Cosa significa disegnare in scala

Disegnare in scala
Come produrre e leggere disegni in scala,
usare la fotocopiatrice in modo efficiente,
interpretare cartine topografiche e stradali
con un solo semplice strumento
matematico.
1
Sommario
1 – Cosa significa disegnare in scala
3
2 – Cosa imparerai sul disegno in scala
3
3 – Idee di base: uguaglianza delle forme e proporzionalità
4
4 – Formule intuitive per trovare le misure in scala
6
5 – Usiamo la matematica per ridurre il numero di formule
7
6 - Il fattore di scala e la formula fondamentale
8
7 - Casi applicativi
9
7.1 – Disegnare in scala conoscendo i valori reali ed il fattore di scala 9
7.2 – Ricavare le misure reali di un oggetto di cui si abbia un disegno in
scala e si conosca il fattore di scala usato 11
7.3 – Ricavare il fattore di scala di una rappresentazione fotografica 12
8 – Gli stili di scrittura del fattore di scala
13
8.1 Alcuni esempi 14
9 – Un’altra applicazione: usare bene la fotocopiatrice
15
Appendici
16
A.1 Numeri giusti, numeri imprecisi, numeri e basta
16
A.2 Un altro modo per trovare la formula fondamentale
17
2
Disegnare in scala - 3
1 – Cosa significa disegnare in scala
Disegnare in scala significa fare il disegno più grande o più piccolo rispetto alle dimensioni reali dell’oggetto che
vogliamo rappresentare, mantenendo però la stessa forma (guarda la fig. 1)
Figura 1 – Si parla di disegno in scala (ingrandita o ridotta) quando il
nuovo disegno mantiene la forma di quello originale. Il disegno
ingrandito di sinistra appare in scala; quello di destra è deformato in vari
modi: è troppo stretto rispetto all’altezza le linee sono curvate e piegate
e, quindi, non è una rappresentazione in scala.
Rappresentazioni in scala si possono ottenere anche con tecniche fotografiche, con uso di pellicola tradizionale o con
fotocamere digitali. La scala può essere in riduzione o in ingrandimento, secondo le necessità. Non è sempre vero, però,
che le foto mantengano esattamente la forma dell’oggetto rappresentato: in realtà tutti gli obiettivi introducono
deformazioni che in alcuni casi sono estremamente evidenti ed in altri possono essere trascurabili e inoltre ogni foto
introduce una deformazione prospettica per cui le cose più lontane appaiono più piccole, le linee parallele convergono
ecc.. Se, usando opportuni accorgimenti, si ottengono foto praticamente prive di deformazione allora si possono
applicare alle fotografie tutti gli argomenti sviluppati riguardo la riduzione in scala dei disegni.
Figura 2 – L’immagine fotografica può essere distorta a causa dell’obiettivo, per effetto della sua lunghezza focale (A), per deformazione prospettica,
dipendente dalla posizione rispetto al soggetto (B). Se le deformazioni sono ridotte o eliminate scegliendo opportunamente l’obiettivo (focali lunghe)
e la posizione di scatto (frontale) e usando eventualmente appositi programmi di grafica computerizzata, allora l’immagine fotografica può essere
usata come una rappresentazione in scala e da essa si possono ricavare i valori delle misure reali come se fosse un disegno (C).
2 – Cosa
imparerai sul disegno in scala
Lo scopo di questi appunti è quello di insegnarti due cose:
-
il modo in cui si può realizzare un disegno in scala, calcolando le giuste dimensioni di ogni elemento prima di
passare alla esecuzione;
il modo di leggere un disegno in scala, per capire quali sono le dimensioni effettive dell’oggetto rappresentato.
Quando avrai imparato queste due cose fondamentali sarai anche in grado di fare cose che, a prima vista, non hanno
molto a che fare con esse: saprai, per esempio, usare la fotocopiatrice per ottenere immagini ingrandite e ridotte senza
fare molti noiosi tentativi prima di ottenere il risultato voluto, oppure saprai ricavare informazioni da fotografie, leggere
3
Disegnare in scala - 4
e costruire grafici scientifici…
Imparerai ad usare strumenti concettuali, che sono poi, inevitabilmente, strumenti matematici.
In teoria il metodo di cui parlerò permetterebbe di disegnare in scala qualunque oggetto reale. In alcuni casi, però, la
complessità delle forme, la quantità di dettagli è tale che il metodo sarebbe di fatto impraticabile – pensa a una persona,
una natura morta, un intero paesaggio – e allora si preferisce un modo meno tecnico, come quando si fa “disegno dal
vero”, sfruttando la percezione visiva ed il senso estetico. In altri casi, invece, gli oggetti sono composti da elementi che
hanno forme semplici le quali possono essere tradotte in disegni di quadrati, triangoli, cerchi; questi oggetti possono
essere rappresentati da un numero abbastanza piccolo di elementi geometrici semplici, su cui è facile eseguire calcoli, e
questo è il caso, per esempio, delle strutture architettoniche.
Spiegherò la tecnica proprio usando disegni di figure geometriche semplici; in particolare parlerò di quelle che sono
composte, a loro volta, da segmenti – come i quadrati, i
rettangoli e, più in generale, i poligoni - o da cerchi o da
archi di cerchio (in realtà per disegnare un cerchio basta
conoscere il raggio, che, alla fine, è un segmento). Il
disegno di una di queste figure o di un insieme di esse
sarà ingrandito o rimpicciolito mantenendone la forma.
3 – Idee di base: uguaglianza delle forme e
proporzionalità
Riconoscere a vista se due figure hanno la stessa forma
non è sempre facile, soprattutto se sono complesse, e
comunque non è un compito che tutti sanno compiere
nello stesso modo. L’esempio della figura 1 non lascia
dubbi, ma deformazioni meno evidenti possono sfuggire
ad un occhio poco allenato: anche questa è una capacità
che si deve educare e questo è uno dei motivi per cui
disegnare a mano libera è, per molti, piuttosto difficile.
Per questo motivo è conveniente dare al concetto di
“uguaglianza delle forme” un significato meno legato
alla percezione, più definito e più facilmente verificabile.
Figura 3 – Una struttura architettonica è di solito composta di
parti che sono rappresentabili da figure geometriche semplici,
Fra gli elementi di un disegno si possono riconoscere
come linee, rettangoli, archi di cerchio, messe in evidenza nella
alcune relazioni; quelle più significative, in un disegno
foto. Applicare in questo caso le regole della riduzione in scala
tecnico, sono quelle spaziali, precisamente:
risulta facile
- le relazioni di posizione, secondo cui
riconosciamo, per esempio, se un elemento è a destra o a sinistra di un altro, più alto o più basso eccetera;
- le relazioni di dimensione, per le quali possiamo dire se un elemento è più lungo o più corto di un altro, ed,
eventualmente, quante volte lo contenga o ne sia contenuto.
Il disegno in scala di un oggetto si fa perché di solito è più semplice lavorare sulla rappresentazione grafica che
sull’oggetto reale: progettare l’arredamento di una stanza portando tavoli, armadi o sedie sul posto, per verificare le
dimensioni o l’armonizzazione delle parti, è praticamente impossibile mentre sulla carta il lavoro è piuttosto semplice.
È necessario però che il disegno riproduca correttamente le relazioni fra gli oggetti reali che rappresenta, è cioè
necessario che gli elementi del disegno siano fra loro nelle stessa relazione in cui stanno i corrispondenti oggetti
rappresentati: per esempio, se due muri della stanza formano un angolo retto allora anche le linee corrispondenti sul
foglio devono formare un angolo retto; se un armadio sta tre volte nella lunghezza del muro, il disegno dell’armadio
deve stare tre volte nel disegno del muro
F
i
g
u
r
a
4
Disegnare in scala - 5
4 - Affinché un disegno sia effettivamente in scala bisogna che siano
mantenute le relazioni spaziali fra gli oggetti: nell’ambiente mostrato dalla
fotografia ripresa dall’alto la misura del divano sta 3 volte nella misura
della larghezza del pavimento della stanza: in modo simile la misura del
disegno del divano sta 3 volte nella misura di larghezza del disegno del
pavimento. Naturalmente le relazioni devono essere mantenute anche per le
lunghezze di tutti gli altri oggetti.
Questa condizione può essere tradotta nel linguaggio della matematica, precisamente:
-
-
-
il confronto fra lunghezze, quello che ci dice quante volte un oggetto sta nell’altro, corrisponde in matematica
all’operazione di divisione; il simbolo 6 : 3 , per esempio, corrisponde alla domanda “quante volte il numero tre
sta nel numero 6?” (qui non conta come facciamo a dare la risposta, con la calcolatrice o contando sulle dita, ma
il significato del simbolo);
più in generale, un oggetto di lunghezza L(A) sta in un oggetto di lunghezza L(B) un numero di volte

L(B)
calcolabile come L(B) : L(A) di volte, o anche, usando il linguaggio delle frazioni,
L(A)
se scrivo


L R , la lunghezza originale di un oggetto, che chiamerò lunghezza reale


LS , la lunghezza dell’elemento grafico rappresentativo, che chiamerò
lunghezza in scala
L(B) R
 allora la relazione fra due oggetti reali A e B, che è espressa dalla divisione
, deve essere la stessa di
L(A) R

L(B) S
quella fra i corrispondenti elementi grafici,
, cioè deve essere vera l’uguaglianza:
L(A) S
L(B) S L(B) R

 L( A) S L( A) R

Questa relazione esprime matematicamente il fatto che la rappresentazione grafica è in scala - si usa anche dire che la
rappresentazione è proporzionale. La relazione, però, non và pensata come una “formula” per ricavare le misure da
usare nel disegno; serve solo a controllare
che il disegno fatto sia corretto.

5
Disegnare in scala - 6
4 – Formule intuitive per trovare le misure in scala
Molti trovano intuitivamente evidente che per disegnare un oggetto in scala ridotta bisogna dividere le misure di ogni
sua parte per uno stesso numero e, in modo simile, per disegnarlo più grande bisogna moltiplicare tutte le misure per
uno stesso numero.
L’esempio che segue mostra chiaramente l’effetto delle operazioni suggerite dall’intuito: “l’oggetto reale” da
rappresentare è il disegno di un rettangolo, di cui si vuole ottenere un disegno doppio ed uno dimezzato.
Figura 5 –Se si vuole disegnare in una scala raddoppiata è intuitivo pensare
di moltiplicare per 2 le misure dell’oggetto iniziale e se si vuole dimezzare
è intuitivo dividere per 2. L’osservazione a vista dell’effetto delle
operazioni sembra confermare ce si siano ottenute figure in scala,
confermando la validità dell’idea. Ma a volte l’intuizione e la vista
ingannano …
Se vogliamo disegnare un rettangolo doppio di quello originale ci basta raddoppiare la lunghezza di ogni suo lato: fare
il doppio significa moltiplicare per 2 le rispettive misure, così se vogliamo raddoppiare un rettangolo con una base di
4 cm ed una altezza di 2 cm, allora possiamo scrivere:
LBaseR  4cm
dimensioni reali del rettangolo
LAltezzaR  2cm
da cui ricaviamo

LBaseS  2  LBaseR  8cm
LAltezzaS  2  LAltezzaR  4 cm
che sono le dimensioni in scala raddoppiata;
Se invece vogliamo disegnare dimezzando il rettangolo dobbiamo dimezzare ogni sua parte, cioè dobbiamo dividere le
misure dei suoi lati per 2:
LBaseS 
LAltezzaS 
LBaseR
2
 2cm
LAltezzaR
2
 1cm
e otteniamo le dimensioni in scala dimezzata,

Questa intuizione non è legata, però, in modo evidente al concetto di rappresentazione in scala data prima in modo così
formale, potrebbe sembrare, anzi, completamente diversa, più semplice e quindi più attraente: allora perché non
6
Disegnare in scala - 7
accontentarsene? Il fatto è che l’intuizione e i sensi a volte ingannano 1, mentre i ragionamenti matematici danno
certezze assolute. Ora verificheremo che in questo caso l’intuizione ha un fondamento matematico solido e potrà quindi
essere usata sempre con tranquillità..
Si sa che il valore di una frazione non cambia se moltiplico o se divido “sopra e sotto” per lo stesso numero (proprietà
invariantiva): per esempio
6
6
6  2 12
6
2


oppure
 3 
15 15  2 30
15 15 5
3
Allora, se penso di trovare il valore in scala dividendo tutte le lunghezze reali per uno stesso numero, per esempio 2, e
scrivo:

LS 
LR
2
è evidente che
L(B) R
L(B) S
L(B) R
 2 
L( A) S L( A) R L( A) R
2
che corrisponde alla relazione di scala!
La stessa cosa succede se moltiplico tutte le lunghezze per lo stesso numero, per esempio 2:
LR
LS  2
Raddoppiare e dimezzare non sono le due uniche possibilità; si può triplicare, quadruplicare, quintuplicare e allora si
moltiplica per 3, per 4 o per 5, rispettivamente, e così via; e in modo analogo si può ridurre a un terzo o un quarto
dividendo per tre o per quattro …
Tutto sembra potersi riassumere nella forma di una regola:
-
per ingrandire un disegno dobbiamo moltiplicare ogni suo elemento per uno stesso numero;
per rimpicciolire un disegno dobbiamo dividere ogni suo elemento per uno stesso numero.
Secondo questa regola per disegnare in scala servono due operazioni.
5 – Usiamo la matematica per ridurre il numero di formule
In realtà le due operazioni possono essere ridotte ad una soltanto. Le divisioni, ovvero le frazioni, possono essere viste
come moltiplicazioni. Per esempio si può scrivere:
6 1
 6
2 2
così a sinistra dell’uguale c’è una frazione (divisione), in cui il numero 6 fa da numeratore ed il numero 2 fa da
1
denominatore, mentre a destra dell’uguale c’è una moltiplicazione in cui la frazione
è ora il primo fattore ed il
2
numero 6 il secondo fattore.
1
Faccio notare ai diffidenti, o a quelli che tremano ancora di fronte alla frazione , che essa può essere espressa come il
2



1
numero in forma decimale 0,5 visto che  1 : 2  0,5 e allora, proprio volendo, si potrebbe anche scrivere


2
6

 0,5 6 : non si può più dubitare!
2


Come spesso accade nell’algebra,
si può cambiare l’aspetto delle cose mantenendone il valore, e questo permette
spesso di vedere le cose da un punto di vista più interessante ed efficace. Nel nostro caso vediamo che per disegnare in
scala basta la sola moltiplicazione.
1
…pensa alle illusioni ottiche
7
Disegnare in scala - 8
6 - Il fattore di scala e la formula fondamentale
Riprendo l’esempio del rettangolo riscrivendo, solo per la base, i calcoli già fatti ma ora uso solo la moltiplicazione:

LBaseR  4cm
è la misura reale del lato
LBase S  2  LBase R  8cm
è la misura in scala del lato in scala raddoppiata
LBaseS
1
  LBaseR  2cm
2
è la misura in scala del lato in scala dimezzata

L’operazione di ingrandimento e quella di rimpicciolimento seguono uno stesso schema: il valore in scala si ottiene
moltiplicando il valore reale per un numero.

Nota che:
- per raddoppiare si è moltiplicato per 2, che è più grande di 1;
1
- per dimezzare si è moltiplicato per , che è più piccolo di 1:
2
in effetti è sempre vero che:
ogni volta che si moltiplica per un numero maggiore di 1 si ingrandisce, ogni volta che si moltiplica per
un numero minore di 1 si 
rimpicciolisce.
Si può ora riassumere tutto in modo simbolico. Ogni trasformazione di scala si ottiene applicando la formula
fondamentale:
LS  f S  LR
il simbolo f S si chiama fattore di scala (infatti è un termine di una moltiplicazione), gli altri due ti sono ormai noti.
Se f S  1 si ottiene un disegno ingrandito, se f S  1 si ottiene un disegno più piccolo.


La formula fondamentale è l’unica che serve ricordare per risolvere tutti i problemi che riguardano il disegno in scala:
si tratta solo di saperla “rigirare” secondo le necessità, e per farlo basta sapere risolvere le equazioni.


Nella formula ci sono tre grandezze: in ogni situazione pratica che potrai incontrare due di esse saranno note e tu dovrai
ricavare la terza, usando le proprietà delle equazioni. L’abilità consiste soprattutto nel mettere al posto giusto i dati ed è
su questo che dovrai concentrarti principalmente.
8
Disegnare in scala - 9
7 - Casi applicativi
Prima di cominciare - Una delle difficoltà che potresti trovare nella pratica deriva dal modo in cui potresti trovare
scritto il fattore di scala: in effetti ci sono vari “stili” di scrittura: lo stile usato in un progetto architettonico è diverso da
quello usato per impostare la riduzione di una fotocopia.
Per questo motivo proporrò gli esempi applicativi in due parti: nella prima non mi preoccuperò dello stile del fattore di
scala ma solo dell’uso della formula fondamentale. La seconda parte sarà affrontata dopo un paragrafo dedicato agli stili
del fattore di scala e al modo di passare da uno all’altro.
7.1 – Disegnare in scala conoscendo i valori reali ed il fattore di scala
Esempio 1.1 – Disegnare la proiezione sul Piano Orizzontale, P.O. (o sul piano  1 , parlando nel linguaggio
della geometria descrittiva) di un tavolo rettangolare di dimensioni 120 cm x 80 cm, usando
un fattore di scala pari a 0,1
 dobbiamo trovare i
Soluzione: conosciamo i valori reali di due lati e il fattore di scala;
corrispondenti valori in scala; traduciamo quello che conosciamo in simboli
LBaseR  120 cm
LAltezzaR  80 cm

naturalmente i nomi “base” ed “altezza”sono stati associati alle misure in modo
arbitrario.
Scriviamo la formula fondamentale LS  fS  LR per ogni lato
LBase S  f S  LBase R
LAltezza S  f S  L
Altezza R



LBase S  0,1120cm  12cm
LAltezza S  0,180cm  8cm
in questo caso la soluzione è immediata perché le incognite sono già isolate a
sinistra.
9
Disegnare in scala - 10
3
, il quadrato che nella pianta rappresenta
2
un tavolino, all’interno di una proposta di arredamento
Esempio 1.2 – Ridisegnare, secondo un fattore di scala di

Soluzione: in questo caso l’oggetto da rappresentare è già un disegno che è, a sua volta, la
rappresentazione in scala di un oggetto vero. Conosciamo in modo esplicito solo il
fattore di scala, possiamo ricavare, misurandola, la lunghezza del quadrato della
figura: questo valore misurato ha il significato del valore reale. Dopo avere misurato
possiamo rappresentare quello che sappiamo:
L(lato) R  2,2cm
3
fS 
2

anche in questo caso la soluzione si riduce all’applicazione immediata della formula
fondamentale
L(lato) S  f S  L(lato) R 


3
 2,2cm  3,3cm
2
Nota che il fattore di scala può essere riscritto in almeno altri due modi:
3
f S   1,5
2
oppure
3
1
f S   1
2
2
così si capisce che abbiamo ingrandito una volta e mezza.

10
Disegnare in scala - 11
7.2 – Ricavare le misure reali di un oggetto di cui si abbia un disegno in scala e si conosca il fattore di scala usato
Esempio 2.1 – Ricavare le dimensioni della porta centrale rappresentata nel prospetto sapendo che il fattore di
1
scala usato è f S 
100

Soluzione: Avere il disegno corrisponde a conoscere le misure in scala, che però devono, in pratica,
essere ricavate da una misura (con il righello)
Dopo la misura possiamo scrivere:
Larghezza porta S  1,1cm
Altezza porta S  2,3cm
fS 

1
100
Se sostituiamo questi dati nella equazione fondamentale vediamo che l’incognita, che in
questo caso è il valore reale, non è isolata e bisognerà manipolare l’equazione. Vediamo
come ottenere la larghezza reale:
Larghezza porta S  f S  Larghezza porta R
1,1cm 
1
 Larghezza porta R
100
ma possiamo usare una proprietà delle equazioni per isolare l’incognita

100 1,1cm  100 
1
 Larghezza porta R
100

110cm  Larghezza porta R
cioè: Larghezza porta R  110cm


Per l’altezza si procede in modo analogo, senza mostrare tutti i passaggi, si ha
1
11
 Altezza porta R

Altezza porta R  230cm
 2,3cm 
100
Disegnare in scala - 12
Una osservazione – Nella soluzione di questo esercizio i numeri noti sono stati inseriti direttamente nella equazione
fondamentale che è stata poi manipolata. Si sarebbe potuto procedere in un ordine diverso, preparando prima la
formula (con un lavoro solo sui simboli) e inserendo i numeri alla fine.
In pratica:
LS  f S  LR
cioè:
LR 

1
1
 LS 
 f S  LR
fS
fS

LS
 LR
fS

LS
fS


Se ora sostituiamo i numeri che si riferiscono, per esempio, alla larghezza abbiamo:

Larghezza porta R 
1,1cm
100
 1,1cm 
 110cm
1
1
100
Questo secondo modo è più elegante e, di solito, semplifica l’esecuzione dei calcoli: in questo caso particolare, però, ci
ha portato ad un passaggio in cui compariva una frazione al denominatore (insomma una frazione di frazione), che a
prima vista può lasciare perplessi…
7.3 – Ricavare il fattore di scala di una rappresentazione fotografica
Esempio 3.1 – La figura è la rappresentazione fotografica di una moneta. Calcolare il fattore di scala
determinato dall’obiettivo fotografico.
Soluzione: Come è stato anticipato prima, tutti i concetti sviluppati sono applicabili alla
rappresentazione fotografica, quando non sono introdotte evidenti distorsioni.
La fotografia della moneta ci permette di misurare il valore in scala del suo
diametro, una moneta vera ci permette di misurare il suo diametro reale e da queste
due informazioni possiamo infine ricavare il fattore di scala prodotto dal processo
fotografico.
Dopo le misurazioni i nostri dati sono:
(Diametro) R  2,3cm
(Diametro) S  3,5cm

Applichiamo la formula fondamentale, che manipoleremo per isolare l’incognita,
che è, ora, il fattore di scala
(Diametro) S  f S  (Diametro) R
3,5cm  f S  2,3cm
1
1
 3,5cm 
 f S  2,3cm
2,3
2,3

3,5
 fS
2,3

12

f S  1,52
Disegnare in scala - 13
8 – Gli stili di scrittura del fattore di scala
Avrai forse notato che negli esempi precedenti il fattore di scala è stato scritto in due modi diversi: come numero in
forma decimale e come frazione. Dovresti già sapere che ogni frazione può essere riscritta nella forma di numero
decimale, eseguendo semplicemente la divisione cui corrisponde, per esempio:
2
 0,4
5
e che ogni numero decimale può essere riscritto come frazione, con una tecnica spesso molto semplice 2; per esempio
6 3
0,6 


10 5
Non dovresti dunque essere rimasto sorpreso.
La scala e le proporzioni
Nei progetti architettonici e nelle rappresentazioni cartografiche il fattore di scala sembra scritto, e soprattutto
pronunciato, in un modo totalmente diverso: su una mappa si può trovare, per esempio, l’indicazione
Scala 1 : 200.000
che tutti pronunciano “scala uno a duecentomila”, cosa che potrebbe sembrare strana perché:
- non si parla di fattore;
- il segno “:”viene pronunciato “a” e non sembra avere nulla a che fare con le operazioni matematiche, se non per
un richiamo alle proporzioni.
Questo modo di scrivere e pronunciare è il risultato di una abitudine, di una traduzione che può confondere gli inesperti,
ma se si pronuncia la stessa scrittura come “uno diviso duecentomila” la scrittura misteriosa rivela una semplice
divisione ovvero, se si preferisce, una normale frazione. In pratica, per applicare facilmente le regole di calcolo
imparate, conviene ripensare la scrittura
Scala 1 : 200.000
come
fs 
1
200000
sostituendo anche la parola “Scala” con un simbolo algebrico legato alla frazione da una relazione di uguaglianza.

In modo analogo possono essere tradotte
le scale usate più comunemente nei progetti architettonici:
Scala 1 : 20
corrisponde a
fs 
1
 0,05
20
Scala 1 : 100
corrisponde a

fs 
1
 0,01
100
La scala in forma percentuale
Esiste un altro modo ancora di esprimere
il fattore di scala che potrebbe apparirti inizialmente piuttosto strano, cioè il

modo percentuale. La parola “percentuale” è di uso abbastanza comune: parlando di prezzi (uno sconto del dieci per
cento), di questioni politiche (il 18 per cento dei votanti …), di questioni sanitarie ( il 2 per cento degli uomini si
ammala di …); in tutti i casi, apparentemente così diversi, il valore percentuale si riferisce ad una stessa idea
matematica, che può sembrare inizialmente strana ma è, in sé, abbastanza semplice
L’idea di percentuale nasce da un certo modo di vedere e di pronunciare le frazioni il cui denominatore valga 100: per
2
Le regole per trasformare un numero decimale in frazione, che dovresti già avere conosciuto, sono di due tipi: quella per i casi con
un numero finito di cifre dopo la virgola, come 12,235, e quelle per i numeri che hanno infinite cifre dopo la virgola, organizzate in
gruppi periodici, come 1, 3 oppure 14, 3576 . Nel primo caso la regola è semplice – dovresti ricordarla semplicemente studiando gli
esempi proposti ; nel secondo è un po’ complicata e strana, ma non ne parliamo in questi appunti, nei quali ci limitiamo alle
situazioni più semplici e comuni.


13
Disegnare in scala - 14
13
viene pronunciata in almeno due modi:
100
- nel modo normale, che suona “tredici centesimi”, cui siamo abituati fin dall’inizio dello studio delle frazioni;
- in un modo che suona “13 per cento”, in cui la parola “per”, contrariamente alla nostra abitudine, non indica una
moltiplicazione; questo è molto strano e può confondere e certamente la frase sarebbe più chiara se si dicesse
 ogni cento”, ma è una abitudine acquisita da molto di cui siamo costretti a tenere conto.
“tredici
esempio la frazione
Legato al secondo modo di pronunciare la frazione c’è anche un modo particolare di scrivere, più sintetico, usando il
segno %, cosi può scrivere:
13
 13%
100
in cui il segno “ ” serve a dire che i due simboli indicano, in grafie diverse, esattamente la stessa cosa.
In modo simile è immediato dire:

 47
2,3
 47%
 2,3%
100
100
eccetera...
Ma ragionamenti simili possono essere estesi abbastanza facilmente a frazioni qualunque ed a numeri qualunque
espressi in forma decimale , tenendo conto che:
 - ogni numero in forma decimale può essere trasformato in frazione;
- ogni frazione può essere trasformata in modo che il suo denominatore valga 100.
8.1 Alcuni esempi
7
20
Soluzione – Il problema può essere risolto in modo “meccanico”, secondo un metodo preciso e sicuro, oppure in modo
più diretto, “furbo”, purché si abbia un po’ d’occhio e di esperienza per i numeri. Vediamo i due casi.
Esempio 1 – Esprimere in forma percentuale la frazione
Metodo diretto – Vogliamo che il denominatorevalga 100: se ci ricordiamo che 20  5  100 allora possiamo modificare
7
75
35
la frazione con la proprietà invariantiva in questo modo:


 35%
20 20  5 100

Metodo “meccanico” – Si usa ancora la proprietà invariantiva, in un modo che dovrebbe essere chiaro dall’esempio

7  100
7
75
semplifico
20

 

 35%
stesso:
20 20  100
100
20
Il “trucco” consiste nella scelta di una frazione che produca sempre 100 al denominatore e
questo è sempre possibile, anche se poi costringe a qualche calcolo in più al numeratore; per
 schematizzare la procedura in modo generale si può scrivere:
a  100
a  100
a
semplifico
eseguo i calcoli al numeratore
...
b
b







 
...
b b  100
100
b
14,3
Esempio 2 – Esprimere in forma percentuale la frazione
35

Soluzione – Non essendo evidente per quanto bisogna moltiplicare 35 per ottenere 100 usiamo il metodo
meccanico:

100
14, 3 14, 3 35
40, 857142
41
semplifico ed eseguo i calcoli

 


 41%
100
35
35  35
100
100
N.B. – Il calcolo del numeratore eseguito con una calcolatrice fornisce un risultato decimale periodico
100
14,3
 40, 857142
35

14

Disegnare in scala - 15
che, naturalmente, non è comodo da manipolare, per cui è pratica comune troncarlo e arrotondarlo; il
punto “giusto” per il troncamento dipende, generalmente, dalle situazioni e non è necessariamente, come
qualcuno dice, alla seconda cifra dopo la virgola: parlando di fattori di scala in situazioni normali di
disegno architettonico o di arredo di interni troncare alla cifra delle unità va di solito bene.
Esempio 3 - Esprimere in forma percentuale il numero 0,37
Soluzione - Il numero 0,37 può certamente essere considerato come la frazione
0, 37
che è immediato
1
ridurre ad una frazione con denominatore 100:
0,37 
0,37 0,37 100 37


 37%
1
1100
100

Esempio 4 - Esprimere in forma percentuale il numero 1,5
Soluzione In modo simile all’esempio precedente:

1,5 1,5100 150
1,5 


 150%
1
1100
100
9 – Un’altra
 applicazione: usare bene la fotocopiatrice
Il fattore di scala in forma percentuale è usato tipicamente nelle fotocopiatrici e, spesso, nei programmi
di grafica computerizzata. Usare bene la fotocopiatrice significa risparmiare tempo e carta, evitando
inutili tentativi fatti seguendo l’intuito
Esempio 1 – Come impostare la fotocopiatrice per dimezzare un disegno
Soluzione – Per dimezzare un disegno il fattore di scala deve essere f s 
1
, che può
2
essere facilmente trasformato in forma percentuale:
fs 
1 1 50
50


 50%
2 2  50 100

La fotocopiatrice deve essere impostata con un fattore 50%
 2 – Come impostare la fotocopiatrice affinché la bocca del mostro rappresentato nella
Esempio
fotografia sia alta 4 cm
Soluzione – Misurando sulla foto, con un righello, la bocca
del mostro troviamo una altezza di circa 2,2 cm, che
corrisponde al valore “reale”; se si vuole che l’altezza nella
fotocopia, che consideriamo come valore in scala, sia di 4
cm allora il fattore di scala deve essere
L
4cm
fS  S 
 1,81

LR 2,2cm

La trasformazione di un numero periodico in forma
percentuale non è difficile ma non è neanche immediata;
siccome la fotocopiatrice non è uno strumento estremamente
preciso e, comunque, neppure la misura fatta col righello è
esatta, ci premettiamo di fare una approssimazione, così
1,82 1,82 100 182
f S  1,82 


 182%

1
1100
100
Dunque la fotocopiatrice deve essere impostata a182%

15
Disegnare in scala - 16
Appendici
A.1 Numeri giusti, numeri imprecisi, numeri e basta
Tutti sono d’accordo che 25 è un numero, come il 7 o il 5314. Qualcuno può cominciare ad avere qualche dubbio con
numeri come 12,5 o 17,324 o, peggio ancora, come 23,257893 – più sono le cifre dopo la virgola più fastidi si hanno
nel fare le operazioni. Ma sono sicuro che di fronte a una frazione quasi tutti storcano il naso: se provo a calcolarla
come divisione quasi sempre viene fuori un numero con la virgola, e va già bene se le cifre a un certo punto finiscono,
perché ci sono anche quelle che sembrano non fermarsi mai – o almeno arrivano fino in fondo allo spazio disponibile
100
sul foglio o sul display della calcolatrice: la frazione
, per esempio, produce il numero 40,857142857142857142…
35
il quale, per fortuna, contiene un gruppo di cifre che si ripete, infinitamente ma sempre uguale, il che ci permette,
almeno, di semplificarne la scrittura come 40,857142. Così ci resta un inquietante senso di mistero, e la sensazione che
alcuni numeri siano - come dire – “meno precisi” di altri, quasi più sfumati, un po’ meno numeri, insomma.

Ma le cose non stanno così: quei numeri pieni di cifre dopo la virgola non sono affatto numeri imprecisi, sono solo
numeri che hanno la “sfortuna” 
di avere una “brutta” scrittura decimale. La questione in realtà è questa: dobbiamo
distinguere fra il concetto di numero e il modo di scriverlo, di rappresentarlo: i romani, per esempio, scrivevano gli
stessi nostri numeri in un modo tutto diverso, e non conoscevano neppure la virgola. Questa considerazione è
importante e complessa: non è qui che può essere discussa in dettaglio, perciò cercherò di fartene intuire la verità
attraverso un semplice esempio.
Se cerchi di dividere in tre parti un segmento lungo 10 cm la prima cosa che può venirti in mente è quella di calcolare
la lunghezza di ogni sua terza parte3:
Ldi un terzo 
10 cm
 3,3cm
3
così, trovandoti a segnare una lunghezza espressa da un numero periodico - pari a 3 centimetri, 3 millimetri, 3 decimi
di millimetro, …e così via fino all’infinito – ti convinci subito che l’impresa è teoricamente impossibile, e sarai tentato
di dire che la divisione 10:3 corrisponde a uno di quei numeri piuttosto imprecisi.
Figura 6 – Divisione del segmento AB in tre parti uguali. Si considera una semiretta s
passante per A; sulla semiretta si considerano tre segmenti fra loro congruenti,
AC=CD=DE che non sono il risultato della divisione di AE ma, al contrario,
determinano AE succedendosi l’uno dopo l’altro. Si considerano poi i segmenti CK e
DH, paralleli al segmento EB: per il teorema di Talete deve essere esattamente vero
che:
AK  KH  HB 
1
AB .
3
Se il segmento AB misura 10 cm, il punto K individua esattamente la lunghezza che
10
cm
corrisponde al valore
3

3
Se invece di ragionare sulla divisione
numerica fai come hai imparato in
Disegno Geometrico, sfruttando il
Teorema di Talete (vedi la fig. 6) , allora
riesci teoricamente a fare una divisione
esatta - la stessa divisione di prima perché il punto che ottieni non sarà “circa
a un terzo”, ma segnerà esattamente la
terza parte del segmento lungo 10 cm, e
allora il numero che ne indica la lunghezza
deve essere altrettanto preciso, e questo
vuol dire anche che la scrittura con le cifre
decimali deve avere qualche “difetto”. La
stessa considerazione si può fare con le
divisioni 1:3, 2:3 ecc…
Insomma:
numeri senza virgola, numeri con poche
tante o infinite cifre dopo la virgola,
risultati di divisioni o di radici quadrate,
sono tutti semplicemente numeri e
corrispondono a un valore preciso, anche
se è scritto in modo strano.
…ti consiglio di eseguire il calcolo a mano, la comparsa infinita della cifra 3 dopo la virgola risulta più evidente

16
Disegnare in scala - 17
A.2 Un altro modo per trovare la formula fondamentale
Nei paragrafo 4 ti ho detto che l’intuizione suggerisce a molti due formule per eseguire disegni ingranditi o rimpiccioliti
di un oggetto: si moltiplicano o si dividono tutte le sue misure per uno stesso numero. Poi nel paragrafo 5 ho mostrato
che le due formule possono essere ridotte ad una soltanto: la formula fondamentale che è stata poi usata in tutti gli
esempi applicativi
Qualcuno può essere semplicemente d’accordo, perché ha avuto la stessa intuizione o perché si fida, qualcun altro
potrebbe restare perplesso e diffidente. C’è un modo molto rigoroso e matematico per ricavare la formula, partendo dal
significato di disegno in scala: serve un po’ di concentrazione ma poi non restano dubbi.
Fingi ora, per un po’, di non avere mai saputo cosa sia il fattore di scala.
Nel paragrafo 3 si è detto che se un disegno è veramente in scala allora il rapporto fra due misure reali deve essere lo
stesso di quello fra le corrispondenti misure in scala: per esempio, si diceva, se la misura del divano sta 3 volte nella
misura della stanza allora il disegno del divano deve stare 3 volte nel disegno della stanza. Questo può essere espresso
in una relazione matematica abbastanza semplice 4
L(B) S L(B) R

L( A) S L( A) R
Questa relazione può essere trasformata usando una delle proprietà delle uguaglianze, cioè la possibilità di moltiplicare
a sinistra e a destra per una stessa quantità:

L(B) S L(A)S L(B) R L(A)S



L(A) S L(B)R L(A) R L(B)R
L(A) S
si vede bene, perché è in grassetto, che si è moltiplicato per
L(B) R

Allora, se esegui la semplificazione fra le frazioni ottieni
L(B) S
L(A)S

L(B)R L(A) R

Questa formula mostra che il rapporto fra ogni misura in scala e la corrispondente misura reale dà sempre lo stesso
valore, che si può chiamare, appunto, fattore di scala; così si può scrivere, separando i termini dell’espressione
precedente:
L(B)
 fS
L(B)R
L(A)S
 fS
L(A) R
.................
Insomma, per un oggetto qualunque la cui misura reale sia L R e quella in scala sia LS si ha appunto

LS
LS
 fs

 L  f s  LR

LS  f s  LR
LR
LR R
che è la formula fondamentale, ricavata in modo assolutamente rigoroso.

4
ricorda che A e B indicano due oggetti o due elementi (per esempi una zampa e uno schienale di una sedia) e che L(A) rappresenta
la misura di A, che può essere quella REALE L(A) R o quella IN SCALA L(A)S e in modo simile per B…
17