lezione14-17maggio

•gravità, elettricità magnetismo
•campo magnetico, forza di Lorentz
•linee di campo e Gauss per il magnetismo
•interazione corrente - magnete … momento su
una spira
•effetto Hall
•moto di una particella carica in campo
magnetico
•esperimento di Thompson (particella in campo
elettrico e magnetico
•teorema di Ampère
•legge di Biot - Savart
•equazioni di Maxwell
Il campo magnetico
• Le prime osservazioni dei fenomeni magnetici
– magnetite di attira la limatura di ferro
– un ago magnetico libero di ruotare intorno ad un asse verticale
si orienta con una delle sue estremità verso il Nord (polo Nord)
e l’altra verso il Sud (polo Sud)
• Le calamite interagiscono con forze attrattive o repulsive
– Poli di nome contrario si attraggono, poli dello stesso nome si
respingono
• I poli magnetici di nome contrario non possono essere
separati: non esiste il monopolo magnetico
– Se si spezza una calamita si ottengono due nuove calamite,
entrambe con un polo Nord e un polo Sud
Definizione del campo magnetico B
• Su una particella di carica q in moto in una regione di campo
magnetico agisce una forza (detta forza di Lorentz)
– La forza di Lorentz è diretta perpendicolarmente alla velocità della
particella
– Esiste una particolare direzione della velocità in corrispondenza della
quale la forza di Lorentz è nulla
– Il modulo della forza di Lorentz è proporzionale a vsinφ, φ è l’angolo
formato dal vettore velocità con la direzione per cui la forza è nulla
• Si può quindi definire il campo magnetico come un vettore B diretto
parallelamente alla direzione di v per cui la forza è nulla
• Il modulo di B :
B  FB
| q | v
dove FB è l’intensità massima della forza di Lorentz (quando la
velocità è diretta perpendicolarmente al campo magnetico)
forza di Lorentz
FB  q v  B
Forza di Lorentz
I risultati precedenti possono riassumersi con l’equazione:

 
FB  qv  B
Il modulo della forza di Lorentz è dato da:
FB  q vBsin
dove φ è l’angolo tra i vettori velocità e campo magnetico
La direzione di FB si calcola con la regola della mano destra
q>0
q<0
convenzione verso
USCENTE dal foglio
ENTRANTE nel foglio
forza su una carica
FE  qE
FB  q v  B
Campo elettrico
Campo magnetico

F  q E  vB

selettore velocità
La particella si muove in linea retta se
Fnet
E
 q(E  v  B)  0  v 
B
Moto circolare in campo magnetico
Per una particella carica entra in un campo magnetico con
velocità perpendicolare al campo magnetico
la forza di Lorentz (e quindi l’accelerazione) è perpendicolare
alla velocità: il moto è circolare uniforme
Forza centripeta:
v2
q vB  m
R
mv
Raggio di curvatura: R 
qB
Periodo: T 
2πR 2πm

v
qB
Spettrografo di massa
Sorgente di ioni
Selettore di
velocità
Misurando il raggio di
curvatura si risale alla
massa degli ioni:
m
q BR
v
Spettrografo
tubo raggi catodici
tubo raggi catodici
momento su una spira rettangolare
dl
h
dl
momento su una spira rettangolare
= 2(I a b) (b/2) sinq
 I A B sinq
τ  IA  B
spira I  N I
Bussola tangenti
Galvanometro
corrente
molla
Unità di misura
Il campo magnetico è una grandezza derivata
L’equazione dimensionale si ricava dall’espressione della forza di Lorentz: [B]=[MT-2I-1]
Nel SI il campo magnetico si misura in tesla (T)
cervello (al cranio) ~1 fT= 10-15 T
risonanza magnetica nucleare (MRI) 1,5 T
pulsar 106 T 1011 T
1 tesla = 10-4 gauss
campo magnetico terrestre 5 10-5 T = 0,5 gauss
Linee di campo magnetico
– Le linee del campo magnetico sono in ogni punto tangenti al
vettore campo magnetico
– Il numero di linee di campo che attraversano una superficie ad
esse perpendicolare è proporzionale all’intensità del campo
magnetico
• Per il campo magnetico le linee di campo non coincidono con
le linee di forza perché la forza di Lorentz è perpendicolare al
campo magnetico
• Non esistono monopoli magnetici, le linee del campo
magnetico sono sempre chiuse
– In un magnete permanente le linee di campo escono dal polo
Nord e rientrano nel polo Sud, richiudendosi su se stesse
all’interno del magnete
– Il flusso del campo magnetico attraverso una superficie chiusa è
sempre nullo (Gauss per campo magnetico)
campo elettrico
1
q
ˆ
E
r
2
4 o r
campo magnetico carica in moto
o q v x rˆ
B
2
4 r
0  4 10 T  m/A
7
prodotto vettoriale
C  AxB
C  A B sin q
il modulo è l’area del parallelogramma
Linee di campo magnetico
Campo magnetico di un dipolo
N
S
Anche la Terra può essere
schematizzata come un dipolo
magnetico
Magnetismo terrestre
modello della dinamo ad autoeccitazione 1) la presenza iniziale
di un debole campo magnetico non uniforme; 2) la presenza di un
nucleo fuso, buon conduttore; 3) la possibilità di movimenti nel
nucleo stesso. I movimenti nel nucleo fuso inducono una corrente
che produce un campo magnetico nuovo, che a sua volta induce
una nuova corrente nel nucleo, che da parte sua provoca un nuovo
campo magnetico e così via.
GAUSS
Moto in campo magnetico
lavoro compiuto della forza di Lorentz su una carica che si
muove in campo magnetico da A a B:
  B    B   
L   F  ds   qv  B  ds   qv  B  v dt  0
B
A
A
A
la forza di Lorentz è perpendicolare alla velocità quindi non
compie lavoro
Teorema dell’energia cinetica:
L  ΔK  ΔK  0  K A  K B  v A  v B
Il modulo della velocità di una particella carica che si muove
in un campo magnetico è costante
La forza di Lorentz cambia la direzione della carica, ma non
il modulo della sua velocità
Moto elicoidale in campo magnetico
Se la particella carica ha una componente della velocità parallela
alla direzione del campo magnetico la particella si muove di moto
elicoidale
• Nella direzione di B il
moto è rettilineo uniforme
• Nel piano perpendicolare
a B il moto è circolare
uniforme
Campo B e filo con corrente
un conduttore filiforme flessibile di lunghezza L perpendicolare al
campo magnetico
Forza media su un elettrone:
F  evd B
Forza complessiva sul filo:
F  qv d B
Corrente nel filo:
q
 vd 
i   q 
t
L
F  iLB
Nel caso generale, la forza su un
tratto di filo dL è data da:

 
dF  idL  B
Forza tra due correnti parallele
Tra due conduttori paralleli percorsi da correnti si esercitano
delle forze che sono attrattive se le correnti hanno lo stesso verso
o repulsive se le correnti hanno versi opposti
μ0 ia ib

L
Modulo della forza: F 
2π d
La corrente ia risente del
campo magnetico generato
dalla corrente ib e viceversa:
ogni corrente genera un
campo magnetico
F attrattiva se le due correnti sono concordi, repulsiva se sono discordi
Un ampere è l'intensità di corrente elettrica che, se mantenuta in
due conduttori lineari paralleli, di lunghezza infinita e sezione
trasversale trascurabile, posti a un metro di distanza l'uno dall'altro
nel vuoto, produce tra questi una forza pari a 2 · 10-7 newton per
metro di lunghezza
Biot-Savart

  0 I d s  rˆ
dB 
2
4 r
o q v x rˆ
B
2
4 r
B al centro di una spira circolare
arco di circonferenza del filo. Calcolo del campo
magnetico in C :
 0 i ds sin q
dB 
2
4 r
q = 90°
ds = R df
contributo dell’intero filo …
ogni elemento infinitesimo ds si trova alla stessa
distanza R dal punto C, si ha:
f
f
f
 0 i Rdf  0i
 0 if
B   dB  

df 
2

4 R
4R 0
4R
0
0
Nel caso di una spira circolare df  2 :
B
 0i
2R
B al centro di una spira circolare
Simmetria …
d s  ˆr  | d s  ˆr |  ds
I
I
r̂

ds
I
Biot-Savart:
0 I
dB 
4
0 I

4
0 I

4
d s  rˆ
r2
R dq
R2
dq
R
 0 I ds

4 r 2
33
Campo B al centro
Spira raggio R e corrente I
I
I
q

ds
 0 I dq
dB 
4 R
I
B   dB 
2

0
0 I

4 R
B
0 I
2R
 0 I dq
4 R
2
0 I
0 dq  4 R  2 
entrante
entrante
into
page
Bobina – dipolo magnetico
bobina - dipolo magnetico , in presenza di B esterno su di essa agisce un momento
torcente dato da  =  x B dove  è il momento magnetico di dipolo della bobina, dato
da  = N i S. legge di Biot e Savart:
 0 i ds sin 90
dB 
4
r2
r  R 2  z 2 ; cos  
R

r
R
R2  z 2
dB|| 
 0iR
4
B( z ) 
Per z >> R si ha:
 0 i cos  ds
4 r 2
dB||  dB cos  dB|| 
B( z ) 
 0iR 2
2z3
R

2
z

2 3/ 2
0iR 2
2R z
2
ds

2 3/ 2
 0 NiA  0 


3
2 z
2 z 3
Gauss elettrostatica
Il flusso non dipende dalla superficie
ma solo dalla carica interna
Ampère
Iconc
enc   J  d A
S
linea chiusa di
seg. Ds
area
Ampère
Gauss- Ampère
Analogamente alla legge di Gauss per il calcolo dei
campi elettrici per distribuzioni simmetriche, la legge
di Ampère permette di semplificare il calcolo del campo
magnetico per distribuzioni simmetriche
l’integrale è la circuitazione di B lungo una linea
chiusa
I è la corrente netta che fluisce attraverso la superficie
individuata dalla linea chiusa.
Ampère
i1 e i3 sono uscenti e i2 entrante. La linea chiusa esclude i3
ed è percorsa in senso antiorario
i3 non contribuisce alla circuitazione di B perché è esterna
alla linea chiusa.
filo rettilineo infinito
I
B
I
Curva chiusa amperiana
filo infinito corrente distribuita su tutta la sezione
 0 Ir
Bin 
2
2R
Bout
0 I

2r
componenti
orizzontali si
elidono
per il solenoide ideale B è uniforme all’interno e zero fuori
solenoide indefinito
solenoide indefinito
solenoide indefinito (lunghezza >> diametro spire) per cui B è presente soltanto
all’interno del solenoide. Linea chiusa il rettangolo abcd, ed applicando la legge di
Ampère, si ottiene che gli integrali relativi ai lati bc e da sono nulli perchè B  ds mentre
quello relativo al lato cd è nullo perché B=0 e quindi rimane soltanto il contributo del lato
ab per cui CB = B h La corrente I entrante nel rettangolo abcd vale I = i n h dove n è il
numero di spire per unità di lunghezza (nh è il numero di spire comprese nel tratto h)
B = 0 I n
Equazioni di Maxwell
Forza di Lorentz