Analisi e gestione del rischio Lezione 10 Rischio di Credito: Modelli Strutturali Rischio di default: misure • Premio per il rischio di default – Expected loss: la diminuzione di valore di un titolo che è determinata dal rischio di default EL = DP X Lgd – Credit spread: la differenza tra il rendimento a scadenza di un titolo con rischio di deafult e quello di un titolo privo di rischio con le stesse caratteristiche finanziarie Credit spread = – ln(1 – EL)/maturity Modelli del rischio di default • Modelli strutturali – Il rischio è determinato a partire da un modello della struttura finanziaria e industriale dell’emittente dell’obbligazione (la sua linea di business ed il suo stato patrimoniale) – Il premio per il rischio è determinato a partire dalla teoria delle opzioni • Modelli in forma ridotta (intensity based) – Il rischio è modellato sulla base di ipotesi statistiche sulle probabilità di default ed il tasso di recupero – Il premio per il rischio è determinato a partire dalla teoria della struttura a termine Modelli strutturali L’approccio di Merton • Nel modello di Merton (1974), il paper che ha inaugurato il filone dei modelli strutturali, il valore dell’attivo del debitore determina congiuntamente – La probabilità di default – Il recovery rate nell’evento di default – Il valore del debito e del capitale dell’impresa • Il valore dei titoli corporate è determinato sulla base della teoria delle opzioni Min(B,V(T))= B – max(B – V(T),0) 80 60 40 20 Debito 0 Risk Free 0 -20 -40 -60 -80 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 Default Put Min(B,V(T))= V(T) – max(V(T)– B,0) 250 200 150 100 Debito 50 Valore azienda Equity 0 0 -50 -100 -150 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 Il modello di Merton • Il debito è un titolo zero-coupon-bond, cioè interesse e capitale sono pagati in un’unica soluzione alla maturità. • Il rischio di default è descritto dal pay-off Valore del debito alla maturità = min (B,V(T)) …e può essere scomposto alternativamente come min (B,V(T)) = B - max(B - V(T), 0), cioè Debito = Risk-free - put(V,t; B,T) min (B,V(T)) = V(T) - max(V(T) - B, 0), cioè Debito = Valore dell’attivo - call(V,t; B,T) Modigliani-Miller • Dalla relazione di parità tra opzioni put e call abbiamo V = B - put(V,t; B,T) + call(V,t; B,T) V = valore dell’attivo (valore dell’impresa) Call(V,t; B, T) = Valore del capitale • La caratteristica dell’opzione del capitale deriva da i) leverage ii) limited liability • Put (V,t; B, T) = Premio per il rischio di default Un modello binomiale Stato Valore dell’impresa Valore del capitale Valore del debito Opzione default put Tempo T No default Default V(H) V(L) V(H)-B 0 B V(L) 0 B - V(L) Credit spread • Dalla valutazione di derivati con alberi binomiali Debito = P(t,T)[B – (1 – Q )(B – V(L))] con Q = (V(t)/P(t,T) - V(L))/(V(H) - V(L)) …e in termini di rendimento a scadenza… Debito defaultable = B exp(–r*(t,T)(T - t)) Debito risk-free = P(t,T) = B exp(–r(t,T)(T - t)) …otteniamo il credit spread r*(t,T) – r(t,T) = – ln[1 – (1 – Q)(1 – V(L)/B]/(T- t) Determinanti dei credit spread • Il credit spread è non-negativo r*(t,T) - r(t,T) = - ln[1- (1 - Q )(1- V(L)/B]/(T- t) • Il credit spread tende a zero se – La probabilità di default tende a zero – La perdita va a zero (recovery rate uguale a 1) • Il credit spread raggiunge il suo valore massimo quando il tasso di recupero va a zero r*(t,T) - r(t,T) = - ln[ Q ]/(T- t) Un esempio: finanziamento di un progetto Valore di mercato dell’equity = 30 Valore attivo Debito Equity Prezzo del titolo risk-free = 1 Valore nominale del debito = 80 120 80 40 40 40 0 Soluzione • Dal prezzo di mercato del capitale, cioè 30, possiamo calcolare la probabilità di sopravvivenza da 30 = Q 40 + (1 - Q) 0, cosicché Q = 0.75 e la probabilità di default aggiustata per il rischio è 0.25 • Il debito è valutato come Q 80 + (1 – Q) 40 = 70 • Dal teorema di Modigliani-Miller calcoliamo il valore del progetto come: V = 70 + 30 = 100 • N.B. Il valore del sottostante, cioè il progetto, è determinato a partire dal valore del derivato, cioè il capitale dell’azienda. Modello di Merton • Merton sviluppa nel tempo continuo le stesse idee che abbiamo mostrato in un modello discreto. Il valore dell’azienda segue un processo geometrico browniano ed i valori di capitale e debito sono determinato utilizzando la formula di Black e Scholes. Le determinanti chiave dei credit spread sono 1) Il leverage: quasi-debt-to-firm-value-ratio 2) La volatilità del valore dell’attivo Modello di Merton • Valore dell’impresa: processo geometrico browniano dV = Vdt + VVdw(t) = (r+V)Vdt + VVdw(t) • Valore del capitale: un’opzione call f V (t ) N d1 e r T t BN d 2 d1 d2 ln V t / B ( r V2 / 2)T t V T t ln V t / B ( r V2 / 2)T t V T t Modello di Merton • Il valore del debito: F t , T V t f V t V (t ) N d1 e r T t BN d 2 V t N d1 e r T t BN d 2 …può essere scomposto come… Modello di Merton …debito default-free meno una default put option F t , T Vt N d1 e r T t BN d 2 e r T t B Vt N d1 e r T t BN d 2 e r T t B Vt N d e …e in termini moderni… 1 r T t BN d 2 Modello di Merton …debito default-free per (1 – Dp x Lgd) F t , T Vt N d1 e r T t BN d 2 Vt N d1 e B 1 N d 2 1 r T t B N d 2 e e r T t B1 Dp1 RR r T t Dp = Default probability Lgd = Loss given default = 1 – RR Quasi-debt to firm value (quasi-leverage) d = Bexp(–r(T – t))/V(t) Copertura del rischio di credito • Rischio di credito significa una posizione corta in un’opzione put, ed un’esposizione al rischio del progetto finanziato (delta = 1 – N(d1)) • Strategia 1: acquistare una default put/swap – Si tratta di un derivato di credito che consente di acquistare “protezione” sull’esposizione al rischio di credito • Strategia 2: vendere azioni dell’emittente – Poiché le azioni sono opzioni call rappresentano un’esposizione positiva al rischio del progetto (delta = N(d1)) una posizione corta in titoli di capitale riduce l’esposizione netta al rischio del progetto finanziato Modello KMV™ • Il modello KMV ricava le stime di V e V dai valori e dalla volatilità dei titoli azionari. Su questa base possiamo valutare la probabilità di default al tempo T ln V / B V2 / 2 T t PrV B N V T t • Notiamo che è usato il drift oggettivo , per ricavare la stima della probabilità oggettiva • Nel modello KMV la distribuzione empirica dei casi di default è utilizzata infine per tener conto della nonnormalità della distribuzione Il modello di Merton e i dati: la maturità a 10 anni (USA) Rating Leverage Aaa 13.1% Aa 21.2% A 32.0% Baa 43.3% Ba 53.5% B 65.7% Source: Wang ang Wang (2000). Volatility 27.8% 23.4% 19.7% 18.8% 25.2% 35.2% Predicted credit spread 8.0 10.0 14.3 32.0 137.9 363.3 Observed credit spread 63 91 123 194 299 408 % explained 12.6% 11.0% 11.6% 16.5% 46.1% 89.0% Covenants (Black e Cox, 1976) • Una delle limitazioni del modello di Merton consiste nel fatto che il default avviene a scadenza. Nella realtà l’episodio di default può avvenire prima della scadenza, quando il valore dell’azienda raggiunge un livello inferiore minimo. • Black & Cox (1976) estendono il modello di Merton per tener conto del fatto che il valore del debito può essere monitorato prima della scadenza attraverso l’osservazione di safety covenants: se il valore dell’azienda scende al di sotto di un certo livello, i creditori possono forzare la restituzione del debito. • E’ evidente che in questo caso il valore del capitale è un’opzione call con barriera (down-and-out call). 0.0100 No-Covenant Covenant 0.0090 0.0080 0.0070 Credit Spread 0.0060 0.0050 0.0040 0.0030 0.0020 0.0010 0.0000 0 5 10 15 Maturità 20 25 30 35 Debito senior e junior: l’approccio strutturale Debito senior e junior: valutazione • La valutazione è molto semplice • Valutiamo anzitutto il debito complessivo Debito Complessivo = P(t,T)B – put(V,t;B,T) • Valutiamo il debito senior, Debito senior = P(t,T)S – put(V,t;S,T) • Valutiamo il debito junior per differenza Debito junior = P(t,T)J – [put((V,t;B,T) – put(V,t;S,T)] • N.B. Il rischio di credito del debito junior è rappresentato da uno spread put, che al limite approssima la probabilità risk-neutral di default