Giulio Tagliavini – Massimo Regalli
Corso di Economia
degli Intermediari Finanziari
Elementi di matematica finanziaria
utili alla comprensione di alcune parti del Corso
Definizione di operazione finanziaria

Successione di importi di segno - e + da considerare
congiuntamente ad una successione di tempi ai quali
detti importi maturano, ovvero sono incassati se
entrate o versati se uscite.
Il regime finanziario dell’interesse semplice



E’ noto che la disponibilità di un capitale altrui è un
servizio vantaggioso avente un costo commisurato
all’ammontare del capitale prestato nonché alla durata
del prestito;
L’uso di denaro altrui comporta la corresponsione di un
compenso: l’interesse;
Il debitore al termine del periodo di prestito dovrà
quindi restituire un importo, detto Montante (M), pari
a:
Capitale prestato (C) + Interesse pattuito (I)
Il regime finanziario dell’interesse semplice

L’interesse (I) da aggiungere al capitale deve tenere
conto:
 della somma data a prestito;
 della durata del prestito.

Per tenere conto del primo aspetto, l’interesse viene
definito in termini % sul capitale prestato;

Per tenere conto del secondo elemento gli interessi
così calcolati sono moltiplicati per la durata del
prestito.
Il regime finanziario dell’interesse semplice

L’Interesse (I) da aggiungere al Capitale (C) è quindi dato
da:
I=Cxixt

Il Montante (M) diviene quindi:
M = C + I = C + (C x i x t)

da cui, raggruppando, :
M = C x (1 + i x t)

Questo è il regime finanziario di capitalizzazione
semplice.
Il regime finanziario dell’interesse semplice




Il problema può naturalmente essere inverso a quello
considerato: noto il Montante (M) che una certa
operazione assume ad una data futura, si cerca quale
valore è corretto pretendere oggi (C - valore attuale) per
la cessione del diritto di avere M a scadenza.
In termini generali:
C=M-I
da cui:
C=M-Cxixt
ossia:
C = M / (1 + i x t)
Il regime finanziario dell’interesse semplice



Esempio
Capitale Investito (C) = 1.000.000;
Periodo (t) = 3 mesi;
Tasso annuo (i) = 12%.
La Vostra Idea ?
Il regime finanziario dell’interesse semplice
Esempio



Capitale Investito (C) = 1.000.000;
Periodo (t) = 3 mesi;
Tasso annuo (i) = 12%.
Montante
M = 1.000.000 x (1 + 0,12 x 3/12) = 1.030.000
Valore Attuale
VA = 1.030.000 / (1 + 0,12 x 3/12) = 1.000.000
Il regime finanziario dello sconto commerciale

Si richiede una precisazione con riguardo all’operazione
che ricerca il valore attuale (noto il montante a scadenza,
si cerca il valore odierno equivalente);

Nella pratica commerciale, per le operazioni di sconto
cambiario o di anticipazione su crediti, non si usa la
formula appena vista (C = M / (1 + i x t)), ma:
C=M-Mxixt=
=
M x (1 - i x t)
Il regime finanziario dello sconto commerciale



Esempio
Capitale Investito (C) = 1.030.000;
Periodo (t) = 3 mesi;
Tasso annuo (i) = 12%.
La Vostra Idea ?
Il regime finanziario dello sconto commerciale



Esempio
Capitale Investito (C) = 1.030.000;
Periodo (t) = 3 mesi;
Tasso annuo (i) = 12%.
1a soluzione (interesse semplice)
VA = 1.030.000 / (1 + 0,12 x 3/12) = 1.000.000
2a soluzione (interesse commerciale)
VA = 1.030.000 x (1 - 0,12 x 3/12) = 999.100
Il regime finanziario della capitalizzazione composta


In questo regime (capitalizzazione composta) gli interessi
maturati alla fine del periodo di riferimento considerato
vengono sommati al capitale di partenza divenendo
anch’essi fruttiferi di interessi;
La formula del Montante è:
M = C x (1 + i)n

La formula del Valore Attuale è:
VA = M / (1 + i)n
Il regime finanziario della capitalizzazione composta



Esempio
Capitale Investito (C) = 1.000.000;
Periodo (t) = 3 anni;
Tasso annuo (i) = 12%.
La Vostra Idea ?
Il regime finanziario della capitalizzazione composta



Esempio
Capitale Investito (C) = 1.000.000;
Periodo (t) = 3 anni;
Tasso annuo (i) = 12%.
Montante
M = 1.000.000 x (1 + 0,12)3 = 1.404.928
Valore attuale
VA = 1.404.928 / (1 + 0,12)3 = 1.000.000
Confronto fra i tre regimi
Interesse semplice
Capitale
100,00
100,00
100,00
100,00
100,00
100,00
100,00
100,00
Tasso annuo
8%
8%
8%
8%
8%
8%
8%
8%
Mesi
3
6
9
12
24
36
48
60
Montante
Valore attuale
102,00
98,04
104,00
96,15
106,00
94,34
108,00
92,59
116,00
86,21
124,00
80,65
132,00
75,76
140,00
71,43
Confronto fra i tre regimi
Interesse composto
Capitale
100,00
100,00
100,00
100,00
100,00
100,00
100,00
100,00
Tasso annuo
8%
8%
8%
8%
8%
8%
8%
8%
Mesi
3
6
9
12
24
36
48
60
Montante
Valore attuale
101,94
98,09
103,92
96,23
105,94
94,39
108,00
92,59
116,64
85,73
125,97
79,38
136,05
73,50
146,93
68,06
Confronto fra i tre regimi
Interesse commerciale
Capitale
100,00
100,00
100,00
100,00
100,00
100,00
100,00
100,00
Tasso annuo
8%
8%
8%
8%
8%
8%
8%
8%
Mesi
3
6
9
12
24
36
48
60
Montante
\
\
\
\
\
\
\
\
Valore attuale
98,00
96,00
94,00
92,00
84,00
76,00
68,00
60,00
Confronto fra i tre regimi in chiave grafica (montante)
Confronto fra i tre regimi in chiave grafica (valore attuale)
Confronto fra i tre regimi: conclusioni di sintesi
Montante
 per durate inferiori all’anno:
 montante più elevato: regime interesse semplice;
 montante minore: regime interesse composto;
 per durate superiori all’anno si invertono.
Valore attuale
 per durate inferiori all’anno:
 sconto più elevato: regime sconto commerciale;
 sconto minore: regime interesse composto.
 per durate superiori all’anno:
 sconto più elevato: regime sconto commerciale;
 sconto minore: regime interesse semplice.
ALCUNE
DEFINIZIONI
Tassi . . . di vario tipo
Tasso annuo nominale convertibile
 Il tasso al quale vengono calcolati effettivamente gli
interessi è riferito ad 1/k di anno e si ottiene da quello
nominale convertibile assegnato, dividendo per k.
 Es. tasso annuo 12%; semestrale 6%; trimestrale 3%.
Tassi equivalenti (1)
 Tasso annuo e frazionario che producono, nella medesima
unità di tempo, lo stesso risultato.
Tassi . . . di vario tipo
Tassi equivalenti (2)

Formula per la definizione del tasso annuo;
i  (1  ik )  1
k

Formula per la definizione del tasso frazionario
ik  k (1  k )  1
Tassi . . . di vario tipo
Esempio: tassi equivalenti


Tasso trimestrale del 2,00%
Quale il tasso annuo equivalente ?
i = (1 + 0,02)4 - 1 = 8,24%


Tasso annuo del 9,38%
Quale il tasso mensile equivalente ?
ik  12 (1  9,38%)  1  0,75%