Giorgio Porcu Appunti di SISTEMI ITI Elettronica Classe QUINTA C1 Revisione: 07/03/2011 Appunti di SISTEMI ITI Elettronica - Classe QUINTA 1. TEORIA DEI SISTEMI SISTEMA Collezione di elementi che interagiscono per realizzare un obiettivo. Il termine è applicabile in senso lato per descrivere interazioni di elementi naturali (ES: Vene e Arterie nel Sistema Circolatorio) o artificiali (ES: Resistenze e Condensatori in un Sistema Elettrico). Un sistema è caratterizzato da: 1. Un’insieme I di segnali in entrata o input 2. Un’insieme O di segnali in uscita o output 3. Un insieme di variabili interne, i cui valori determinano lo Stato S del sistema 4. Un insieme P di parametri o grandezze fisiche che agiscono sul sistema I SISTEMA O S P CLASSIFICAZIONE DEI SISTEMI I sistemi sono classificati in base a caratteristiche degli elementi che li compongono o del sistema nel complesso. Riferendoci alle più importanti, possiamo distinguere tra: • Sistema Naturale: costituito da elementi naturali • Sistema Artificiale: costituito da elementi o dispositivi artificiali, progettati e realizzati dall’uomo • Sistema Continuo o Analogico: utilizza grandezze continue (infiniti valori) • Sistema Discreto o Digitale: utilizza grandezze discrete (numero finito di valori) • Sistema Deterministico: il suo comportamento nel tempo è determinabile con esattezza con legge matematica • Sistema Probabilistico: il suo comportamento nel tempo è stimabile con funzioni di probabilità ma non determinabile con certezza • Sistema Statico: l’uscita è funzione delle sole entrate; lo Stato S non muta nel tempo • Sistema Dinamico: l’uscita è funzione delle entrate e dello Stato S e dipende quindi dalla storia passata del Sistema. Il Sistema si evolve nel tempo (passa da uno Stato a un altro). ESEMPI DI SISTEMI > Elaboratore Elettronico: sistema artificiale, digitale, deterministico, dinamico > Sistema circolatorio: sistema naturale, dinamico > Circuito RL: sistema artificiale, deterministico > Sistema climatico: sistema naturale, probabilistico 3.4.5 ITI ELETEL 3.4.5 ITI ELTAUT 3.4.5 ITI INF 1.1 C1 Revisione: 07/03/2011 Appunti di SISTEMI ITI Elettronica - Classe QUINTA MODELLO Rappresentazione schematica e semplificata di un sistema. Consente di analizzarlo focalizzandosi sulle sole caratteristiche di reale interesse. Può essere di tipo grafico, analogo, simbolico. Due sono i modelli fondamentali: lo schema a blocchi e il modello matematico. SCHEMA A BLOCCHI Modello grafico del funzionamento logico di un sistema. Utilizza due simboli di base: • Un rettangolo o blocco per rappresentare un sistema o un dispositivo/elemento • Una freccia direzionale per indicare un segnale o insieme di segnali In questa rappresentazione un sistema o un singolo elemento che lo compone assume la forma di un blocco con freccia in entrata (input) e in uscita (output): I O SISTEMA (DISPOSITIVO, ELEMENTO) Combinando i blocchi è possibile rappresentare interazioni di dispositivi o interi sistemi. Allo scopo si utilizzano due ulteriori simboli: • Un cerchietto pieno per indicare un nodo deviatore • Un cerchio vuoto per rappresentare un nodo sommatore Tipici esempi di interazioni sono i sistemi in serie e in parallelo: i i1 SISTEMA 1 o1=i2 o2 SISTEMA 2 SISTEMA A oA i i SISTEMA B oB I nodi sommatori consentono la somma algebrica di input e output per costruire sistemi più complessi, come i sistemi a retroazione: i s oB SISTEMA A SISTEMA B oA oA iB ESEMPI DI SCHEMI A BLOCCHI > CATENA DI ACQUISIZIONE DATI Una catena di acquisizione dati è un insieme di dispositivi elettronici in serie che acquisiscono segnali analogici per trasformarli in digitali. E’ rappresentata dal seguente schema a blocchi: I TRASDUTTORE CIRCUITI DI CONDIZIONAMENTO 3.4.5 ITI ELETEL 3.4.5 ITI ELTAUT 3.4.5 ITI INF SAMPLE AND HOLD ADC O 1.2 C1 Revisione: 07/03/2011 Appunti di SISTEMI ITI Elettronica - Classe QUINTA MODELLO MATEMATICO Legge matematica che descrive il comportamento del Sistema. Nella forma tipica (modello matetematico nel dominio del tempo) è un’equazione in ℝ nella variabile t, indicata col simbolo f(t). In termini pratici, esprime come l’output O del Sistema varia nel tempo t in funzione dell’input I, dello stato S e dei parametri P: I(t) MODELLO MATEMATICO SISTEMA descrive O(t) S f(t) P Il modello dipende dalle caratteristiche costruttive del sistema, ovvero dai componenti utilizzati, dalle leggi fisiche che li governano e dai segnali di input. A Pagina 1.4 sono elencati i principali componenti elementari utilizzati nei sistemi. Per ciascuno è riportata la legge matematica f(t) che lo descrive A Pagina 1.5 sono elencati i segnali canonici di input Il modello matematico è di norma semplificato rispetto al comportamento reale. In esso sono trascurate le caratteristiche (variabili, parametri, Stato) ritenute non importanti e approssimate quelle di difficile schematizzazione. ESEMPI DI MODELLI MATEMATICI NEL TEMPO > CONDENSATORE IN CORRENTE CONTINUA Consideriamo il sistema costituito da un condensatore C che utilizzi una corrente continua fornita da un generatore I. Cerchiamo il modello matematico che esprime la tensione v(t) sulle armature di C. i(t) I C I I C O Possiamo immaginare il generatore come l’input del sistema e il condensatore come l’unico suo componente. L’output sarà la tensione (ddp) generata sulle armature. Il valore dell’output è dato dalla legge di funzionamento del condensatore: v(t) = 1 C ⋅ t ∫ i(t) 0 Il valore dell’input è la corrente continua (segnale a gradino E) prodotta dal generatore: i(t) = E Combinando input e output in una sola espressione troviamo il modello matematico: v(t) = 1 C t ∫ ⋅ E 0 3.4.5 ITI ELETEL 3.4.5 ITI ELTAUT 3.4.5 ITI INF 1.3 C1 Revisione: 07/03/2011 Appunti di SISTEMI ITI Elettronica - Classe QUINTA COMPONENTI ELEMENTARI Componenti fisici di base (elettrici, termici, idraulici) costituenti le parti elementari di un sistema. Ciascuno è caratterizzato da un proprio modello matematico f(t), legato alle leggi fisiche che lo governano. I principali componenti sono indicati nella seguente tabella: Tipo Grafico ELETTRICI R L f(t) Denominazione v(t) = R ⋅ i(t) Resistore R Resistenza elettrica v(t) = L ⋅ iI (t) Induttore L Induttanza elettrica 1 t ⋅ i(t) C ∫0 i(t) = C ⋅ vI (t) Condensatore C Capacità elettrica v(t) = C Φ(t) = TERMICI Φ(t) RT Φ(t) CT IDRAULICI Q(t) RL T(t) RT Φ(t) = C T ⋅ T I (t) Q(t) = p(t) RL Resistenza termica Capacità termica Resistenza idraulica Q(t) CL Q(t) = CL ⋅ pI (t) Capacità idraulica La tabella è tratta da: De Santis, Cacciaglia, Saggese - “Sistemi 1”, ISBN: 978-88-528-0223-2 3.4.5 ITI ELETEL 3.4.5 ITI ELTAUT 3.4.5 ITI INF 1.4 C1 Revisione: 07/03/2011 Appunti di SISTEMI ITI Elettronica - Classe QUINTA SEGNALI CANONICI Segnali tipici utilizzati come input di un sistema per valutarne il comportamento. Sono riassunti nella seguente tabella: Grafico f(t) Denominazione f(t) = δ(t) Delta di Dirac 1, t ≥ 0 f(t) = 0, t < 0 Gradino unitario E, t ≥ 0 f(t) = 0, t < 0 Gradino di ampiezza E f(t) t f(t) 1 t f(t) E t f(t) t, t ≥ 0 f(t) = 0, t < 0 Rampa unitaria t f(t) k ⋅ t, t ≥ 0 f(t) = t<0 0, Rampa di coefficiente angolare k t f(t) t2 , t ≥ 0 f(t) = 0, t<0 Parabola unitaria t f(t) sin(ωt), t ≥ 0 t f(t) = t f(t) = 0, t<0 Sinusoide f(t) cos(ωt), t ≥ 0 0, t<0 Cosinusoide La tabella è tratta da: De Santis, Cacciaglia, Saggese - “Sistemi 1”, ISBN: 978-88-528-0223-2 3.4.5 ITI ELETEL 3.4.5 ITI ELTAUT 3.4.5 ITI INF 1.5 C1 Revisione: 07/03/2011 Appunti di SISTEMI ITI Elettronica - Classe QUINTA COMPORTAMENTO DI UN SISTEMA Il comportamento è determinato dalla variazione dell’output (detta reazione o risposta) nel tempo in conseguenza dell’input (impulso o sollecitazione). Può essere influenzato dallo Stato e dai Parametri. E’ analizzabile mediante il modello matematico. impulso sollecitazione I(t) SISTEMA S reazione risposta O(t) P SOLLECITAZIONE Segnale di input impiegato per testare o stabilire il comportamento del sistema. Di norma è un segnale elettrico, digitale o analogico. Pagina 1.5: Segnali canonici di input RISPOSTA Variazione nel tempo dell’output del sistema conseguente a una specifica sollecitazione. Dipende dal modello matematico del sistema in esame. Pagina 1.6: Componenti elementari TIPOLOGIE DI RISPOSTA La risposta totale (o semplicemente risposta) è la somma di due componenti: • Una risposta libera, causata dallo stato iniziale del sistema. • Una risposta forzata, dovuta ai soli impulsi esterni (input). In termini matematici: O(t) = RTotale = RLibera + RForzata RISPOSTA LIBERA E’ ottenuta imponendo il segnale d’ingresso nullo. Si manifesta solo se il sistema ha energia immagazzinata nello stato iniziale a causa della sua struttura interna (presenza di elementi accumulatori di energia quali condensatori o induttori). RISPOSTA FORZATA Si ottiene ipotizzando una risposta libera nulla, ovvero una situazione iniziale statica. 3.4.5 ITI ELETEL 3.4.5 ITI ELTAUT 3.4.5 ITI INF 1.6 C1 Revisione: 07/03/2011 Appunti di SISTEMI ITI Elettronica - Classe QUINTA PROPRIETÀ DI UN SISTEMA Classifichiamo un sistema sulla base del comportamento introducendo alcune proprietà: LINEARITÀ Un sistema è lineare se soddisfa il principio di sovrapposizione degli effetti. In termini pratici, ciò avviene quando: • La risposta a un insieme di sollecitazioni è la somma algebrica delle risposte ottenibili applicando separatamente ciascuna di essa • La risposta varia linearmente con l’ingresso Un sistema è invece non lineare se non soddisfa tali principi. PRINCIPIO DI SOVRAPPOSIZIONE DEGLI EFFETTI La risposta prodotta su un sistema dalla combinazione lineare di n sollecitazioni indipendenti è la sovrapposizione delle n risposte ottenibili se ciascuna sollecitazione agisse da sola INVARIANZA NEL TEMPO (STAZIONARIETÀ) Un sistema è Tempo Invariante (o Stazionario) se i parametri P non variano, ma conservano le proprie caratteristiche nel tempo. In termini pratici, P è una costante nel modello matematico. Viceversa, un sistema si dice Tempo Variante quando i parametri P si modificano in funzione del tempo. ESEMPI DI LINEARITÀ E STAZIONARIETÀ > Amplificatore Operazionale a catena chiusa: sistema artificiale lineare > Circuito elettrico con componenti non dinamici: sistema artificiale stazionario SISTEMI LINEARI TEMPO INVARIANTI In relazione al comportamento chiameremo Sistemi Lineari Tempo Invarianti (o Sistemi LTI) i sistemi che soddisfano entrambe le proprietà descritte in precedenza: • Linearità (vale il principio di sovrapposizione degli effetti) • Stazionarietà (i parametri P sono costanti nel tempo) I sistemi LTI sono i più utilizzati per lo studio pratico nella materia Sistemi. MODELLO MATEMATICO NEL TEMPO DI UN SISTEMA LTI Poiché in un sistema LTI la risposta varia linearmente con l’ingresso, il modello f(t) è sempre esprimibile come rapporto tra output e input nel tempo: O(t) f(t) = I(t) 3.4.5 ITI ELETEL 3.4.5 ITI ELTAUT 3.4.5 ITI INF I(t) SISTEMA LTI O(t) P costanti 1.7 C1 Revisione: 07/03/2011 Appunti di SISTEMI ITI Elettronica - Classe QUINTA ANALISI DI UN SISTEMA Lo studio del comportamento di un Sistema è detto Analisi. E’ eseguita sulla base del modello matematico con opportuni strumenti di calcolo. Può essere condotta a vari livelli; in questo corso ci occuperemo di: • Analisi nel dominio del tempo • Analisi nel dominio della frequenza (o analisi armonica) Capitoli 4, 5: Analisi dei Sistemi ANALISI NEL DOMINIO DEL TEMPO Studio della risposta del Sistema al variare del tempo. Si concretizza nella stesura e/o nello studio di un diagramma tensione-tempo che esprima graficamente come si evolve l’output (in genere una tensione vo) nel tempo t. vo t DIAGRAMMA TENSIONE-TEMPO ANALISI NEL DOMINIO DELLA FREQUENZA Studio della risposta del Sistema al variare della frequenza. E’ importante per tutti i sistemi sottoposti a un segnale sinusoidale (AC). Secondo il teorema di Fourier tale segnale è scomponibile in una serie di armoniche a differenti frequenze f (o differenti pulsazioni ω). Per analizzare il sistema si verifica la risposta di ciascuna di esse (Risposta in frequenza) e non solo l’output nel complesso. Utilizza due tipologie di diagrammi: o DIAGRAMMA DI BODE: rappresenta la risposta in frequenza del sistema su un piano reale con scala semilogaritmica. E’ suddiviso in due sottografici: il diagramma della Risposta in ampiezza e quello della Risposta in fase. o DIAGRAMMA DI NYQUIST: rappresenta la risposta in frequenza su un piano complesso (polare) utilizzando assieme i valori di modulo e fase. A θ θ Im Re f ω RISPOSTA IN AMPIEZZA f ω RISPOSTA IN FASE DIAGRAMMA DI BODE 3.4.5 ITI ELETEL 3.4.5 ITI ELTAUT 3.4.5 ITI INF ρ DIAGRAMMA POLARE DIAGRAMMA DI NYQUIST 1.8