bande di energia - Liceo Cavalieri
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BANDE DI ENERGIA PERCHE’ ESISTONO I LIVELLI ENERGETICI? In meccanica quantistica le particelle hanno anche una componente ondulatoria BANDE DI ENERGIA Una particella confinata in una certa zona dello spazio può essere vista come un’onda stazionaria su una corda con estremi fissi BANDE DI ENERGIA Naturalmente l’analogo degli estremi fissi della corda sono le pareti della scatola in cui è confinata la particella BANDE DI ENERGIA Il punto fondamentale è che gli estremi devono essere fissi: ma gli unici punti fissi di un’onda sono i nodi BANDE DI ENERGIA Questo significa che i nodi devono coincidere con gli estremi della corda BANDE DI ENERGIA λ/2 Ma la distanza tra due nodi vicini è pari a mezza lunghezza d’onda, ciò significa che la metà della lunghezza d’onda deve essere una frazione intera della distanza tra gli estremi della corda BANDE DI ENERGIA In formule, se λ è la lunghezza d’onda, L quella della corda, n un numero intero: L 2 n 2L n BANDE DI ENERGIA 2L n L Nel caso di una particella racchiusa in una scatola L è lo spigolo della scatola BANDE DI ENERGIA Ma la lunghezza d’onda è legata alla velocità dalla relazione di DeBroglie h mv BANDE DI ENERGIA h mv 2L n h v n 2mL Combinando queste due e ricavandone la velocità si ottiene: BANDE DI ENERGIA Nel caso di una particella che si muova liberamente tra le pareti della scatola l’energia è puramente cinetica 1 2 E mv 2 BANDE DI ENERGIA Quindi, combinando le due formule, si ottiene: 1 2 E mv 2 h v n 2mL 2 h 2 E n 2 8mL BANDE DI ENERGIA 2 h 2 E n 2 8mL Questa è la formula dei livelli energetici di una particella che si muove liberamente in una scatola n è il numero quantico principale BANDE DI ENERGIA 13,6eV E 2 n Non è, ovviamente, paragonabile alla formula di Bohr per l’atomo di idrogeno; in quel caso infatti l’elettrone non è libero BANDE DI ENERGIA Nel legame metallico gli elettroni di valenza sono per certi versi liberi di muoversi nel reticolo degli ioni BANDE DI ENERGIA D’altra parte essi risentono ancora fortemente del campo coulombiano generato dagli ioni BANDE DI ENERGIA I livelli energetici nel campo coulombiano sono pochi e separati da un grosso salto di energia, BANDE DI ENERGIA Nel caso dell’atomo di idrogeno, ad esempio, i livelli 1 e 2 sono separati da un salto di quasi 10 elettronvolt BANDE DI ENERGIA ENERGIA Al contrario, i livelli della particella nella scatola sono moltissimi ed estremamente ravvicinati BANDE DI ENERGIA I livelli energetici degli elettroni in un solido cristallino assumono una struttura intermedia tra i due casi: BANDE DI ENERGIA Vi è un enorme numero di livelli molto ravvicinati, come nel caso della particella nella scatola… …ma questi livelli sono raggruppati in BANDE DI ENERGIA, separate da intervalli molto ampi privi di livelli BANDE DI ENERGIA ENERGIA Bande Intervalli BANDE DI ENERGIA ENERGIA Bisogna inoltre ricordare che gli elettroni sono fermioni, quindi su ogni livello ce ne possono stare al più due con spin opposto BANDE DI ENERGIA ENERGIA Poiché ogni banda è formata da un numero grande, ma finito di livelli, ciò significa che le bande verranno riempite di elettroni dalla più bassa a salire BANDE DI ENERGIA ENERGIA La più alta banda piena si dice BANDA DI VALENZA. La prima banda vuota BANDA DI CONDUZIONE BANDE DI ENERGIA ENERGIA BANDA DI CONDUZIONE ENERGY GAP BANDA DI VALENZA L’intervallo tra banda di conduzione e banda di valenza si dice ENERGY GAP BANDE DI ENERGIA ENERGIA BANDA DI CONDUZIONE ENERGY GAP BANDA DI VALENZA L’energy gap è tipicamente dell’ordine di alcuni elettronvolt, energia paragonabile a quella dei salti tra i livelli atomici BANDE DI ENERGIA In un conduttore percorso da corrente l’energia degli elettroni è di due tipi: • energia termica, che origina il moto caotico degli elettroni nel reticolo cristallino •Energia elettrica, che genera il moto ordinato noto come corrente elettrica BANDE DI ENERGIA L’energia termica degli elettroni, a temperature ordinarie, è dell’ordine di qualche centesimo di eV BANDE DI ENERGIA L’energia che un generatore elettrico può fornire ad un elettrone è in genere molto più piccola di quella termica, non più di pochi decimillesimi di eV BANDE DI ENERGIA Ricordiamo inoltre questo principio basilare: un elettrone può saltare da un livello ad un altro a due condizioni: • che il livello di destinazione sia libero • che gli sia fornita un’energia pari alla differenza di energia tra i due livelli BANDE DI ENERGIA Ricapitoliamo poi le energia in gioco: • Energy gap: qualche elettronvolt • Energia termica: qualche centesimo di elettronvolt • Energia elettrica: qualche decimillesimo di elettronvolt BANDE DI ENERGIA Ne concludiamo quindi che L’ENERGIA ELETTRICA NON PUO’ CONSENTIRE IL SALTO DA UNA BANDA ALL’ALTRA, MA SOLO TRA LIVELLI DELLA STESSA BANDA BANDE DI ENERGIA ENERGIA BANDA DI CONDUZIONE ENERGY GAP BANDA DI VALENZA Consideriamo il caso di un corpo in cui la banda di valenza è totalmente occupata da elettroni mentre la banda di conduzione è vuota BANDE DI ENERGIA ENERGIA BANDA DI CONDUZIONE ENERGY GAP BANDA DI VALENZA Gli elettroni non possono acquistare energia elettrica perché non hanno livelli vuoti abbastanza vicini in cui saltare BANDE DI ENERGIA ENERGIA BANDA DI CONDUZIONE ENERGY GAP BANDA DI VALENZA Il corpo risulterà quindi un ISOLANTE BANDE DI ENERGIA BANDA DI CONDUZIONE ENERGY GAP BANDA DI VALENZA Consideriamo il caso di un corpo in cui la banda di valenza non è del tutto piena… BANDE DI ENERGIA BANDA DI CONDUZIONE BANDA DI VALENZA O quello equivalente in cui l’energy gap non esiste e le due bande sono fuse BANDE DI ENERGIA BANDA DI CONDUZIONE BANDA DI VALENZA In entrambi i casi gli elettroni possono acquisire anche minime quantità di energia elettrica in quanto hanno livelli liberi vicinissimi BANDE DI ENERGIA BANDA DI CONDUZIONE BANDA DI VALENZA In questo caso il corpo risulta un CONDUTTORE BANDE DI ENERGIA Si è fin qui trascurato il ruolo dell’energia termica: pur essendo in media molto bassa alcuni elettroni potrebbero averne abbastanza per superare l’energy gap BANDE DI ENERGIA BANDA DI CONDUZIONE ENERGY GAP BANDA DI VALENZA Si avrebbero così livelli liberi in banda di valenza ed elettroni in banda di conduzione BANDE DI ENERGIA BANDA DI CONDUZIONE ENERGY GAP BANDA DI VALENZA Questo può avvenire di fatto solo se l’energy gap è piccolo, mentre se è grande l’effetto è insignificante BANDE DI ENERGIA BANDA DI CONDUZIONE ENERGY GAP BANDA DI VALENZA Le sostanze in cui nonostante la struttura a bande sia da isolante avviene la conduzione si dicono semiconduttori BANDE DI ENERGIA Germanio e silicio hanno un energy gap pari rispettivamente a 0,67 e 1,1 eV, e sono i più noti semiconduttori BANDE DI ENERGIA Il carbonio nella forma di diamante ha un energy gap di 5,5 eV ed è un ottimo isolante
