figura 2.19
si può osservare il magnete di deflessione utilizzato nei laboratori dell’ENEA.
Fig. 2.20 Magnete di deflessione verticale
In tabella 2.4 vengono invece riportati alcuni parametri del magnete [15, 26].
45
Distanza tra le espansioni polari
50 mm
Raggio di curvatura
480,91 mm
Larghezza polo
140 mm
Campo Massimo (B)
0,733 T
Corrente nominale
262 A
Tab. 2.4 Caratteristiche del magnete di deflessione
Nel magnete di deflessione la corrente che scorre nelle bobine fa si che tra le due espansioni, su
cui sono alloggiate le bobine stesse, si instauri un campo magnetico che eserciti una forza curvante
sulle particelle. Si vuole ricavare una relazione per il raggio di curvatura in cui risultino espliciti
quali parametri lo influenzano. Si consideri la situazione presentata in figura 2.20 in cui il campo
magnetico è uscente dal foglio.
Fig. 2.20 Schematizzazione del magnete di deflessione
La forza esercitata sulle particelle è espressa anche in questo caso dall’ eq. 2.1, si può quindi
scrivere la seguente relazione:
 dp
 
F
 q  v  B, (2.4)
dt
la forza, con i vettori posizionati in questo modo, è verso il centro della circonferenza e permette

alla particella di curvare. Con il termine p si indica la quantità di moto pari a γmv, dove γ è il noto
termine relativistico. Essendo la massa della particella costante si può scrivere:

 
dv
m  q  v  B; (2.5)
dt
46
passando ai moduli e ricordando che l’ accelerazione angolare è pari a:  v 2 / R si ricava:
R
mv
qB
. (2.6)
Dunque il raggio di curvatura delle particelle dipende dalla velocità delle stesse, dunque dalla loro
energia, e dal campo magnetico che agisce su di esse [27].
47
Capitolo 3
Grandezze che caratterizzano il fascio
L’obiettivo di questo capitolo è quello di esporre le grandezze che caratterizzano il fascio sia dal
punto di vista del comportamento dinamico delle particelle, sia dal punto di vista energetico. Nella
prima parte del capitolo verrà analizzata la dinamica di un fascio di protoni all’interno di un
acceleratore, nella seconda parte l’interazione di un fascio di protoni con la materia.
3.1 Caratterizzazione della dinamica trasversale di un fascio di protoni
Il moto di ciascuna particella, appartenente ad un fascio che viaggia nella struttura accelerante, è

descritto da un vettore a sei dimensioni composto dalla posizione r  ( x, y, s) e dalla quantità di

moto della particella p  ( px , p y , pz ) .
L’insieme dei vettori che descrivono le particelle del fascio individuano il cosiddetto spazio delle
fasi canonico Xˆ  x, y, s, px , p y , pz  . In figura 3.1 è rappresentato, nel sistema di riferimento xys, il
moto di una particella qualsiasi; si nota che il piano xy è il piano ortogonale alla direzione di moto
del fascio ed s l’ascissa sulla quale si muove la particella di riferimento. L’ordinata s del sistema di
riferimento xys rimane sempre tangente alla traiettoria di riferimento.
Fig. 3.1 Traiettoria di una particella qualsiasi
Nel caso di fasci di particelle in strutture acceleranti risulta più conveniente fare riferimento ad
un altro vettore: lo spazio delle fasi geometrico
48

X  x, x, y, y, l ,   , (3.1)
dove x, y e l rappresentano lo scostamento di una particella qualsiasi (particella blu nella figura 3.1)
rispetto alla particella di riferimento, x’ e y’ sono gli angoli di divergenza, con x’=dx/ds e y’=dy/ds;
l’ultimo termine, invece, δ=∆p/p, rappresenta lo scostamento di quantità di moto normalizzato,
sempre rispetto alla particella di riferimento [28].
3.1.1 la matrice di trasferimento ed il teorema di Liouville
La forza che permette ad un fascio di particelle di viaggiare in una struttura accelerante è la forza di
Lorentz:



  
F  q  E  v  B , (3.2)
il campo elettrico è usato per accelerare le particelle, il campo magnetico per deflettere e
focheggiare le stesse. Se la struttura accelerante è costituita solamente da dipoli, quadrupoli
magnetici e spazi di propagazione libera, l’equazione del moto, verticale ed orizzontale, può essere
così scritta:
u(s)  Ku (s)u(s)   / u (s) (3.3)
in cui u(s) rappresenta, indifferentemente x(s) o y(s), ρu(s) è il raggio di curvatura della traiettoria di
riferimento nel punto s e Ku(s) è così definito:
Ku (s)  k (s)  1/ u (s) , (3.4)
con k(s)= qg(s)/p, dove q è la carica della particella, g(s) rappresenta il gradiente del campo
magnetico all’interno del quadrupolo e p è la quantità di moto.
Combinando tra loro la soluzione all’equazione del moto, eq. (3.3), e l’equazione relativa allo
scostamento longitudinale di una particella rispetto a quella di riferimento, si ottiene la seguente
equazione matriciale:
49
 x   R11
  
 x   R21
 y  R
    31
 y   R41
l   R
   51
   R
   61
R12
R22
R32
R42
R52
R62
R13
R23
R33
R43
R53
R63
R14
R24
R34
R44
R54
R64
R15
R25
R35
R45
R55
R65
R16   x0 
  
R26   x0 
R36   y0 
   . (3.5)
R46   y0 
 
R56   l0 
R66    0 
La matrice 6x6 a secondo membro prende il nome di matrice di trasferimento, R. Tale matrice

permette di calcolare le trasformazioni del vettore X lungo l’intera linea di trasporto del fascio, tra

una posizione iniziale, descritta dal vettore X 0 , ed una posizione qualsiasi, successiva a quella
iniziale.
La matrice R si ottiene tramite la moltiplicazione delle matrici di trasferimento caratteristiche di
ciascuno degli n elementi, presenti sulla linea di trasporto del fascio [28]:
R  Rn  Rn1  .......  R2  R1. (3.6)
Essendo il fascio formato da un numero molto elevato di particelle, risulta più pratico
descrivere il moto delle stesse nello spazio delle fasi, piano in cui l’asse delle ascisse rappresenta la
posizione (x) e l’asse delle ordinate rappresenta l’angolo di divergenza (x’).
Per la descrizione del fascio nello spazio delle fasi è necessario introdurre il teorema di
Liouville, il quale afferma che in un sistema di forze conservative il volume occupato da un fascio
nello spazio delle fasi non varia nel tempo. Il volume iniziale e quello finale del fascio di particelle
nello spazio delle fasi sono legati dalla seguente relazione:
V f  det R  Vi
(3.7)
nel caso considerato il determinante di R è pari ad uno. Grazie al teorema di Liouville, la
conoscenza dell’area occupata dalle particelle nello spazio delle fasi ad una certa posizione è
sufficiente a determinare l’area occupata dalle particelle in qualsiasi altra posizione lungo la
traiettoria del fascio [28].
50
Nel seguito si andrà a considerare ciò che accade nella direzione x (orizzontale) essendo
identiche le conclusioni raggiunte per quanto riguarda la direzione y (verticale).
3.1.2 emittanza e parametri di Twiss
Come detto ciascuna particella del fascio è rappresentata da un singolo punto nello spazio delle fasi
a sei dimensioni, tuttavia ciò che praticamente si misura sono le proiezioni bidimensionali del
fascio.
Per particelle che presentano uno scostamento dalla quantità di moto p pari a zero (δ = 0),
l’equazione del moto orizzontale si semplifica nella seguente forma:
x(s)  K x (s) x  0. (3.8)
Se consideriamo il solo moto trasverso descritto dall’eq. (3.8), la matrice di trasferimento si
semplifica ad una matrice 2x2 che permette di mettere in relazione il vettore (x, x’) al vettore
(x0, x0’):
 x   R11 R12
   
 x   R21 R22
  x0 
    . (3.9)
  x0 
Anche nella situazione bidimensionale la matrice di trasferimento si ottiene tramite la
moltiplicazione delle matrici di trasferimento caratteristiche di ciascuno degli n elementi presenti
sulla linea di trasporto del fascio.
R  Rn  Rn1  .......  R2  R1. (3.10)
La soluzione all’equazione (3.9) ha un andamento simile a quello di un oscillatore armonico e
le coordinate x e x’ soddisfano un’equazione del tipo [21-cap.9]:
 x ( s) x 2 ( s)  2 x ( s) x( s) x( s)   x ( s) x2 ( s)   , (3.11)
che è l’equazione di un’ellisse centrata nell’origine dello spazio delle fasi xx’ la cui area è A= πε.
51
È stata allora definita una grandezza chiamata emittanza, misurata dall’area dell’ellisse, divisa
per π:
εx = A/ π; (3.12)
l’unità di misura dell’ emittanza viene espressa in mm mrad.
I termini γx, βx e αx, presenti nell’eq. (3.11), sono i parametri di Twiss, o di Courant-Snyder, e
determinano la forma e l’orientazione dell’ellisse; l’unità di misura di γx è il mrad/mm, di βx è il
mm/mrad, αx è adimensionale.
Tramite l’equazione (3.9) è possibile calcolare le trasformazioni dell’ellisse nello spazio delle fasi
lungo l’intera linea di trasporto del fascio. Se si sostituiscono le due formule di trasformazione
dell’eq. (3.9) nell’equazione dell’ellisse, eq. (3.11), si ottiene:
R112
  x ( s)  

 
 x ( s)     R11R21
2
  ( s)  
R21
 x  
 2 R11R12
R12 R21  R11R22
 R21R22
R122
 R12 R22
2
R22
   x ( s0 ) 

 
   x ( s0 )  (3.13)
   (s ) 
  x 0 
e conoscendo la matrice di trasferimento tra i due punti considerati, è possibile trasformare i
parametri di Twiss lungo il percorso del fascio.
La figura 3.2 mostra l’ellisse nello spazio delle fasi bidimensionale xx’,
Fig. 3.2 Ellisse nello spazio delle fasi
52
la forma e l’orientazione dell’ellisse, come detto, dipendono dai parametri di Twiss. Il termine
 x determina l’inclinazione dell’ellisse: per valori negativi di  x l’ellisse presenta un’inclinazione
come quella di fig. 3.2 ed il fascio è divergente. Le particelle che si trovano nella zona delle x
positive, infatti, presentano valori di divergenza positivi, quindi tendono ad allontanarsi dall’origine
del sistema di riferimento xys; altrettanto fanno le particelle nella porzione di spazio delle x
negative. Se invece  x è maggiore di zero l’ellisse risulta ribaltato rispetto all’asse x’, il fascio
risulta quindi convergente, il comportamento delle particelle è opposto a quello del caso precedente.
Il termine  x determina l’inviluppo dell’ellisse ossia la sua estensione spaziale. Dall’immagine di
fig. 3.2 si nota come le dimensioni spaziali dell’ellisse, quindi del fascio nella direzione x, siano
uguali a:
 x  x . Infine il termine  x fornisce indicazioni circa la divergenza del fascio; il valore
dell’intersezione tra il punto più alto dell’ellisse e l’asse delle x’ è, infatti, dato da:
 x x .
3.1.3 la matrice del fascio
L’equazione dell’ellisse nello spazio delle fasi può essere scritta anche in una maniera differente
introducendo la matrice del fascio σ, simmetrica e bidimensionale:


x x   11 12
  21  22
1
 x 
   ; (3.14)
  x 
essendo σ12 = σ21 si può scrivere:
 22 x 2  2 12 xx  11x2  det  . (3.15)
Confrontando l’ultima equazione con quella dell’ellisse nello spazio delle fasi si giunge alle
seguenti relazioni tra parametri di Twiss, emittanza e matrice del fascio:
 12
 
   11
  21  22

 x
   x 

 x
x 
 (3.16)
 x 
e l’emittanza può quindi essere scritta anche nel seguente modo:
53
 x   11 22   122 . (3.17)
La matrice del fascio σ nella posizione s e la matrice del fascio nella posizione iniziale s0, sono
legate dalla seguente relazione:
  R 0 RT
(3.18)
in cui R rappresenta la matrice di trasferimento dal punto iniziale s0, al punto finale s, [28].
3.1.4 emittanza RMS e emittanza normalizzata
Generalmente un fascio non possiede dei confini ben definiti, come non lo sono la grandezza, la
forma e l’orientazione dell’ellissoide. Per questo una definizione più corretta dell’emittanza è data
dall’emittanza RMS. Per un fascio composto da N particelle si possono calcolare i momenti
statistici del second’ordine uv della loro distribuzione nello spazio delle fasi:

uv 
 (u  u)(v  v)( x, x, y, y, l ,  )dxdxdydydld

(3.19)

 ( x, x, y, y, l ,  )dxdxdydydld

in cui u e v possono rappresentare x, x’, y, y’, l, δ e Ψ rappresenta la distribuzione d’intensità del
fascio nello spazio delle fasi a sei dimensioni. I momenti del second’ordine  x 2  e  y 2 
rappresentano le varianze della distribuzione del fascio nei piani orizzontale e verticale, la radice
quadrata di queste grandezze definisce le dimensioni del fascio RMS nei piani corrispondenti.
Utilizzando i momenti del second’ordine la matrice del fascio σ può essere così scritta:
  x 2   xx 
, (3.20)
  
2 



x
x


x



si definisce emittanza RMS la grandezza così definita [28, 21-cap.9]:
 rms   x 2  x2    xx2  . (3.21)
54
Quest’equazione, confrontata con l’eq. (3.17), permette di scrivere la seguente uguaglianza
matriciale:
  11  12

  21  22
   x 2   x x
  
2
   x x  x 

. (3.22)

Adesso il fascio di particelle sarà rappresentato nello spazio delle fasi da un’altra ellisse descritta
dalla seguente equazione:
γr(s)x2 + 2αr(s)xx’ + βr(s)x’2 = εrms, (3.23)
l’area dell’ellisse sarà A=π εrms ed avrà un aspetto simile a quello mostrato in fig. 3.3.
Fig. 3.3 ellisse nello spazio delle fasi xx’ per l’emittanza RMS
Se, per il teorema di Liouville, il fascio in presenza di forze conservative mantiene inalterato il
suo volume, non è così quando le particelle vengono accelerate dal campo elettrico presente
all’interno della struttura accelerante. Durante l’accelerazione le coordinate trasverse (x, px) e (y, py)
rimangono invariate, mentre a variare sarà la quantità di moto nella direzione s, direzione lungo la
quale il fascio avanza.
55
La variazione di p influisce sui valori degli angoli di divergenza x’ ed y’, i quali sono proporzionali
ad 1/p, ciò comporta una diminuzione dell’emittanza nelle direzioni x ed y. Questo fenomeno di
riduzione dell’emittanza in funzione dell’aumento dell’energia del fascio è chiamato adiabatic
damping (smorzamento adiabatico).
Se si moltiplica l’emittanza per un fattore p/m0c si ottiene una nuova grandezza chiamata emittanza
normalizzata:
N 
p
 , (3.24)
m0 c
anche uguale a:
 N   , (3.25)
dove   v / c e   1 / 1   2 .
L’emittanza normalizzata rimane costante anche durante l’accelerazione e rende possibile il
confronto tra emittanze di fasci ad energie differenti [21-cap.9].
3.2 caratterizzazione della dinamica longitudinale di un fascio di protoni
L’accelerazione delle particelle avviene grazie alla presenza di una componente assiale di campo
elettrico, del campo a RF, il quale necessariamente deve essere sincronizzato con il fascio di
particelle. Se nel DTL il valore massimo per il campo elettrico longitudinale si ha nel centro del gap
tra due drift adiacenti, nell’RFQ il campo elettrico accelerante raggiunge il massimo dove i quattro
elettrodi hanno la stessa distanza dall’asse dell’ RFQ.
3.2.1 Guadagno di energia del fascio
Si prenda in considerazione il gap di accelerazione, il campo elettrico longitudinale ha un
andamento come quello mostrato in figura 3.4, e risulta:
Ez (r  0, z, t )  E(0, z) cos(t   ). (3.26)
56
Fig. 3.4 Gap di accelerazione (sinistra) ed andamento del campo elettrico nel gap (destra)
Scelto l’istante t=0 quando ci troviamo nell’origine, cioè quando il campo elettrico possiede valore
massimo, la fase Φ, relativa al picco di campo, vale zero. In questa condizione, la particella arriva
nell’origine quando il campo ha valore massimo; Φ è negativa (positiva) se la particella arriva
prima (dopo) che nell’origine ci sia il campo massimo. Viene ceduta la massima energia alla
particella quando Φ=0.
Supponendo che il campo elettrico sia confinato alla lunghezza L del gap di accelerazione, l’energia
guadagnata da una particella di carica q che viaggia sull’asse del gap di accelerazione è:
L/2
W  q
 E(0, z) cos(t   )dz,
(3.27)
L / 2
sviluppando il coseno all’interno dell’integrale, ed eseguendo delle semplificazioni l’eq. (3.27)
diventa [21-cap.2]:
W  qV0T cos . (3.28)
L’ energia posseduta da un fascio di particelle si misura in elettronvolt (eV) e suoi multipli
(keV, MeV, etc.), ed è definita come l’energia cinetica acquisita da un elettrone che si muove in un
campo elettrico uniforme sotto l’azione della differenza di potenziale di 1 Volt.
Nell’ultima equazione (3.28) sono stati inseriti la tensione RF assiale ( V0 ), e il transit time
factor ( T ), che sono così definiti:
57
L/2
V0 
 E(0, z)dz,
(3.29)
L / 2
V0 è la differenza di potenziale che verrebbe avvertita da una particella che si trovasse a passare
all’interno di un campo costante pari a quello presente in t=0 nel gap.
Non considerando la fase Φ, l’energia guadagnata da una particella in un campo variabile nel tempo
è minore di quella che guadagnerebbe se si trovasse ad attraversare un campo elettrostatico di entità
pari al picco di campo tempo-variabile. Questo comportamento è conosciuto come il transit time
effect, ed il transit time factor
L/2
T
 E (0, z) cos t ( z)dz
L / 2
V0
L/2
 tan 
 E (0, z) sin t ( z)dz
L / 2
V0
(3.30)
rappresenta proprio il rapporto tra l’energia guadagnata da una particella in un campo tempovariabile e quella guadagnata all’interno di un campo elettrostatico di tensione V0 , ossia è una
misura della riduzione nel guadagno di energia, causata dalla variazione sinusoidale nel tempo del
campo elettrico [21-cap.2].
Il campo elettrico E(z) è una funzione pari nelle vicinanze del centro del gap, centro geometrico e
centro elettrico coincidono. In questa situazione il secondo termine del transit time factor si annulla
e
L/2
T
 E (0, z) cos t ( z)dz
L / 2
V0
. (3.31)
Dall’ultima equazione si evince che il transit time factor è tanto maggiore quanto più il campo
elettrico è concentrato geometricamente vicino all’origine, dove cioè il coseno ha un peso
maggiore.
3.2.2 L’energy spread
Dalla relazione W  qV0T cos  , utilizzata per ricavare l’energia ceduta al fascio dal campo RF, si
osserva la dipendenza dalla fase. Il fascio è composto da un numero molto elevato di particelle e la
58
situazione ideale è quella in cui tutte le particelle possiedono la medesima energia, quindi la stessa
fase. Tuttavia non è così, avremo, infatti, particelle cha avranno fase uguale, minore o maggiore di
zero. Questo significa che non tutte le particelle attraversano il gap quando il campo accelerante si
trova al suo valore massimo e quindi non riceveranno la massima energia. Il fascio non sarà quindi
monoenergetico ma sarà caratterizzato da un certo energy spread, il quale tiene conto dello scarto di
energia tra le diverse particelle, e vale:
energyspread % 
E
 E
100 , (3.32)
σE rappresenta lo scarto quadratico medio delle energie di tutte le particelle che costituiscono il
fascio, il termine a denominatore rappresenta il valore medio dell’energia del fascio. Ovviamente
più basso è il valore dell’energy spread maggiore sarà la qualità del fascio.
3.3 interazione tra fascio di protoni e materia
Quando una particella carica attraversa uno spessore di materia, interagisce elettricamente sia con i
nuclei sia con gli elettroni atomici. Naturalmente il bersaglio nucleare offre una sezione
estremamente piccola rispetto al bersaglio atomico essendo il raggio nucleare circa dieci volte più
piccolo del raggio atomico. L’interazione con gli elettroni è molto più probabile rispetto a quella
con i nuclei; essendo gli elettroni molto più leggeri dei nuclei, le particelle incidenti trasferiscono
energia negli urti elettronici senza deviare la loro traiettoria: l’energia trasferita in ogni urto è molto
piccola e una perdita osservabile di energia, in percorsi anche brevi nel mezzo, è dovuta al numero
enorme di collisioni. Viceversa negli urti con i nuclei, le particelle oltre a perdere energia,
subiscono anche apprezzabili deviazioni rispetto alla direzione incidente [29-cap.3].
3.3.1 Lo stopping power
In ogni caso, l’energia necessaria per far avvenire questi processi, è fornita dalla particella
incidente, che pertanto viene rallentata. L’energia persa, per unità di lunghezza del percorso nel
materiale, prende il nome di “stopping power” ed è definita come segue:
 dE 
S P ( E )  
 [ MeV / m] (3.33)
 dx 
59
L’unità di misura, come scritto, è il MeV / m . Un’ulteriore definizione di stopping power è:
 dE 
S P ( E )  
 [ MeV  cm 2 / g ] (3.34)

dx


nella quale si divide l’ eq (3.33) per la densità del materiale attraversato e per questo prende il nome
di potere frenante massico; ovviamente l’unità di misura è differente: MeV  cm2 / g [29-cap.3].
Oltre a subire una forza frenante nell’attraversare la materia, gli ioni subiscono anche una
variazione di carica a causa delle interazioni con gli elettroni presenti. La carica istantanea di uno
ione, che attraversi uno strato di materia, varia continuamente ed è determinato dal bilancio di
elettroni persi ed acquisiti nel percorso compiuto. La carica media dello ione viene chiamata carica
effettiva, Zeff, ed è proporzionale alla velocità dello ione. La formula per ricavare la carica effettiva
è:

 v

Z eff  Z 1  exp   Z 2 / 3  , (3.35)
 v0


alle basse velocità (energia) lo ione tende a catturare elettroni e diventa presto neutro, azzerando la
carica effettiva, alle alte velocità invece tende a diventare un nucleo spoglio di elettroni con Zeff=Z
[30].
Per energie della particella incidente elevate, rispetto alle energie di ionizzazione richieste, lo
stopping power è dato dalla formula di Bethe-Bloch:

2me c 2  2 2Tmax
dE

2 Z 1 1
 K zeff
ln
  2  , (3.36)
2 
2
dx
A  2
I
2
i termini nell’equazione rappresentano:
-
β è il noto termine relativistico: β=v/c.
-
zeff è la carica effettiva della particella incidente,
-
A è la massa atomica del mezzo,
-
Z è il numero atomico del mezzo,
60
-
K/A è un termine costante che vale 0.307075 MeV g−1cm2,
-
I è il potenziale medio di ionizzazione del mezzo,
-
Tmax è la massima energia cinetica trasferita in una singola collisione ad un elettrone libero,
-
δ è la correzione di densità dovuta alla ionizzazione.
Nell’equazione seguente vengono riportati i termini della eq. 3.36 che maggiormente
influenzano il valore dello stopping power:

il termine 
dE
Z z2

f (  ), (3.37)
dx
A 2
Z
si riferisce al materiale attraversato: ρ è la densità, Z il numero atomico e A il peso
A
atomico; z è la carica della particella incidente e β è il rapporto tra velocità della particella e velocità
della luce; infine f (  ) è una funzione logaritmica di β che varia molto lentamente.
La dipendenza dal mezzo attraversato è principalmente nel rapporto Z/A, che a sua volta varia assai
lentamente da un atomo all’altro: in pratica lo stopping power dipende più dalle caratteristiche della
particella incidente che dal mezzo attraversato. I fattori che maggiormente influenzano lo stopping
2
power sono quindi zeff
e v 2 , ossia il quadrato della carica effettiva e la velocità dei protoni. Si può
allora scrivere la seguente relazione:
SP (E) 
2
z eff
v2
. (3.38)
Poiché l’energia della particella è direttamente proporzionale alla velocità al quadrato della
stessa si può modificare la relazione precedente:
SP (E) 
2
z eff
E
, (3.39)
dalla quale risulta che lo stopping power è inversamente proporzionale all’ energia della particella.
61
Fig. 3.5 Andamento stopping power in funzione dell’energia
In fig. 3.5 si può osservare la proporzionalità inversa tra stopping power ed energia del fascio di
protoni incidente. Si osserva, infatti, che all’aumentare dell’energia il valore del potere frenante
diminuisce fino ad un punto di minimo, superato il quale il termine logaritmico ( f (  ) ) comincia a
dare un contributo maggiore ed il potere frenante aumenta [29-cap.3, 31].
Alle basse energie, quando la velocità della particella incidente è paragonabile a quella di
rivoluzione degli elettroni attorno ai nuclei, la formula di Bethe-Bloch cessa di valere; la particella
cattura elettroni, la carica effettiva tende a zero, e lo stopping power decresce rapidamente; per i
protoni ciò accade sotto gli 0.5 MeV.
3.3.2 La curva di Bragg
Se si grafica l’andamento dello stopping power dei protoni, in funzione dello spessore di materiale
attraversato, si ottiene la curva di Bragg (par. 1.1.1). Tale curva presenta una regione iniziale piatta,
dove l’energia ceduta al mezzo è ridotta, seguita da un picco di energia ceduta verso la fine del
percorso delle particelle: dove l’energia cinetica delle particelle tende a zero, il termine dE / dx
aumenta enormemente.
62
Fig. 3.6 Curva di Bragg
3.3.3 Il range
Lo spessore di materiale nel quale una particella perde tutta la sua energia cinetica è detto “range”.
In figura 3.7 viene riportato l’andamento della trasmissione di particelle in funzione dello spessore
di materiale attraversato.
La curva di trasmissione non è rappresentata da una funzione a gradino; questo fatto indica che la
perdita di energia non è un processo continuo ma statistico. Particelle diverse del fascio subiscono
microscopicamente effetti diversi, dando luogo ad una distribuzione statistica del loro range
individuale, detta “straggling”. In prima approssimazione questa è una distribuzione gaussiana.
Microscopicamente le particelle subiscono effetti diversi, nell’attraversare la materia, per
diversi motivi:
1) lo strato di materiale attraversato presenta nominalmente uno spessore costante ma in realtà si
avranno delle piccole variazioni di spessore,
2) la particella varia la sua carica nell’attraversare un mezzo,
3) il numero di collisioni subite da una particella non è costante,
4) il percorso delle particelle non è rettilineo, infatti, a causa dell’interazione coulombiana con i
nuclei la particella subisce deflessioni più o meno marcate, dando vita al fenomeno dello scattering
multiplo [29-cap.3,30].
63
Fig. 3.7 Andamento delle particelle trasmesse in un mezzo in funzione dello spessore
Per questi motivi è più corretto parlare di range medio che il fascio di particelle percorre
all’interno del mezzo. Come si può osservare in fig. 3.7 il range medio è la distanza a cui la metà
esatta delle particelle è stata intercettata. In generale però quello che interessa è la distanza alla
quale tutte le particelle sono state arrestate, questa distanza è però impossibile da rilevare. Per
questo ciò che in realtà si cerca di calcolare è il range estrapolato ossia l’intersezione tra la tangente
alla curva nel punto di range medio e l’asse degli spessori.
Il range medio per una particella carica di energia cinetica iniziale E0 risulta:
0
R
0
dx
1
E dE dE  E dE / dx  dE [cm]; (3.40)
0
0
se invece si usa al posto dello stopping power il potere frenante massico si ottiene il range massico:
d
1
2
E dE dE  E dE / d  dE [ g / cm ] (3.41)
0
0
0
Rm 
0
dove  è il prodotto tra lo spessore x e la densità ρ [29-cap.3].
L’eq. (3.40) mette in evidenza la proporzionalità inversa tra stopping power ed energia, dunque
risulta:
64
E0
R   EdE  R  E02
(3.42)
0
cioè il range è proporzionale al quadrato dell’ energia del fascio incidente.
3.3.4 La dose assorbita e la dose equivalente
Il trasferimento di energia dalle particelle ionizzanti ad un qualsiasi organismo vivente comporta la
manifestazione di un effetto biologico, che nel caso dell’adroterapia è volutamente provocato a fini
terapeutici. Poiché tutti gli effetti fisici, chimici e di conseguenza biologici, si manifestano soltanto
quando avviene una cessione di energia alla materia, è stata introdotta una nuova grandezza: la dose
assorbita, pari all’energia assorbita per unità di massa del mezzo irradiato
D
d
, (3.43)
dm
dove dm è la massa di materia alla quale la radiazione cede l’energia dε. Poiché l’energia impartita
è una grandezza soggetta a fluttuazioni casuali ε rappresenta l’energia media depositata in un
volumetto elementare dV di massa dm, definita come segue:
  Rin  Rout  Q (3.44)
in cui Rin rappresenta l’energia radiante incidente nel volumetto considerato, cioè la somma delle
energie di tutte le particelle direttamente ed indirettamente ionizzanti che entrano nel volumetto,
Rout rappresenta l’energia radiante uscente dal volumetto considerato, e Q è la somma di tutte le
energie liberate, diminuita della somma di tutte le energie consumate in ogni trasformazione di
nuclei e particelle elementari avvenuta in tale volume. L’unità di misura della dose è il Gray (Gy), 1
Gy equivale a 1 J/kg [29-cap.6]. Accanto alla dose assorbita si definisce l’intensità di dose
assorbita:
dD
D 
, (3.45)
dt
Misurata in Gy/s.
65
Tuttavia la dose assorbita è una grandezza fisica che non permette la valutazione della diversità
degli effetti biologici indotti da radiazioni di diversa qualità. Viene allora definita un’altra
grandezza: la dose equivalente
H  D  Q, (3.46)
in cui D rappresenta la dose assorbita e Q il fattore di qualità della radiazione, il quale tiene conto
della distribuzione dell’energia assorbita a livello microscopico. Essendo la distribuzione di energia
assorbita dipendente dalla natura e dalla velocità delle particelle incidenti, il fattore di qualità può
essere parametrizzato rispetto allo stopping power. Nella seguente tabella vengono riportati una
serie di valori per il fattore di qualità Q in funzione dello stopping power:
Sp (keV/μm)
Q
<3,5
1
7
2
23
5
53
10
>175
20
Tab. 3.1 Valori di Q in funzione dello Sp
Nella tabella 3.2 invece sono presenti i valori del fattore di qualità in funzione
del tipo di
radiazione:
tipo di radiazione
Q
Raggi X, γ, elettroni
1
Neutroni, protoni, particelle con Z=1
10
Particelle alfa, particelle con Z=2
20
Tab. 3.2 Valori di Q in funzione del tipo di radiazione
L’ unità di misura della dose equivalente è il Sievert (Sv): 1 Sv = 1 Gy  Q [29-cap.6].
66
Capitolo 4
Misure di emittanza e dei parametri di Twiss
L’emittanza ed i parametri di Twiss sono delle grandezze fisiche che permettono di caratterizzare la
dinamica trasversale di un fascio di particelle, consentendo la determinazione delle dimensioni e
della divergenza del fascio all’uscita dell’iniettore. La conoscenza di tali parametri all’uscita
dell’iniettore PL-7[15] è fondamentale per il trasporto del fascio nei moduli successivi.
Nel seguente capitolo viene in primo luogo fornita una descrizione della tecnica con la quale
sono state eseguite le misure di emittanza e dei parametri di Twiss; successivamente vengono
descritte le condizioni nelle quali queste misure sono state eseguite ed i dispositivi utilizzati; infine
vengono presentati e commentati i risultati ottenuti.
4.1 Il principio di misura
Per misurare l’emittanza ed i parametri di Twiss si utilizza la tecnica del “quadrupole scan” (QUAD
SCAN) [32], che prevede la presenza di almeno un quadrupolo tra due punti fissi s0 e s; s0 è il punto
in cui si vogliono misurare emittanza (ε0) e parametri di Twiss (α0, β0 e γ0), mentre s è il punto in
cui viene misurata la dimensione del fascio RMS orizzontale o verticale, a seconda che si voglia
misurare emittanza e parametri di Twiss orizzontali o verticali. Variando le dimensioni trasverse del
fascio con il gradiente magnetico del quadrupolo, passando attraverso un minimo della dimensione
del fascio, si possono ricostruire accuratamente ε0, α0, β0 e γ0, come mostreremo in questo capitolo.
Si consideri il caso illustrato in figura 4.1, nel quale è presente un fascio di particelle, di
energia E, che attraversa un quadrupolo focheggiante, uno tratto di propagazione libera (drift), di
lunghezza LD, ed infine raggiunge lo schermo sul quale vengono effettuate le misure. Si vogliono
misurare l’emittanza ed i parametri di Twiss all’ingresso del quadrupolo, corrispondente alla
posizione s0.
67
Fig. 4.1 Schema elementare per la tecnica del quad-scan
Per un quadrupolo focheggiante nel piano orizzontale e defocheggiante in quello verticale, le
matrici di trasferimento, definite nell’eq. (3.9), sono:
RQF

 cos k LQ

  k sin k L
Q

sin k LQ 

k , (4.1)
cos k LQ 
RQD

 cosh k LQ

 k sinh k L
Q

sinh k LQ 

. (4.2)
k
cosh k LQ 
nel piano orizzontale e
in quello verticale, dove LQ indica la lunghezza del quadrupolo mentre k è il gradiente di campo
magnetico all’interno del quadrupolo (par. 3.1.1, eq. 3.4). Tali matrici si scambiano nel caso di
quadrupolo defocheggiante in orizzontale e focheggiante in verticale [28]. Le matrici (4.1) e (4.2),
fanno riferimento al caso in cui il quadrupolo viene considerato come “lente spessa”. In pratica
spesso si verifica la condizione LD >> LQ, ossia la lunghezza del drift è molto maggiore della
lunghezza del quadrupolo; in questo caso si può considerare il quadrupolo come una “lente sottile”
e le matrici (4.1) e (4.2) si semplificano come segue:
68
 1
RQ    1

 f
0

1  (4.3)

dove f è la distanza focale e 1/f=kLQ. Quando il segno del termine 1/f è negativo (positivo) la
matrice rappresenta una lente focheggiante (defocheggiante) [21-cap.7]. Non essendo verificata la
condizione che permette l’approssimazione a lente sottile, nell’analisi dei dati delle misure
effettuate, i quadrupoli saranno considerati come lenti spesse, dunque il loro comportamento sarà
descritto dalle matrici (4.1) e (4.2).
La matrice di trasferimento relativa al tratto di propagazione libera (drift) è invece la seguente:
S12   1 LD 
S
  
, (4.4)
RD   11
 S 21 S 22   0 1 
dove LD indica la lunghezza del drift.
La matrice di trasferimento, che descrive la trasformazione lineare tra i punti s0 ed s, è data
dalla moltiplicazione delle matrici degli elementi che si trovano sulla linea di trasporto del fascio
(eq. 3.10):
R12 
R
  RD  RQ , (4.5)
R   11
 R21 R22 
dove al posto di RQ si sostituisce la matrice (4.2) o la (4.3) a seconda che si vogliano misurare ε0,
α0, β0 e γ0 orizzontali o verticali [28].
Ci soffermiamo da adesso sulle misure di ε0, α0, β0 e γ0 orizzontali, essendo tutte le
considerazioni fatte nel piano verticale identiche.
La matrice del fascio in s (σ) è legata alla matrice del fascio in s0 (σ0) dalla relazione:
  R 0 RT ; (4.6)
69
ricordando che la matrice del fascio è, in accordo alle eqq. (3.15) e (3.21),
  x    x 2   xx 
 12 
 

, (4.7)
  
   x  x
   11
2 
 21  22 
   x  x    xx  x  
dalla (4.6) si può ricavare l’equazione che lega  11 , ossia il quadrato delle dimensioni RMS del
fascio nel piano orizzontale, ai termini della matrice del fascio  0 , associata al punto iniziale s0:
 11  R112 ( 0  0 )  R122 ( 0 0 )  2 R11R12 0 0 . (4.8)
Nell’equazione (4.8) sono presenti un termine noto,  11 , e tre incognite, i termini α0, β0 e ε0; γ0 non
rappresenta un’incognita, in quanto è ricavabile dalla relazione    2  1 . Quindi sarebbe
necessario misurare tre differenti valori di  11 per tre diversi valori di gradiente magnetico nel
quadrupolo. Si ottiene in questo modo il seguente sistema di tre equazioni in tre incognite:
  11(1)   R11(1) 2

 
2
  11( 2 )    R11( 2 )

  ( 3) 2
R
  11( 3)   11
2 R11(1) R12(1)
2 R11( 2 ) R12( 2 )
2 R11(3) R12(3)
2
R12(1)    0  0 


2
R12( 2 )     0 0  (4.9)
2
R12(3)    0 0 

Chiamando A la matrice al secondo membro, si ricava il vettore incognito, essendo noti la matrice A
e il vettore a primo membro, ottenuto tramite le misure:
  11(1) 
  0 0 




1

 (4.10)



A

 0 0
11( 2 ) ,

  
  11(3) 
 0 0


infine si ottengono i valori di ε0, α0 e β0.
Per ottenere misure accurate, è necessario misurare  11 per più di tre differenti valori di
gradiente magnetico nel quadrupolo; così facendo il sistema è sovradimensionato ed utilizzando il
metodo dei minimi quadrati [28], ε0, α0 e β0 sono quelli che minimizziamo
70
2
 ( 11(i )  f ( 0 ,  0 ,  0 )) 
  
 , (4.11)
u ( 112 ( i ) )
i 1 

2
n
2
dove n è il numero di misurazioni, u ( 112 (i ) ) indica l’incertezza relativa alla misura  11 e
(i )
f ( 0 ,  0 ,  0 )  R11(i ) ( 0  0 )  2R11(i ) R12(i ) 0 0  R22
( 0 0 ); (4.12)
2
2
ε0, α0 e β0 sono le soluzioni del sistema di tre equazioni ottenuto uguagliando a zero le derivate
parziali di  2 rispetto ai parametri ( 0  0 ) , (  0 0 ) e ( 0 0 ) .
4.2 Le condizioni sperimentali di misura
In questo paragrafo vengono descritte le condizioni sperimentali in cui sono state eseguite le misure
di emittanza e parametri di Twiss; in particolare descriviamo sia gli elementi magnetici tra
l’iniettore (s0) e lo schermo di misura (s), sia riportiamo i parametri operativi della macchina,
poiché lo scopo delle misure è lo studio di ε0, α0 e β0 per diversi punti di lavoro dell’iniettore.
4.2.2 La linea di trasporto del fascio
I dispositivi utilizzati per la misura di ε0, α0 e β0 sono leggermente differenti dallo schema di
principio discusso nel paragrafo 4.1, in quanto si utilizzano i due quadrupoli installati nella
macchina, intervallati, per ragioni di ingombro, da spazi di propagazione libera. I due quadrupoli
sono necessari perché il fascio abbia le dimensioni opportune all’ingresso del secondo modulo di
accelerazione, e quindi deve essere necessariamente focalizzato in entrambi i piani trasversi. La
linea di trasporto, dalla flangia di uscita (s0) allo schermo di misura (s) costituisce una tipica
struttura FODO (paragrafo 2.4); in figura 4.2 viene riportata una schema della linea di trasporto,
mentre nella tabella 4.1 si riportano le lunghezze degli elementi che la compongono.
71
Fig. 4.2 Elementi della linea di trasporto del fascio fra iniettore e schermo di misura
Simbolo nello schema
Elemento corrispondente
Valore (mm)
L1
lunghezza del primo drift
416
L2
lunghezza del primo quadrupolo (Q1)
123
L3
lunghezza del secondo drift
90
L2
lunghezza del secondo quadrupolo (Q2)
123
L4
lunghezza del terzo drift
222
s-s0
lunghezza totale della linea di trasporto
974
Tab. 4.1 Lunghezze degli elementi che compongono la linea di trasporto
Di seguito sono riportate alcune immagini per meglio chiarire le condizioni sperimentali nelle
quali sono state condotte le misure. Nella figura 4.3 si può osservare la flangia di uscita
dell’iniettore, indicata dalla freccia in giallo; la figura 4.4 rappresenta la linea di trasporto completa,
in cui si possono osservare tutti gli elementi che la compongono; nella figura 4.5, infine si osserva
la finestra di uscita dei protoni, la targhetta ceramica fluorescente, necessaria per rendere visibile il
fascio, e la telecamera che permette di monitorare le dimensioni del fascio e acquisire le impronte
della luminescenza indotta dal fascio sulla targhetta, da cui si ricava la dimensione trasversa del
fascio.
72
Fig. 4.3 Flangia di uscita dell’iniettore
Fig. 4.4 La linea di trasporto: si riconoscono gli spazi di propagazione libera e i due quadrupoli DANFYSIK utilizzati
73
Fig. 4.5 La finestra di uscita dei protoni, la targhetta fluorescente e, di fronte, la telecamera.
Le matrici R degli elementi presenti nella situazione attuale rimangono le stesse delle eqq.
(4.1), (4.2) e (4.3), ma adesso la matrice di trasferimento della linea di trasporto è più complessa:
R  RD4  RQ2  RD3  RQ1  RD1 , (4.13)
dove RDi rappresenta la matrice di trasferimento del drift i-esimo, e RQ j la matrice di trasferimento
del quadrupolo j-esimo.
Nel caso in cui uno dei due quadrupoli sia spento la sua matrice di trasferimento si ottiene
uguagliando a zero il termine k presente nella matrice 4.1, e la matrice diventa quella di un drift (eq.
4.3), di lunghezza pari alla lunghezza del quadrupolo.
4.2.2 I parametri operativi dell’iniettore
Le caratteristiche del fascio di protoni uscente dall’iniettore dipendono da diversi parametri:
tensione sulla lente unipolare, corrente di filamento, corrente sul magnete stabilizzatore, condizioni
di vuoto (pressione del gas), tensione sull’anodo di Pierce, tensione d’arco, tensione di estrazione e
fattore di accelerazione; nella tabella seguente vengono elencati i sopraccitati parametri, le loro
unità di misura ed i valori che sono stati impostati per eseguire le misure di emittanza. L’insieme di
tali parametri definiscono il punto di lavoro dell’iniettore.
74
Parametro
Unità di misura
Valore assunto
tensione sulla lente unipolare
kV
Variabile
tensione di estrazione
kV
Variabile
corrente di filamento
A
28
corrente sul magnete stabilizzatore
A
1,3
mTorr
7
tensione sull’anodo di Pierce
V
98
tensione d’arco
V
200
adimensionale
4,14
pressione del gas
fattore di accelerazione
Tab. 4.2 Parametri operativi dell’iniettore
Lo scopo della misura è studiare ε0, α0 e β0 in diversi punti di lavoro della macchina, variando la
tensione sulla lente unipolare e la tensione di estrazione.
La fig. 4.2 riporta, in un’operazione tipica, l’andamento della tensione d’arco (traccia gialla) la
corrente del fascio (traccia verde) e l’andamento del campo elettrico nella cavità accelerante (traccia
viola). Affinché il fascio di protoni sia presente deve esserci sovrapposizione temporale tra il campo
elettrico accelerante e la tensione d’arco, ovvero sono contemporaneamente presenti campo
accelerante e particelle da accelerare. L’intensità del fascio in uscita è proporzionale all’intervallo di
sovrapposizione delle tracce gialle e viola, e quest’intervallo temporale rappresenta la durata
dell’impulso.
La corrente viene misurata portando le cariche, in uscita dall’acceleratore, su di un resistore e
misurando la tensione ai capi del resistore, tramite un voltmetro. Adoperando un resistore da 1 kΩ,
la tensione letta sull’oscilloscopio risulta di 6 mV, (2mV/div in fig. 4.2). La durata dell’impulso è
invece di circa 25 μs. La traccia relativa alla corrente del fascio presenta un andamento a
saturazione a causa della presenza della capacità parassita del cavo che porta le cariche verso il
resistore, rendendo il circuito di misura un circuito integratore.
75
Fig. 4.2 Screenshot dall’oscilloscopio durante il funzionamento dell’iniettore
4. 3 Procedura di misura
Come detto nel paragrafo 4.1, ε0, α0 e β0 vengono ottenuti mediante la misurazione delle dimensioni
del fascio RMS al variare del gradiente magnetico nel quadrupolo utilizzato. Le dimensioni del
fascio RMS possono essere ricavate attraverso l’analisi delle immagini contenenti le impronte della
luminescenza indotta dal fascio sulla targhetta.
Dunque, scelto il piano sul quale si vogliono definire emittanza e parametri di Twiss, per ogni
valore di gradiente magnetico nel quadrupolo previsto dall’intervallo scelto, si acquisisce
un’immagine della targhetta, sulla quale è presente l’impronta del fascio. Si ricorda che l’intervallo
di gradienti magnetici deve essere selezionato in modo tale che la dimensione del fascio passi per
un punto di minimo.
Le immagini così acquisite, vengono inviate ad un programma di elaborazione delle immagini,
che esegue, per ciascuna di queste, le operazioni presenti nel diagramma di flusso di figura 4.3.
La prima operazione svolta dal programma è sottrarre all’immagine i-esima un’immagine
chiamata “fondo”. Per immagine di “fondo” si intende l’immagine della targhetta fluorescente
acquisita quando la tensione di estrazione (Vextr) è nulla, quindi il fascio non è presente.
L’operazione di sottrazione garantisce che la misura risulti esente da qualsiasi contributo dovuto
76
alla radiazione di fondo, generata dai protoni che riescono a raggiungere lo schermo di misura
anche quando non vengono estratti dalla sorgente. L’acquisizione dell’immagine di “fondo”
generalmente viene effettuata all’inizio della misurazione.
Fig. 4.3 Diagramma di flusso relativo al programma di elaborazione delle immagini
In figura 4.4 si può osservare una tipica immagine ottenuta sottraendo l’immagine di “fondo” ad
un’immagine qualsiasi del fascio (posizione A nel diagramma di flusso di fig. 4.3).
77
Fig. 4.4 Esempio di sottrazione tra l’immagine del fascio e l’immagine di fondo
La figura 4.5 rappresenta, invece, il risultato finale dell’elaborazione di un immagine del fascio
(punto B del diagramma di fig. 4.3); si riconoscono il profilo del fascio (in blu) e la porzione di
profilo selezionato (in rosso), utilizzata per calcolare deviazione standard e centroide del fascio di
protoni. L’asse delle ascisse di fig. 4.5 corrisponde a quello che era invece l’asse delle ordinate in
fig. 4.4, mentre l’asse delle ordinate indica l’intensità del fascio; la scala delle intensità è stata
normalizzata ad 1.
Fig. 4.5 Profilo del fascio e porzione centrale del profilo selezionata
Le immagini di fig. 4.4 e fig. 4.5 sono state ottenute utilizzando la sesta fotografia della prima
misura, relativa alle misure di emittanza verticale a 3 MeV nel punto di lavoro 2, i cui risultati
verranno presentati nel paragrafo successivo.
Terminata l’elaborazione delle immagini, il programma produce un file (“results.txt”) contente
la deviazione standard del profilo del fascio, ed il centroide del fascio. Questo file viene letto dal
secondo programma, il quale, tramite il metodo dei minimi quadrati, ricava i valori ottimi di ε0, α0 e
β0 in s0; inoltre ricostruisce l’ellisse caratteristico del fascio nello spazio delle fasi.
78
Fig 4.6 Dati sperimentali sul piano corrente-dimensioni RMS del fascio e curva ricavata con il metodo dei minimi quadrati
Fig. 4.7 Ricostruzione dell’ellisse nello spazio delle fasi
In fig. 4.6 si possono osservare i valori delle dimensioni RMS del fascio in funzione delle
correnti che scorrono nel quadrupolo, proporzionali ai gradienti magnetici, e la curva che li
approssima. Nella fig. 4.7 si riconosce, invece, l’ellisse caratteristico della distribuzione delle
particelle nello spazio delle fasi yy’. Le fig. 4.6 e 4.7 sono state ottenute sempre tramite la prima
misura, relativa alle misure di emittanza verticale a 3 MeV, nel punto di lavoro 2.
Se con il metodo dei minimi quadrati si raggiungesse una soluzione unica, le rette presenti in
figura 4.7 racchiuderebbero un’unica ellisse. Le rette rappresentano tutti i punti, nello spazio delle
79
fasi, il cui trasporto da s0 a s corrisponde ad una stessa dimensione RMS del fascio nello schermo di
misura [33].
4.4 Presentazione e discussione dei risultati ottenuti
Le misure di ε0, α0 e β0 sono state eseguite per due differenti valori di energia del fascio di protoni:
3 MeV e 7 MeV. I risultati delle misure a 3 MeV sono stati utilizzati per progettare le dimensioni
trasversali del fascio alla finestra di uscita dei protoni (cap. 6), mentre i risultati delle misure a 7
MeV sono stati confrontati con i valori di disegno forniti dalla casa costruttrice nella scheda tecnica
dell’iniettore.
4.4.1 Misure a 3 MeV
All’energia del fascio di 3 MeV le misure di ε0, α0 e β0 sono state eseguite per tre differenti punti di
lavoro dell’iniettore. Gli unici due parametri operativi dell’iniettore che sono stati variati sono la
tensione di estrazione e la tensione sulla lente unipolare (tab. 4.2); i tre punti di lavoro selezionati
sono riportati in tabella:
Punto di lavoro 1 Punto di lavoro 2 Punto di lavoro 3
Tensione di estrazione
29 kV
27,4 kV
26 kV
Tensione sulla lente unipolare
28,55 kV
28,2 kV
26 kV
Tab 4.3 Punti di lavoro dell’iniettore scelti per le misure
La durata dell’impulso di carica e la corrente del fascio sono state lasciate invariate,
indipendentemente dal punto di lavoro scelto, rispettivamente a 25 μs e 6 μA.
Per i punti di lavoro 1 e 2 ε0, α0 e β0 sono stati misurati solamente sul piano verticale, mentre nel
punto di lavoro 3, le misure sono state eseguite in entrambi i piani trasversi.
Da adesso, per convenzione, emittanza e parametri di Twiss nel piano verticale saranno indicati
con i seguenti simboli: εy, αy e βy, e, rispettivamente, in quello orizzontale: εx, αx e βx.
Nel punto di lavoro 1 sono state eseguite tre misure nel piano verticale, utilizzando il primo
quadrupolo (Q1); nella prima misura sono state raccolte 14 immagini, nella seconda 25, nella terza
17. I risultati ottenuti vengono riportati in tabella 4.4:
80
Misura
εy (RMS)
εyn (RMS)
αy
βy
σy
1
5,388 mm-mrad 0,433 mm-mrad -0,331 0,165 mm/mrad 0,944 mm
2
7,253 mm-mrad 0,582 mm-mrad -0,346 0,124 mm/mrad 0,947 mm
3
6.107 mm-mrad 0,490 mm-mrad -0,737 0,147 mm/mrad 0,946 mm
Tab. 4.4 Risultati ottenuti nel punto di lavoro 1 sul piano verticale
Il termine εyn rappresenta l’emittanza normalizzata; σy, invece, corrisponde alla radice quadrata del
termine  11 della matrice del fascio, ed è uguale a:
 11   y  y . Questo valore rappresenta le
dimensioni RMS del fascio sul piano verticale (paragrafo 3.1.2).
Osservando i dati di tab. 4.4, si nota una notevole differenza per quanto riguarda il valore di
emittanza tra la seconda misura e le restanti due. Analizzando i grafici relativi alle tre misure (fig.
4.8), si osserva che per la misura numero 2 la curva approssima male i dati sperimentali, mentre per
la prima e terza misura si ottiene una miglior approssimazione; i risultati ottenuti nella prima e terza
misura sono, di conseguenza, più accurati.
Fig. 4.8 Confronto tra i grafici relativi alle misure nel punto di lavoro 1
In fig. 4.9 vengono, invece, riportate le ricostruzioni delle ellissi nello spazio delle fasi yy’:
Fig. 4.9 Ellissi nello spazio delle fasi yy’
81
L’aumento di emittanza, relativo alla seconda misura, è molto evidente: l’area dell’ellisse
nell’immagine centrale è, infatti, più grande rispetto all’area delle ellissi 1 e 3; relativamente ad i
parametri di Twiss, le ellissi 1 e 2 presentano una inclinazione simile, denunciata dalla somiglianza
degli αy, mentre la terza ellisse presenta una maggiore inclinazione: l’αy della terza misura è in
modulo maggiore rispetto agli αy ottenuti per le prime due misure.
Nel secondo punto di lavoro sono state eseguite due misure, sempre nel piano verticale e
sempre utilizzando il quadrupolo Q1. Per la prima misura sono state acquisite 13 immagini, per la
seconda 17. I risultati ottenuti nel punto di lavoro 2 sono i seguenti:
Misura
εy (RMS)
εyn (RMS)
αy
βy
σy
1
6,112 mm-mrad 0,491 mm-mrad -0,681 0,151 mm/mrad 0,959 mm
2
5,839 mm-mrad 0,469 mm-mrad -0,554 0,125 mm/mrad 0,854 mm
Tab. 4.5 Risultati ottenuti nel punto di lavoro 2 sul piano verticale
Nel punto di lavoro 3, infine, sono state eseguite tre misure nel piano verticale ed una nel piano
orizzontale. La misurazione nel piano verticale è stata effettuata sempre per mezzo del quadrupolo
1; le immagini acquisite sono state 13 per la prima misura, 17 per la seconda e 11 per la terza. In
tabella 4.6 vengono riportati i risultati ottenuti.
Misura
εy (RMS)
εyn (RMS)
αy
βy
σy
1
2,623 mm-mrad 0,211 mm-mrad -0,030 0,161 mm/mrad 0,650 mm
2
2,492 mm-mrad 0,200 mm-mrad -0,111 0,150 mm/mrad 0,612 mm
3
2,715 mm-mrad 0,218 mm-mrad -0,381 0,137 mm/mrad 0,610 mm
Tab. 4.6 Risultati ottenuti nel punto di lavoro 3 sul piano verticale
Confrontando i risultati di emittanza verticale ottenuti nei tre punti di lavoro differenti si
osserva che nel punto di lavoro tre si ottiene una notevole diminuzione di emittanza rispetto a quella
che si era ottenuta nei primi due punti di lavoro. La netta diminuzione di emittanza, apprezzabile da
un punto di vista visivo in figura 4.10, confrontando le aree delle ellissi, è dovuta alla diminuzione
dei valori di tensione di estrazione e tensione sulla lente unipolare.
82
Fig. 4.10 Ellissi ricostruiti nello spazio delle fasi per la prima misura nel punto di lavoro 2 (sinistra) e per la seconda misura nel punto
di lavoro 3 (destra)
In figura 4.11, infine, vengono riportate in un unico grafico le misure di emittanza verticale
ottenute, in funzione del punto di lavoro.
Fig. 4.11 Grafico riassuntivo dei risultati di emittanza verticale ottenuti
Si nota di nuovo la diminuzione di emittanza ottenuta diminuendo i valori di tensione di estrazione
e tensione sulla lente unipolare. Inoltre viene evidenziato come nel punto di lavoro 1 si ottengono
dei risultati poco precisi, a differenza di ciò che accade nei punti di lavoro 2 e 3.
83
La misurazione di εx, αx e βx, è stata resa possibile utilizzando entrambi i quadrupoli presenti
sulla linea di trasporto. In particolare il quadrupolo più vicino alla sorgente è stato impostato ad un
gradiente di campo magnetico costante, con l’obiettivo di non far uscire il fascio dalla targhetta,
mentre quello più distante è stato utilizzato per la misurazione. Le immagini acquisite sono state 23,
i risultati ottenuti sono i seguenti:
εx (RMS)
εxn (RMS)
αx
βx
σx
3,684 mm-mrad 0,296 mm-mrad 1,781 0,956 mm/mrad 1,877 mm
Tab. 4.7 Risultati ottenuti nel punto di lavoro 3 nel piano orizzontale
In figura 4.12 viene riportata la ricostruzione dell’ellisse nello spazio delle fasi xx’; si può osservare
che l’ellisse avendo un valore di αx positivo, questa volta presenta un inclinazione opposta rispetto a
quella che invece era presente in tutte le misure di emittanza verticale. Inoltre si riscontra un’ottima
ricostruzione dell’ellisse, sintomo di una misura accurata.
Fig. 4.12 Ellisse nello spazio delle fasi xx’
Il valore di emittanza orizzontale e quello di emittanza verticale, ottenuto mediante la terza
misura nel punto di lavoro 3, sono stati utilizzati per la progettazione della linea di trasporto del
fascio a 3 MeV, affrontata nel capitolo 6 della tesi.
84
4.4.2 Misure a 7 MeV
Con il fascio all’energia di 7 MeV sono state eseguite solamente una misura di emittanza
orizzontale ed una di emittanza verticale. La durata dell’impulso è stata impostata a 50μs e la
corrente del fascio a circa 10 μA. Le misure sono state entrambe eseguite tramite il quadrupolo Q2.
La tensione di estrazione è stata impostata a 28,5 kV, mentre la tensione sulla lente unipolare a 27,4
kV.
La misura di emittanza orizzontale ha prodotto i risultati riportati in tabella 4.8:
εx (RMS)
εxn (RMS)
αx
βx
σx
1,575 mm-mrad 0,194 mm-mrad 0,665 0,304 mm/mrad 0,69 mm
Tab. 4.8 Risultati emittanza orizzontale a 7 MeV
Dalla figura 4.13 si riscontra una buona accuratezza: la curva di fit ed i dati sperimentali
concordano e si ottiene una precisa ricostruzione dell’ellisse nello spazio delle fasi.
Fig. 4.13 Fit dei dati sperimentali (sinistra) e ricostruzione dell’ellisse nello spazio delle fasi (destra)
Per misurare l’emittanza verticale, è stato necessario variare il punto di lavoro dell’iniettore; in
particolare è stata ridotta la tensione di estrazione del fascio da 28,5 kV a 27,5 kV, infatti, con un
valore di 28,5 kV i risultati ottenuti risultano meno accurati rispetto a quelli ottenuti per l’emittanza
orizzontale. La minor accuratezza è dovuta alla presenza di un doppio fascio nel caso di tensione di
estrazione pari a 28,5 kV, osservabile in figura 4.14.
85
Fig. 4.14 Presenza del doppio fascio ad una tensione di estrazione di 28,5 kV
Oltre a ridurre l’accuratezza della misura, la presenza del doppio fascio innalza il valore
dell’emittanza.
Ad una tensione di estrazione del fascio di 27,5 kV, sono stati ricavati i seguenti risultati:
εy (RMS)
εyn (RMS)
αy
βy
σy
2,592 mm-mrad 0,320 mm-mrad -0,509 0,292 mm/mrad 0,869 mm
Tab. 4.9 Risultati emittanza verticale a 7 MeV
Nel grafico di figura 4.15 vengono confrontati i migliori valori di emittanza normalizzata
verticale, ottenuti a 3 MeV, con quello ottenuto a 7 MeV; utilizzando l’emittanza normalizzata è
possibile confrontare i risultati ottenuti indipendentemente dall’energia del fascio. Si osserva una
buona precisione per quanto riguarda i risultati ottenuti a 3 MeV, mentre la misura a 7 MeV ha
prodotto un valore per l’emittanza normalizzata verticale maggiore rispetto ai risultati a 3 MeV.
86
Fig. 4.15 Confronto delle emittanze verticali normalizzate, a 3 MeV e 7 MeV
Relativamente al fascio di energia pari a 7 MeV, il costruttore ha calcolato i valori di disegno
di emittanza, orizzontale e verticale, e parametri di Twiss, alla flangia di uscita dell’iniettore. Tali
valori sono stati forniti nella scheda tecnica della macchina. Nelle tabelle seguenti vengono
confrontati i valori di disegno con i valori misurati:
- emittanza orizzontale
εx (RMS)
αx
βx
Misura
1,575 mm-mrad
0,665
0,304 mm/mrad
disegno
1,1 mm-mrad
0,297
0,096 mm/mrad
Tab. 4.10 Confronto tra misure e valori di disegno per l’ emittanza orizzontale
- emittanza verticale
εy (RMS)
αy
βy
Misura
2,592 mm-mrad
-0,509
0,292 mm/mrad
disegno
1,2 mm-mrad
2,769
0,498 mm/mrad
Tab. 4.11 Confronto tra misure e valori di disegno per l’ emittanza verticale
Nel piano orizzontale risulta che per l’emittanza i valori sono pressoché simili, la differenza tra
i due valori è, infatti, di 0,475 mm-mrad. Sia dalle misure sia dai parametri di disegno risulta che il
87
fascio è convergente, mentre dalle misure risulta che il fascio possiede dimensioni maggiori rispetto
a quelle previste dal costruttore.
Per quanto riguarda il piano verticale, si hanno valori di emittanza discordanti, in questo caso
la differenza tra valore misurato e di disegno è di 1,392 mm-mrad, valore molto maggiore rispetto al
caso dell’emittanza orizzontale. Inoltre dalle misure il fascio risulta essere divergente, mentre dai
parametri di disegno risulta un fascio convergente. Per quanto riguarda le dimensioni del fascio,
misure e parametri di disegno concordano.
4.5 Cause d’incertezza nella misura di emittanza
Le cause d’incertezza nella misura di emittanza eseguita nel modo descritto possono essere
principalmente due: disallineamento angolare tra telecamera e finestra terminale dell’iniettore ed
elevato energy spread del fascio.
Per evidenziare il primo errore è stata condotta una prova: sulla seconda misura di emittanza
verticale, relativa al punto di lavoro 2, è stata imposta una rotazione di 5 gradi tra iniettore e
telecamera; analizzando i risultati ottenuti si è osservato che la rotazione comporta un
peggioramento dell’emittanza normalizzata, che risulta 0,9940 mm-mrad contro gli 0.4688 mmmrad ottenuti in condizioni di allineamento.
Per questo motivo nel programma di elaborazione delle immagini è implementato uno script che
ruota ciascun’immagine per un numero n (impostabile) di angoli in modo da ottenere l’immagine
attraverso la quale ricavare la dimensione effettiva del profilo del fascio.
Per quanto riguarda invece la seconda causa di errore, un energy spread elevato del fascio
comporta un elevato Δp (p = quantità di moto) tra le varie particelle; ricordando che il potere
focheggiante del quadrupolo è espresso da k(s)= qg(s)/p, si nota che questo dipende proprio dalla
quantità di moto della particella, dunque il quadrupolo focheggia in maniera differente protoni con
differenti energie, aumentando di fatto l’emittanza. Tuttavia nel caso specifico l’energy spread
rilevato è di circa 100 keV su un’energia del fascio di 3 MeV, dunque quest’effetto è trascurabile.
88
Capitolo 5
Misure di range e picco di Bragg
Dopo aver caratterizzato dinamicamente il fascio sul piano trasverso, è necessario caratterizzare il
fascio anche dal punto di vista energetico. La misurazione del range permette di ricavare
dell’energia del fascio entrante nel mezzo, mentre la misura del picco di Bragg consente di
individuare la profondità alla quale viene rilasciata la quantità di dose massima.
In questo capitolo, dopo aver brevemente illustrato il procedimento per ottenere le misure di
range e picco di Bragg, e le condizioni sperimentali di misura, vengono presentate e commentate le
misure di range, eseguite per misurare l’energia effettiva del fascio all’uscita dell’iniettore, e la
curva di Bragg ricostruita sperimentalmente.
5.1 Principio di misura
Per ottenere una misura di range è necessario disporre della curva di trasmissione in funzione dello
spessore di materiale attraversato. La trasmissione è intesa come il rapporto tra particelle trasmesse
e particelle incidenti su un determinato spessore di materiale. Utilizzando degli strati di materiale di
spessore opportuno, la curva di trasmissione viene ottenuta misurando il rapporto tra particelle
trasmesse e particelle incidenti, per un numero di volte pari al numero di strati necessario ad
annullare la trasmissione. Ricavata la curva, si può estrapolare il valore di range medio, pari allo
spessore di materiale per il quale la metà esatta delle particelle è stata intercettata [29-cap.3].
Per misurare il picco di Bragg, invece, il fascio di energia nota viene indirizzato su un bersaglio
di spessore fisso, formato da più strati di un determinato materiale; per riuscire a misurare il picco
di Bragg lo spessore dello strato deve essere tale da impedire al fascio di attraversarlo. A questo
punto s’irraggia il sistema per un determinato intervallo di tempo e, al termine dell’irraggiamento, si
analizza la dose assorbita da ciascuno strato. I valori di dose così ottenuti permettono di tracciare il
picco di Bragg.
5.2 Le condizioni sperimentali di misura
Nel seguente paragrafo vengono descritte le condizioni sperimentali in cui sono state eseguite le
misure di range e di picco di Bragg, e le motivazioni che hanno portato alla scelta dei materiali
utilizzati per eseguire le misure.
89
5.2.1 condizioni sperimentali per le misure di range
Le misure di range sono state eseguite con un fascio avente energia di 3 MeV; inoltre, utilizzando i
due quadrupoli, il fascio è stato focalizzato per avere dimensioni minori rispetto alle targhette
utilizzate.
Il fascio di protoni attraversa prima uno strato di kapton, che serve a mantenere il vuoto
necessario per il trasporto del fascio. Questo strato di kapton viene anche chiamato finestra
terminale o finestra di kapton.
Fig. 5.1 Foglio di katpon
La finestra in kapton attenua il fascio, specialmente all’energia di 3 MeV, alla quale lo stopping
power assume un valore consistente. Durante le misure di range sono stati utilizzati due finestre
terminali aventi due spessori differenti: in particolare 80 μm e 50 μm.
La curva presente in figura 5.2 rappresenta l’andamento dell’energia del fascio emergente dalla
finestra di kapton in funzione dello spessore della stessa. Questa curva è stata ottenuta elaborando i
dati contenuti nelle tabelle di stopping power proposte dal NIST – PSTAR [34]. Dal grafico emerge
che per uno spessore di kapton di 80 μm l’energia residua del fascio risulta essere circa 1,55 MeV
(linea rossa), per uno spessore di 50 μm il fascio emerge con un energia di circa 2,2 MeV (linea
verde). La validità dei valori di energia così ottenuti può essere verificata confrontando questi con
quelli di un software di simulazione: SRIM 2011, con il quale è stata calcolata l’energia residua
media del fascio di protoni per entrambi i casi sopraccitati. Secondo SRIM 2011 il fascio emerge
dalla finestra di kapton con un’energia di 1,51 MeV, se lo spessore della finestra è di 80 μm, con
un’energia di 2,15 MeV se lo strato è spesso 50 μm. I valori di energia residua del fascio emergente
dalla finestra in kapton, ricavati tramite due metodi differenti, sono coerenti tra loro. Si rimanda la
descrizione dettagliata del software SRIM 2011 al paragrafo 5.4.
90
Fig. 5.2 Curva energia residua – spessore di kapton attraversato per un fascio di protoni di 3 MeV
Come scritto nel paragrafo precedente, per ottenere una misura di range è necessario costruire
la curva di trasmissione. In figura 5.3 viene riportato uno schema rappresentante il principio di
misura utilizzato per ottenere una misura di trasmissione. Si riconoscono: il fascio incidente (Bi), la
finestra di kapton (K), gli spessori di materiale sovrapposti alla finestra terminale (∆s), il fascio
trasmesso (Bo) ed infine il bersaglio metallico che raccoglie il fascio emergente. Il bersaglio
metallico è collegato ad un cavo coassiale, che consente alla corrente di protoni di raggiunge un
oscilloscopio digitale, sul quale è possibile visualizzare un segnale in tensione proporzionale al
numero di protoni che hanno attraversato lo strato di materiale.
Fig. 5.3 Schema del principio di misura utilizzato per ottenere un valore di trasmissione
91
In figura 5.4 si riconosce lo strato di materiale sovrapposto alla finestra terminale (1), il target
metallico(2) ed il cavo coassiale (3).
Fig. 5.4 Immagine relativa all’esecuzione di una misura di trasmissione
Gli strati di materiale utilizzati per misurare la trasmissione hanno spessore finito, dunque non
è possibile ottenere una curva di trasmissione definita per un intervallo continuo di spessori. La
misura di range ottenuta è discretizzata ed il passo di discretizzazione è pari allo spessore dello
strato utilizzato. La risoluzione per queste misure sarà tanto maggiore quanto più il materiale scelto
presenta un valore di stopping power basso e spessore degli strati minore possibile.
In figura 5.5 viene riportato l’andamento del range in funzione dell’energia del fascio per
diversi materiali: piombo, acqua, PVC e kapton. Il grafico è stato ricavato con i dati di CSDA range
forniti dalle tabelle del NIST – PSTAR [34]. Il CSDA range rappresenta il percorso medio dei
protoni mentre frenano nella materia, calcolato considerando che la particella rallenti in maniera
continua nel mezzo. In questo tipo di approssimazione si assume che la porzione di energia ceduta
92
al mezzo, in qualsiasi punto del percorso della singola particella, è uguale allo stopping power del
materiale considerato [35].
Fig. 5.5 Range in funzione dell’energia per diversi materiali
Si nota che il range del piombo è molto minore rispetto al percorso che le particelle avrebbero
in acqua, PVC o kapton, in particolar modo il range maggiore si ha in acqua, seguito dal PVC ed
infine dal kapton. Se ad esempio si scegliesse il piombo, per eseguire le misure di energia, si
otterrebbero risultati peggiori rispetto a quelli ottenuti con PVC o kapton, poiché, a parità di
spessore dello strato, il piombo frena le particelle in maniera maggiore rispetto al PVC. Ponendoci
nelle condizioni più sfavorevoli, ossia con spessore della finestra in kapton di 80 μm, se si osserva
l’ingrandimento di fig. 5.5, riportato in figura 5.6, si nota che all’energia di 1,51 MeV (energia
posseduta dal fascio subito dopo lo strato di kapton) il range è molto ridotto anche per il PVC; in
particolare per il PVC abbiamo un range di circa 50 μm, mentre per il piombo di circa 20 μm. Se si
volesse misurare dieci volte il rapporto tra particelle incidenti e particelle trasmesse, per il PVC
sarebbero necessari fogli aventi spessore di 5 μm, per il piombo lo spessore dovrebbe essere di 2
μm.
93
Fig. 5.6 Ingrandimento figura 5.5
Dunque è ovvio che la scelta del materiale da utilizzare è fondamentale e, per le sue proprietà
oltre che la facile reperibilità, si è deciso di utilizzare fogli di pellicola per alimenti in PVC, mostrati
in figura 5.7.
Fig. 5.7 Strati di pellicola PVC utilizzati per le misure di range
94
5.2.2 condizioni sperimentali per la misura di picco di Bragg
La misura del picco di Bragg è stata effettutata ad un energia del fascio di 7 MeV, ad una tale
energia gli accorgimenti relativi a spessore degli strati e stopping power del materiale risultano
essere meno stringenti, ma comunque molto importanti.
Lo schema di misura rimane quello di figura 5.3 a meno del bersaglio metallico, che in questo
caso non è necessario; come detto gli strati di materiale scelto vengono disposti in pila e sovrapposti
alla finestra terminale in un’unica soluzione. Il materiale selezionato per la misura di picco di Bragg
è il film gafcromico, avente spessore di 50 μm, mostrato in figura 5.8.
Fig. 5.8 Strato di film gafcromico utilizzato per la ricostruzione della curva di Bragg
Il film gafcromico è composto da una matrice di nylon al cui interno è presente materiale
organico, il quale quando viene colpito da particelle cariche reagisce; questa reazione colora il film
in maniera proporzionale all’energia depositata, da trasparente a blu scuro [36].
5.3 Misure di range
Le misure effettuate si riferiscono al range medio, ossia la distanza alla quale la metà delle
particelle è stata intercettata.
Le misure di range sono state eseguite con una finestra di kapton di spessore variabile e, in
particolar modo, in due misure lo spessore della finestra è stato di 80 μm, nella terza di 50 μm.
Le misure con lo strato di kapton da 80 μm sono state eseguite nel seguente modo: nella prima
misura sono stati aggiunti sulla finestra terminale due strati per volta di PVC fino al quarto strato,
nella seconda uno strato per volta. Lo spessore degli strati di PVC, per queste misure, è di 8,8 μm.
Nelle tabelle seguenti vengono riportati i risultati ottenuti:
95
Numero strati Spessore strato PVC (μm) Trasmissione
0
0
1
2
17,6
1
4
35,2
1
5
44
0,80
6
52,8
0,31
7
61,6
0,28
8
70,4
0,27
Tab. 5.1 Risultati della prima misura con finestra terminale di 80 µm
Numero strati Spessore strato PVC (μm) Trasmissione
0
0
1
1
8,8
0,99
2
17,6
0,99
3
26,4
0,99
4
35,2
0,97
5
44
0,61
6
52,8
0,24
7
61,6
0,24
8
70,4
0,22
Tab.5.2 Risultati della seconda misura con finestra terminale di 80 µm
si nota che si ha una netta diminuzione della trasmissione quando il fascio si trova ad attraversare
uno spessore di materiale superiore ai 44 µm (valori evidenziati nelle tabelle); si può dunque
dedurre che il fascio ha un range di circa 45 μm. Nella figura 5.9 vengono riportate le due curve di
trasmissione in funzione dello spessore di PVC attraversato, relative alle due misure appena
eseguite. Le curve non vanno a zero a causa della presenza di elettroni secondari. I valori di range
medio risultano 49 ± 2,5 µm per la prima misura e 46 ± 2,5 µm per la seconda misura.
96
Fig. 5.9 Trasmissione in funzione dello spessore di PVC, finestra terminale di 80 μm
Per effettuare la misura di range con la finestra terminale di 50 µm, ovviamente, è stato
utilizzato un numero maggiore di strati di PVC, essendo l’energia del fascio emergente dalla
finestra di kapton superiore; in particolare sono risultati necessari 11 strati, contro gli 8 delle due
misure appena presentate. Gli strati sono stati aggiunti uno per volta e, in questo caso, presentano
uno spessore di 10 μm ; i risultati ottenuti vengono riportati in tabella 5.3
Numero strati Spessore strato PVC (μm) Trasmissione
0
0
1
1
10
1
2
20
0,99
3
30
0,95
4
40
0,95
5
50
0,95
6
60
0,93
7
70
0,68
8
80
0,33
9
90
0,22
10
100
0,18
11
110
0,18
Tab 5.3 Risultati della misura con finestra terminale di 50 µm
97
In questo caso la diminuzione nel valore di trasmissione è evidente al superamento del settimo
strato, dunque si può affermare, consultando anche il grafico relativo all’andamento della
trasmissione in funzione dello spessore di PVC (fig. 5.10), che il range medio è 75 ± 2,9 μm.
Fig. 5.10 Trasmissione in funzione dello spessore di PVC, finestra terminale di 50 μm
5.4 Confronto tra risultati sperimentali e simulazioni: SRIM 2011
Successivamente all’esecuzione delle misure si è deciso di confrontare i risultati ottenuti con i dati
forniti da un software: SRIM 2011, scritto da J.F. Ziegler, J.P. Biersack e M.D. Ziegler.
Questo software, il cui nome è l’ acronimo di Stopping and Range of Ions in Matter [37], è
basato su un metodo di calcolo Monte Carlo, nell’approssimazione della collisione binaria (binary
collision approximation, BCA). Il modello fisico dell’approssimazione della collisione binaria è
raffigurato in fig. 5.11.
Secondo il modello BCA, la traiettoria di uno ione incidente nel mezzo è approssimata da un
percorso poligonale, per tenere conto delle collisioni cui lo ione va incontro. Lo ione, dopo l’urto si
può muovere lungo un percorso libero λ definito dalla distanza atomica media del mezzo
attraversato. Il parametro d’urto è inteso come la distanza tra la retta individuata dalla velocità della
particella incidente ed il centro della particella bersaglio della successiva (i+1) collisione nucleare.
Il software sceglie questo parametro casualmente mediante la relazione:
98
p  pmax r , (5.1)
dove p rappresenta il parametro d’ urto della collisione i+1, pmax è il parametro d’ urto caratteristico
dell’urto centrale (la retta associata alla velocità della particella incidente passa per il centro del
bersaglio) ed r è un numero casuale scelto nell’intervallo [0,1]. Lo ione perde energia tra un urto ed
il successivo, ossia le collisioni non danno nessun contributo allo stopping power [30].
Fig. 5.11 Modello fisico BCA
Il software richiede i seguenti parametri in ingresso: tipo e numero di ioni (1), energia degli
ioni (2), e strati di materiale da attraversare (3), specificando lo spessore dello strato ed il tipo di
materiale.
Si decide di eseguire una prima simulazione con un fascio di 499 protoni, e s’impostano l’energia a
3 MeV, e gli strati di kapton e di PVC, di spessore 80 μm ciascuno. Impostati i valori desiderati, si
avvia la simulazione.
99
Fig. 5.12 Finestra di lavoro di SRIM 2011
La simulazione permette di calcolare la distribuzione degli ioni all’interno del mezzo scelto ed
in particolare l’andamento delle traiettorie degli ioni nella materia. In figura 5.13, si possono
osservare le traiettorie compiute dai protoni nel mezzo, nel piano xy, dove x rappresenta la
coordinata lungo la quale avanzano gli ioni. Si nota come ciascuna particella subisce delle
deviazioni nell’avanzare nel mezzo e le dimensioni del fascio aumentano. In figura 5.14, viene
mostrata la distribuzione tridimensionale dei protoni, dove la curva a forma di campana in rosso
rappresenta la zona di spazio nella quale si fermano i protoni, e coincide con la curva di straggling,
descritta nel paragrafo 3.3.3. Inoltre nel grafico di fig. 5.14, in alto a sinistra, viene riportato il range
medio dei protoni nel mezzo, che risulta uguale a 125 μm; considerando che la simulazione è stata
condotta con lo strato di kapton di 80 μm, il range nel PVC è proprio di 45 μm, risultato analogo a
quanto ricavato con le misure sperimentali.
100
Fig. 5.13 Traiettorie ioni nel piano xy, prima simulazione
Fig. 5.14 Distribuzione 3D dei protoni, prima simulazione
Il software, inoltre, produce un file dal nome range3D.txt in cui sono contenute le posizioni
finali di ciascuno ione nel sistema di riferimento xyz, dove x rappresenta la coordinata longitudinale
e yz è il piano traverso.
101
Utilizzando i valori contenuti nel file range3D.txt, si ottiene la curva di figura 5.15, la quale
rappresenta l’andamento della trasmissione in funzione dello spessore di PVC attraversato. Come ci
si aspetta, il range medio risulta essere 45,6 μm.
Fig. 5.15 Andamento della trasmissione in funzione dello spessore di materiale attraversato, prima simulazione
Ripetendo la simulazione per la misura effettuata con lo strato di katpon avente spessore 50
µm, i risultati proposti da SRIM 2011 sono di nuovo coerenti con i risultati trovati
sperimentalmente, infatti, come riportato in figura 5.16, l’immagine relativa alla distribuzione degli
ioni tridimensionale riporta un range di 129 µm, a cui però vanno sottratti i 50 µm della finestra di
kapton. Inoltre utilizzando il file range3D.txt, si ottiene di nuovo la curva di trasmissione in
funzione dello spessore di materiale attraversato, osservabile in figura 5.17, molto simile a quella
ottenuta sperimentalmente.
102
Fig. 5.16 distribuzione tridimensionale ioni, seconda simulazione
Fig. 5.17 Andamento della trasmissione in funzione dello spessore di materiale attraversato, seconda simulazione
Confrontando la serie di misure eseguite e simulazioni completate si può concludere che i
risultati di range musrati sono in accordo con le simulazioni, e i valori di energia associati a questi
range sono concordi con quelli che erano stati calcolati prima di eseguire le misure sperimentali. La
seguente tabella riassume il lavoro svolto: nella colonna “range calcolato” vengono riportati i range
103
nel PVC calcolati mediante le tabelle del NIST – PSTAR, nella colonna “range misurato” si
riportano i valori misurati sperimentalmente e nella colonna “range simulato” vengono inseriti i
valori di range ottenuti tramite SRIM 2011.
spessore kapton
range calcolato
range misurato
range simulato
Prima misura
80 µm
43,7 µm
49 ± 2,5 µm
45 µm
seconda misura
80 µm
43,7 µm
46 ± 2,5 µm
45 µm
Terza misura
50 µm
75 µm
75 ± 2,9 µm
79 µm
Tab. 5.4 Tabella riassuntiva dei valori di range calcolati, misurati e simulati
5.5 Misura di picco di Bragg
Per ricostruire sperimentalmente la curva di Bragg sono stati presi 13 strati di film gafcromico e
sono stati sovrapposti a formare una pila; questa pila è stata posizionata sulla finestra terminale in
kapton e successivamente il sistema è stato irradiato dal fascio di protoni per un tempo di 30
secondi. Al termine dei 30 secondi gli strati di film gafcromico hanno assunto l’aspetto presentato
in figura 5.18.
Fig. 5.18 strati di film gafcromico dopo l’ irradiazione
104
In accordo a quanto detto relativamente al picco di Bragg, dalla figura 5.18, si nota che fino al
settimo strato la colorazione del film è molto simile, nei tre strati successivi è più intensa per
svanire quasi completamente nell’undicesimo strato ed infine completamente nel dodicesimo e
tredicesimo. Dunque il picco di energia rilasciata al mezzo, o picco di Bragg, si trova ad una
profondità compresa tra il nono e decimo strato, quindi tra i 450 ed i 500 µm.
Per andare a graficare la curva di Bragg è necessario calcolare il valore di densità ottica
assunto da ciascuno strato di film gafcromico ed associare a questo valore la quantità di dose
assorbita dal film. L’operazione di lettura della densità ottica di ciascuno strato viene svolta da uno
strumento fotometrico chiamato “FWT-60 Radiachromic Reader”, il quale è un fotometro a doppia
lunghezza d’onda: 510 nm e 600 nm. Successivamente si vanno a confrontare questi risultati con
una curva di calibrazione la quale fornisce una corrispondenza tra densità ottica e dose assorbita dai
vari strati. In figura 5.19 si notano due curve di calibrazione, una per ciascuna lunghezza d’onda di
funzionamento del fotometro; in particolare si osserva che se la lunghezza d’onda è di 600 nm la
sensibilità dello strumento risulta maggiore, infatti ad una stessa dose assorbita corrisponde una
densità ottica letta superiore [38].
Fig. 5.19 Curve di calibrazione del FWT-60 Radiachromic Reader per le due lunghezze d’onda di esercizio
Utilizzando le curve di calibrazione si può ricavare l’andamento della curva di Bragg, cioè la
distribuzione dell’energia rilasciata in funzione della profondità di penetrazione dei protoni nel
mezzo. Dal grafico così ricavato si può concludere che il picco di Bragg, e quindi la maggior
quantità di energia rilasciata al mezzo, si ottiene per una profondità di 480 ± 14,4 μm
105
Fig. 5.19 curva di Bragg ottenuta sperimentalmente per un fascio di protoni di 7 MeV
5.6 valutazione dell’incertezza per le misure di range e picco di Bragg
Per valutare l’incertezza associata alle misure di range e picco di Bragg si è fatto riferimento alla
causa che comporta il maggior contributo di incertezza, ossia il fatto di eseguire le misure mediante
strati di materiale di dimensioni finite. Lo spessore finito dello strato, seppur molto ridotto, rende
impossibile la determinazione esatta del punto di range medio o del picco di Bragg. In questa
situazione la probabilità che il valore vero del misurando assuma uno dei possibili valori all’interno
dello strato di materiale è la medesima. Dunque la distribuzione di probabilità è uniforme (fig. 5.20)
e l’incertezza associata a questa distribuzione si calcola come segue:
Fig. 5.20 Distribuzione di probabilità uniforme
106
u ( x) 
ba
, (5.2)
12
dove b  a nel nostro caso rappresenta proprio lo spessore dello strato di materiale utilizzato [39].
107
Capitolo 6
Ottimizzazione della linea di trasporto del fascio per esperimenti di
radiobiologia
Il progetto ISPAN prevede l’irradiazione di colture cellulari e di piccoli animali, con energie
maggiori rispetto a quelle attuali. Si è deciso di ottimizzare la linea di trasporto del fascio, a partire
dalla flangia di uscita dell’iniettore, con l’obiettivo di ottenere il fascio di dimensioni desiderate nel
punto di irraggiamento. La progettazione della linea di trasporto viene effettuata tramite un
programma di simulazione: trace3d.
6.1 Descrizione del software: trace3d
Trace3d è un programma di dinamica del fascio che utilizza le matrici di trasferimento relative a
ciascun elemento presente sulla linea di trasporto del fascio.
L’assunzione semplificativa alla base di questo software consiste nel considerare tutte le forze
che agiscono sul fascio lineari o linearizzabili. Se le sei coordinate del vettore spazio delle fasi (eq.
3.1), relative ad una particella, sono note in un determinato punto s0 della linea di trasporto, le
coordinate in un altro punto qualsiasi s della linea di trasporto del fascio vengono calcolate tramite
una semplice moltiplicazione matriciale:


X (s)  R  X (s0 ) (6.1)
dove R (eqq. 3.5, 3.6) rappresenta la matrice di trasferimento, i cui termini dipendono dagli elementi
presenti sulla linea di trasporto. Dunque nota la matrice di trasferimento R e la matrice del fascio σ0
(eq. 3.16) in s0, si ricava la matrice σ nel punto s tramite l’equazione 3.18:
  R 0 R T . (6.2)
Trace3d esegue questi calcoli tramite una sequenza di trasformazioni: parte da una matrice σ
iniziale e, ricavata la matrice di trasferimento per un breve tratto della linea di trasporto, calcola la
matrice del fascio σ nel punto finale del tratto considerato; le dimensioni del fascio vengono
108
ricavate dagli elementi della matrice σ. Questo processo viene iterato fino al punto terminale della
linea di trasporto prevista dal progetto [40].
6.2 le condizioni sperimentali
Sono previste due modalità di irradiazione: una con fascio orizzontale e l’altra con un fascio
verticale, in modo da colpire il campione dal basso verso l’alto. Nell’irradiazione con fascio
orizzontale il setup sperimentale è identico a quello di fig. 4.2 con l’aggiunta del campione
biologico, posto successivamente alla finestra di uscita dei protoni; l’irradiazione con fascio
verticale prevede la presenza di un magnete di deflessione a 90°; in figura 6.1 viene riportato il
disegno di progetto della linea di trasporto per effettuare l’irradiazione con fascio verticale, si
notano gli spazi di propagazione libera, i quadrupoli ed appunto il magnete di deflessione a 90°.
Fig. 6.1 Linea di trasporto per irradiazione dal basso verso l’alto
Dalla flangia terminale dell’iniettore fino al quadrupolo Q2 le distanze tra gli elementi rimangono
immutate, il drift che collega il quadrupolo Q2 all’ingresso del magnete di deflessione è lungo
314,72 mm, il magnete presenta un raggio di curvatura di 480,91 mm ed infine lo spazio di
propagazione libera che collega l’uscita del magnete al target misura 215,68 mm.
109
6.3 Impostazione della simulazione
Fig. 6.2 File per la simulazione con fascio orizzontale
In figura 6.2 sono presenti una serie di righe di comandi nelle quali vengono inserite le informazioni
necessarie alla simulazione di un irraggiamento orizzontale. Nella prima riga sono presenti: energia
a riposo dei protoni (938,28 MeV), carica dei protoni ed energia del fascio, pari a 3 MeV per tutte e
due le modalità di irraggiamento. Nella seconda riga vengono inseriti i valori di emittanza
orizzontale e verticale, mentre nella terza i valori relativi ai parametri di Twiss, α e β, lungo x ed y.
Nella sesta riga vengono inseriti dei parametri relativi alle scale dei grafici prodotti dal software,
nella settima riga i termini n1 ed n2 rappresentano gli elementi iniziale e finale della linea di
trasporto, mentre smax e pqsmax rappresentano l’intervallo spaziale relativo all’iterazione del
calcolo della matrice del fascio σ rispettivamente negli spazi di propagazione libera e nei
quadrupoli.
Le righe nove, dieci e undici contengono i parametri relativi al “matching”; Il software, infatti,
permette di progettare la linea di trasporto del fascio modificando manualmente tutti i parametri
110
degli elementi presenti, ad esempio per il drift la sua lunghezza, per il quadrupolo lunghezza e
gradiente di campo magnetico. Il matching consente all’utente di impostare dei vincoli,
relativamente ad un certo numero di parametri, rispetto ai quali trace3d cerca la soluzione che
coincide, o si avvicina maggiormente, alle richieste dell’utente. Trace3d prevede diverse modalità
di matching, nel caso specifico, come è possibile osservare nella riga nove, alla voce mt, è stata
utilizzata la modalità 11 ossia il software esegue il matching in relazione alle richieste fatte
dall’utente circa le dimensioni trasversali del fascio. Il termine nc indica il numero di condizioni da
soddisfare, che sono due, poichè le dimensioni fisiche della linea di trasporto non possono essere
modificata in maniera agevole. Gli unici due parametri modificabili per eseguire il matching sono i
gradienti dei due quadrupoli, fatto evidenziato dai valori presenti alla voce mp. Nella riga dieci, alla
voce ijm vengono selezionati gli indici degli elementi della matrice σ, l’elemento 1-1 ed il 3-3, cioè
i raggi del fascio nel piano orizzontale e verticale. Nella riga successiva, alla voce val vengono
impostati i valori dei raggi del fascio nei due piani.
Infine nelle righe successive, dalla dodicesima all’ultima, compare la descrizione di tutti gli
elementi presenti sulla linea di trasporto; ad ogni elemento corrisponde un numero, al drift l’uno, al
quadrupolo il tre, e per ogni elemento bisogna inserire dei valori che lo caratterizzano: per il drift è
necessaria la sola lunghezza, per il quadrupolo il primo valore rappresenta il gradiente di campo
magnetico, il secondo valore la lunghezza [40].
Confrontando le lunghezze geometriche degli elementi della linea sul file compilato di fig. 6.2
con quelle di tabella 4.1 si osserva che il quadrupolo presenta una lunghezza maggiore, e di
conseguenza gli spazi di propagazione libera adiacenti una lunghezza minore. Questa differenza è
presente poiché il software considera non la lunghezza reale del quadrupolo bensì la sua lunghezza
efficace; il gradiente magnetico del quadrupolo, infatti, non rimane confinato alla sua lunghezza
geometrica e non assume valore costante nè all’ interno nè all’esterno del quadrupolo. Tuttavia per
eseguire i calcoli matriciali richiesti bisogna approssimare il magnete con il modello hard edge,
secondo il quale si passa da una zona in cui c’è assenza di campo ad una zona in cui è presente il
valore massimo di campo, la funzione che rappresenta l’andamento del gradiente magnetico è una
rect.
Nella figura seguente viene riportato l’andamento del gradiente magnetico del quadrupolo reale a
confronto con quello relativo al modello hard edge.
Si osserva che nel caso reale il gradiente magnetico raggiunge il suo valore massimo nel centro del
quadrupolo per poi diminuire ed andare a zero ben oltre le dimensioni del quadrupolo, il modello
111
hard edge, invece, ha un andamento a forma di rect; nell’utilizzare il modello hard edge è
fondamentale che l’area delle due curve sia la medesima, per questo motivo la lunghezza efficace
del quadrupolo è leggermente maggiore rispetto a quella geometrica.
fig. 6.3 Confronto tra l’andamento reale ed approssimato di B nel quadrupolo
6.4 Simulazioni con fascio orizzontale
Una volta inseriti tutti i valori dei parametri necessari, il software esegue la simulazione e la finestra
del software appare come in figura 6.4, dove:
-
i grafici in alto a sinistra rappresentano l’emittanza orizzontale (blu), verticale (rosso) e
longitudinale (verde) del fascio nella posizione iniziale della linea di trasporto,
-
i grafici in alto a destra rappresentano l’emittanza orizzontale, verticale ed, in basso,
longitudinale del fascio nella posizione finale della linea di trasporto,
-
al centro vengono riportate le condizioni con le quali è stata condotta la simulazione,
112
-
il grafico in basso rappresenta lo sviluppo del fascio lungo l’intera linea di trasporto, dove le
linee rappresentano gli spazi di propagazione libera, i rettangoli i quadrupoli, e le linee blu e
rosse le dimensioni, rispettivamente orizzontale e verticale, assunte dal fascio lungo la linea.
Fig. 6.4 Uscita grafica di trace3d per evoluzione libera del fascio
L’immagine 6.4 rappresenta il caso di evoluzione naturale del fascio, ossia a quadrupoli spenti,
quindi la linea di trasporto è composta da soli drift. La linea al centro oltre a raffigurare gli spazi di
propagazione libera, rappresenta anche l’origine degli assi del piano trasverso. Successivamente
all’analisi dell’evoluzione libera del fascio sono state richieste, tramite il matching, delle dimensioni
precise al fascio, e si è analizzato il comportamento del sistema al diminuire di queste dimensioni.
Il provino sul quale vengono depositate le colture cellulari per eseguire gli esperimenti di
radiobiologia, possiede un diametro di 13 mm, per questo motivo il primo valore utilizzato per
eseguire il matching è stato proprio il raggio del provino.
Nella tabella seguente vengono riportati i risultati ottenuti, ossia i raggi caratteristici del fascio, rx
ed ry, il rapporto tra ry e rx, cioè l’eccentricità, ed i gradienti nei quadrupoli, rispettivamente G1 e G2.
113
rx (mm)
ry (mm)
ry/ rx
G1 (T/m)
G2 (T/m)
6,5
6,5
1
-12,086
6,972
5
5
1
-10,306
20,352
4
4
1
-10,999
9,119
3
3
1
-10,539
10,111
2,405
2,405
1
-9,926
10,657
1,07
2,66
2,49
-10,270
12,838
0,863
5,423
6,28
-11,985
13,813
Tab 6.1 Risultati progetto linea orizzontale a 3 MeV
Analizzando i risultati ottenuti si può concludere che si riesce ad ottenere un fascio con
eccentricità unitaria, quindi di forma tonda, fino ad un raggio di 2,405 mm, al di sotto di questa
dimensione si riscontrano difficoltà ad ottenere un fascio di forma circolare. Le difficoltà maggiori
si incontrano per la focalizzazione in direzione y. Le ultime due righe di tabella 6.1 rappresentano
due configurazioni della linea di trasporto, dove nella prima si è voluto ottenere un fascio
focalizzato il più possibile ed avente eccentricità quanto più prossima all’unità, nella seconda si è
voluto ottenere un fascio focalizzato al massimo sul piano orizzontale permettendo al fascio di
avere dimensioni molto maggiori sull’altro piano, si ottiene in questo modo un fascio con
eccentricità elevata (6,28).
Fig. 6.5 Dimensioni trasversali del fascio relativi alle ultime tre configurazioni di tab. 6.1
Nell’immagine 6.5 si riportano dei grafici che rappresentano le dimensioni trasversali del fascio per
il caso di fascio tondo di raggio 2,405 mm e per i casi relativi alle ultime due configurazioni di tab.
6.1.
114
Fig. 6.6 Uscita grafica per la simulazione con fascio orizzontale
Nella figura 6.6 si può invece osservare l’evoluzione del fascio nel caso di fascio tondo di raggio
2,405 mm con eccentricità unitaria.
6.5 Simulazioni con fascio verticale
Questa volta con il programma lanciato si apre il file relativo alla simulazione con fascio verticale.
In questo file saranno presenti delle righe aggiuntive, nella parte relativa alla descrizione degli
elementi presenti nella linea di trasporto del fascio. In particolare, come è possibile vedere in figura
6.7 compaiono tre nuove righe, evidenziate dal riquadro in rosso, che sottolineano la presenza del
magnete dipolare.
Nel linguaggio di trace3d, per inserire il magnete di deflessione nella linea di trasporto è necessario
scrivere tre righe delle quali la 17 e la 19 rappresentano i bordi del magnete, mentre la 18 la parte
centrale del magnete di deflessione. Si osserva che questi elementi sono caratterizzati da un numero
di variabili superiori rispetto al drift o al quadrupolo.
Fig. 6.7 Porzione del file per la simulazione con fascio verticale
115
I bordi del magnete vengono trattati dal software come delle lenti sottili, il primo parametro indica
l’angolo formato dal fascio con il bordo del magnete, il secondo parametro il raggio di curvatura del
magnete, mentre il terzo termine indica la distanza tra i poli del magnete, il segno meno è una
convenzione che manifesta il cambiamento di configurazione da orizzontale a verticale; la riga
relativa al magnete di deflessione invece richiede i seguenti parametri: il primo indica l’angolo
imposto dal magnete alle particelle, il secondo indica il raggio di curvatura del magnete, il quarto è
un indicatore, chiamato vertical flag uguale a zero nel caso in cui il fascio rimane nel piano
orizzontale, ad uno se il fascio, come nel nostro caso passa dal piano orizzontale a quello verticale
[40].
Il magnete di deflessione verticale rende molto più difficile la possibilità di ottenere un fascio
focalizzato di forma circolare poiché, mentre sul piano delle x collabora alla focalizzazione delle
particelle, sull’altro produce l’effetto opposto, ossia defocalizza il fascio in direzione y. Sarà
impossibile, dunque, ottenere fasci di dimensioni paragonabili a quelli ottenuti nel caso del
paragrafo precedente.
Fig. 6.8 Evoluzione del fascio, simulazione con magnete di deflessione verticale
La causa di questo comportamento, dei magneti di deflessione in generale, risiede nel fatto che
non tutte le particelle possiedono la medesima energia nel momento in cui si affacciano all’ingresso
del magnete; essendo la curvatura imposta dal magnete proporzionale all’energia della singola
particella, particelle di energia diversa compiranno traiettorie con raggi diversi (par. 2.5). Ciò
produce un inevitabile incremento di emittanza nel piano in cui si sta curvando il fascio e quindi è
impossibile diminuire le dimensioni del fascio al di sotto di un certo valore.
Il comportamento del magnete nei confronti del fascio viene evidenziato nella figura 6.8 in cui si
nota che la linea blu, che descrive le dimensioni del fascio lungo x, passando nel magnete, si
avvicina alla linea che rappresenta l’origine degli assi, la linea rossa invece, relativa al
comportamento del fascio lungo y, se ne allontana.
116
Svolgendo diverse simulazioni si è osservato che per evitare un eccessiva defocalizzazione del
fascio sull’ asse delle y, è necessario non focalizzare eccessivamente il fascio nella direzione
verticale prima dell’ingresso nel magnete, altrimenti l’effetto di defocalizzazione del magnete
dipolare sarà molto marcato; quest’effetto viene mostrato in figura 6.9, la quale rappresenta
l’evoluzione del fascio per una simulazione in cui sono stati impostati nei quadrupoli Q1 e Q2 dei
gradienti di campo magnetico negativi, rispettivamente -4 T/m e -5T/m, in modo che entrambi
focalizzassero il fascio in direzione verticale. Per quanto riguarda la focalizzazione orizzontale non
ci sono particolari accorgimenti da tenere in considerazione.
Fig. 6.9 Evoluzione del fascio nel caso di focalizzazione verticale eccessiva
Eseguendo un certo numero di simulazioni, sia con l’aiuto del matching sia modificando
manualmente i valori di gradiente magnetico nei quadrupoli, si è giunti alla conclusione che il
fascio sul piano verticale non riesce ad assumere dimensioni inferiori ai 14 mm, mentre nel piano
orizzontale la focalizzazione permette il raggiungimento di dimensioni minori. A prova di questo
comportamento della linea di trasporto si riporta la seguente tabella i cui valori derivano da
simulazioni eseguite con il solo aiuto del matching.
rm (mm)
rx (mm)
ry (mm)
ry/ rx
G1 (T/m)
G2 (T/m)
6,5
6,953
14,255
2,05
5,21
-6,18
5
6,845
14,281
2,09
4,94
-6,05
4
5,224
14,451
2,77
-2,94
1,81
3
6,639
14,282
2,15
2,70
-5,29
Tab. 6.2 Risultati simulazione fascioverticale.t3d, solo matching
Il termine rm indica le dimensioni del raggio impostato nel matching; è presente una sola colonna
perché si sarebbe voluto ottenere un fascio di forma circolare quindi i valori di matching sul piano
orizzontale e verticale coincidono.
117
Preso atto della difficoltà di controllare il fascio nel piano verticale si prova ad ottenere un
fascio focalizzato il più possibile sul piano orizzontale trascurando le dimensioni verticali. Si
imposta allora come valore per il raggio sul piano verticale un valore fisso di 15 mm e si diminuisce
progressivamente la dimensione del raggio sul piano orizzontale.
I risultati ottenuti sono riportati in tabella 6.3
rm (mm)
rx (mm)
ry (mm)
ry/ rx
G1 (T/m)
G2 (T/m)
2,5
2,5
15
6
-7,09
4,08
2
2
15
7,5
-5,57
2,37
1,5
1,711
17,08
9,98
-8,20
3,12
1,2
1,62
19,75
12,17
-9,12
3,17
Tab. 6.3 Risultati simulazione con matching a r y fisso
Ovviamente in questo caso sotto la voce rm si trovano i valori desiderati per il raggio del fascio nel
piano orizzontale, essendo fisso il valore del raggio sul piano verticale. Dalla tabella 6.3 si osserva
che fino ad un valore di 2 mm per rx si ottiene un matching perfetto, al di sotto di questo valore il
fascio non risponde più esattamente alle nostre richieste ed inizia ad allargarsi anche in direzione
verticale. Il fascio non può essere focalizzato in direzione orizzontale oltre 1,62 mm altrimenti in
direzione verticale il fascio supera i 20 mm di raggio del canale di propagazione libera e quindi
parte del fascio andrebbe a urtare le pareti della linea di trasporto.
118
Capitolo 7
Misure di dose
Affinchè possano svolgersi gli esperimenti di radiobiologia previsti dal progetto ISPAN è
necessario eseguire, precedentemente all’irradiazione dei campioni biologici, delle misure di dose
nel punto di esecuzione dell’esperimento. Gli esperimenti di radiobiologia prevedono dei protocolli
ben precisi che esigono determinati valori di dose inviata alle colture cellulari in tempi di
esposizione prestabiliti. Se i tempi di esposizione possono essere variabili, con lo scopo di verificare
come il comportamento delle cellule si diversifica in funzione del tempo di irraggiamento, è
necessario che la dose sia contenuta nell’intervallo 0,1  6 Gy [41].
Queste misure servono a certificare quanta dose viene rilasciata dal fascio della sorgente in un
determinato intervallo di tempo ed in particolare a fare in modo che la sorgente produca un fascio
che risponda alle esigenze dei protocolli di irraggiamento previsti dal progetto ISPAN.
7.1 principio di misura
Per misurare la dose che un fascio di particelle deposita in un determinato oggetto bisogna prima di
tutto posizionare un bersaglio di fronte alla finestra di uscita dei protoni, in modo che questo venga
colpito dal fascio. Per misurare la corrente del fascio, si utilizza un bersaglio metallico collegato ad
un cavo coassiale che porta il segnale ad un amperometro. In figura 7.1 viene riportato uno schema
che rappresenta il principio di misura utilizzato per ottenere una misura di corrente.
Fig. 7.1 Schema del principio di misura utilizzato per le misure di corrente
119
Lo strumento fornisce la corrente per ogni pacchetto di protoni che arriva sul bersaglio. Il fascio di
protoni è, infatti, pulsato. La carica contenuta in ogni pacchetto è
Q
I
t
(7.1)
Dove I è la corrente trasportata dal pacchetto di protoni e ∆t è la durata temporale dell’impulso di
corrente. Dividendo questo valore per la carica di un singolo protone, pari a 1,6  1019 C , si ottiene
il numero di protoni per impulso che colpiscono il target.
La dose, come già detto, è pari all’energia depositata per unità di massa, dunque l’energia del
fascio va divisa per la massa del bersaglio. Però, per i nostri scopi, non ha senso calcolare la dose
assorbita dal bersaglio metallico, bensì ricavare dei valori che diano indicazioni circa la dose
assorbita dal campione biologico. Si assume che la densità della coltura cellulare sia pari a quella
dell’acqua (1 g/cm3), e il volume pari al prodotto tra superficie del bersaglio e range del fascio in
acqua, all’energia alla quale il fascio colpisce il bersaglio. In definitiva la dose assorbita dal
“campione biologico” si ricava come segue:
D
Ef  Np
  At arg et  R
[ J / kg] (7.3)
Dove Ef è l’energia associata al fascio di protoni, NP è il numero di protoni per impulso che
colpiscono il bersaglio, ρ è la densità dell’acqua, Atarget è la superficie del bersaglio e R il range del
fascio in acqua.
7.2 Il sistema di rilascio della dose
La capsula di Petri sulla quale vengono disposte le cellule V79, ha un diametro di 13 mm, risulta
logico configurare i quadrupoli in modo da ottenere un fascio tondo di raggio 6,5 mm, realizzabile
come osservato nel paragrafo 6.4. Tuttavia con il fascio configurato in questo modo, difficilmente si
riesce ad irraggiare in maniera uniforme tutto il campione biologico.
120
Fig. 7.2 Capsula di Petri
Per l’irraggiamento delle colture cellulari, è stato, allora, sviluppato un sistema di rilascio della
dose che permette di ottenere una distribuzione omogenea di dose nel campione biologico.
Il problema della disomogeneità viene risolto focalizzando al massimo il fascio nel piano
orizzontale, con un gradiente di campo magnetico G2 pari a 9,80 T/m, e lasciando spento il
quadrupolo che focalizza nel piano verticale.
G1 (T/m)
G2 (T/m)
rx (mm)
ry (mm)
0
9,80
1,85
28,16
Tab. 7.1 Parametri della linea di trasporto del fascio e dimensioni traversali fascio (trace3D)
Il fascio, di forma ellittica, presenta l’asse minore nel piano orizzontale, pari a 3,70 mm; nel piano
verticale l’asse maggiore misura 56,32 mm.
Con il fascio focalizzato in questo modo però non si riesce a coprire l’intera superficie della
capsula di Petri, che ha un diametro di 13 mm. Affinché il fascio colpisca l’intera superficie del
bersaglio, è necessario far traslare il target di fronte al fascio. Il problema viene risolto tramite
l’utilizzo di una slitta meccanica che, tramite un sistema biella – manovella, collegata ad un motore
elettrico, consente al bersaglio di traslare di fronte al fascio. Nelle seguenti figure vengono riportate
la parte frontale del sistema di traslazione (fig. 7.3), posta di fronte al fascio, e la parte posteriore
(fig. 7.4).
121
Fig. 7.3 Parte frontale della slitta meccanica
Fig. 7.4 Parte posteriore dell slitta meccanica
La rotazione della manovella imposta dal motore elettrico (4) mette in movimento la biella (1),
la quale permette al punto in cui verrà disposta la capsula di Petri (2) di traslare all’interno del
canale (5), nel quale sviluppa la sua corsa. La slitta meccanica viene posizionata di fronte alla
finestra di uscita del protoni in modo che il fascio focalizzato si trovi grossomodo al centro della
corsa.
122
Nella figura 7.5 viene presentato uno schema della slitta meccanica in cui: R è la lunghezza
della manovella (20 mm), L la lunghezza della biella (78 mm), C la corsa, D la distanza tra la
posizione della capsula di Petri e l’asse del motore elettrico, e α l’angolo tra la manovella e l’asse
delle x. Il fascio di protoni, disegnato in rosso, è entrante nel foglio.
Fig. 7.5 Schema della slitta meccanica
Il moto di traslazione del provino biologico è imposto dalla manovella, che ruota con moto
circolare uniforme, questo significa che il moto di traslazione non è lineare. Si è allora analizzato
l’andamento di D in funzione dell’angolo α, ossia l’andamento del moto del bersaglio (A.1),
rappresentato in figura 7.6.
Fig. 7.6 Andamento di D in funzione di α
La differenza tra valore massimo e minimo di D, che corrisponde alla corsa del campione biologico,
è 40 mm, distanza che viene coperta in 25 s. Nel grafico di figura 7.6 le linee rosse delimitano la
123
zona di moto lineare il quale è di circa 30 mm ed al centro della corsa, ossia proprio dove il
bersaglio viene irradiato dal fascio di protoni; dunque si può affermare che il moto del campione
biologico, quando questo viene irradiato, è lineare. I 30 mm di moto lineare vengono coperti in 13,3
s.
7.3 Misure preliminari di dose
Prima di passare alla misura della dose che effettivamente il fascio di protoni deposita in un
materiale, vengono eseguite delle misure preliminari di dose. Per l’esecuzione delle misure
preliminari di dose, al posto del campione biologico, viene posizionato di fronte al fascio un
bersaglio metallico delle stesse dimensioni. Attraverso il cavo coassiale (3, fig 7.3) i protoni che
raggiungono il bersaglio vengono inviati ad un oscilloscopio ottenendo un segnale in tensione
proporzionale al numero di protoni che colpiscono il bersaglio. Infine si ricava la dose assorbita
utilizzando l’eq. (7.3).
7.3.1 La catena di misura
Con il sistema di rilascio di dose descritto nel paragrafo precedente, si misura la carica accumulata
dopo che il bersaglio ha compiuto un passaggio completo di fronte al fascio. Si utilizza allora un
circuito elettrico come quello in figura 7.7, posto a valle del bersaglio.
Fig. 7.7 Circuito elettrico a valle del bersaglio
La misura avviene nei seguenti passaggi: con il bersaglio posizionato ad inizio o fine corsa si chiude
l’interruttore, per scaricare completamente il condensatore. Subito dopo si riapre, si avvia il
motorino elettrico ed il bersaglio inizia a muoversi. Man mano che il bersaglio viene colpito dal
fascio si accumula carica nel condensatore C; terminato il passaggio tutta la carica che ha colpito il
124
bersaglio è accumulata nel condensatore. Si chiude allora l’interruttore e sull’oscilloscopio viene
letto un segnale in tensione, proporzionale alla carica Q che ha colpito il bersaglio:
V  Q / C. (7.4)
Il condensatore ed il resistore assumono dei valori di capacità e resistenza tali da poter trascurare il
cavo coassiale, il quale presenta una sua capacità (3,2 nF), e la resistenza in ingresso
dell’oscilloscopio (1 MΩ). Si sono scelti per il condensatore C una capacità di 2 nF, per il resistore
R una resistenza di 47 kΩ.
La catena di misura appena descritto oltre a rendere possibile la misura di un segnale in
tensione proporzionale alla carica accumulata in un passaggio del bersaglio di fronte al fascio,
permette di avere sull’oscilloscopio un segnale più ampio rispetto a quello relativo alla misura di
dose per ciascun impulso, eseguita tramite semplice collegamento con cavo coassiale tra bersaglio
ed oscilloscopio. Infatti, misurando la carica accumulata in un passaggio del bersaglio di fronte al
fascio, aumenta il numero di protoni che giunge sul bersaglio. Inoltre se la capacità C è minore di
3,2 nF diminuisce anche il denominatore del secondo membro di eq. (7.4): aumenta la carica,
diminuisce la capacità, il segnale in tensione aumenta. Inoltre, dal momento che la resistenza R
assume valore molto minore della resistenza in ingresso dell’oscilloscopio, la costante di tempo del
circuito diminuisce rendendo più agevole l’osservazione della dinamica del segnale.
7.3.2 Verifica dell’affidabilità della catena di misura
L’affidabilità della catena di misura appena descritta è fondamentale per ottenere delle misure di
carica ripetibili; bisogna, dunque, accertarsi che il segnale in tensione letto sull’oscilloscopio non
sia influenzato dalla presenza della capacità parassita del cavo coassiale, e che quindi la carica
accumulata dalla capacità C, di fig. 7.7, sia calcolabile tramite l’eq. 7.4.
Come prima cosa si effettua una simulazione, per calcolare il rapporto tra la carica assorbita dal
bersaglio metallico in un passaggio di fronte al fascio, e la carica contenuta in un impulso del fascio
(A.2). Per rilevare la carica contenuta in un impulso del fascio si è fatto uso dello schema di misura
adoperato per le misure di energia (paragrafo 5.2.1, figura 5.4). Risulta che la carica assorbita dal
target in un passaggio è pari a 87 volte la carica contenuta in un impulso del fascio.
125
La catena di misura è affidabile se c’è rispondenza tra il risultato proposto dalla simulazione e i
valori numerici ottenuti dalle misure. Si eseguono allora due misure successive: nella prima, con un
impulso di durata 50 μs, una tensione di estrazione di 28,5 kV ed una frequenza di ripetizione di 50
Hz, si misura la carica contenuta in un impulso del fascio. Sull’oscilloscopio si legge una tensione
di 480 μV, cui corrisponde un valore di carica assorbita pari a 1,5 pC.
La seconda misura serve proprio per verificare se la catena di misura è affidabile: si calcola
numericamente il valore della carica che dovrebbe accumularsi nella capacità C (fig. 7.7) in un
passaggio di fronte al fascio focalizzato (tab. 7.1), nelle medesime condizioni sperimentali della
misura precedente a meno della frequenza di ripetizione, pari questa volta a 30 Hz
Q  87  q  f  80 pC. (7.5)
Nell’eq. (7.5) 87 è il risultato della simulazione, q è il risultato della misura effettuata
precedentemente ed f è un fattore che tiene conto del fatto che è stata cambiata la frequenza di
ripetizione (da 50 Hz a 30 Hz).
Tramite l’eq. (7.4) si ottiene il valore di tensione che dovrebbe apparire sull’oscilloscopio:
V
Q 80 pC

 40 mV . (7.6)
C
2 nF
Eseguendo la misura di carica nelle medesime condizioni descritte nel calcolo appena compiuto, si
ottiene una tensione di 40,4 mV (fig. 7.7). La catena di misura risulta affidabile.
126
Fig.7.8 Segnale in tensione relativo alla misura di carica accumulata in un passaggio
7.4 Calibrazione del fascio per esperimenti di radiobiologia
È necessario calibrare il fascio prodotto dall’acceleratore in modo che la dose assorbita dal
campione biologico sia contenuta nell’intervallo richiesto, ossia 0.1  6 Gy [1].
In primo luogo si ricava il valore di carica corrispondente ad ogni valore di dose contenuto
nell’intervallo di interesse.
Il fascio di protoni prodotto dall’iniettore emerge dallo strato di kapton spesso 50 μm,
utilizzato come finestra di uscita dei protoni (par 5.2) con un’energia di 2,15 MeV, cui corrisponde
un range in acqua pari a 75 μm.
Considerando la densità della coltura cellulare pari a quella dell’acqua si ricava il valore di
carica corrispondente ad ogni valore di dose nell’intervallo 0,1  6 Gy. Chiamando X un valore di
dose che si trovi all’interno dell’intervallo richiesto si ricava il valore di carica accumulata
corrispondente (Y) eseguendo i seguenti passaggi. Se il volume irraggiato ha: diametro dell’area di
base (A) 13 mm, spessore (s) 75 μm (il range), densità (  ) 1 g/cm3, il numero di protoni necessario
a depositare la dose X è:
Np 
X  A s  
(7.6)
Ef
127
Noto il numero di protoni si ricava la carica Y
Y  N protoni 1,6 1019 C (7.7)
In figura 7.8 vengono riportati i valori di carica accumulata (Y) in funzione della dose richiesta (X).
Carica accumulata e dose richiesta sono legate dalla seguente relazione lineare:
Y  4,63  X
(7.8)
Fig. 7.9 Carica accumulata in funzione della dose richiesta
Il valore massimo di carica accumulata consentita è di 27,77 pC, mentre dalla misura effettuata nel
paragrafo precedente risulta che in un passaggio del bersaglio di fronte al fascio focalizzato la
carica accumulata è di 80 pC, valore cui corrisponde una dose assorbita di 28,8 Gy. Per abbassare la
dose inviata è necessario diminuire la carica accumulata sul condensatore, e quindi la corrente
associata al fascio. Per diminuire la corrente associata al fascio si può agire sia modificando i
parametri di funzionamento dell’iniettore, come durata dell’impulso, frequenza di ripetizione o
tensione di estrazione, sia variando la distanza tra bersaglio e finestra di uscita dei protoni.
128
7.5 Analisi dosimetrica
L’analisi dosimetrica permette di misurare la dose che effettivamente viene rilasciata dal fascio di
protoni prodotto dall’iniettore. L’utilizzo di rivelatori a tracce nucleari permette di misurare la dose
con una precisione molto maggiore rispetto alla strumentazione elettronica descritta nei precedenti
paragrafi, la quale risulta poco sensibile per valori di carica accumulata dell’ordine del pC.
Il funzionamento dei rivelatori a tracce nucleari è basato sul fatto che particelle cariche pesanti,
attraversando un mezzo, ne causano la ionizzazione. Il processo di ionizzazione innesca una serie di
nuovi processi chimici che portano alla produzione di radicali liberi ed altre specie chimiche. Tutte
le nuove specie chimiche formate si troveranno a ridosso del percorso che la particella ha compiuto,
e questa zona danneggiata prende il nome di “traccia latente”.
Se il rilevatore contenente delle tracce latenti viene immerso in una soluzione chimica basica
altamente aggressiva, la reazione renderà la traccia più marcata, ossia la traccia si allargherà
risultando visibile tramite un comune microscopio ottico. Il procedimento di sviluppo descritto
viene chiamato etching. Le soluzioni più comunemente utilizzate sono quelle di idrossido di sodio
(NaOH) o di idrossido di potassio (KOH) [42].
Uno dei rivelatori più utilizzati è il CR39, illustrato in figura 7.10, il quale è formato da una
resina termoindurente, ottenuta mediante processo di polimerizzazione, e possiede molte proprietà
che difficilmente si riscontrano tutte assieme in altri materiali plastici trasparenti:
1) i rivelatori CR39 sono incolori e trasparenti alla luce visibile, viceversa sono opachi alle
frequenze dell’infrarosso e dell’ultravioletto;
2) resistono molto bene alle abrasioni e possiedono ottime proprietà ottiche;
3) mantengono inalterate le loro proprietà ottiche anche se esposte per un lungo periodo di
tempo in agenti chimici come solventi e soluzioni acide e basiche;
4) resistono molto bene alle alte temperature [43].
129
Fig. 7.10 Esempio di rivelatore a stato solido CR39
Per la misura della dose mediante i rivelatori CR39 è necessario che la corrente associata al
fascio di protoni sia tale che la dose depositata nel rivelatore sia più bassa rispetto al limite massimo
relativo all’intervallo 0,1  6 Gy. La condizione ideale per la misura di dose con questo rivelatore si
ottiene quando il fascio è composto da 10 5  10 6 protoni.
Per questo motivo è stato ottimizzato un nuovo sistema di rilascio della dose, per inviare un
numero minore di protoni al rivelatore compatibilmente con le condizioni di stabilità di
funzionamento dell’iniettore. Con il nuovo sistema di rilascio della dose i quadrupoli focheggianti
sono entrambi spenti, non è più necessario traslare il bersaglio di fronte al fascio in quanto, adesso,
con un impulso il fascio colpisce tutto il bersaglio. Inoltre, utilizzando un circuito di trigger esterno,
è possibile impostare il numero di pacchetti di protoni da inviare al rivelatore.
Prima di irraggiare i rivelatori, sono di nuovo state eseguite delle misure preliminari di dose
(par. 7.3). In questa nuova configurazione la carica che si accumula sul bersaglio viene misurata
sempre tramite l’eq. (7.4), ma a caricarsi questa volta è direttamente il cavo coassiale che collega il
bersaglio all’oscilloscopio.
Con le modalità appena descritte sono stati eseguiti due irraggiamenti preliminari su rivelatore
CR39 impostando i parametri dell’iniettore come mostrato in tabella 7.2.
130
Frequenza di ripetizione
50 Hz
Durata dell’impulso
21 μs
Tensione di estrazione
26,7 kV
Tensione d’arco
169 V
Tab. 7.2 Parametri utilizzati per l’irraggiamento dei rivelatori CR39
Il fascio di protoni così prodotto trasporta una carica pari a 0,2 pC per ogni impulso. Il primo
rivelatore è stato irraggiato con 20 impulsi, il secondo con 50 impulsi. Secondo l’eq. (7.8), il
rivelatori dovrebbero assorbire una dose rispettivamente pari a circa 0,9 Gy, per il primo
irraggiamento, e a 2,2 Gy, per il secondo irraggiamento. In entrambi gli irraggiamenti, il rivelatore è
stato poggiato sulla finestra di uscita dei protoni.
Sviluppati, i due rivelatori appaiono al microscopio ottico come in figura 7.11 e 7.12.
Fig. 7.11 rivelatore CR39 irraggiato con 20 impulsi di protoni
131
Fig. 7.12 rivelatore CR39 irraggiato con 50 impulsi di protoni
Ad ogni punto nero, visibile sulla superficie del rivelatore, corrisponde una traccia relativa al
passaggio di un protone. Analizzando le immagini del rivelatore al microscopio ottico, si ricava la
fluenza di protoni sulla superficie del rivelatore e, noto il LET del fascio all’energia alla quale
questo arriva sul rivelatore, si ricava la dose assorbita:
D  1,6  1019  LET   (7.9)
dove il LET, è in keV/μm, e  rappresenta la fluenza di protoni [41].
Tuttavia i due rivelatori irraggiati presentano una densità di tracce troppo elevata, che
impedisce una corretta analisi della fluenza di protoni, in particolar modo nel caso d’irraggiamento
con 50 impulsi. È necessario, dunque, diminuire ulteriormente la corrente del fascio, ad esempio
allontanando il rivelatore dalla finestra di uscita dei protoni ad una distanza di 5-6 cm, in modo che
una porzione del fascio arresti la sua corsa in aria.
L’analisi dosimetrica verrà condotta fino all’ottenimento:
-
delle condizioni sperimentali (valori dei parametri dell’iniettore, valori dei parametri della
linea di trasporto del fascio, distanza del rivelatore dalla finestra di uscita dei protoni) per le
quali si riesce ad inviare una dose contenuta nell’intervallo richiesto;
132
-
di una relazione lineare, analoga a quella ottenuta nel paragrafo 7.4 (eq. (7.8)), tra il numero
di impulsi inviati e la dose assorbita.
Una volta raggiunti tali obiettivi sarà possibile iniziare ad irraggiare i campioni biologici e dare il
via alle analisi radiobiologiche previste dal progetto ISPAN.
133
134
Conclusioni
Il lavoro di tesi è stato svolto nell’ambito del progetto TOP – IMPLART (Intensity Modulated
Proton Linear Accelerator for Radiotherapy). Il progetto, condotto da ENEA in collaborazione con
Istituto Superiore di Sanità (ISS) e IFO (Istituti Fisioterapici Ospedalieri), ha come obiettivo la
realizzazione, a Roma presso l’IFO, di un centro di protonterapia basato su un acceleratore lineare
da 230 MeV. Il programma è strutturato in due fasi, la prima delle quali prevede la realizzazione e
validazione del segmento della macchina fino all’energia di 150 MeV, in un bunker dedicato presso
il centro ENEA di Frascati. Terminata la prima fase, l’acceleratore verrà trasferito nel sito di
utilizzo clinico e lì avverrà il completamento della seconda fase.
Nell’ambito di tale progetto si è sviluppato il sottoprogetto ISPAN (Irraggiamento
Sperimentale con Protoni per Modelli Cellulari ed Animali), che si propone di realizzare un
impianto di riferimento per la radiobiologia, con protoni di energia fino a 17.5 MeV, attraverso
l’esecuzione di sessioni sperimentali i cui risultati si riferiscono sia al campo della distribuzione e
misurazione della dose inviata al campione biologico sia al campo delle analisi radiobiologiche. Il
progetto ISPAN prevede l’irraggiamento di colture di cellule V79 (per energie fino a 7 MeV) e
piccoli animali (a 17.5 MeV),
L’obiettivo principale del lavoro di tesi, interamente svolta per la sua parte sperimentale presso
il Centro ENEA di Frascati, è quello di ottimizzare il “setup” sperimentale per la realizzazione di un
sistema di rilascio della dose per l’irraggiamento dei campioni biologici, basato sull’utilizzo del
fascio da 3-7 MeV prodotto dall’iniettore della macchina. L’iniettore è principalmente costituito da
un RFQ (Radiofrequency Quadrupole) ed un DTL (Drift Tube Linac) (Modello PL-7
dell’ACCSYS-HITACHI) ed è attualmente installato ed in funzione a Frascati.
Per raggiungere tale scopo, è stato in primo luogo necessario caratterizzare il fascio all’uscita
dell’iniettore PL-7.
La caratterizzazione del fascio ha richiesto:
1) la determinazione delle caratteristiche trasversali del fascio, ottenuta attraverso misure di
emittanza e parametri di Twiss,
2) la misurazione dell’energia associata al fascio di protoni uscente dall’iniettore, ricavata
mediante misure di range e picco di Bragg.
135
Le misure di emittanza e parametri di Twiss sono state eseguite alle energie di 3 MeV e 7
MeV, valutando per quali condizioni operative della macchina si ottengono le migliori
caratteristiche trasversali del fascio. In particolare, nel caso di emittanza verticale a 3 MeV, i
risultati migliori si sono ottenuti impostando tensione di estrazione e tensione sulla lente unipolare a
26 kV.
Le misure di range, eseguite all’energia di 3 MeV, sono state effettuate per due diversi
spessori della finestra di uscita in kapton: 80 µm e 50 µm.
I risultati ottenuti sono poi stati confrontati con quelli ricavati dal software di simulazione
Montecarlo SRIM 2011 e con i valori di range calcolati tramite le tabelle del NIST-PSTAR,
riscontrando un buon accordo tra i valori misurati e quelli calcolati.
La misura di picco di Bragg è stata effettuata all’energia di 7 MeV. Si è ricavata la curva di
Bragg, cioè la distribuzione dell’energia rilasciata in funzione della profondità di penetrazione dei
protoni nel mezzo, dalla quale si è ricavato che il picco di dose depositata si ottiene ad una
profondità di 480 ± 14,4 µm.
Le caratteristiche misurate del fascio all’uscita dell’iniettore sono servite per la progettazione
del sistema di rilascio della dose per l’irraggiamento dei campioni biologici.
Dapprima mediante Trace3d è stata ottimizzata la linea di trasporto del fascio per diverse
dimensioni richieste nel punto di irraggiamento. Lo studio è stato condotto per entrambe le modalità
di irraggiamento previste dal progetto ISPAN, ossia con fascio orizzontale (magnete di deflessione
“off”) e con fascio verticale (magnete di deflessione “on”). Successivamente si è messo a punto un
sistema per il rilascio della dose che consente un irraggiamento omogeneo del campione biologico,
basato sulla traslazione della capsula di Petri, contenente le colture cellulari, dinanzi al fascio di
protoni focalizzato nel piano orizzontale.
Infine sono state eseguite delle misure preliminari di dose. In primo luogo noto l’intervallo di
dose assorbita richiesto per gli esperimenti di radiobiologia (0,1  6 Gy), è stato ricavato l’intervallo
di carica accumulata corrispondente. Successivamente sono stati irraggiati due rivelatori CR39 con
un fascio tale che la sua corrente consentisse di rimanere entro i limiti di dose massima richiesta.
136
Tuttavia l’enorme numero di tracce presente su entrambi i rivelatori ha impedito una corretta
analisi della fluenza di protoni sulla superficie dei rivelatori. Sarà necessario, dunque, diminuire
ulteriormente la corrente del fascio, ad esempio allontanando il rivelatore dalla finestra di uscita dei
protoni ad una distanza di 5-6 cm, in modo che una porzione del fascio arresti la sua corsa in aria.
L’analisi dosimetrica sarà condotta fino all’ottenimento:
-
delle condizioni sperimentali (valori dei parametri dell’iniettore, valori dei parametri della
linea di trasporto del fascio, distanza del rivelatore dalla finestra di uscita dei protoni) per le
quali si riesce ad inviare una dose contenuta nell’intervallo richiesto;
-
di una relazione di proporzionalità lineare tra il numero di impulsi inviati e la dose assorbita.
Una volta raggiunti tali obiettivi sarà possibile iniziare ad irraggiare i campioni biologici e dare
il via alle analisi radiobiologiche previste dal progetto ISPAN.
137
Appendice A
Script di Matlab utilizzati per la messa a punto del sistema di rilascio della dose
A.1 Movimento bersaglio
close all
alfa=[0:360];
R=20; %mm lunghezza manovella
L=78; %mm lunghezza biella
alfarad=alfa*pi/180; % conversione da gradi a radianti
x=R*cos(alfarad)+sqrt(L^2-(R*sin(alfarad)).^2); % posizione istantanea target
plot(alfa, x)
grid
v=[alfa',x']
sigma=3; % mm
A.2 Simulazione di irraggiamento con fascio focalizzato
clear
%close all
s=0.4; % sigma in mm
ro=5; %raggio cerchio
[x,y] = meshgrid(-5:0.02:5, -5:.02:5);
A=1;
z=A*exp(-((x).^2)/(2*s^2));
E=sum(sum(z))
figure(1)
contour(x,y,z)
axis square
Dose=0;
k=0;
plot(k,Dose,'o')
hold on
for xo=-15:0.045:15
k=k+1;
z=A*exp(-((x-xo).^2)/(2*s^2));
for i=1:length(z)
for j=1:length(z)
r=sqrt(x(1,i)^2+y(j,1)^2);
138
if r>ro
z(i,j)=0;
end
end
end
%figure(2); contour(x,y,z);axis square
Ef=sum(sum(z))
Ef/E
Dose=Dose+Ef;
plot(k,Dose,'o')
end
Dose
Dose/E
139
Ringraziamenti
Al termine di questo lavoro desidero ringraziare il Professor Vincenzo Patera, per avermi dato la
possibilità di svolgere questa tesi e per la fiducia ed il sostegno dimostratami.
Un grazie particolare va alla Dr.essa Concetta Ronsivalle che ha seguito il mio lavoro con grande
competenza e disponibilità.
Ringrazio il Dr Andrea Mostacci per i preziosi consigli con i quali ha costantemente indirizzato il
mio lavoro e contribuito al suo sviluppo.
In ultimo è doveroso ringraziare l’unità UTAPRAD-SOR dell’ENEA, per il supporto scientificotecnologico e didattico offerto, e la Dr.ssa Enrica Chiadroni (INFN-LNF) che ha gentilmente fornito lo
“script” di MATLAB che è stato poi riadattato per l’analisi delle misure di emittanza, col metodo del
“quadrupole-scan”, presentate nella tesi.
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