Tema d`Esame

MISURE OTTICHE
mercoledì 6 febbraio 2013
1a Prova d’esame AA 2012/2013
Aula T.2.2 ore 13.15
Prof. Cesare Svelto
Tempo a disposizione 2h10min
COGNOME: ____________________________ Nome: ________________________
(stampatello)
CdLS e anno: ___________ Matricola e firma __ __ __ __ __ __ _______________ (firma leggibile)
Esercizi svolti (almeno parzialmente)
1 2 3 4
PUNTEGGI:
(9+9+8+8=34 p)
N.B. È richiesto di spuntare tutti i sottopunti cui si è almeno parzialmente risposto [e.g. 1a), 1c), 1d) etc.].
SOLUZIONI
(35 min)
Esercizio 1
(svolgere su questo foglio e sul retro)
1) Un laser a He-Ne nel rosso impiega un risonatore piano-sferico (riflettività degli specchi R1=100 % e
R2=99 %) di lunghezza L=100 cm ed emette una potenza ottica P0=10 mW. Lo specchio d’uscita ha un raggio
di curvatura di 1.2 m.
La transizione laser presenta un allargamento di riga (Doppler) GAIN=2 pm e, per ipotesi semplificativa,
tutti i modi longitudinali entro tale riga di guadagno oscillano simultaneamente e con eguale potenza.
1a) Si ricavi la frequenza ottica centrale dell’oscillazione laser e si valuti il numero di modi longitudinali
oscillanti.
1b) Quanto vale la Finesse per questo risonatore laser?
E la potenza ottica circolante in cavità?
1c) Si valuti la dimensione e posizione del beam waist.
Si calcoli l’angolo di divergenza del fascio in uscita dallo specchio sferico.
1d) Quanto vale la dimensione di macchia a una distanza di 100 m dallo specchio d’uscita?
1e) Si dimensioni un filtro di Fabry-Perot, a etalon solido in vetro, per trasmettere solo uno dei modi
longitudinali oscillanti verso un fotodiodo di analisi.
Se l’ottica di raccolta e focalizzazione della luce sul fotodiodo al silicio presenta una trasmissione
Topt=90 %, si valuti la fotocorrente in uscita dal fotodiodo.
1f) Per la fotocorrente in continua ricavata al punto 1e), si valuti il corrispondente livello di rumore shot
osservato entro una banda di 1 kHz.
Si ricavi infine il valore efficace della tensione di rumore – solo il contributo da rumore shot di
fotorivelazione - dopo una amplificazione a transimpedenza con guadagno R=10 k.
il laser a He-Ne nel rosso la lunghezza d'onda di emissione è =0632.8 nm e la corrispondente
frequenza ottica è 0=c/0(3×108 m/s)/(632.8×10-9 m)474 THz.
Il free-spectral range del risonatore laser è FSR=c/2L(3×108 m/s)/(21 m)=150 MHz. La larghezza
della riga di guadagno è GAIN=(c/2)GAIN[(3×108 m/s)/(632.8×10-9 m)2](2×10-12 m)1.5 GHz. Il
numero di modi longitudinali, sotto la riga di guadagno, e per ipotesi tutti oscillanti, è pari a
nlong=GAIN/FSR=(1.5 GHz)/(150 MHz)=10 modi.
21a) Per
Finesse del risonatore è F=(R1R2)1/4/1-(R1R2)1/2=(0.99)1/4/1-(0.99)1/2625.
Lo specchio d’uscita ha una trasmissività in potenza T=1-R2=1 % e dunque P0=P0,out=TP0,in con una
potenza circolante in cavità P0,in=P0/T=1 W.
21b) La
beam waist del laser si ha sullo specchio piano (fronte d’onda piano con raggio di curvatura infinito) e
con una dimensione di macchia che per il risonatore piano-sferico è:
21c) Il
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Llaser  ROC
1
1
 4
632.8  109  1 1.2  4
w0,L=
=

1


 1  1 300 m
  Llaser


L’angolo di divergenza, per il laser in singolo modo TEM00 e dunque diffraction limited, è
div=

w0,L
0.67 mrad0.7 mrad
w0,2 L
0.45 m e pertanto, operando a

una distanza di 100 m dal laser ci si trova sicuramente in “campo lontano” e in regione di “divergenza
lineare”. A una distanza di 100 m dal laser (100 m dall’uscita del laser corrispondono a 101 m dallo specchio
piano e dunque a una coordinata z=101 m dal beam waist), si avrà una dimensione di macchia
11d) Il
parametro di Raileigh per la propagazione del fascio laser è zR=
2
 z 
z
wL = w0,L 1     w0,L
= divz  7 cm
zR
 zR 
Anche effettuando il calcolo con la radice quadrata, si ottiene comunque wL7 cm.
21e) Il
free spectral range del Fabry-Perot esterno deve essere maggiore della banda di oscillazione laser:
imponendo FSR,F-P=c/(2nglassLF-P)≥ GAIN, si ottiene LF-P≤ (c/2nglass)(1/GAIN)=6.7 cm. Essendo l’etalon
solido di vetro, non è semplice né comodo realizzarlo più lungo di qualche centimetro e pertanto si può
scegliere di lavorare con LF-P=1 cm (FSR,F-P10 GHz>>GAIN). Naturalmente per trasmettere in modo ben
selettivo un solo modo longitudinale del laser, la larghezza di riga c del profilo di trasmissione del
Fabry-Perot deve essere adeguatamente inferiore alla distanza intermodale FSR. Questo richiede
c<<FSR e dunque FSR,F-P/F<<FSR, dove F è la Finesse del Fabry-Perot. Si ricava dunque la
condizione F= R /(1-R)>>FSR,F-P/FSR=(10 GHz)/(1.5 GHz)6.67. Trattando le facce piane dell’etalon
con strati multidielettrici che danno una riflettività in potenza R=90 %, si ottiene F29.8>>6.67, che va bene
allo scopo.
La potenza ottica incidente sul fotodiodo è PPD=Topt(P0/nlong)=0.9 mW e la fotocorrente d’uscita è
IPD=SiPPD0.45 mA, avendo utilizzato una responsivity Si=Si@=633 nm0.5 A/W.
11f)
Il rumore shot, come densità spettrale di corrente di rumore, è < iN2 >=2eIPDB1.44×10-22 A2/Hz e dunque
iN=(< iN2 >)1/212 pA/ Hz , con e1.6×10-19 C e integrato su una banda B=1 kHz porta a un rumore in
corrente IN=iN B =380 pA.
Il valore efficace della fototensione di rumore è VN=RIN=R(iN B )=3.8 V.
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(30 min)
Esercizio 2
(svolgere su questo foglio e sul retro)
2) Mediante un telemetro ottico laser pulsato si misura la distanza L=4.321 km in presenza di una
attenuazione atmosferica 0.5 km-1. La sorgente è un laser a Nd:YAG, Q-switched e diffraction limited, con
impulsi di durata 10 ns e repetition rate 10 kHz. Il laser opera con efficienza elettro-ottica e-o=5%
assorbendo Pele=300 W dalla presa elettrica.
Il fascio in uscita dal telemetro ha divergenza
s=4 mrad (angolo pieno) il bersaglio cooperativo
ha diametro Dcc=6 cm, e al ricevitore si impiega una
lente di raccolta con diametro Dr=20 cm. Il
rivelatore ha trasmissione complessiva Topt=0.7, tra
potenza alla lente e potenza sul fotodiodo ad
InGaAs (con curva di sensibilità spettrale è mostrata
in figura) ed è pre-amplificato a transimpedenza con
un guadagno R=1 k.
2a) Si determini il range di non-ambiguità del telemetro.
Si valuti la attenuazione introdotta dall’atmosfera al limite del range di non-ambiguità.
2b) Dopo avere scritto l’espressione del power budget del telemetro considerato, si ricavi il valore della
potenza ottica degli impulsi in arrivo sul fotodiodo al ricevitore.
2c) Quanto vale la foto tensione di picco all’uscita del fotorivelatore?
Quale banda passante occorre per tale rivelatore?
2d) Considerando che il rumore dell’elettronica consente una rivelazione del tempo di arrivo dell’impulso
con una risoluzione temporale di 1/10 della sua durata, si ricavi la risoluzione (assoluta e relativa) della
misura di distanza.
range di non-ambiguità del telemetro è LNA=(1/2)cTrep=c/(2frep)=3×108/2×104=15 km
La attenuazione introdotta dall’atmosfera è
Tatm(LNA)=exp(-2LNA)=exp(-0.5215)=exp(-15)3×10-7 Aatm=1-Tatm0.999 999 7
22a) Il
potenza ottica media del laser è Ps,ave=e-o×Pele=15 W
La potenza ottica lanciata è Ps=(Trep/)×Pave,s=(100 s / 10 ns)×15 W=150 kW
Il power budget e la potenza ottica ricevuta sono
Topt Dr2
D2
Pr= G r2 Ps  2
Ps =0.7/(4×10-3)2  {(0.2)2/[4(4321)2]}e-20.54.321150×103 W46.7 mW
2
4 Leq
 s 4 Leq
32b) La
con Ps=150 kW potenza lanciata dalla sorgente, Dr=0.2 m diametro dell’ottica di ricezione, Leq=L/(Tatm)1/2
distanza equivalente dove Tatm=exp(-2L) è la trasmissione, per doppio passaggio, dell’atmosfera (con
=0.5 km-1 attenuazione atmosferica e L=4321 m tratta di propagazione in atmosfera). Il termine G è il
guadagno del telemetro, poi esplicitato per il caso considerato di un telemetro con bersaglio cooperativo.
ricevitore V=RI e I=Pr e dunque V=RPr=(102 )(0.65 A/W)(46.710-3 W) 30 V.
Questo segnale andrà naturalmente confrontato con il livello di rumore al ricevitore entro una
banda di alcune centinaia di megahertz (essendo =10 ns) perché la banda passante richiesta al rivelatore è ad
esempio B5×(1/)=500 MHz.
32c) Al
tempo di volo è T=2L/c, misurato con risoluzione T=(/10)=1 ns corrispondente a una risoluzione in
lunghezza (costante) L=(c/2)T=0.15 m=15 cm.
La risoluzione relativa nella misura di distanza e rel=L/L=(15 cm)/(4321 m)3.510-5.
22d) Il
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(30 min)
Esercizio 3
(svolgere su questo foglio e sul retro)
È dato un sensore di deformazione a fibra ottica (o estensimetro, o strain-gauge) realizzato incollando un
tratto di fibra ottica parallelamente a una barra metallica di cui si vuole misurare la deformazione. Il sensore
prevede uno schema di lettura interferometrico, ed ha il layout mostrato in Figura. La sorgente impiegata è un
laser a semiconduttore DFB (quindi a singolo modo longitudinale) che emette una potenza P0 = 5 mW alla
lunghezza d’onda λ = 850 nm. L’indice di rifrazione della fibra ottica utilizzata è nF = 1.5.
Laser
a Semiconduttore
L1
L
L2
L3
(con isolatore ottico)
L4
L5
fotodiodo
Iph
accoppiatore
50% - 50%
La barra metallica ha lunghezza L = 0.5 m, e le lunghezze degli altri tratti di fibra sono pari a: L1 = 1 m; L2 =
0.5 m; L3 = 1 m; L4 = 0.5 m; L5 = 2 m. Si consideri trascurabile la lunghezza dei cammini ottici che
attraversano l’accoppiatore in fibra ottica. La parte terminale della fibra costituente i tratti L3 e L5 è
metallizzata (ossia, il 100% della luce viene riflesso). La deformazione della barra metallica è definita come:
 = L/L, ove L è la variazione di lunghezza che subisce la barra.
3a) A quale schema interferometrico classico corrisponde il layout presentato? In questo schema quali tratti
di fibra ottica individuano il cammino di misura ed il cammino di riferimento? Secondo quale principio è
possibile misurare la deformazione di lunghezza (L) della barra metallica? Qual è la risoluzione (ΔL)
sulla misura L? Con tale interferometro in fibra ottica è possibile eseguire misure in continua?
(Motivare le risposte, ipotizzando di eseguire la misura di L per semplice conteggio di frange)
3b) Se in un intervallo di tempo T = 1ms la barra subisce una deformazione  = +10-5, si calcoli il numero di
frange interferometriche che si osservano all’uscita del fotodiodo. Qual è la banda minima (Bmin) che
deve essere garantita dal sistema elettronico di misura per un corretto riconoscimento delle frange?
3c) Durante l’intervallo di tempo T nel quale la barra subisce una deformazione  = +10-5, la lunghezza
d’onda del laser varia di 10 pm. Tale variazione di lunghezza d’onda può causare un errore di misura?
3d) Se volessimo misurare deformazioni L << ΔL, agganciando a mezza frangia l’interferometro, quale
sarebbe la nuova risoluzione ΔLmf sulla misura? (Si supponga che l’efficienza quantica del fotodiodo sia
η = 1, e che la banda di osservazione sia uguale a 20 kHz).
3a) Il layout proposto è del tutto equivalente a un interferometro di Michelson.
Il cammino di misura è dato dal tratto contenente la barra metallica e i cammini L2 e L3 (LM = L2 + L +
+ L3 = 2 m); il cammino di riferimento è dato dal tratto di fibra ottica L5 (LR = L5 = 2 m = LM).
La deformazione della barra comporta un’uguale deformazione del tratto di fibra incollato a essa, con
conseguente variazione del cammino ottico lungo il braccio di misura dell’interferometro di Michelson
proposto. Attribuendo tutta la variazione di cammino ottico alla sola deformazione della barra metallica,
si ricava una variazione di cammino ottico (sul doppio passaggio della luce attraverso la fibra incollata
alla barra) pari a: Lott = 2LnF, (con nF indice di rifrazione della fibra ottica). La variazione di fase
misurata dall’interferometro, associata alla variazione di lunghezza della barra, è data da:  =
(Lott2)/ = (L4nF)/.
Il segnale di corrente generato dal fotodiodo vale: Iph = I0[1 + cos()].
Ipotizzando di eseguire la misura di  per semplice conteggio di frange, la risoluzione
dell’interferometro è pari a ΔL = λ/2 = 425 nm. come Lottico e come risoluzione della misura di
deformazione si ottiene Lbarra/fibra = 425/1.5 nm = 283 nm.
Lo schema presentato non consente di eseguire misure in continua perché nel segnale di corrente Iph si
sviluppano le frange interferometriche solo nel momento in cui la barra si sta deformando. Se la barra
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non si deforma, se L resta costante, anche il segnale di corrente diventa costante e non è più possibile
risalire alla deformazione.
3b) La variazione di lunghezza della barra è data da: L = L.
Il numero di frange interferometriche osservate all’uscita del fotodiodo è dato da:
Nfr = /2 = (2LnF)/ = (210-50.51.5)/(85010-9) ≈ 17.65.
La durata di ogni singola frangia interferometrica è pari a Tfr = T / Nfr ≈ 56.7 μs.
La banda minima sarà dunque data, in prima approssimazione, da Bmin = 1 / Tfr = 17.65 kHz.
3c) Possiamo studiare l’effetto della variazione di lunghezza d’onda del laser nel tempo T ipotizzando in
primis che la barra non si deformi. In particolare, in corrispondenza di una variazione di lunghezza
d’onda  si genera una variazione di fase data, in modulo, dalla seguente formula:
 = 4(LM – LR) / 2 = 0 r.
L’interferometro proposto è bilanciato (LM = LR), e dunque la variazione di lunghezza d’onda della
sorgente laser non comporta alcun errore sulla misura. Se invece avessimo un cammino di misura diverso
da quello di riferimento (interferometro sbilanciato), la variazione di lunghezza d’onda genererebbe un
errore di misura quantificabile dalla formula presentata.
3d) Agganciando l’interferometro a mezza frangia, la risoluzione dello strumento è data dal valore più
grande fra la NEDfase e la NEDquantica. Dalla teoria sappiamo che la NEDfase è nulla in presenza di un
interferometro bilanciato, come quello proposto nell’esercizio, e la risoluzione sarà quindi limitata
esclusivamente dalla NEDquantica:
ΔLmf = NEDquantica = λ/2π  [qBmin/(2I0)]½ = 134 fm (q=e=1.6×10-19 C), con I0 = P0/2 = 1.625 mA, con
 ≈ 0.65 A/W responsività spettrale del fotodiodo a =850 nm. Si può stimare  ricordando la seguente
relazione:
 = η λ [μm] / 1.24.
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(35 min)
Esercizio 4
(svolgere su questo foglio e sul retro)
4a) Si descriva, con l’aiuto di uno schema a blocchi del set-up sperimentale, un sistema di stabilizzazione
Pound-Drever. Si spieghi brevemente come funziona tale stabilizzazione a centro riga.
4b) Si commentino le differenze di prestazioni ottenibili con la stabilizzazione in frequenza di un laser
impiegando riferimenti assoluti (molecole) o relativi (Fabry-Perot).
4c) Un laser a Er-Yb:vetro a singola frequenza (del tipo visto a lezione con risonatore ottico piano-sferico)
viene stabilizzato in frequenza sulla riga spettrale P(13) della molecola di acetilene, centrata alla lunghezza
d’onda 0=1532.83042(10) nm. Il sistema di stabilizzazione impiega il metodo di Pound-Drever e retroaziona
il segnale di errore su un attuatore piezoelettrico che sposta finemente lo specchio d’uscita. Si suppone che il
laser stabilizzato raggiunga un livello di stabilità di frequenza pari a 10 volte meglio dell’accuratezza,
u(0)/0, con cui è nota la frequenza centrale della transizione molecolare.
Nel caso del laser considerato nell’esercizio, si commenti la possibile banda di retroazione del sistema di
controllo e si indichi come si potrebbero migliorare le prestazioni del sistema.
Quanto vale la stabilità di frequenza, assoluta e relativa, ottenuta per il laser stabilizzato?
NOTA: per i calcoli si consideri il valore c=310-8 m/s per la velocità della luce nel vuoto.
4d) Si considera ancora il laser a Er-Yb:vetro stabilizzato come al punto 4c). La lunghezza d'onda di questo
laser viene impiegata come riferimento (R) in un wavemeter da laboratorio che opera, in aria, secondo lo
schema mostrato in figura. Per ipotesi il carrello mobile viene arrestato in corrispondenza di un numero intero
di conteggi di frange di interferenza alla lunghezza d'onda di riferimento R.
Er-Yb:glass
LASER +C2H2
“
“X”
s
“R”
Con l’esperimento si vuole misurare la lunghezza d'onda “incognita” (X) di un laser a Nd:YLF duplicato nel
verde a 532.532 nm, spostando il carrello mobile di una quantità s=25 cm.
Quante frange di interferenza si contano sui fotorivelatori PDR e PDX?
Da cosa dipendono e quanto valgono errore e incertezza (di quantizzazione), X e u(X), nella
determinazione della lunghezza d'onda incognita X?
Si commentino le eventuali approssimazioni e ipotesi semplificative adottate e si scriva una soluzione
più completa per la determinazione dell’incertezza u(X) senza approssimazioni.
34a,b)
Vedi appunti e dispense del Corso.
34c) La
banda di retroazione del sistema di controllo sarà limitata a qualche kilohertz a causa del sistema
di attuazione (piezoelettrico) e della massa dello specchio da movimentare. Per aumentare la banda di
retroazione e dunque le prestazioni del laser stabilizzato, converrebbe impiegare un attuatore più veloce:
di tipo elettroottico esterno (BkHz-MHz).
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L’accuratezza con cui è noto il centro-riga della transizione considerata è u(0)=0.1 pm con una
incertezza relativa u(0)/0=0.1/15328304.2=6.510-8 e pertanto l’accuratezza relativa in frequenza è la
stessa u(0)/0=u(0)/0=6.510-8, a una frequenza 0=c/0=195.716366 THz, e con incertezza assoluta in
frequenza u(0)=6.510-80=13 MHz. Dunque, la stabilità relativa e assoluta di frequenza per il laser è
laser/laser=(1/10)6.510-8=6.510-9 e laser=(1/10) 13 MHz=1.3 MHz.
44d)
Il fotodiodo PDR conta il cammino ottico 4s (si veda la Figura per comprendere il motivo del fattore 4
rispetto allo spostamento del carrello mobile) in termini di R (una frangia di interferenza ogni R/2) e quindi
conterà un numero di frange
4s
8s
2m


NR=
=1 304 776 frange
R / 2 R 1532.83042  10-9 m
Analogamente, per il fotodiodo PDX che conta le frange sulla stessa variazione di cammino ottico (4s)
in termini di X/2 e dunque della lunghezza d'onda incognita, si ottiene
4s
8s
2m


NX=
3 755 643 frange
X / 2 X 532.532 10-9 m
Solitamente nella misura con il wavemeter si arresta il carrello mobile quando NR è un numero intero e
dunque la relazione 8s=NRR è “esatta” (esente da errore/incertezza di quantizzazione e con incertezza bassa
quanto è bassa l’incertezza su R, che in prima approssimazione sarà ritenuta trascurabile). L’equazione della
misura si ottiene da NXX=NRR (=8s) e quindi X=(NR/NX)R. Avendo immaginato trascurabile
l’incertezza su R, e poiché è nulla l’incertezza su NR (numero intero contato senza errori), si ricava
l’errore/incertezza su X come X= (NRR)(NX/N 2X).
Considerando il caso peggiore di errore, NX=1, si ottiene
1
1
X= N R R   2  N X  (1 304 776 1532.83042 nm ) 
1 =0.000 14 nm=0.14 pm
NX
(3 755 643) 2
Considerando l’incertezza statistica (deviazione standard  della possibile dispersione di valori del
misurando uniformemente distribuito in un “quanto” di larghezza NX=1) si ottiene
 UNI1 
u UNI1 
 N R R 
u(X)= (X)= N R R 
2
NX
N X2
dove UNI1 indica una PDF uniforme di larghezza unitaria. Essendo poi u(UNI1)=1/ 12 0.3, si ricava una
incertezza standard per la lunghezza d'onda incognita X come
1
 0.3 =0.042 pm (circa 1/3 del valore di X).
u(X)= (1 304 776 1532.83042 nm ) 
(3 755 643) 2
Nei calcoli precedenti si è ritenuto u(R)0 quando invece è u(R)=u(IR). Volendo svolgere un calcolo
senza approssimazioni, da X=(NR/NX)R si ricava l’incertezza relativa:
ur(X)= u r2 N X   u r2 R   u r2 N X   u r2  R  
1 / 12
(1.3 MHz ) 2

 5.9 10 15  4.4 10 17
2
2
(3 755 643)
(195.7 THz )
ur(X)ur(NX)=7.710-8 e dunque u(X)=Xur(X)4.210-14 m=42 fm.
Tale incertezza su X è sostanzialmente dovuta all’incertezza di quantizzazione sul conteggio delle frange
interferometriche, il cui contributo in termini di incertezza relativa è notevolmente superiore a quello
dell’incertezza sulla lunghezza d'onda del riferimento.
Una ulteriore approssimazione utilizzata nelle precedenti misure di X, e stime di incertezza u(X), è
stata di considerare il cammino dei fasci laser nel vuoto e non in aria come spesso invece avviene in un
normale wavemeter da laboratorio: si dovrebbe dunque impiegare la relazione generale =(c/n)/, che tiene
anche conto dell’indice di rifrazione dell’aria e della sua dipendenza dalla lunghezza d'onda n=n(), e
non semplicemente =c/. Per ottenere i livelli di incertezza prima calcolati, ovvero ur(X)10-7,
occorrerebbe tenere in conto le variazioni dell’indice di rifrazione con la lunghezza d'onda e dunque gli errori
che si producono nella misura per la presenza di n(R)n(X) e delle rispettive incertezze non certo
trascurabili in quanto saranno ben superiori al livello teoricamente ottenuto di alcune parte in 10-8.
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Foglio extra per soluzioni “lunghe”
(svolgere su questo foglio e sul retro)
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