Esercizi fluidi

Esercizi fluidi
1. Un fluido scorre con moto stazionario in un condotto orizzontale cilindrico che nel punto A ha
raggio rA=20 cm e nel punto B ha raggio rB = 10 cm .
a) Se la velocità del fluido nel punto A vale vA=0.3 m/s, quanto vale la velocità in B?
b) Supponendo ora che il punto A si trovi ad una quota maggiore di quella di B di 1 m, che
la pressione sia la medesima in tutto il fluido, e che la velocità del fluido in A sia v A=0.3
m/s , quale è la velocità del fluido in B?
Soluzione:
a. Il moto è stazionario e dunque si conserva la portata Q = S v. Nel nostro caso questo
significa
vB = vA SA/SB = vA rA2/rB2 = 4 vA = 1.2 m/s
b. Nel caso in cui il punto A si trovi ad una differenza di quota h = 1m rispetto al punto B, per
il teorema di Bernoulli
pA 
1 2
1
 v A  gh  p B   v B2
2
2
da cui si ricava direttamente la velocità in B, essendo la pressione uguale in entrambi i
punti:
v B2  v A2  2 gh
v B  v A2  2 gh  4.4 m / s
2. Dell’acqua viene pompata da un fiume fino ad un villaggio di montagna attraverso un tubo di diametro
d = 15.0 cm. Il fiume è a quota h1 = 564 m, mentre il villaggio si trova a quota h2 = 2096 m.
Se ogni giorno vengono pompati 4500 m3 di acqua, quale è la velocità dell’acqua all’interno del tubo?
Supponendo che l’acqua scorra nel fiume molto lentamente (v0), quale è la pressione con la quale viene
pompata l’acqua dal fiume al villaggio ?
Soluzione :
La velocità v con cui viene pompata acqua nel tubo si può ricavare dalla definizione di portata:
4500 m 3
ove la sezione del tubo è A =  (d/2)2
Av 
giorno
2
4500 m 3 1
4500 m 3
1
2

v
 
 
  2.95 m / s
2
giorno A 24  (3600s )   15.0  10 m 
Per calcolare la pressione applicata a livello del fiume F per pompare acqua al villaggio V utilizzo il
teorema di Bernoulli:
1 2
1
v F  pV  ghV  vV2
2
2
1
p F  ghF  0  1 atm  ghV  vV2
2
1
p F  1 atm  g ( hV  hF )  vV2
2
kg
1
kg
 1.013  105 Pa  10 3 3  9.8m / s 2  1532m   10 3 3  ( 2.95m / s ) 2  15.1  10 6 Pa
m
2
m
p F  ghF 
3. Un corpo di massa m = 500 g e di densità doppia rispetto all’acqua è sospeso ad una fune
inestensibile ed è completamente immerso in un recipiente pieno d’acqua. Il corpo si trova ad
una distanza h = 1 m dal fondo del recipiente. Calcolare:
a. la tensione T della fune;
b. la velocità con cui il corpo raggiunge il fondo del recipiente dopo che la fune è stata tagliata
Soluzione :
a) Per calcolare la tensione della fune basta applicare l’equilibrio delle forze:

 

Fnet  T  FA  Fg  0
ove FA = mf g è la spinta di Archimede ed Fg = mg è la forza peso. Proiettando l’equazione
vettoriale sull’asse y verticale si ottiene:
T  FA  Fg  0
T  Fg  FA  mg  m f g  (    f )Vg
Sapendo che il corpo ha densità doppia rispetto al fluido si ottiene:
T  (    f )Vg
 ( 2  f   f )Vg
  f Vg   f

m
g
2 f
mg 0.5kg

 9.8 m / s 2  2.45 N
2
2
b) Dopo che la fune è stata tagliata il corpo è soggetto ad una forza netta non nulla




Fnet  FA  Fg  ma
Proiettando sull’asse y l’equazione precedente si ottiene l’accelerazione a di cui risente il corpo:
FA  Fg  ma
a


FA  Fg
m
m f g  mg
m
(  f   )Vg
V

(  f  2 f )
2 f
g
g
2
La velocità con cui il corpo giunge sul fondo del recipiente, partendo da una distanza h = 1 m, è
quindi pari a:
v 2  v 02  2a ( y  y 0 )  2ah  2
v  gh  3.13 m / s
g
h  gh
2
4. Una sferetta metallica pesata in aria risulta pari a 1,1 kg, mentre pesata totalmente
immersa in acqua, è pari a 0.7 kg.. Si determini:
a.La spinta Archimedea agente sulla sferetta in acqua
b. La densità della sferetta
Soluzione :
a. Quando la sferetta è immersa in acqua agisce, oltre alla forza peso, la spinta
Archimedea esercitata dall’acqua, con verso opposto a quello della forza peso. Il valore
della Spinta S si ottiene pertanto come differenza dei valori delle due pesate , in aria ed in
acqua , ed è quindi:
S= (1.1 – 0.7 ) g = 0.4 g = 3.92 N
(g è l’accelerazione di gravità)
b. La Spinta Archimedea S è pari al peso dell’ acqua spostata , la massa macqua di acqua
spostata è pertanto macqua = S/g = 0.4 kg .
Indicata con dacqua la densità dell’acqua, il volume V di acqua spostata, pari a quello della
sferetta , è V = macqua/ dacqua = 0.4 10 - 3 m 3 .
Indicata con mS è la massa della sferetta, uguale a 1.1 kg , la densità dS della sferetta è:
dS = mS / V = 2.75 103 kg/m 3
5. Un corpo di forma irregolare occupa un volume V = 1 dm3 ed ha al suo interno una cavità vuota
di volume VC = V/3. Il corpo è completamente immerso in acqua, ed e’ in equilibrio . Determinare:
a) la spinta di Archimede sul corpo;
b) la densità del corpo.
Soluzione :
La spinta di Archimede è pari in modulo alla forza peso relativa alla massa di fluido spostato dal
corpo, ossia alla massa di fluido occupante il volume V:
FA   f Vg
 10 3
kg
m
 10 3 m 3  9.8 2  9.8 N
3
m
s
b) Per calcolare la densità del corpo impongo la condizione di equilibrio tra la forza peso e la spinta
di Archimede:
Fg  FA
 (V  VC ) g   f Vg
V
3
 (V  ) g   f Vg
2
3
 Vg   f Vg

3
3
kg
kg
 f   10 3 3  1.5  10 3 3
2
2
m
m