Università di Roma “La Sapienza” – Facoltà di Ingegneria Corso di Laura in Ingegneria Civile (Canale M-Z) – Ingegneria dei Trasporti (Canale A-Z) Programma del corso di Analisi Matematica II A.A. 2006 –2007 Prof.ssa E. Vacca Funzioni di più variabili: Elementi di topologia di R2. Definizione di funzione di due variabili. Definizioni di limite: condizione necessaria e condizione sufficiente per l’esistenza di un limite. Definizione di funzione continua. Teoremi fondamentali sulle funzioni continue. Derivate parziali e loro significato geometrico; gradiente e sua interpretazione geometrica. Definizione di funzione derivabile. Derivate di ordine successivo; Teorema di Schwarz. Teorema sulle derivate localmente limitate (dim.). Teorema di decomposizione dell’incremento (dim.). Funzione composta di due variabili. Derivata di funzione composta. Definizione di funzione differenziabile. Differenziale e suo significato geometrico. Teorema: la differenziabilità implica la continuità (dim.). Teorema: la differenziabilità implica la derivabilità. Teorema del differenziale. Definizione di derivata direzionale. Teorema per la derivata direzionale di una funzione differenziabile. Funzioni con gradiente nullo in un connesso. Formula di Taylor del secondo ordine: cenni. Funzioni a valori vettoriali: cenni. Minimi e massimi relativi per funzioni di due variabili: liberi o vincolati su bordi parametrizzabili (segmenti, circonferenze, ellissi, parabole, iperboli…). Ricerca del minimo e massimo assoluto per funzioni di due variabili in domini limitati e non limitati. Integrali doppi. Cenni sulla misura di insiemi limitati in R². Definizione di dominio normale rispetto agli assi. Definizione di integrale doppio: somme integrali. Riduzione di un integrale doppio a due integrazioni lineari successive. Cambiamenti di variabile. Cambiamento da coordinate cartesiane a coordinate polari. Formule di Dirichlet per domini simmetrici rispetto agli assi e per funzioni pari o dispari. Curve regolari; integrali curvilinei. Curve generalmente regolari. Lunghezza di un arco di curva regolare. Ascissa curvilinea. Integrali curvilinei di funzioni. Forme differenziali lineari: Integrale curvilineo di una forma differenziale lineare. Forma differenziale esatta. Teorema sul calcolo della primitiva di un differenziale esatto (dim.). Teorema: cond. nec. e suff. affinché una forma differenziale sia esatta (dim. cond. nec.). Interpretazione fisica dei differenziali esatti: campi conservativi. Forma differenziale chiusa. Interpretazione fisica dei differenziali chiusi: campi irrotazionali. Teorema: una forma esatta in un connesso è chiusa (dim.). Campi semplicemente connesssi. Teorema: cond. suff. per l’esattezza in un campo semplicemente connesso. Forme differenziali lineari in campi più volte connessi; Teorema: cond. suff. per l’esattezza in aperti più volte connessi (dispense). Superfici regolari; integrali superficiali. Superfici regolari: coordinate parametriche; coordinate sferiche; coordinate cartesiane. Equazione del piano tangente e della normale ed esso. Integrali superficiali di funzioni. Area di una superficie. Formule di Gauss – Green nel piano: domini regolari. Applicazioni: calcolo di aree; calcolo di integrali doppi attraverso le formule di Gauss-Green. Teorema della divergenza (dim.). Definizione di divergenza. Flusso di una campo vettoriale. Applicazioni a campi vettoriali. Campi solenoidali. Teorema di Stokes. Definizione di rotore. Interpretazione fisica: circuitazione di un campo vettoriale. Applicazioni a campi vettoriali. Equazioni differenziali. Generalità; nomenclatura essenziale. Integrale generale, particolare e singolare. Equazioni differenziali lineari del 1° ordine. Teorema della struttura dell’integrale generale (dim.). Teorema sulla struttura dell’integrale generale dell’equazione omogenea – metodo del fattore integrante (dim.). Teorema di esistenza ed unicità della soluzione di un’ equazione differenziale lineare del 1° ordine completa (dim.). Problema di Cauchy per le equazioni differenziali lineari del 1° ordine; teorema di esistenza e unicità. Equazioni differenziali non lineari del 1° ordine. Equazioni differenziali a variabili separabili: teorema di esistenza e unicità. Problema di Cauchy per le equazioni differenziali a variabili separabili: teorema di esistenza e unicità. Equazione di Bernoulli: teorema di esistenza ed unicità. Problema di Cauchy per le equazioni differenziali di Bernoulli: teorema di esistenza e unicità. Equazioni differenziali lineari del 2° ordine. Definizioni generali. Teorema della struttura delle soluzioni. Teorema sulla struttura dell’integrale generale dell’equazione omogenea (dim.). Equazioni differenziali lineari del 2° ordine a coefficienti costanti. Equazione omogenea associata: integrale generale. Equazione completa: metodi per determinare un integrale particolare (metodo di somiglianza e metodo di variazione delle costanti arbitrarie o metodo di Lagrange). Problema di Cauchy per le equazioni differenziali del 2° ordine: teorema di esistenza e unicità. (dim.): tutte le dimostrazioni ed i procedimenti seguiti a lezione vengono richiesti all’esame orale con particolare attenzione verso quelli segnalati con il simbolo ‘(dim)’. Testi consigliati per la teoria: 1) L. Cosimi - M.R. Lancia “MATEMATICA 2" Progetto Leonardo, Bologna, Ed. Esculapio. 2) P. Marcellini - C. Sbordone “ELEMENTI DI ANALISI MATEMATICA DUE", Liguori Editore. 3) A. Ghizetti - F. Rosati “ANALISI MATEMATICA", Vol. 1 e 2 Seconda edizione, Zanichelli. 4) M. Bramanti - C.D. Pagani - S. Salsa “MATEMATICA-Calcolo infinitesimale e algebra lineare" Zanichelli. Testi consigliati per gli esercizi: TESTI D’ESAME DELLA PROF.SSA M.R. LANCIA 1) M. Amar - A. M. Bersani “Esercizi di ANALISI MATEMATICA" seconda edizione, Progetto Leonardo, Bologna, Ed. Esculapio. 2) P. Marcellini - C. Sbordone “Esercitazioni di MATEMATICA" Vol. 2, parte prima e seconda, Liguori Editore. N.B. lo studente può prepararsi all’esame su uno qualsiasi dei testi consigliati seguendo gli appunti presi a lezione. Coloro che non hanno seguito il corso sono pregati di rivolgersi al docente.