mortalita` per generazioni

MORTALITA’ PER GENERAZIONI
Intensità finale = 1

interessa solo il calendario

Per definire il calendario è necessario determinare le qx (per età, per
generazione).
Come reperire i dati?
Seguire una generazione richiede 100-120 anni (fecondità 35)
 Seguire una G per certi intervalli di tempo (sotto l’ipo che nessun
individuo sfugga all’osservazione per effetto dei rischi competitivi)
 Per mortalità infantile: indagini retrospettive, interrogate le donne
(sottostima)
 Per tutta la popolazione: statistiche dei registri di popolazione/stato
civile (funzionanti da almeno 1 secolo)
Costruzione di una serie di probabilità di morte
partendo da un’indagine retrospettiva
q x 
per generaz.
Ex. DHS (Demographic and health survey, Egitto 1992)
Campione di donne. Informazioni utili:
1. anno di nascita dei bambini: generazione G
2. ammontare dei decessi per età e generazione
 popolazione chiusa alle migrazioni
Dx
q

Probabilità di morte annuale all’età x: x N  D
( 0, x )
Limite: si considera una parte molto ridotta della vita delle G considerate.
1
Costruzione di una serie di probabilità di morte
partendo dalle statistiche correnti
q x 
per generaz.
1. Assenza di migrazioni
1
q0 
Dit ,t 10,1
Nt
Di1, 2 
1 q1 
N ì  D0i ,1
Generalizzando:
1
qx 
Dix , x 1
x
N D
ì

i
x 1, x
Dix , x 1
N ì  D0i , x
1
2. Presenza di migrazioni
I decessi di immigrati sono inclusi in Dx, esclusi quelli di emigrati.
 introdurre una correzione.
Sia
M xi , x 1 = saldo migratorio netto (Ii – Ei)
Bisogna togliere dai decessi quelli degli immigrati netti.
Introduciamo 2 ipotesi:
1. mortalità dei migranti = mortalità dell’intera popolazione  stessi qx
2. ingressi e uscite avvengono a metà periodo
2
Di0,1  0,5 M 0i ,1 1q0
Di0,1
 i
1 q0 
i
N
N  0,5 M 0i ,1
E in generale:
Dix , x 1
1 qx 
N i  D0i , x  M 0i , x  0,5 M ix , x 1


3. Calcolo in assenza di dati sulle migrazioni
 Stima del saldo migratorio netto partendo dalle informazioni circa la
popolazione al 1/1/t di ogni anno.
Dix, x 1
1 qx 
Pt i, x, x 1  Dti, x, x 1  M ti, ( x, x 1)  0,5 M ix , x 1
Introduciamo una 3° ipotesi: il numero degli immigrati netti di una
generazione ad una data età si ripartisce uniformemente fra i due triangoli.
M ti, x, x1  0,5M ix, x1


Dix, x 1
Dix, x 1

1 qx 
Pt i, x , x 1  Dti, x, x 1  0,5M (ix , x 1)  0,5 M ix, x 1 Pt i, x, x 1  Dti,  x, x 1

disponendo delle serie D x  e Px  si può aggirare il problema
delle migrazioni.
3
Altri approcci per il calcolo di qx
Probabilità prospettive (corrispondono ad un tasso di tipo 2)
Dti, x, x  2 
qx 
0,5 Pix , x 1  Pix 1, x  2   0,5Dti, x , x  2 


La qx prospettiva differisce da quella classica poiché la prima è centrata su
x+1 anni esatti, mentre la seconda è centrata su x+0,5 anni.
Relazione tra tasso e probabilità
La differenza tra tassi e probabilità aumenta all’aumentare del rischio e
quindi non si possono utilizzare indifferentemente. Il rapporto tra tasso e
prob. aumenta al crescere del tasso.
Dai qx alla tavola
Supponendo sia nota la serie q x  possiamo costruire una tavola di
mortalità con l’obiettivo di descrivere il calendario della mortalità fino
all’estinzione della generazione oltre alla cadenza media.
Fissato un ammontare annuale S0
 d0,1 = S0 1q0
d-1,  = S-1 1q-1
S1 = S0 – d0,1
d1,2 = S1 1q1
S = S-1 - d-1,  = =
Non bisogna confondere la tavola con la realtà: l’unica cosa “vera” della
tavola è la serie delle probabilità (calcolate in modi diversi) le alter sono
misure derivate.
In casi particolari (P chiusa) si può far intervenire i decessi reali
rapportandoli ad una potenza di 10.
4
La serie dei decessi della tavola fornisce la ripartizione degli individui che
compongono la generazione in funzione della loro età alla morte 
calendario dei decessi  si può pervenire ad una misura sintetica della
cadenza:
DURATA MEDIA DI VITA O e0 (con ipotesi di distribuzione uniforme
dei decessi)
 1
e0 
 x  0,5d 
0
 1
 d  x, x1

x , x 1
 0,5 
S
x
1
S0
0
La speranza di vita può essere calcolata per qualsiasi età.
Quando si arriva ad età molto avanzate si dovrà usare un altro metodo
poiché solitamente i dati sono poco attendibili, ma soprattutto ciò vale
quando si tratta di una generazione reale e l’ultimo decesso può giungere
anche molto tempo dopo il penultimo. Dovremo stimare ek con k età
relativa alla chiusura della tavola.
Spesso ek è il risultato di un’estrapolazione oltre l’età k dei rischi di morte.
DAL DISCRETO AL CONTINUO: L’ENTRATA CON LA FORZA
DI MORTALITA’
Le funzioni della tavola di mortalità presentate fino ad ora nel discreto
possono essere trattate anche nel continuo. In tal caso è necessario
introdurre il “numero di anni vissuti” in un intervallo d’età.
Introducendo l’ipotesi di uniforme distribuzione dei decessi tra 2
compleanni:
1 Lx 
S x  S x 1
2
5
= numero di persone-anno esposte al rischio di morire a quell’età nella
generazione
O
= numero di persone della generazione che raggiunge l’età in anni
compiuti al 1/1, all’x-esimo anno dopo la nascita
 il tasso di mortalità all’età x della tavola è:
1
mx 
d  x , x 1
1
Lx
Passare dal discreto al continuo vuol dire domandarsi che cosa diviene il
tasso di mortalità della tavola in un intervallo di età infinitesimale.
 è necessario definire nel continuo la somma degli anni vissuti
nell’intervallo d’età (x, x+1).
Se: Sada = tempo vissuto dalla generazione tra a e a+da
x 1

1
Lx 
 Sada
x
Qs. integrale misura l’area che si trova tra la curva degli Sx e le rette a=x e
a=x+1.
Introduciamo la FORZA DI MORTALITA’ (  x ) cioè il valore lim del
tasso di mortalità
 x lim n m x  lim
n 0
n 0
dx
S S
S x
 ln S x
 lim xx n x  n   x

n 0
Sx
x
n Lx
Sada

n
x
6
TASSO ISTANTANEO DI MORTALITA’ PER ETA’
Qs. tasso può essere visto come una sorte di media di tutti i tassi istantanei
dell’intervallo d’età.
 il tasso della tavola (tasso centrale) è una buona stima della forza di
mortalità a metà intervallo:
 x  0,5  1 m x
Pollard (1973) ha dimostrato che anche 1 m x (calcolo con dati osservati)
è una buona stima della forza di mortalità.
Relazione tra forza di mortalità e probabilità di morte nel discreto
1
q x  1  exp   x 0,5 
Poiché:
1
 x0,5   ln 11 q x 
 x0,5 1 mx
qx  1  exp 1 mx 
1
mx   ln 11 q x 
Quando si lavora su classi d’età annuali si possono usare indifferentemente
tasso, probabilità o forza di mortalità e indipendentemente dalla lunghezza
dell’intervallo quando è nota una di queste misure, qs. equazioni
consentono di calcolare le altre due.
7
IL PROBLEMA DELLE ETA’ ELEVATE E LA CHIUSURA DELLA
TAVOLA
Alle età elevate il calcolo delle probabilità di morte si scontra con due
problemi che portano spesso a interrompere la costruzione della tavola ad
una certa età e ad assegnare arbitrariamente a questa età una speranza di
vita il più possibile plausibile per poter chiudere la tavola.
Problemi:
1. i dati empirici alle età molto avanzate sono spesso di qualità
mediocre (età dei “grandi vecchi” soggette ad errori di dichiarazione,
soprattutto nei paesi con carenza/assenza di registri di popolazione).
Questi errori rompono la coerenza tra numeratore e denominatore.
2. Più l’ammontare della generazione si riduce all’aumentare dell’età
più il numero di osservazioni utilizzate per il calcolo delle probabilità
è ridotto. Si può giungere ad età elevate in cui l’ammontare è molto
piccolo  la probabilità perde significato. Fenomeno che si presenta
prima per gli uomini.
Soluzione al primo tipo di problema:
METODO DELLE GENERAZIONI ESTINTE
Fonte dei dati: stato civile.
In assenza di migrazioni, sarebbe sufficiente partire dalle nascite di una
generazione e rilevare, d’età in età, i decessi registrati per costruire la
tavola di mortalità senza alcun riferimento ai dati di popolazione ma,
metodo totalmente inapplicabile per una popolazione sottoposta a
movimenti migratori.
 metodo delle generazioni estinte: poggia sull’idea che ciò che non si
può fare partendo dalle nascite è, al contrario, possibile se si parte dai
decessi che si verificano dopo una certa età. Si può pensare che alle grandi
età, a livello nazionale, le migrazioni siano tanto irrilevanti da divenire
marginali in rapporto alla mortalità che, al contrario, è molto elevata.
8
Si può, allora, partendo dal decesso dell’ultimo sopravvivente della
generazione , determinare , cumulando successivamente i decessi osservati
alle età precedenti, il numero di sopravviventi ad ogni età x:
 1
S x   d x , x 1
x
 i sopravviventi e i decessi sono per ipotesi esattamente quelli della
tavola di mortalità ricercata, ma così definita la tavola di mortalità ha una
radice INDETERMINATA.
 raccordare qs. parte finale di tavola con ql. calcolata in modo classico
per le età precedenti: bisogna riportare l’ammontare totale della serie dei
morti così definito all’ammontare dei sopravviventi all’età in cui si ferma
il calcolo classico; bisogna cioè passare alle probabilità, completando la
serie delle prob. classiche con ql. calcolate alle grandi età con il metodo
delle generazioni estinti:
qx 
d  x , x 1
Sx
 completare la tavola con qs. prob. applicate agli Sx che
provengono dalla tavola classica.
Per il problema dei piccoli numeri: METODI DI ESTRAPOLAZIONE,
introducendo diverse ipotesi di andamento della mortalità
Gompertz. Ipotesi: la forza di mortalità segue una funzione esponenziale
con l’età
 x  Bc x
(B,c costanti)
Vantaggi:
1. non necessaria alcuna ipotesi sull’età limite
2. la crescita esponenziale è il riflesso del processo degenerativo
dell’organismo umano
9
Possono, però, esserci cause indipendenti dall’età  modifica
 x  A  Bc x
A = parametro che rappresenta il rischio di morte per cause indipendenti
da x.
Tuttavia, alcuni demografi (Kannisto, 1994) hanno messo in evidenza
che il ritmo di crescita della forza di mortalità diminuisce alle età più
elevate cioè cessa di seguire il modello di Gompertz (verso una
logistica)
Possibili motivi:
1. diversa vulnerabilità esistente tra individui di una stessa età  i più
fragili eliminati più in fretta  sopravvissuti hanno rischi minori
2. maggiori vantaggi per gli individui più robusti derivanti dai progressi
medico-sanitari
10
TAVOLE DI MORTALITA’ DEL MOMENTO (TAVMM)
La TAVMM attribuisce ad una coorte fittizia i rischi di morte osservati
in un dato momento e può essere costruita solamente partendo dalla
misura di qs. rischi.
Il solo caso in cui si potrebbe costruire una tavola considerando i
decessi osservati a ciascuna età come decessi della tavola stessa è quello
della POP. STAZIONARIA (stessa mortalità x età per tutte le
generazioni – generazioni costituite dallo stesso numero di nascite e
nessun flusso migratorio)  condizioni mai rispettate simultaneamente
in una popolazione reale.
 si considerano i decessi per età, osservati in un dato momento
 diverse misure di rischio che possono essere utilizzate per costruire
la TAVMM (tasso, probabilità prospettiva, prob. classica)
1. UTILIZZO DEI TASSI  stime delle corrispondenti prob. di morte
Vantaggio: dati disponibili in forma adeguata. Le probabilità sono delle
approssimazioni fatte sulla base di un’ipotesi di uniforme distribuzione
dei decessi nei due triangoli di Lexis.
Non accettabile quando:
a. le generazioni passanti per lo stesso quadrato di Lexis sono nate in
un periodo in cui la natalità subisce brusche variazioni
b. per le età in cui la mortalità varia fortemente all’interno
dell’intervallo annuale (ex. Mortalità infantile e nelle età senili)
2. UTILIZZO DELLE PROBABILITA’ PROSPETTIVE
Inconveniente: prob. che misura non la mortalità tra due compleanni ma
tra due età compiute.  prob. tra compleanni tramite
INTERPOLAZIONE tra due valori successivi.
11
3. UTILIZZO DELLE PROBABILITA’ CLASSICHE TRA 2
COMPLEANNI
Per includere in qs. misura tutta la mortalità dell’anno studiato si
possono calcolare le qx su un periodo di 3 anni centrati sull’anno
studiato. Così facendo l’inconveniente è che si opera una
compensazione parziale tra i livelli di mortalità dei 3 anni, attenuando
fluttazioni che forse sarebbe stato interessante studiare.
Qualsiasi sia il metodo utilizzato per la determinazione delle prob. di
morte della tavola le procedure per la determinazione delle restanti
funzioni biometriche sono identiche alle precedenti.
Bisogna risolvere solo il problema della chiusura delle tavole:
 Scelta arbitraria di ek all’età k
 Metodo delle generazioni estinte (in qs. caso si dovranno stimare
le probabilità in longitudinale cambiarle, quindi, in trasversale
considerando solo ql. che si riferiscono all’anno calendario
studiato. Ciò significa andare indietro nel tempo, in rapporto
all’anno in esame, in misura tanto maggiore qt. più la stima
riguarda le prob. per età lontane dall’età limite considerata)
 Estrapolazione
+ due metodi tipici delle TAVMM
 Metodo Greville (1943)
Si utilizza la relazione tra tasso di mortalità e speranza di vita di una
popolazione stazionaria:
1
e0 
m
ex 
per x  0 
1
m x, x  
E’ sufficiente calcolare il tasso di mortalità per l’ultima classe di età
della vita (x, x+) utilizzando le statistiche dei decessi e della pop.
dell’anno studiato.
12
 Metodo Coale, Caselli (1990)
Attraverso le statistiche di stato civile si conoscono i decessi
 si ricostruiscono, per le età avanzate, le pop. sull’osservazione dei
decessi (come con il metodo delle generazioni estinte)
Quindi, ammettendo che la popolazione ad età avanzata sia chiusa
(senza migrazioni)  il rapporto tra l’ammontare di popolazione ad una
certa età x e quello all’età seguente, x+1, dipende sia dalla mortalità sia
dall’incremento a quell’età (se la popolazione è chiusa il tasso
d’incremento si stima attraverso il tasso d’incremento dei decessi di età
x)
 r 
Px  Px 1 exp  1 rx 1 Dx exp  1 x 
 2 
13
MORTALITA’ INFANTILE
Misura più diffusa:
minf 
D0,1
Rapporto tra i decessi di individui con meno di 1
N
anno osservati nel corso di un anno calendario e le nascite dello stesso
anno.
minf <m0
Altra misura:
m' inf 
D0i ,1
Ni

D0i ,11
N i 1
Per ottenere m’i cioè una vera probabilità di morte (a meno delle
migrazioni) bisogna disporre della classificazione dei decessi con meno
di un anno osservati nell’anno calendario per generazione e ciò è
raramente possibile.
 ponderazione del tasso minf per mezzo
delle nascite riferendosi ad una ripartizione standard dei decessi tra i
due triangoli (ex. Ad un livello di mortalità infantile tra 100-150 per
mille qs rapporto è tra 2/3 e 1/3.
Mortalità infantile endogena ed esogena
Si possono classificare i decessi di bambini nel primo anno di vita in 2
categorie:
- ENDOGENA: decessi dovuti a tare ereditarie,
malformazioni congenite o conseguenti a traumi causati dal
parto  decessi che seguono abbastanza da vicino il
momento della nascita
- ESOGENA: decessi legati a pericoli esterni (infezioni,
incidenti ecc.) e si ripartiscono lungo tutto l’anno.
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La mortalità esogena diminuisce più facilmente per effetto di
un’estensione della prevenzione e delle cure  PSA mortalità residua è
pressoché esclusivamente di origine endogena.
La separazione dei decessi del primo anno di vita in decessi di natura
endogena ed esogena presuppone la presenza di statistiche per causa di
morte  sovente non disponibili
 PROCEDIMENTO di BOURGEOIS – PICHAT (necessario conoscere
solo i decessi distinti per età)
B.-P. ha osservato che i decessi esogeni del primo anno si ripartiscono
(secondo le età) in modo piuttosto indipendente dal livello di mortalità
 proposta una scala particolare delle età così da poter rappresentare
graficamente il fenomeno in maniera molto pratica.
 procedimento grafico
15
DIFFERENZE DI GENERE NELLA SOPRAVVIVENZA (PSA)
Obiettivo: far emergere cause ed età responsabili delle differenze della
mortalità per genere  il rapporto tra tassi maschili e femminili fornisce
un quadro parziale: la supermortalità maschile nei PSA raggiunge i valori
+ elevati per cause di morte accidentali nelle classi di età giovanili, in qs
età, però, la mortalità è molto bassa  modesto impatto sullo scarto tra le
durate medie di vita di uomini e donne.
 scomposizione delle differenze di speranza di vita nei contributi
forniti dalle età e dalle cause di morte (Arriaga, 1984, 1989): con tale
metodo si ottiene il contributo di una data classe di età alle variazioni
tra due speranze di vita alla nascita (ex. Uomini e donne)
M
Sx


n x
M
S0
 Fn Lx Mn Lx  FTx  n  M S x M S x  n 

  F  M   M  F  F
S0 
S0  S x
Sxn 
 S0
Per la classe finale:
 FTx M Tx 
  F  M 
Sx 
 Sx
M
Sx


 x
F
Sx
Il metodo è additivo e, quindi, sommando tutti i contributi si ha la
differenza totale tra le due speranze di vita:
F
e0  M e 0   n  x
x
Il contributo di ciascuna classe d’età alle differenze di sopravvivenza può
essere ulteriormente scomposto nel contributo di ciascuna delle i cause di
morte.
16