IL MOTO DI UNA CARICA

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Una carica q libera, di massa m, si trova a distanza r da una carica Q fissa. Se le
cariche hanno lo stesso segno, q si allontana perché sottoposta alla forza repulsiva
coulombiana.
Ci proponiamo di studiare il moto di q per vedere come variano nel tempo sia le
grandezze cinematiche ( distanza, velocità e accelerazione ) sia l’energia del
sistema di cariche.
Q
q
F
+
+
r
ANALISI DEL PROBLEMA
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Supponiamo che entrambe le cariche siano puntiformi, la forza coulombiana che si
esercita tra esse è:
1 Qq
F
4 r 2
L’accelerazione a cui è sottoposta la carica q si ottiene dalla seconda legge della
dinamica:
F
a
m
Osserviamo che, essendo la forza variabile ( dipende dall’inverso del quadrato della
distanza ), anche l’accelerazione è variabile. Possiamo però ugualmente studiare il moto
utilizzando un procedimento numerico iterativo, in grado di fornire una soluzione
approssimata ma accettabile.
L’accelerazione cambia con la forza e quindi con la posizione della carica q. Possiamo
però suddividere il moto in tanti intervalli di tempo ∆t, sufficientemente piccoli perché la
forza e di conseguenza l’accelerazione rimangano costanti all’interno di ciascuno e
valgano pertanto le equazioni del moto uniformemente accelerato; esse consentono di
determinare la velocità e la posizione. Al termine dell’intervallo possiamo calcolare il nuovo
valore assunto dalla forza e quindi dall’accelerazione. E il procedimento si ripete.
Il metodo adottato consiste perciò nel far variare forza e accelerazione non con continuità
ma a “scatti”.
Analizziamo in dettaglio un singolo ciclo di calcolo.
Sono assegnati i valori iniziali di r0 e v0 , da cui si ricavano anche Fo e a 0 . All’istante t1 , al
termine del primo intervallo t , la velocità sarà:
v1  v0  a0 t .
Siamo ora in grado di determinare la posizione con la relazione:
r1  r0  v1 t .
Il nuovo valore della posizione consente di “aggiornare” la forza e l’accelerazione:
F1 
1 Qq
4 r1 2
a1 
F1
.
m
Per l’istante t 2 , al termine di un altro intervallo t , possiamo scrivere le nuove relazioni:
v 2  v1  a1 t
r2  r1  v 2 t
F2 
a2 
1 Qq
4 r2 2
F2
m
Incrementando di nuovo il tempo, si ripete un altro ciclo di calcolo e così via fino al termine
stabilito. Per un generico intervallo i-esimo la sequenza di equazioni è:
t i  t i 1  t ,
vi  vi 1  ai 1 t ,
ri  ri 1  vi t ,
Fi 
ai 
1 Qq
4 ri 2
,
Fi
.
m
Abbiamo così gli elementi principali per studiare il moto della carica.
CALCOLO DELL’ENERGIA.
Il problema che stiamo analizzando non si presta a un controllo sperimentale per verificare
l’adeguatezza del modello numerico nel descrivere il moto della carica.
Possiamo effettuare un controllo facendo ricorso ad alcune considerazioni sull’energia.
L’energia cinetica:
1
k  mv 2
2
aumenta con la velocità; l’energia potenziale:
1 Qq
U
4 r
diminuisce quando le cariche si allontanano.
Poiché il campo elettrico è conservativo, la somma delle due energie di deve mantenere
costante; se ciò non si verifica vuol dire che l’incremento t è troppo grande e occorre
scegliere un intervallo più piccolo.