Lezione 24: Modello di Utilita` Attesa

Microeconomia
Corso D
John Hey
Giovedì 15 maggio 2008
• Esercitazione 8 con la Bella Anna.
• Il resto del Capitolo 24.
• Capitolo 25.
• 3 settimane rimangano.
• Dopo il periodo dell’insegnamento e prima degli esami,
vorrei proporre una festa per festeggiare la fine del
corso.
• La settimana del 9 o 16 giugno?
• Organizzatore?
• Comprerò una birra per tutti …
• … con i soldi di Daniele!
Capitoli 23, 24 e 25
• SCELTA IN CONDIZIONI DI RISCHIO
• Capitolo 23: Il vincolo di bilancio.
• Capitolo 24: Il modello di Utilità Attesa.
• Capitolo 25: Scambio nei Mercati
Assicurativi.
• (cf. Capitoli 20, 21 e 22)
Capitolo 24
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Capitolo 24 è abbastanza difficile.
Non dovete sapere il dettaglio...
...solamente i principi.
L’utilità di una lotteria che da c1 con
probabilità π1 ed da c2 con probabilità π2 e
data da…
... U(c1,c2) = π1 u(c1)+ π2 u(c2)
• Questo è il modello di Utilità Attesa.
Capitolo 24
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Notazione:
m1 e m2: i redditi nei due stati del mondo.
c1 e c2: i consumi nei due stati del mondo.
Bene 1: reddito contingente allo stato 1.
Bene 2: reddito contingente allo stato 2.
p1 e p2: i prezzi dei due beni.
Per ogni unità del bene i che hai comprato
ricevi un reddito 1 se stato i accade.
• Per ogni unità del bene i che hai venduto
paghi un’ammontare 1 se stato i accade.
Capitolo 24
• Il vincolo di bilancio in un mercato assicurativo
con prezzi p1 e p2 e dato da...
p1c1 + p2c2 = p1m1 + p2m2
• Il mercato è perfetto se abbiamo
p1 = π1 ed p2 = π2
• Quindi il vincolo di bilancio in un mercato
perfetto è dato da…
π1c1 + π2c2 = π1m1 + π2m2
• Notate: l’inclinazione è pari a -π1/π2
Ricordate questa scommessa?
• Venderò questa scommessa:
• Lanciamo una moneta...
... se esce testa io ti pago 100 euro
... se esce croce io ti pago 0 euro
• Facciamo un’asta (“English Auction”) – lo
studente che paga piu degli altri vincerà – e io
faro la scommessa con lui o lei.
• La scomessa ha mostrato la tua attitudine al
rischio e una parte della tua funzione di utilità.
Il Modello di Utilità Attesa
• U(c1,c2) = π1 u(c1)+ π2 u(c2).
• … dove (c1,c2) indica un paniere rischioso che
da c1 con probabilità π1 e c2 con probabilità π2.
• Ovviamente importante è la funzione u(.).
• Varia da individuo a individuo.
• Troviammo questa funzione per uno studente.
• Fissiamo u(0) = 0 e u(100) = 1.
• (Utilità è come la temperatura….)
La funzione di utilità di Federica
• Fissiamo u(0) = 0 e u(100) = 1.
• Usiamo la notazione (vedete Esercitazione 8)
[x,y] per indicare una lotteria che da x con
probabilità 0.5 e y con probabilità 0.5.
• Federica dice che lei è indifferente fra €10 con
certezza e la lotteria [€0,€100].
• Questa lotteria da utilità 0 con probabilità 0.5 e
da utilità 1 con probabilità 0.5.
• La lotteria quindi ha utilità attesa = 0.5
• Quindi per Federica u(€10) = 0.5.
La funzione di utilità di Federica
• A questo punto per trovare il valore di x tale che
u(x) = 0.25, usiamo la lotteria [€0,€10]. Perché?
• Questa lotteria da a Federica utilità 0 con
probabilità 0.5 e da utilità 0.5 con probabilità 0.5.
• La lotteria quindi ha utilità attesa per Federica =
0.25.
• Federica dice che lei è indifferente fra €1 con
certezza e questa lotteria [€0,€10].
• Quindi per Federica u(€1) = 0.25.
La funzione di utilità di Federica
• A questo punto per trovare il valore di x tale che
u(x) = 0.75, usiamo la lotteria [€10,€100].
Perché?
• Questa lotteria da a Federica utilità 0.5 con
probabilità 0.5 e da utilità 1.0 con probabilità 0.5.
• La lotteria quindi ha utilità attesa per Federica =
0.75.
• Federica dice che lei è indifferente fra €20 con
certezza e questa lotteria [€10,€100].
• Quindi per Federica u(€20) = 0.75.
Altri punti?
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u(0)=0 u(1)=0.25 u(10)=0.5 u(20)=0.75 u(1)=1
x tale che u(x)=1/8 è dove Federica …
… è indifferente fra €x e [€0,€1].
x tale che u(x)=3/8 è dove Federica …
… è indifferente fra €x e [€1,€10].
x tale che u(x)=5/8 è dove Federica …
… è indifferente fra €x e [€10,€20].
x tale che u(x)=7/8 è dove Federica …
… è indifferente fra €x e [€20,€100].
Per trovare la funzione di utilità di Z
• Il Modello: U(c1,c2) = π1 u(c1)+ π2 u(c2)
• Z è indifferente fra una lotteria (che da €0 con
probabilità 0.5 e €100 con probabilità 0.5) e
€??? con certezza. (Diciamo che ??? è
l’Equivalente Certo della lotteria per Z.)
• Quindi per Z, U(0,100) = U(???).
• Quindi con il Modello di Utilità Attesa
• 0.5u(0) + 0.5 u(100) = u(???)
• Ma abbiamo fissato u(0) = 0 e u(100) = 1.
• Possiamo dedurre che u(???) = 0.5 per Z.
• Abbiamo trovato un terzo punto sulla funzione.
Per trovare altri punti
• Ripetiamo questo processo.
• Sappiamo che u(0) = 0 e u(???) = 0.5.
• x tale che u(x) = 0.25 è l’ammontare per cui Z è
indifferente fra la 50-50 lotteria (0,???) e x con
certezza.
• x tale che u(x) = 0.75 è l’ammontare per cui Z è
indifferente fra la 50-50 lotteria (???,100) e x con
certezza.
• Ecc ecc
• Vedete Esercitazione 8.
Un individuo neutrale al rischio?
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u(€0) = 0 e u(€100) = 1
E indifferente fra €50 e [€0,€100]
u(€50)=0.5
E indifferente fra €25 e [€0,€50]
u(€25)=0.25
E indifferente fra €75 e [€50,€100]
u(€75)=0.75
Poi la sua funzione è lineare.
Notate che la forma della funzione
è importante
• Se u(.) è concava l’individuo è avverso al
rischio.
• Se u(.) è lineare l’individuo è neutrale al
rischio.
• Se u(.) è convessa l’individuo è propenso
al rischio.
• Ovviamente la funzione può essere
concava in parte e convessa in altre parti.
Il Modello di Utilita Attesa
• U(c1,c2) = π1 u(c1)+ π2 u(c2)
• Una curva di indifferenza è data da
π1 u(c1)+ π2 u(c2) = costante
• Se la funzione u(.) è concava
(lineare,convessa) le curve di indifferenza
nello spazio (c1,c2) sono convesse (lineari,
concave).
• L’inclinazione di ogni curva di indifferenza
sulla retta di certezza = -π1/π2
Neutrale al rischio
• U(c1,c2) = π1 u(c1)+ π2 u(c2)
• u(c)= c : la funzione di utilità è lineare
• Una curva di indifferenza è data da
π1 c1+ π2 c2 = costante
• Quindi le curve di indifferenza nello spazio
(c1,c2) sono lineari.
• L’inclinazione di ogni curva di indifferenza
= -π1/π2
Avverso al rischio
• U(c1,c2) = π1 u(c1)+ π2 u(c2)
• u(.) è concava
• Una curva di indifferenza e’ data da
π1 u(c1)+ π2 u(c2) = costante
• Quindi le curve di indifferenza nello spazio
(c1,c2) sono convesse.
• L’inclinazione di ogni curva di indifferenza
sulla retta di certezza = -π1/π2
Propenso al rischio
• U(c1,c2) = π1 u(c1)+ π2 u(c2)
• u(.) è convessa
• Una curva di indifferenza e’ data da
π1 u(c1)+ π2 u(c2) = costante
• Quindi le curve di indifferenza nello spazio
(c1,c2) sono concave.
• L’inclinazione di ogni curva di indifferenza
sulla retta di certezza = -π1/π2
La Funzione di Utilita’ – due
possibilita’
• avversione assoluta al rischio costante:
u(c) = A – B exp(-RAc)
dove RA e’ l'indice di avversione assoluta
al rischio.
• avversione relativa al rischio costante:
u(c) = A + B c(1-RR)
dove RR e’ l'indice di avversione relativa al
rischio.
L’Equivalente Certo
• Considerate la lotteria (30,70) ognuno con
probabilità 0.5.
• L’equivalente certo, EC, è definito da:
• u(EC) = π1 u(c1)+ π2 u(c2)
• u(EC) = 0.5 u(30) + 0.5 u(70)
• Dal grafico in Maple possiamo vedere che EC =
44.33.
• L’individuo considera la lotteria e l’equivalente
certo equivalente.
Il Premio per il Rischio
• Il Premio per il Rischio e’ definito da:
• Premio = Valore atteso della lotteria –
l’equivalente certo.
• Per l’esempio
• Il Premio = 50 – 44.33 = 5.67
• Il premio dipende dall’avversione al rischio
dell’individuo e il rischio.
• L’individuo pagherebbe al massimo il premio per
evitare il rischio.
La concavità indica l’avversione al
rischio
• Con il Modello di Utilità Attesa:
• Se la funzione u(.) è concava l’individuo è
avverso al rischio.
• La più concava la funzione il più avverso
al rischio – quindi il più basso l’equivalente
certo e il più grande il premio per il rischio
– e più convesse le curve di indifferenza.
• (Notate: se un individuo è neutrale al
rischio il suo premio per il rischio è zero.)
Riassunto
• Un individuo avverso al rischio in un
mercato assicurativo perfetto sempre
sceglie assicurazione completa.
Capitolo 24
• Arrivederci!