Definizione classica di probabilità - PON

Definizione classica di probabilità
La probabilità classica viene determinata "a priori" cioè prima che l'evento si verifichi:
per poterlo fare dovremo supporre che i possibili risultati elementari siano equiprobabili:
esempio: lanciando un dado, se il dado non e' truccato, possiamo pensare che la
possibilità che esca una delle sei facce e' sempre la stessa;
altro esempio: estraendo a caso una carta da un mazzo di 40 possiamo pensare che la
possibilità che esca e' sempre la stessa per ognuna delle 40 carte considerate
questo ci porta a definire la probabilità classica in un gruppo completo di eventi due a
due incompatibili.
Definiamo probabilità di un evento il rapporto fra il numero dei casi favorevoli ed il
numero dei casi possibili supposti tutti ugualmente possibili
Indichiamo la probabilità p di un evento E con i simboli
m
p = P(E) = ---n
essendo m il numero dei casi favorevoli ed n il numero dei casi possibili
Ad esempio troviamo la probabilità che lanciando un dado esca un numero pari
I numeri pari sono 2, 4, 6: m=3
i casi possibili sono 1,2,3,4,5,6,: n=6
m
3
1
p = P(E) = ---- = ---- = --n
6
2
Valgono le proprietà
•
La probabilità di un evento e' sempre compresa fra 0 ed 1
0 P(E) 1
1 e' la probabilità dell'evento certo P(S) = 1
0 e' la probabilià' dell'evento impossibile P(Ø) = 0
•
Se E1 ed E2 sono eventi incompatibili si ha
P(E1 E2) = P(E1) + P(E2)
Esempi
•
Problema 1
Calcolare la probabilità, lanciando un dado, di ottenere un numero superiore a 4
Nel lancio di un dado posso ottenere un numero superiore a 4 se esce 5 oppure 6, quindi ho due casi favorevoli
I casi possibili sono 6 (le sei facce del dado), quindi:
2
1
p = ---- = --- = 0,333333... = 0,3_~33,33%
6
3
Ho usato il simbolo ~ per indicare l'approssimazione
Nella percentuale ho approssimato alla seconda cifra decimale.
Per fare la percentuale basta spostare la virgola verso destra di 2 posti e dividere per 100:
0,3333 = 33,33/100 = 33,33%
•
Problema 2
Calcolare la probabilità, lanciando una moneta di ottenere testa
Nel lancio di una moneta posso ottenere o testa o croce (suppongo che la moneta non possa restare appoggiata
su un bordo)
I casi favorevoli sono 1;
I casi possibili sono 2 (le due facce della moneta), quindi:
1
p = ---- = 0,5 = 50%
2
•
Problema 3
Un sacchetto contiene 20 palline, 10 bianche , 6 rosse e 4 verdi;
Calcolare la probabilità che, estraendo a caso una pallina, essa sia verde
Le palline verdi sono 4 quindi ho 4 casi favorevoli
I casi possibili sono 20 (numero totale di palline), quindi:
4
1
p = ---- = --- = 0,2 = 20%
20
5
•
Problema 4
Calcolare la probabilità, estraendo una carta da un mazzo di 40, di trovare un asso
In un mazzo di 40 carte vi sono 4 assi quindi ho quattro casi favorevoli
I casi possibili sono 40, quindi:
4
1
p = ---- = --- = 0,1 = 10%
40 10
Esercizi con uso della probabilità totale
Esercizio 1
Trovare la probabilità di estrarre il re di cuori oppure l'asso di picche da un mazzo di 52
carte
Svolgimento
Il problema mi dice che devo estrarre o il re di cuori o l'asso di picche
I due eventi sono incompatibili quindi applico il teorema della probabilità totale
Probabilità = probabilità di estrarre il re di cuori + probabilità di estrarre l'asso di picche
Calcolo le singole probabilità
probabilità di estrarre il re di cuori = 1/52
probabilità di estrarre l'asso di picche = 1/52
1
1
1
2
Probabilità totale = --- + --- = --- = --- ~ 0,038 = 3,8%
52 52 52 26
La probabilità e' circa del 3,8%
Esercizio 2
Abbiamo un sacchetto con 10 palline bianche, 20 rosse e 30 nere: trovare la probabilita' di
estrarre una pallina bianca oppure nera
Svolgimento
Il problema mi dice che devo estrarre o una pallina bianca oppure una pallina nera
I due eventi sono incompatibili quindi applico il teorema della probabilità totale
Probabilità = probabilità di estrarre una pallina bianca + probabilità di estrarre una pallina
nera
Calcolo le singole probabilità
le palline in totale sono 60
probabilità di estrarre una pallina bianca = 10/60 = 1/6
probabilità di estrarre una pallina nera = 30/60 = 1/2
1
2
1
4
Probabilità totale = --- + --- = --- = --- ~ 0,067 = 6,7%
6
2
6
3