Matteo Moda Geometria e algebra lineare Fasci N.B.: Questo argomento si trova sull’eserciziario Fasci di rette nel piano 1 Fasci Matteo Moda Geometria e algebra lineare Fasci di piani nello spazio 2 Fasci Matteo Moda Geometria e algebra lineare Fasci Date due rette r ed r’ di equazione: : 0 : 0. L’equazione del fascio sarà: 0 , ∈ , 0,0. Una variante dell’equazione del fascio sarà: 0 ∈ ∪ #∞% Esempio Considero due punti A(1,2) e B(3,5). Posso studiare l’equazione del del fascio nel punto A e poi considerare quella retta del fascio che passa anche per B. B A Dati due piani nello spazio: : 0 : 0 L’equazione del fascio sarà: 0 , ∈ , 0,0 Oppure anche nella forma: 0 Esercizio 3 0! Data la retta r: 1), determinare il piano passante per r e P. e il punto P(1,1,-1), 2 1 0 L’equazione del fascio di piani sarà: 3 2 1 0.. Sostituisco P per ottenere K e ottengo il piano desiderato: 3-1-1+k(2-1+1)=0 3 -> k=1/2->> sostituisco k all’equazione originaria e ottengo l’eq. del piano: 4x-2y+z 2y+z-1=0 3 Matteo Moda Geometria e algebra lineare Fasci Fasci di circonferenze: Date 2 circonferenze &' : ( + ( + + + = 0 &( : ( + ( + + + = 0 &' ≠ &( . Il fascio di circonferenze sarà dato dall’equazione: &' + &( = 0 , ≠ 0,0 oppure &' + )&( = 0 ∈ ∪ {∞} Asse radiale del fascio A B Esempio Dati A,B pti base delle 2 circonferenze A B 4 Matteo Moda Geometria e algebra lineare Fasci L’equazione del fascio sarà: ( ( 0. Di solito l’equazione del fascio è di secondo grado, ma cosa succede se + = 0? Ottengo la retta passante per A e B, mentre se + è diverso da 0 ottengo le circonferenze. Due circonferenze tangenti sono passanti per un punto base doppio ?≡A Se due circonferenze non si intersecano si parla di intersezione immaginaria A B I centri della circonferenza sono situati sulla medesima retta, la quale interseca l’asse radiale nel suo pto. Medio. Nell’intersezione immaginaria l’asse radiale non esiste-> l’eq. degenera + = 0! ,-./,00 1, det | ′| = 0 07 -0ℎ + + = 0 ′ Premessa per le coniche/quadriche: Una conica/quadrica dipendente da un parametro può essere: 2 + − + ( − = 0. : 1,.- è / 1,0 0 , 7.0 0 0ℎ: 2 − + ( + − 1 = 0 ∈ Fasci di coniche: Date due coniche: &' : 7'<,= = 0 &( : 7(<,= = 0 7' , 7( 0 > 2, l’equazione dei fasci sono: 7' , + 7( , = 0 , ≠ 0,0 oppure 7' , + 7( , = 0 ∈ ∪ {∞} Pti. In comune immaginari 5 Matteo Moda Geometria e algebra lineare Fasci Mentre due circonferenze hanno solo due punti in comune, le coniche possono averne di più Esempio B A D C ?A ∪ &B è , 0 > ?& ∪ AB è , 0 > ?B ∪ A& è , 0 > Combinando linearmente i tre ottengo un fascio Se voglio ottenere tutti i punti di una circonferenza all’infinito devo usare le coordinate omogenee, cioè: ( + ( + + + = 0 ( + ( + , + , + ,( = 0 Ma con u=0: ,=0 ! + ( EF = 1, −0, 0 + ( = 0 → D,-0 0/00: EF = 1, 0, 0; HHH Se ho un fascio e uso i punti ciclici ottengo: 6 Matteo Moda Geometria e algebra lineare Fasci Retta impropria EF EHHH F A B I punti per cui passa la circonferenza sono 4: (A,B, EF , HHH EF ) Se + ,0 ! , + , + ,( = 0 → + + , → 0 > Se ?EF ∪ AEHHH F ∨ AEF ∪ ?EHHH KF F / 0 è > DD-0 . J ,0ℎ DD-0 è ?A ∪ EF HHH Dati determinati punti base distinti, questi appartengono a un fascio di coniche EF EHHH F A≡B Con un fascio di coniche possiamo avere due o più punti coincidenti. Esempio Dati i punti A(1,1), B(1,-1), C(0,0) tangenti all’asse x (y=0), e sapendo che: ?A ∪ && ?& ∪ A&, studiare il fascio Studio l’equazioni delle rette passanti per i punti considerati: ?A: − 1 = 0 &&: = 0 ?&: − = 0 A&: + = 0 7 Matteo Moda Geometria e algebra lineare Fasci L’equazione del fascio sarà: 1 + − + = 0 ∈ . Sviluppando l’equazione si ottiene l’equazione della generica conica del fascio: ( − ( + − = 0. Considero ora la 1 /2 0 1 /2 L −1 −/2O / P-0 ? = Q matrice ? = M/2 R. Determino ora l’invariante /2 −1 0 −/2 0 UV cubico ST = det ?L = − . Quindi ST = 0 ↔ = 0 → 2 0ℎ >0 D S( < 0 Dℎè & = W B (quindi in realtà dovrebbero essere 3). Calcolo l’invariante quadratico S( = det ? = −1 − W < 0 → . ST ≠ 0 → 7.0 0 0D/0 Calcolo S' = - ? = 1 − 1 = 0 → 0D/0 1,0/- UV 8 Matteo Moda Geometria e algebra lineare Esempio Dati i punti A(1,1)=B tangente alla retta x+y-2=0, e C(0,0)=D tangente alla retta y=0. Sapendo che ?A ∪ &B → + − 2 = 0, = 0 ?& ∪ AB → − = 0, − = 0, studiare il fascio. + − 2 + − ( = 0 Sviluppo l’equazione e ottengo: + ( + 1 + 1 − 2 − 2 = 0. ' ' − 0 ( − ( Considero la matrice ?L = Z' − + 1 −1[ ? = \' ]. Studio gli invarianti: ( − + 1 ( 0 −1 0 ST = det ?L = − → . = 0⋁ = ∞ 7.0 0 ,0/ L’equazione del fascio sarà: ( 9 Fasci Matteo Moda Geometria e algebra lineare . ST ≠ 0 allora: 1 1 →= 4 8 Se k=1/8 -> parabola S( = det ? = 2 − Se k>1/8-> ellisse a punti reali (k infatti è reale) 10 Fasci Matteo Moda Geometria e algebra lineare Se k<1/8 iperbole e, in particolare se S' 0 → 2 + 1 = 0 → = −1/2 si ha un’iperbole equilatera Esempio Dati i punti A=(1,1)=B tangenti alla retta x-y=0, e C=(0,0)=D tangenti alla retta y=0. Sapendo che ?A ∪ &B → − = 0, = 0 ?& ∪ AB → − = 0 DD0, studiare il fascio. 11 Fasci Matteo Moda Geometria e algebra lineare Fasci L’equazione del fascio è: ( 0 ∈ ∪ {∞}. Sviluppo l’equazione e ottengo: U U 1 −1 0 ( 1 −1 ( ( ( 1 L + − + − 2 = 0. Considero le matrici ? = ZU − 1 1 − 0[ ? = \U ]. ( −1 1− ( 0 0 0 ST = det ?L = 0 → / -- / 7.0 . 0 ,00/0 1,.- , PD-0 Calcolo S( = det ? = − UV W Se k=0 ottengo due rette coincidenti Se k è diverso da 0 ottengo due rette distinte 12