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Conservazione dell’Energia
Enrico Pieroni [email protected]
(clicca sopra il nome per leggere il cv)
e …….
Indice dei contenuti
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Il volo di Pallina
Energia cinetica
Urti elastici ed anelastici
Lavoro
Energia cinetica
Energia potenziale gravitazionale
Caduta di un grave ed energia meccanica
Energia potenziale elastica
Forze conservative e non conservative
Attrito viscoso
Esperimenti virtuale: la caduta dei gravi
Pallina, che energia!
Che possiamo dire sul “volo” di Pallina?
Massima flessione,
Pallina comincia a
schizzare verso
l’alto
L’asta si
fissa
Pallina arriva alla
massima altezza e
comincia la discesa
Pallina arriva
a terra!
Velocità
Altezza
Compressione
dell’asta
tempo
Energia
• Cinetica: legata al movimento
– Tipicamente legata alla velocità
• Potenziale: legata alla posizione
– Altezza di una massa
– Compressione di una molla
– Distanza da un pianeta
L’energia può assumere tante forme, ciascuna
delle quali può trasformarsi nelle altre, la cosa
più importante è che la somma di tutte rimane
spesso costante, anche dopo tutte le
trasformazioni possibili fatte dalla Natura!
Energia cinetica
EC=½mv2
Si misura in kg X (m/s)2 = kg m2/s2 = J (joule)
Energia cinetica totale:
EC = ½m1v12 + ½m2v22 + …
“Visualizziamo” 1 Joule
• Quale è la velocità di un libro di 1 kg che
ti casca in testa dalla libreria
dall’altezza di 1 m?
• v = √(2gz0) ≈ √(2x10m/s2x1m) = √20 m/s ≈ 4.5 m/s
• Quale è l’energia cinetica del libro al
momento dell’impatto con la tua testa?
• EC = ½ mv2 ≈ ½ 1 kg (4.5 m/s)2 ≈ 10 kg m2/s2 ≈ 10 J
• Dunque il libro ti arriva in testa con una energia
cinetica di circa 10 J! Se fosse caduto da 1/10 m
avrebbe avuto circa l’energia di 1 J!
Incidenti stradali? .. Meglio “urti” in Laboratorio!
m1
v2
v1
w1
m2
w2
Se si conserva l’energia cinetica l’urto è detto elastico:
1
1
1
1
2
2
2
2
EC  m1v1  m2v2  m1w1  m2 w2
2
2
2
2
Prima dell’urto: v1, v2
Dopo l’urto: w1, w2
Valutiamo le velocità dopo l’urto elastico
La conservazione dell’energia è una equazione sola, mentre le incognite sono le
velocità dopo l’urto, w1 e w2, e sono due. Pertanto non abbiamo abbastanza
informazioni per calcolare w1, w2.
 Conservazione della quantità di moto!
P  m1v1  m2v2  m1w1  m2 w2
Adesso possiamo risolvere il sistema di due
equazioni con due incognite, oppure
cercare una soluzione geometrica. Se
sostituiamo per semplicità le incognite
w1, w2 con x, y definite come segue:
w1 
x
m1
w2 
y
m2
y
P/√m2
e R  2 EC
P/√m1
R
x
Sostituendo w1, w2

 m1 x  m2 y  P
nella
 2
2
2
conservazione

x

y

R

dell’energia e
della quantità
Intersezione di un cerchio di raggio R con una retta, facilmente
di moto, si
risolvibile geometricamente su carta millimetrata
ottiene:
Elastico o anelastico?
m1
m2
v1
w2
Immagina la situazione di un urto su una pallina ferma (v1, v2=0), poi la prima si
ferma e la seconda riparte (w1=0, w2). L’energia cinetica si conserva?
Sicuramente si conserva la quantità di
moto, che si conserva sempre
P  m1v1  m2 w2  w2 
m1
v1
m2
Se adesso valuti la differenza dell’energia cinetica prima e dopo l’urto ottieni zero solo se le masse
delle due palline sono uguali. Quindi l’energia cinetica si conserva per masse uguali (urto
elastico) e non si conserva per masse diverse (in questo caso l’urto è detto anelastico)!
2
1
1
1
1  m1 
2
2
2
EC  m1v1  m2 w2  m1v1  m2  v1  
2
2
2
2  m2 
 0 se m1  m2
1
1 m12 2  m1  1
m2  m1 1
2
2
2
 m1v1 
 m1v1  m2 2 v1  1 
m1v1  
2
2 m2
m2 2
 0 altrimenti
 m2  2
m1
Urto anelastico
v1
m2
w
Immagina la situazione di un urto su una pallina ferma (v1, v2=0), poi le
palline proseguono assieme (w). L’energia cinetica si conserva?
Sicuramente si conserva la quantità di
moto, che si conserva sempre
P  m1v1  m1  m2 w  w 
(1 equazione ed 1 incognita: ricavo w solo dalla conservazione della q.m.!)
Se adesso valuti la differenza
dell’energia cinetica prima
e dopo l’urto ottieni
SEMPRE una quantità
diversa da zero: quindi
l’energia cinetica non si
conserva! L’urto è detto
anelastico.
m1v1
m1  m2
2
 m1v1 
1
1
1
1
2
2
 
EC  m1v1  (m1  m2 ) w2  m1v1  (m1  m2 )
2
2
2
2
m

m
2 
 1

1
1 m12
m1  1
m2 1
2
2
2
 m1v12 
 m1v1 
m1v1  1 
m1v1  0
2
2 m1  m2
m1  m2 2
 m1  m2  2
Lavoro e Forza
F
s
in N X m = kg X m /s2 X m = kg m2/s2 = Joule:
L = F X s Si misura
la stessa unità di misura dell’energia cinetica!
= 0 se i due vettori sono ortogonali
L=F•s=
= |F| |s| valore massimo
se i due vettori sono paralleli
(come nell’esempio in alto)
= -|F| |s| valore minimo
se i due vettori sono antiparalleli
F
F•s
s
Prodotto scalare:
proiezione ortogonale
di F su s, o di s su F
|v| = modulo del vettore =
“lunghezza”
Lavoro ed Energia Cinetica
F
s
Nel caso in cui la forza e dunque l’accelerazione
cambino durante il percorso, possiamo
dividere l’intero tragitto in tanti pezzettini
ed immaginare che in ogni piccolo spazio la
forza sia quasi costante, e fare il conto per
ciascuno intervallino:
v v fin  vin
1

2
L  Fs  ma  a t   vint  ricordando che a 

si ha :
2

t

t


v  v 1 v  v
v  v 1


2
L  m fin in  fin in t   vint   m fin in  v fin  vin t  vint  
t  2 t
t  2


v  v 1
1
1

 m fin in  v fin  vin   vin  t  mv fin  vin  v fin  vin   m v 2 fin  v 2in   EC , fin  EC ,in
t  2
2
2

Il lavoro fatto per spostare una massa m
per un tratto s è pari alla variazione
dell’energia cinetica (Teorema delle
forze vive)
Avendo indicato:



vfin, vin: le velocità finali e iniziali nell’intervallo s
t: il tempo impiegato per percorrere lo spazio s
EC,fin, EC,in: l’energia cinetica finali e iniziale nell’intervallo s
a  ba  b  a 2  b2

aa  ab  ba  bb
Lavoro ed Energia Cinetica (2)
F
s
Il risultato vista prima vale rigorosamente
solo in un piccolo intervallo s, dove
possiamo approssimare la forza come
quasi costante. Però dividendo
l’intervallo [0,T] in tanti intervallini
[0,t], [t,2t], …, [T-t,T], ed
applicando il teorema delle forze vive
in ciascuno, si ottiene:
L0,t   Lt , 2 t   L2 t ,3t     LT t ,T  
 EC ( t )  EC (0)  EC ( 2t )  EC ( t )  EC (3t )  EC (2t )    EC (T )  EC (T  t ) 
 EC (T )  EC (0)
Teorema delle forze vive:
Il lavoro fatto per
spostare una massa m per un tratto qualsiasi, anche in
presenza di forza non costante, è pari alla variazione
dell’energia cinetica!
Potenza
Potenza = Lavoro eseguito per unità di tempo:
 
L Fs  
P

 F v
t
t
L’unità di misura è il J/s (o N m / s) definito Watt.
A parità di lavoro, (ad esempio a parità di forza applicata e spostamento
prodotto), si ha che una macchina è più potente quanto rapidamente esegue
il lavoro: P1/P2 = t2/t1
Esempio: una sollevatrice pesi che solleva i pesi nella metà del tempo di un
sollevatore, avrà una potenza doppia!
Conservazione dell’energia cinetica, alla
luce del teorema delle forze vive
Se le forze sono nulle (F=0), oppure agiscono per un tempo
nel quale il sistema ha uno spostamento nullo (s=0),
oppure sono perpendicolari allo spostamento (L=0), si ha
che il lavoro fatto è nullo. Pertanto, dal teorema delle
forze vive, la variazione di energia cinetica è anch’essa
nulla, ossia: l’energia cinetica finale eguaglia quella
iniziale. In altri termini: l’energia cinetica si conserva!
L  EC , fin  EC ,in  0  EC , fin  EC ,in
Ecco spiegata la magia della conservazione
dell’energia cinetica negli urti elastici
Energia potenziale gravitazionale
Applichiamo il teorema delle forze vive ad una massa m che si sposta
sotto l’effetto della sola forza peso (che è costante): lo
spostamento è pari alla differenza di altezza, s=zfin-zin, e la forza
peso F=-mg:
z
L  Fs  mg ( z fin  zin )  EC , fin  EC ,in
Portando a sinistra le quantità con indice fin ed a destra quelle
con indice in, si trova:
z=zin
-mg
EC , fin  mgz fin  EC ,in  mgzin
Definendo l’Energia Meccanica:
1 2
E  EC  mgz  mv  mgz
2
Possiamo rileggere il teorema delle forze vive come
la conservazione dell’energia meccanica!
E fin  Ein
U = mgz
z=zfin
è detta Energia Potenziale gravitazionale
Caduta di un grave (1)
E = ½mv2 + mgz
Applichiamo la conservazione dell’energia meccanica
al moto fra I ( z=z0, v0=0) all’atterraggio in A
(z=0 e v = massima velocità = vA, sconosciuta):
E = mgz0= ½mvA2  vA=-√(2gz0)
Verifichiamo la correttezza, facendo il calcolo esplicito
utilizzando le leggi della caduta dei gravi:
z
z=z0
I
v0
tA=√(2z0/g)
vA=-gtA=-g√(2z0/g)=-√(2z0g2/g)=-√(2z0g)
Il risultato ottenuto prima è corretto, ed è stato
ottenuto anche molto più velocemente!
A
Nel caso generale in cui
v0 sia diverso da 0: E = ½mv02+mgz0= ½mvA2 vA=√(v02+2gz0)
z=0
Trasformazione dell’energia:
potenziale  cinetica
Energie in Joule (J)
• Utilizzando le leggi del moto di un
grave, possiamo scrivere la forma
dell’energia potenziale e di quella
cinetica al variare del tempo:
E = EC + U
EC = ½mv2 = ½m (gt)2
U = mgz = mg(z0- ½gt2)
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
0.40
0.45
Tempo (s)
0.50
• Si vede che all’inizio (t=0) l’energia cinetica è nulla e l’energia
potenziale massima, poi l’energia potenziale diminuisce (il corpo
diminuisce di altezza) e nel contempo l’energia cinetica aumenta (la
velocità aumenta). All’arrivo al suolo l’energia potenziale è nulla e la
cinetica massima. La loro somma però rimane costante ad ogni istante:
l’energia potenziale iniziale si trasforma in energia cinetica.
Caduta di un grave (2)
z
z=z
M: v=0
v0
Il punto di massima altezza è caratterizzato da v=0:
I
0
E = EC + U
EC = ½mv2 = ½m (gt)2 U = mgz = mg(z0- ½gt2)
E=½mv02+mgz0=mgzM zM=z0+v02/(2g)
12
E (J)
z=0
A
Al rientro in I l’energia potenziale è la
stessa che a t=0, e dunque anche
l’energia cinetica deve essere la
stessa: questo significa che la velocità
è la stessa in ma cambiata di segno:
v=-v0
10
8
6
4
2
00
I
M
I
A
-2
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
t (s)
0.6
Molla ed energia potenziale elastica
Come per la forza peso, anche per la
molla possiamo definire una energia
potenziale elastica:
U = ½kx2
Molla a riposo
(equilibrio)
x=0
In modo tale che l’energia meccanica
rimanga costante durante il moto
della molla:
x
x
Molla allungata
E = EC+U = ½mv2 + ½kx2
Ad esempio, se applichiamo la conservazione dell’energia
meccanica fra il punto di massima estensione (x=A, v=0)
e quello centrale (x=0, v=vo), otteniamo:
½kA2 = ½ mvo2  vo = A √(k/m)
Grafico dell’energia elastica
durante il moto
E = EC + U
EC = ½mv2
U = ½kx2
Si noti che il periodo dell’energia è
la metà di quello del moto: il
motivo è che, ad esempio,
quando la massa si trova agli
estremi, x=±A, la posizione ed
anche la velocità hanno segni
opposti, mentre (a causa dei
quadrati) l’energia cinetica e
l’energia potenziale sono le
stesse!
1 .0
0 .8
0 .6
0 .4
0 .2
0 .0
-0 .2
-0 .4
-0 .6
-0 .8
-1 .0
0
1
2
3
4
5
6
7
E (J)
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
0
1
2
3
4
5
Tenergia
6
7
t (s)
Tmoto
Cannone a molla
E = ½mv2 + ½kx2
• All’istante iniziale, molla compressa di una quantità l e massa
ferma:
•
x=l, v=0.
• Alla fine: molla a riposo nella posizione di equilibrio e velocità
costante della pallina:
•
x=0, v
• Applicando la conservando l’energia meccanica:
•
½k(l)2 = ½mv2
• Da cui si ricava
•
v=l√(k/m)
Energia potenziale elastica
Applichiamo il teorema delle forze vive al caso di una massa m soggetta alla forza
elastica di una molla (F=-kx). Consideriamo un intervallo di tempo t nel quale la pallina
si è spostata di x, da xin ad xfin. La forza non è costante, ma varia poco essendo l’intervallo
piccolino, e possiamo prendere il valore medio agli estremi dell’intervallo:
Pertanto:
F
Fin  Ffin
2
 k
xin  x fin
2
1
k 2
L  Fs  k x fin  xin x fin  xin    x fin  xin2 
2
2
Utilizzando il teorema delle forze vive:
1
1
1
1
1
1
L   k x 2fin  xin2   EC  mv 2fin  vin2   kx2fin  mv2fin  kxin2  mvin2
2
2
2
2
2
2
Come fatto per la forza peso, possiamo ora definire una energia meccanica, che
include il termine potenziale elastico 1/2kx2. Abbiamo così dimostrato che
l’energia meccanica rimane costante in tutte le trasformazioni subite dal
sistema massa-molla durante il moto:
1 2 1 2
E  kx  mv
2
2
Ein  E fin
Forze conservative ed energia meccanica (1)
Forze conservative: il lavoro non dipende dal percorso fatto
dal sistema fisico, ma solo dalla posizione iniziale e finale
Pfin
Consideriamo una forza con potenziale associato U(P).
In tal caso, come abbiamo visto per la forza peso e
quella elastica, il lavoro fatto è dato da:
L  Fs  U fin  U in 
Pertanto NON dipende dal tragitto ma solo dalle
posizioni iniziali e finali.
Dunque: tutte le forze con un potenziale associato sono
forze conservative!
Pin
Applicando il teorema delle forze vive possiamo verificare che
l’energia meccanica si conserva:
L  U fin  U in   EC , fin  EC ,in  U fin  EC , fin  U in  EC ,in
Forze conservative ed energia meccanica (2)
Vediamo se vale anche il contrario: data una forza conservativa vediamo se è
possibile associargli una energia potenziale. Se una forza è conservativa, il
lavoro fatto dipende solo dalle posizioni iniziale P e finale Q, ossia esiste una
funzione f tale che: L  f P, Q
Nel tragitto dal punto P al punto Q la


forza che agisce è la stessa che si ha nel tragitto dal punto Q al punto P, l’unica
cosa che cambia è il segno dello spostamento,
f ( P, Q )   f (Q, P )
pertanto il lavoro cambia segno:
Q
P
R
Inoltre potrei andare direttamente da P a Q, oppure attraverso
un punto intermedio R ed il lavoro non cambia:
L  f P, Q  f P, R  f R, Q
Indichiamo con U(P) il lavoro fatto per portare la massa da una
posizione un punto P ad una posizione
U ( P)  f P, 
infinitamente lontana:


In tal caso, sfruttando tutto quanto detto, possiamo valutare il lavoro:
L  f P, Q  f P,   f , Q  f P,   f Q,   U P  U Q
Pertanto U(P) rappresenta proprio l’energia potenziale associata alla forza
conservativa. Abbiamo così dimostrato che ogni forza conservativa ha una
energia potenziale associata.
Forze non conservative
Forze non conservative: il lavoro dipende dal percorso fatto
dal sistema fisico
Un tipico esempio sono le forze di attrito, o dissipative:
Nel caso (a) molta più energia che
nel caso (b) è andata dispersa
(a)
nel calore grazie all’attrito fra
massa e piano! Quindi il lavoro
fatto nelle due situazioni è
(b)
completamente diverso! Come
ben sappiamo dalla vita reale!
NB: il teorema delle forze vive vale sempre, solo che adesso occorre
specificare la traiettoria per calcolare il lavoro e non possiamo
definire una funzione potenziale, né quindi una energia conservata
Caduta in un fluido viscoso
• Questo è un esempio difficile ma interessante. Nel caso di un
corpo che cada in un fluido reale (aria, acqua, olio, miele) e non
in assenza di atmosfera (come sulla Luna), si verifica una forza
di resistenza al moto che esprime la resistenza dl fluido ad
“aprire un varco” per il passaggio del corpo.
• Questo attrito produce come al solito in agitazione termica (con
emissione di calore) del fluido vicino alla traiettoria.
• Come abbiamo visto, la velocità aumenta sino ad una velocità
limite, che rimane costante sino all’impatto col suolo. In tal
modo l’energia cinetica rimane costante mentre l’energia
potenziale diminuisce. Così la loro somma, ossia l’energia
meccanica, non può rimanere conservata!
Le stesse cose che abbiamo detto in forma di equazioni
Lavoro nel caso di forza viscosa F = -bv
F  Fa  Fg
con Fa  bv e Fg  mg
z
2m 2
2b
2
La  Fa z  bv  z  bv  t  bv t  b
v t   EC t
t
m 2
m
Lg  Fg z  mgz   U
L  La  Lg  EC  La  E
E  
dove E  EC  U
2b
EC t  0  E diminuisce sempre all' aumentare di t
m
Esperimento virtuale: la caduta dei gravi
•
•
•
1)
osserviamo il fenomeno fisico nell’intervallo di tempo
da t=0 a t=toss,
dividiamo l’intervallo in tante parti piccole di
larghezza t: [0, t), [t, 2t), [2t, 3t), …
In ogni intervallino applichiamo la definizione
discreta di accelerazione e velocità come variazione
rispettivamente della velocità e dello spazio diviso
per l’intervallo di tempo t, e da qui cerchiamo di
ricostruire nel tempo la storia di a, v, z.
a
v
 g
t
2) v   gt
z
3) v  t
t
(s)
z
(m)
a
(m/s2)
v
(m/s)
0
z0=10
-9.8
v0=0
0.005
9.976
-9.8
-0.49
0.01
a(0 s)   g  9.8 m/s 2
v ( t )  v(0)  gt
z (t )  z (t  t )  v (t )t
v(0.05 s)  v(0)  gt  0 m/s  9.8 m/s 2  0.05 s  0.49 m/s
z( t )  z0  v( t )t
z (0.05 s)  10 m  0.49 m/s  0.05 s  9.9755 m
Nota la leggera differenza fra lo “schema alle differenze“per la velocità e quello per la posizione
E  U (t )  EC (t )
U (t )  mgz(t )
EC (t ) 
1
mv(t )2
2
Istante per istante possiamo calcolare l’energia
potenziale e quella cinetica, e la loro somma
(energia meccanica), per valutare se rimane
costante.
Cambiamo le condizioni iniziali
nell’esperimento virtuale …
Prova adesso a vedere cosa succede alle tabelle ed ai grafici modificando i
parametri, ad esempio nel seguente modo:
• cosa succede se ti trovi su Marte dove g=3.7 m/s2? Oppure su Giove
dove g=24.8 m/s2?
• Cosa osservi se anziché da 10 m il tuo grave cade da 5 m? Oppure da 20
m?
• Cosa cambia se dimezzi o raddoppi il t? A parte la variazione del tempo
totale di osservazione, cosa osservi per l’errore numerico su altezza e
velocità?
• Vediamo adesso un esperimento “nuovo”, nel quale il grave parte dal
suolo con velocità iniziale non nulla rivolta verso l’alto, ad esempio di 10
m/s. Prova a modificare i parametri iniziali e guarda che cosa succede
alle tue figure. Il risultato è in accordo con quanto ti aspettavi? Verifica
che il punto di inversione del moto, all’apice, estratto numericamente dai
grafici eguagli quello che ti aspetti teoricamente.
• Cosa cambia nell’esperimento descritto sopra se la velocità iniziale
dimezza o raddoppia?
• Come ultimo esperimento prova a vedere cosa succede per z0=10 m e v0
vale 1m/s ed è rivolta verso il basso oppure z0=10 m e v0 vale 1 m/s ed è
rivolta verso l’alto.
La caduta dei gravi
Condizioni iniziali
velocità
output
posizione
z0 (m):
v0 (m/s):
Parametri
Energie
g (m/s2):
t (s):
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l’interfaccia excel