Matteo Moda Geometria e algebra lineare Fasci 1 N.B.: Questo

Matteo Moda
Geometria e algebra lineare
Fasci
N.B.: Questo argomento si trova sull’eserciziario
Fasci di rette nel piano
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Fasci
Matteo Moda
Geometria e algebra lineare
Fasci di piani nello spazio
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Fasci
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Fasci
Date due rette r ed r’ di equazione: : 0 : 0. L’equazione del
fascio sarà: 0 , ∈ , 0,0. Una variante
dell’equazione del fascio sarà: 0 ∈ ∪ #∞%
Esempio
Considero due punti A(1,2) e B(3,5). Posso studiare l’equazione del
del fascio nel punto A e poi
considerare quella retta del fascio che passa anche per B.
B
A
Dati due piani nello spazio: : 0 : 0
L’equazione del fascio sarà: 0 , ∈
, 0,0
Oppure anche nella forma: 0
Esercizio
3 0!
Data la retta r:
1), determinare il piano passante per r e P.
e il punto P(1,1,-1),
2 1 0
L’equazione del fascio di piani sarà: 3 2 1 0.. Sostituisco P per ottenere K
e ottengo il piano desiderato: 3-1-1+k(2-1+1)=0
3
-> k=1/2->> sostituisco k all’equazione originaria e
ottengo l’eq. del piano: 4x-2y+z
2y+z-1=0
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Fasci
Fasci di circonferenze: Date 2 circonferenze &' : ( + ( + + + = 0 &( : ( + ( + +
+ = 0 &' ≠ &( . Il fascio di circonferenze sarà dato dall’equazione: &' + &( =
0 , ≠ 0,0 oppure &' + )&( = 0 ∈ ∪ {∞}
Asse radiale del fascio
A
B
Esempio
Dati A,B pti base delle 2 circonferenze
A
B
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Fasci
L’equazione del fascio sarà: ( ( 0. Di solito
l’equazione del fascio è di secondo grado, ma cosa succede se + = 0? Ottengo la retta passante per A e
B, mentre se + è diverso da 0 ottengo le circonferenze.
Due circonferenze tangenti sono passanti per un punto base doppio
?≡A
Se due circonferenze non si intersecano si parla di intersezione immaginaria
A
B
I centri della circonferenza sono situati sulla medesima retta, la quale interseca l’asse radiale nel
suo pto. Medio.
Nell’intersezione immaginaria l’asse radiale non esiste-> l’eq. degenera
+ = 0!
,-./,00 1, det | ′| = 0 07 -0ℎ
+
+ = 0
′
Premessa per le coniche/quadriche: Una conica/quadrica dipendente da un parametro può essere:
2 + − + ( − = 0. : 1,.- è / 1,0 0 , 7.0 0 0ℎ: 2 − +
( + − 1 = 0 ∈ Fasci di coniche: Date due coniche: &' : 7'<,= = 0 &( : 7(<,= = 0 7' , 7( 0 > 2,
l’equazione dei fasci sono: 7' , + 7( , = 0 , ≠ 0,0 oppure
7' , + 7( , = 0 ∈ ∪ {∞}
Pti. In comune immaginari
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Fasci
Mentre due circonferenze hanno solo due punti in comune, le coniche possono averne di più
Esempio
B
A
D
C
?A ∪ &B è , 0 >
?& ∪ AB è , 0 >
?B ∪ A& è , 0 >
Combinando linearmente i tre ottengo un fascio
Se voglio ottenere tutti i punti di una circonferenza all’infinito devo usare le coordinate omogenee,
cioè:
( + ( + + + = 0
( + ( + , + , + ,( = 0
Ma con u=0:
,=0
!
+ (
EF = 1, −0, 0
+ ( = 0 → D,-0 0/00: EF = 1, 0, 0; HHH
Se ho un fascio e uso i punti ciclici ottengo:
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Retta impropria
EF
EHHH
F
A
B
I punti per cui passa la circonferenza sono 4: (A,B, EF , HHH
EF )
Se +
,0
!
, + , + ,( = 0 → + + , → 0 >
Se ?EF ∪ AEHHH
F ∨
AEF ∪ ?EHHH
KF
F / 0 è > DD-0 . J ,0ℎ DD-0 è ?A ∪ EF HHH
Dati determinati punti base distinti, questi appartengono a un fascio di coniche
EF
EHHH
F
A≡B
Con un fascio di coniche possiamo avere due o più punti coincidenti.
Esempio
Dati i punti A(1,1), B(1,-1), C(0,0) tangenti all’asse x (y=0), e sapendo che: ?A ∪ && ?& ∪ A&,
studiare il fascio
Studio l’equazioni delle rette passanti per i punti considerati:
?A: − 1 = 0
&&: = 0
?&: − = 0
A&: + = 0
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Fasci
L’equazione del fascio sarà: 1 + − + = 0 ∈ . Sviluppando l’equazione
si ottiene l’equazione della generica conica del fascio: ( − ( + − = 0. Considero ora la
1
/2
0
1
/2
L
−1
−/2O / P-0 ? = Q
matrice ? = M/2
R. Determino ora l’invariante
/2 −1
0
−/2
0
UV
cubico ST = det ?L = − . Quindi ST = 0 ↔ = 0 → 2 0ℎ >0 D S( < 0 Dℎè & =
W
B (quindi in realtà dovrebbero essere 3).
Calcolo l’invariante quadratico S( = det ? = −1 − W < 0 → . ST ≠ 0 → 7.0 0 0D/0
Calcolo S' = - ? = 1 − 1 = 0 → 0D/0 1,0/-
UV
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Esempio
Dati i punti A(1,1)=B tangente alla retta x+y-2=0, e C(0,0)=D tangente alla retta y=0. Sapendo che
?A ∪ &B → + − 2 = 0, = 0 ?& ∪ AB → − = 0, − = 0, studiare il fascio.
+ − 2 + − ( = 0
Sviluppo l’equazione e ottengo: + ( + 1 + 1 − 2 − 2 = 0.
'
'
− 0
(
−
(
Considero la matrice ?L = Z' − + 1 −1[ ? = \'
]. Studio gli invarianti:
(
−
+
1
(
0
−1
0
ST = det ?L = − → . = 0⋁ = ∞ 7.0 0 ,0/
L’equazione del fascio sarà:
(
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Fasci
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. ST ≠ 0 allora:
1
1
→=
4
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Se k=1/8 -> parabola
S( = det ? = 2 −
Se k>1/8-> ellisse a punti reali (k infatti è reale)
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Se k<1/8 iperbole e, in particolare se S' 0 → 2 + 1 = 0 → = −1/2 si ha un’iperbole
equilatera
Esempio
Dati i punti A=(1,1)=B tangenti alla retta x-y=0, e C=(0,0)=D tangenti alla retta y=0. Sapendo che ?A ∪
&B → − = 0, = 0 ?& ∪ AB → − = 0 DD0, studiare il fascio.
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Fasci
L’equazione del fascio è: ( 0 ∈ ∪ {∞}. Sviluppo l’equazione e ottengo:
U
U
1
−1 0
(
1
−1
(
(
( 1
L
+
− + − 2 = 0. Considero le matrici ? = ZU − 1 1 − 0[ ? = \U
].
(
−1 1−
(
0
0
0
ST = det ?L = 0 → / -- / 7.0 . 0 ,00/0 1,.- , PD-0
Calcolo S( = det ? = −
UV
W
Se k=0 ottengo due rette coincidenti
Se k è diverso da 0 ottengo due rette distinte
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