Logaritmi - WordPress.com
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Logaritmi INDICE 1.Definizione 2.Proprietà dei logaritmi 3.Cambiamento di base 4.Basi più comuni 5.Cenni storici prof,.ssa Alessandra Sia Supponiamo di voler trovare l'esponente a della potenza 3a per ottenere 81. Questa è un'operazione inversa della potenza. Anche i radicali sono operazioni inverse della potenza, in essi si deve ricavare la base, ora invece il problema è ricavare l'esponente. La soluzione prende il nome di logaritmo in base 3 di 81. Definizione Il logaritmo in base a>0 di un numero b>0 è l'esponente x che da dare ad a per ottenere b. prof,.ssa Alessandra Sia Logaritmo del prodotto Il logaritmo del prodotto di due o più numeri è uguale alla somma dei logaritmi dei singoli fattori, cioè: Proprietà loga(bc)=logab+logac Dimostrazione prof,.ssa Alessandra Sia Logaritmo della potenza Il logaritmo della potenza di un numero è uguale all'esponente di tale potenza per il logaritmo della base della potenza. Proprietà logabx=xlogab Dimostrazione prof,.ssa Alessandra Sia Logaritmo del rapporto Il logaritmo del rapporto di due o più numeri è uguale al logaritmo del numeratore meno il logaritmo del denominatore, cioè Proprietà Loga(b/c)=logab –logac Dimostrazione prof,.ssa Alessandra Sia Cambiamento di base Si vuole trovare la relazione che intercorre fra il Logaritmo di un numero in una base a e il logaritmo dello stesso numero in un'altra base c. Proprietà. logab logcb=————— logac Dimostrazione prof,.ssa Alessandra Sia loga(bc)=logab+logac Dimostrazione posto logab=x e logac=y allora ax=b e ay=c quindi bc=axay=ax+y (proprietà delle potenze) loga(bc) =logaax+y loga(bc) =(x+y )logaa logaa=1 cioè x+y=loga(bc) ma x+y=logab+logac prof,.ssa Alessandra Sia c.v.d. logabx=xlogab Dimostrazione posto logab=y perciò ay=b e (ay)x=bx ma (ay)x=ayx logabx=xy y= logab logabx=xloga prof,.ssa Alessandra Sia perciò essendo allora c.v.d. Loga(b/c)=logab –logac Dimostrazione posto loga(b/c)=loga(bc-1)= per il logaritmo del prodotto è uguale a = logab+logac-1 = per il logaritmo della potenza = logab-logac c.v.d. prof,.ssa Alessandra Sia logab logcb=————— logac Dimostrazione posto y=logab e x=logcb allora ay=b e cx=b quindi cx=ay calcoliamo il logaritmo in base a di entrambe i membri otteniamo logacx=logaay quindi applicando il logaritmo della potenza otteniamo xlogac=ylogaa cioè xlogac=y sostituendo a x ed y le relazioni iniziali si ha logcb∙logac=logab prof,.ssa Alessandra Sia Anche se in linea di principio i logaritmi possono essere calcolati in qualunque base, quelle più utilizzate sono tre: • base 10 (logaritmi decimali o volgari o di Briggs), usati per le operazioni di calcolo; li si indica con log10, più genericamente con log. • base e (logaritmi naturali o neperiani), usati in analisi infinitesimale; li si indica con ln, più raramente con log (quando, dal contesto, la base a cui ci si riferisce è chiara). • base 2 (logaritmi binari), usati soprattutto nell'analisi della complessità computazionale, nella teoria dei codici e nella teoria dei segnali; li si indica con log2. prof,.ssa Alessandra Sia Cenni Storici I logaritmi vennero proposti nel 1614 da John Napier, noto anche col nome latinizzato di Neperus o in italiano Nepero, come ausilio per semplificare i calcoli. Infatti, è facile dimostrare che, scelta una base, il logaritmo del prodotto di due numeri è pari alla somma dei loro logaritmi: pertanto, al prezzo di due conversioni da un numero al suo logaritmo e una conversione inversa (verso il cosiddetto antilogaritmo) è possibile trasformare un prodotto in una somma. Le conversioni stesse venivano tabulate a priori e scritte in un volume ("Tavola dei logaritmi"). Lo stesso principio era usato nel regolo calcolatore. prof,.ssa Alessandra Sia
