definizione frequentistica di probabilita

DEFINIZIONE CLASSICA DI
PROBABILITA’
Questa definizione è attribuibile a Laplace.
Dato un Evento E si definisce probabilità il
rapporto tra il numero di casi favorevoli
all’evento ed il numero di casi possibili
nell’ipotesi che tutti i casi siano possibili
p = n/M = numero casi favorevoli / numero casi possibili
la probabilità è sempre compresa tra o e 1 o tra 0 e 100%
0≤p≤1
Se p=0
evento impossibile
Se p=1
evento certo
Se 0 ≤ p ≤ 1
evento casuale
Se per esempio lanciando un dado si vuole calcolare la
probabilità che esca il numero 5:
p = 1(numero casi favorevoli) / 6(numero casi possibili)
DEFINIZIONE FREQUENTISTICA
DI PROBABILITA’
Alcune volte non è possibile calcolare
a priori la probabilità utilizzando la
definizione secondo Laplace
Supponiamo di avere un’urna sigillata
contenente alcune palline colorate rosse
blu nere e verdi
Come si può calcolare la probabilità di
estrarre una pallina di un certo colore?
Bisogna ricorre ad un esperimento cioè
estrarre tante volte una pallina e
calcolare la frequenza per ogni colore
Supponiamo di fare 80 estrazioni e di
ottenere questi risultati:
colore
n.palline
frequenza
Rosso
5
5/80=1/16
Blu
18
18/80=9/40
Nero
22
22/80=11/40
verde
35
35/80=7/16
totale
80
Queste frequenze calcolate sulla base dei
risultati dell’esperimento sono tutti valori
compresi tra 0 e 1
0 ≤ frequenza ≤ 1
Quindi queste frequenze possono essere
considerate delle stime della probabilità
Però per essere precisi ed ottenere un
valore “vero” di probabilità dovrei ripetere
l’esperimento tantissime volte
LEGGE EMPIRICA DEL CASO
Dato un Evento E, sottoposto a n prove
tutte nelle stesse condizioni, il valore della
frequenza tende al valore della probabilità
all’aumentare del numero n di prove
effettuate
Ci sono moltissimi eventi per i quali è
impossibile calcolare la probabilità a priori
utilizzando la definizione di Laplace:
Per questi eventi si usa la definizione
frequentistica di probabilità:
• La probabilità di incidenti automobilistici;
• La probabilità di vita o di morte
• La probabilità di furti
Periodo
anni
1881 - 82
Speranza di vita
M
Riferimento bibliografico
F
35,2
35,6
Gini C. e Galvani, L., Tavole di mortalità della popolazione italiana, Istat, Annali di
Statistica, serie VI, vol. VIII, Roma 1931
1889 – 02
42,6
43,0
Gini C. e Galvani, L.,Tavole di mortalità della popolazione italiana, Istat, Annali di
Statistica, serie VI, vol. VIII, Roma 1931
1910 – 12
46,6
47,3
Gini C. e Galvani, L., Tavole di mortalità della popolazione italiana, Istat, Annali di
Statistica, serie VI, vol. VIII, Roma 1931
1921 – 22
49,3
50,7
Gini C. e Galvani, L., Tavole di mortalità della popolazione italiana, Istat, Annali di
Statistica, serie VI, vol. VIII, Roma 1931
1930 – 32
53,8
56,0
Galvani L., Tavole di mortalità della popolazione italiana, Istat, Annali di Statistica,
Serie VII, vol. 1, Roma 1937
1935 – 37
-
57,5
Mirri A., Tavole di mortalità della popolazione femminile italiana 1935-37, Istat,
Roma 1941
1950 – 53
63,7
67,2
Giusti F., Angeloni R., Tavole di mortalità della popolazione italiana 1950-53 e
1954-57, Istat, Annali di Statistica, serie VIII, vol. 10, Roma 1959
1954 – 57
65,7
70,0
Giusti F., Angeloni R., Tavole di mortalità della popolazione italiana 1950-53 e
1954-57, Istat, Annali di Statistica, serie VIII, vol. 10, Roma 1959
1960 – 62
67,2
72,3
Giusti F., Tavole di mortalità per regioni e cause di morte della popolazione italiana
1960-62, Istat, Annali di Statistica, serie VIII, vol. 19, Roma 1966
1964 – 67
67,9
73,4
Angeloni R., Tavole di nuzialità (1960-62) e tavole di mortalità (1964-67) della
popolazione italiana, Istat, Annali di Statistica, serie VIII, vol. 25, Roma 1971
1970 – 72
68,9
74,9
De Simoni A., Tavole di mortalità della popolazione italiana 1970-72, Istat, Suppl. al
Bollettino Mens. di Statistica n. 6, 1976
IMPOSTAZIONE ASSIOMATICA
DELLA PROBABILITA’
Tale impostazione si basa sulla teoria degli
insiemi
Ad ogni esperimento si può associare un
insieme U detto universo o spazio degli
eventi i cui elementi sono tutti i possibili
risultati dell’esperimento.
Ad esempio, se l’esperimento è il lancio di un
dado, lo spazio degli eventi contiene gli
elementi U={1, 2, 3, 4, 5, 6}.
• Ogni evento può essere visto come un
sottoinsieme dell’insieme U tenendo conto
che P(E) >=0 e P(U) = 1
1
U
3
2
4
5
6
Per esempio l’evento lanciando un dado
esce un numero pari può essere
rappresentato in questo modo
1
U
3
4
5
2.
6
Il calcolo della probabilità dell’evento
può comunque essere calcolato con
la definizione classica di probabilità.
PROBABILITA’ TOTALE O DELLA SOMMA
LOGICA DI EVENTI
Dati due eventi E1 ed E2 si chiama EVENTO
TOTALE O SOMMA quello che si verifica
quando si verifica E1 o E2.
E1
E2
P (E1 U E2 ) = P(E1) + P(E2) – P(E1 ∩ E2)
SE E1 ED E2 SONO INCOMPATIBILI ALLORA
P (E1 U E2 ) = P(E1) + P(E2)
Esempi:
Un’urna contiene 90 numeri da 1 a 90. Calcolare la probabilità che
estraendo un numero:
esca un numero dispari o multiplo di 4
esca un numero dispari o multiplo di 5
Si estrae una carta da un mazzo di 52 carte. Calcolare la probabilità
che la carta sia:
un re o un sette
un re o una carta di picche
un asso o una carta di picche
Un’urna contiene 4 palline gialle, 2 verdi, 7 bianche. Si estraggono
contemporaneamente 2 palline. Calcolare la probabilità che:
siano dello stesso colore
almeno una sia verde.
4. Si lanciano due dadi. Calcolare la probabilità che:
la somma sia sette o il prodotto 12
la somma sia 6 o la somma sia divisibile per 2.
5. In una scatola ci sono 12 dischetti numerati da 1 a 12. Si estrae un
dischetto. Calcolare la probabilità che esca:
un numero pari o un numero maggiore di 7
un numero multiplo di 5 o un numero multiplo di 3.
6. Un’urna contiene 15 palline numerate da 1 a 15. si estraggono
contemporaneamente due palline. Calcolare la probabilità che
escano due numeri pari
escano due numeri dispari
escano due numeri pari o due numeri dispari
escano due numeri dispari o due numeri multipli di 3.
PROBABILITA’ COMPOSTA O DEL
PRODOTTO LOGICO DI EVENTI
Dati due eventi E1 ed E2 si chiama EVENTO
COMPOSTO O PRODOTTO quello che si
verifica quando si verificano E1 e E2.
P(E1 ∩
E2) = P(E1) · P(E2)
SE GLI EVENTI SONO INDIPENDENTI
P(E1 ∩
E2) = P(E1) · P(E2/E1)
PROBABILITA’ DI E2
NELL’IPOTESI CHE E1 SI
SIA VERIFICATO
In un urna sono presenti 5 palline bianche e 4 nere.
Si estraggono contemporaneamente tre palline. Calcolare la probabilità di
avere:
–
tre palline bianche
–
due palline nere e una bianca.
In uno scaffale sono presenti 8 cd di musica classica, 9 cd di musica
rock e 7 cd di musica leggera. Si prendono consecutivamente
due cd dallo scaffale. Calcolare la probabilità che:
–
siano entrambi di musica rock
–
siano il primo di musica classica e il secondo di musica leggera.
–
siano uno di musica classica ed uno di musica leggera
Un’urna contiene 8 palline rosse e 4 gialle.
Si estraggono consecutivamente due palline senza rimettere la prima
pallina estratta nell’ urna. Calcolare la probabilità che esse siano:
•
due palline rosse
•
due palline gialle
•
la prima rossa e la seconda gialla
•
una pallina rossa e l’altra gialla.
Nel portamonete di Luca ci sono 6 monete da 1 euro, 4 monete da
50 centesimi, 5 monete da 20 centesimi. Prendendo tre monete a
caso, uno dopo l’altra (senza reimmissione), calcolare la
probabilità di avere:
tre monete da 50 centesimi
la prima moneta da 1 euro, la seconda e la terza da 20 centesimi
la prima moneta da 1 euro, la seconda da 50 centesimi, la terza da
20 centesimi.