Le funzioni goniometriche

Le funzioni goniometriche
Iniziamo con definire una circonferenza particolare che sarà fondamentale per studiare tutti i
concetti che verranno introdotti di seguito
Definizione: si definisce circonferenza goniometrica la circonferenza avente centro l’origine e
raggio unitario.
L’equazione della circonferenza goniometrica è
x2 + y2 = 1
Poiché per determinare un punto nel piano cartesiano sono necessari due dati (ascissa e coordinata),
ed essendo la circonferenza goniometrica parte del piano, per individuare un punto su di essa sono
necessarie due informazioni. Vediamo di ottenerle in maniera diversa, legandole ad un angolo e al
raggio (unitario).
Osservazioni
Per convenzione gli angoli lungo la circonferenza goniometrica si iniziano a contare dal punto
(1,0) in senso antiorario.
Gli angoli poi si misurano in radianti, cioè 180° (il punto (-1,0) sul grafico) corrispondono ad un
angolo che chiameremo π .
E’ possibile allora convertire ogni angolo α misurato nel metodo sessagesimale tradizionale in un
angolo espresso in radianti mediante la seguente proporzione
α : x = 180 : π
(1)
da cui si ottiene
x=
180π
α
E’ possibile utilizzare la formula (1) per ottenere la misura in gradi avendo a disposizione la misura
in radianti.
Riportiamo una tabella di corrispondenza gradi/radianti per alcuni angoli i cui valori saranno
maggiormente coinvolti di seguito.
Gradi
Radianti
0
0
30
π
6
π
45
4
π
60
3
π
90
2
180
π
270
3
π
2
Osservazione(importante): è possibile misurare gli angoli ruotando in senso orario ma si deve
mettere un segno meno davanti al valore dell’angolo per indicare
appunto il fatto che ci si sta muovendo in senso orario (opposto a quello
convenzionale e che viene considerato positivo).
Esempio
7
Un angolo α = π espresso in senso antiorario (convenzione positiva) può essere espresso anche
4
nel modo seguente α = −
π
4
(senso orario, segno negativo).
Torniamo a considerare al circonferenza goniometrica e la rappresentazione dei punti appartenenti
ad essa.
Il punto P appartenente alla circonferenza, può essere individuato oltre che dal metodo tradizionale
delle coordinate ( x, y ) , nel modo seguente:
poiché appartiene alla circonferenza goniometrica, avrà distanza pari al raggio (cioè DP = 1 ,
questo determina la condizione di appartenenza alla circonferenza assegnata);
l’angolo α individua univocamente sulla circonferenza il punto P, poiché, utilizzando la
convenzione sugli angoli, è possibile stabilire la seguente relazione
Ad un angolo α misurato con
un punto P sulla circonferenza
goniometrica
determina
in
maniera univoca un angolo α
la
sono due
convenzione
adottata
corrisponde un unico punto P
affermazioni
sulla circonferenza di raggio
equivalenti
assegnato
Pertanto
y
π
2
P
α
π
O
H 0
x
3
π
2
In questo modo è possibile legare la posizione di P all’angolo α , infatti le proiezioni del punto
sull’asse x e sull’asse y sono rispettivamente l’ascissa di P, che chiameremo coseno di α e
l’ordinata di P, che chiameremo seno di α . Si pone allora:
 Px = cos α

 Py = sin α
(2)
In questo modo la posizione del punto P viene descritta completamente dall’angolo α misurato
come da convenzione.
Osservazione
Il raggio non compare (2) poiché è di misura unitaria, se così non fosse la (2) avrebbe la forma
seguente
 Px = r cos α

 Py = r sin α
Dove r rappresenta il raggio della circonferenza che si sta considerando.
Quest’ultimo caso generale costituisce la rappresentazione dei punti del piano in coordinate
polari.(tramite un raggio r e una direzione α ).
Il triangolo POH risulta rettangolo in H, è possibile applicare ad esso il teorema di Pitagora:
2
2
PH + HO = PO
2
poiché PO = 1
2
2
PH + HO = 1
per la convenzione adottata nella (2) allora ∀α ∈ R
Formula fondamentale
sin 2 α + cos 2 α = 1
della goniometria
Angoli particolari per seno e coseno: valori noti
E’ possibile calcolare il valore per seno e coseno per alcuni angoli particolari, utilizzando
costruzioni di geometria elementare.
1) α = 0
In questo caso il raggio è proiettato esclusivamente lungo l’asse x, quindi
sin 0 = 0

cos 0 = 1
(la proiezione lungo l’asse y nulla)
2) α =
π
6
y
P π
π
O
3
x
6
H
Poiché il triangolo è rettangolo,e ha angoli di 30 ° e 60°, esso è la metà di un triangolo equilatero,
pertanto:
O
P
H
L’altezza PH divide la base in due parti uguali, poiché il lato misura PO = 1 , ed essendo il
1
triangolo equilatero, allora PH = .
2
Applicando il teorema di Pitagora, allora
2
2
1
3
3
OH = PO − PH = 1 − =
=
4
4
2
Pertanto
 π 1
sin 6 = 2

cos π = 3

6
2
3) α =
π
4
y
π
4
π
4
x
Poiché il triangolo è rettangolo,e ha due angoli di 45 ° è un triangolo rettangolo isoscele, quindi è
metà di un quadrato, di cui il raggio unitario è la diagonale, pertanto ricordando la formula che lega
diagonale e lato di un quadrato:
d =l 2
si ottiene, razionalizzando:
l=d
2
2
Poiché nel nostro caso d=1, i lati, cioè le proiezioni del raggio sugli assi x e y valgono entrambe
2
.
2
Pertanto
 π
2
sin =
 4
2

cos π = 2

4
2
4) α =
π
3
y
P
π
6
π
3
O
H
x
Poiché il triangolo è rettangolo e ha angoli di 30 ° e 60°, esso è la metà di un triangolo equilatero, si
tratta inoltre del triangolo visto nel caso 1) con base ed altezza invertite, quindi anche i valori di
seno e coseno verranno invertiti:
 π
sin =
3

cos π =

3
3
2
1
2
5) α =
π
2
In questo caso il raggio è proiettato esclusivamente lungo l’asse y, quindi
 π
sin 2 = 1

cos π = 0

2
(la proiezione lungo l’asse x nulla)
3
π si ricavano facilmente tracciando la circonferenza
2
goniometrica e osservando che il raggio si sviluppa completamente lungo gli assi.
I valori di seno e coseno in π e
Osservazione
Poiché seno e coseno si misurano rispettivamente lungo l’asse y e l’asse x , il primo è positivo nel
primo e secondo quadrante, negativo nel terzo e quarto, mentre il coseno è positivo nel primo e
quarto quadrante, negativo nel secondo e nel terzo.
y
II quadrante
sin x > 0
cos x < 0
I quadrante
sin x > 0
cos x > 0
O
III quadrante
sin x < 0
cos x < 0
x
IV quadrante
sin x > 0
cos x > 0
Prima di riassumere i dati ottenuti in una tabella definiamo la tangente e la cotangente di un angolo.
Definizione: si definisce tangente dell’angolo α il rapporto:
tan α =
sin α
cos α
La tangente non è definita per quei valori in cui il coseno vale zero, cioè
π 3
, π.
2 2
Definizione: si definisce cotangente dell’angolo α il rapporto:
ctgα =
cos α
sin α
La cotangente non è definita per quei valori in cui il seno vale zero, cioè 0, π .
Specificheremo meglio tra breve i valori per cui non sono definite tangente e cotangente.
Inoltre tra tangente e cotangente vale la seguente relazione:
tan α =
1
ctgα
Tabella con i principali valori noti per le funzioni goniometriche
0
sin α
0
cos α
1
tan α
0
ctgα
¬∃
π
π
π
π
6
1
2
4
2
2
2
2
3
3
2
1
2
2
1
1
3
2
3
3
3
π
3
π
2
1
0
-1
0
-1
0
3
¬∃
0
¬∃
3
3
0
¬∃
0
Osservazione
Il simbolo ¬∃ significa “non esiste”, infatti ∃ indica l’esistenza, mentre il connettore logico ¬
indica la negazione.
Le funzioni periodiche
Prima di dare la definizione di funzione periodica, vediamo di illustrare il comportamento del seno
e del coseno. Il fatto di tracciare il grafico delle funzioni goniometriche, che sono funzioni
periodiche, permette di avere un’idea del concetto che si vuole definire.
Supponiamo che sulla circonferenza goniometrica il punto P si muova, con velocità costante,
osserviamo il tipo di movimento che si ottiene proiettando la posizione di P su uno schermo.
y
I punti rappresentano la
posizione del punto in
π
coordinate cartesiane e i
2
Il punto P si muove
con velocità costante
P
valori tra cui oscilla la
lungo la circonferenza
funzione
goniometrica
(-1,0)
(1,0)
x
π
0 ≡ 2π
O
L’angolo in radianti
rappresenta
la
posizione del punto in
3
π
2
coordinate polari
-π
π
0
Proiezione
del
punto P su una
retta.
Estremi di oscillazione per la proiezione del
punto P sulla retta.
Osservazioni
0 è la proiezione dell’origine (ma anche del punto più alto (0,1) e più basso (0,-1)) sulla
retta;
- π è la proiezione della posizione estrema a sinistra per il punto P;
π è la proiezione della posizione estrema a destra per il punto P.
Pertanto l’insieme dei valori che descrivono la posizione della proiezione è compreso tra [− π ; π ] ,
tale intervallo ha ampiezza 2π , quindi effettuando una opportuna traslazione lo possiamo
identificare con l’intervallo [0;2π ] .
Supponiamo ora di far scorrere un foglio sotto la proiezione di P sulla retta e che essa lasci una
traccia sulla carta, il grafico che otteniamo è il seguente:
Consideriamo ora le funzioni seno e coseno, poiché sono legate alla proiezione del punto P sull’asse
y e sull’asse x, il loro grafico avrà un andamento simile a quello dello schema appena visto.
Funzione seno
Il seno misura l’altezza del punto P sulla circonferenza goniometrica a partire dall’angolo iniziale in
cui vale zero, poi cresce sino ad arrivare al valore massimo 1, che viene assunto in
ad assumere nuovamente 0 in π e -1, valore minimo, in
π
2
, decresce sino
3
π , per poi crescere di nuovo per arrivare
2
nuovamente al valore 0 quando l’angolo vale 2π che coincide con la posizione iniziale. Il
procedimento poi si ripete.
Pertanto il grafico avrà il seguente andamento:
Funzione coseno
Il coseno misura la proiezione sull’asse delle x (“la base”) del punto P appartenente alla
circonferenza goniometrica a partire dall’angolo iniziale in cui vale 1, poi decresce sino ad arrivare
al valore nullo, che viene assunto in
π
2
, decresce sino ad assumere il valore minimo -1 in π , poi
riprende a crescere e assume nuovamente valore nullo
3
π , per poi continuare a crescere e arrivare
2
nuovamente al valore 1 quando l’angolo vale 2π che coincide con la posizione iniziale. Il
procedimento poi si ripete.
Pertanto il grafico avrà il seguente andamento:
Le funzioni seno e coseno pertanto possono assumere soltanto valori compresi tra [− 1;1] .
− 1 ≤ sin x ≤ 1
− 1 ≤ cos x ≤ 1
Funzione tangente
La funzione tangente è definita dalla relazione tan x =
Py
sin x
, cioè è il rapporto
delle proiezioni
cos x
Px
del punto P.
Graficamente tale rapporto rappresenta il segmento evidenziato dal seguente disegno.
T
y
I
triangoli
POH
e
TOK
sono
simili(angolo in O in comune, gli altri
P
sono congruenti poiché si ottengono
da due rette parallele tagliate dalla
α
O
trasversale TO), pertanto
H
K
x
PH:OH=TK:OK, cioè
sin α : cos α = TK : 1 da cui si ricava
TK =
sin α
, che è la tangente di α .
cos α
La tangente rappresenta la misura del segmento TK al variare di α . In corrispondenza dell’angolo
nullo il segmento avrà lunghezza zero, per poi aumentare sino a valori infinitamente grandi quando
α→
π
2
. Appena passato il valore
π
2
il segmento si trova nel semipiano negativo delle y
( sin α > 0, cos α < 0 nel secondo quadrante) e avrà lunghezza infinita, poi all’aumentare dell’angolo
la sua lunghezza diminuisce sino a valere di nuovo zero in corrispondenza di π .
Da π a
2
π
π il segmento coincide con quello osservato (lunghezza e orientamento) tra 0 e
,
3
2
mentre tra
2
π e 2π l’andamento è uguale a quello dell’intervallo
3
π 
 2 ; π  .
Pertanto il grafico avrà il seguente andamento:
La tangente è si ripete ad intervalli di ampiezza π
Funzione cotangente
La funzione cotangente è definita dalla relazione ctgx =
Py
1
cos x
=
, cioè è il rapporto
delle
tan x sin x
Px
proiezioni del punto P.
Graficamente tale rapporto rappresenta il segmento evidenziato dal seguente disegno.
y
I
triangoli
POH
e
TOK
sono
simili(angolo in O in comune, gli altri
K
sono congruenti poiché si ottengono da
H
T
due
P
parallele
tagliate
dalla
trasversale TO), pertanto
α
O
rette
PH:OH=TK:OK, cioè
x
cos α : sin α = TK : 1 da cui si ricava
TK =
cos α
, che è la cotangente di α .
sin α
La cotangente rappresenta la misura del segmento TK al variare di α . Con considerazioni analoghe
a quelle per al tangente si deduce che il grafico è:
Osservazioni
La cotangente è si ripete ad intervalli di ampiezza π ;
Il grafico della cotangente è deducibile da quello della tangente in quanto ctgα =
1
.
tan α
Visti i comportamenti delle funzioni goniometriche passiamo ora a definire le funzioni periodiche.
Definizione: una funzione f si dice periodica di periodo T se ∀x ∈ Df
f (x + T ) = f (x ) .
Da quanto visto segue che
Seno e coseno sono funzioni periodiche di periodo 2π .
Tangente e cotangente sono funzioni periodiche di periodo π .
Quindi:
sin (x + 2π ) = sin x
cos( x + 2π ) = cos x
Angoli associati
Analizzando i grafici di seno e coseno, con l’aiuto anche della tabella dei valori è possibile
individuare alcune corrispondenze tra i valori di seno e coseno, i cosiddetti angoli associati.
Vedremo soltanto alcuni casi
y
Dal
grafico
si
può
osservare chiaramente che
il segmento in neretto, la
cui lunghezza è costante,
rappresenta il seno degli
π −α
α
angoli a,−α , π − α
x
O −α
allora
sin (− a ) = − sin α
sin (π − a ) = sin α
y
Dal
grafico
si
può
osservare chiaramente che
il segmento in neretto, la
cui lunghezza è costante,
rappresenta il coseno degli
π −α
α
angoli a,−α , π − α
x
O −α
allora
cos(− α ) = cos(2π − α ) = cos α
cos(π − α ) = − cos α
Ricordando la definizione di tangente e cotangente si ha:
tan (− α ) = − tan α
ctg (− α ) = −ctgα
E’ possibile individuare archi associati per altri angoli, come
π
2
− α , vedremo però come sia più
agevole risolvere tali valori utilizzando le formule di addizione e sottrazione.
Le funzioni inverse
Riprendiamo il concetto di funzione
Definizione: dati due insiemi A e B, si definisce funzione f da A in B, e si indica f : A → B , una
corrispondenza tra elementi di A ed elementi di B, tale che ad ogni elemento x ∈ A ,
associa uno ed un solo elemento y ∈ B .
Scriveremo
f :A→B
x a y = f (x )
Definizione: data una funzione f : A → B , si definisce:
i)
A dominio della funzione;
ii)
B codominio della funzione;
iii)
f ( A) = {y ∈ B | ∃x ∈ A, y = f ( x )} immagine di A tramite f.
Esempio
1) f è una funzione
a
1
b
2
c
3
d
4
2) f è una funzione
a
1
b
2
c
3
d
4
3) f non è una funzione
a
1
b
2
c
3
d
4
4) f non è una funzione
a
b
c
1
2
3
4
Definizione: dati due insiemi A e B, una funzione f : A → B si definisce iniettiva se ∀x, y ∈ A , con
x ≠ y si ha che f ( x ) ≠ f ( y ) (oppure equivalentemente: se ∀x, y ∈ A tali che
f ( x ) = f ( y ) risulti x = y ).
Cioè un valore y 0 di una funzione viene assunto soltanto da un valore x0 del dominio.
Definizione: dati due insiemi A e B, una funzione
f : A → B si definisce suriettiva se
∀y ∈ B∃x ∈ A tale che y = f ( x ) .
Cioè tutti i valori b ∈ B sono valori assunti dalla funzione.
Definizione: dati due insiemi A e B, una funzione
f : A → B si definisce biiettiva se
∀y ∈ B∃! x ∈ A tale che y = f ( x ) , che si può esprimere anche affermando che ad ogni
elemento di x ∈ A corrisponde uno ed un solo elemento y ∈ B e viceversa.
Cioè è possibile considerare la funzione che va da B → A e permette di effettuare l’associazione
inversa a quella di f (“permette di effettuare il cammino inverso tra elementi, cioè da b a a ”).
Definizione: dato un insieme A non vuoto, si definisce funzione identità (o identica) e la si indica Ι x
quella funzione tale che:
Ιx : A → A
x a Ι x (x ) = x
Definizione: data una funzione f : A → B , si definisce funzione inversa di f e la si indica f −1 ,
(
)
(
)
quella funzione tale che f −1 : B → A e f o f −1 ( x ) = f −1 o f ( x ) = Ι x
Teorema: una funzione f ammette inversa se e solo se è biiettiva.
Teorema: se una funzione è invertibile, la sua inversa f −1 è unica.
Torniamo a considerare le funzioni goniometriche e vediamo di ottenere le loro funzioni inverse.
Consideriamo il grafico del seno, considerazioni analoghe potranno essere fatte per il coseno.
Il grafico mostra che la funzione seno non è iniettiva, pertanto non è invertibile.
Osserviamo la funzione seno:
sin x : R → [− 1;1]
Se restringiamo il dominio in modo tale che la linea orizzontale intersechi il grafico una sola volta,
allora
la
funzione
seno
è
iniettiva
ed
inoltre
è
iniettiva,
poiché
∀y ∈ [− 1;1]∃x ∈ Dom(sin x )t.c. y = sin ( x )
Essendo il seno in tale intervallo iniettiva e suriettiva risulta essere biiettiva, pertanto invertibile.
Definizione: si definisce arcoseno, funzione inversa del seno, la funzione
 π π
arcsin x : [− 1;1] → − ;  tale che ad un valore b del dominio associa l’angolo α
 2 2
espresso in radianti, più precisamente quell’angolo per il quale sin (α ) = b .
Esempio
 3 π
=
1) arcsin
 3
2


2) arcsin (1) =
π
2
 2 π
=
3) arcsin
 4
2


1
4) arcsin  in questo caso si lascia scritto così, poiché il valore fa riferimento ad una quantità
3
che
non
è
possibile
esprimere
con
valori
noti,
lo
si
può
approssimare
1
scrivendo: arcsin  ≈ 19,47°
3
Analogamente si definisce la funzione inversa per il coseno
Definizione: si definisce arcocoseno, funzione inversa del coseno, la funzione
arccos x : [− 1;1] → [0; π ]
tale che ad un valore b del dominio associa l’angolo α
espresso in radianti, più precisamente quell angolo per il quale cos(α ) = b .
Esempio
1 π
1) arccos  =
2 3
2) arccos(−1) = π
 2 π
=
3) arccos
 4
2


1
4) arccos  in questo caso si lascia scritto così, poiché il valore fa riferimento ad una
5
quantità che non è possibile esprimere con valori noti, lo si può approssimare
1
scrivendo: arcsin  ≈ 78,46°
5
Definizione: si definisce arcotangente, funzione inversa della tangente, la funzione
 π π
arctan x : ]− ∞;+∞[ →  − ;  tale che ad un valore b del dominio associa l’angolo
 2 2
α espresso in radianti, più precisamente quell’angolo per il quale tan (α ) = b .
Esempio
( )
1) arctan 3 =
π
3
2) arctan (− 1) = −
π
4
Definizione: si definisce arcocotangente, funzione inversa della cotangente, la funzione
arcctgx : ]− ∞;+∞[ → ]0; π [ tale che ad un valore b del dominio associa l’angolo α
espresso in radianti, più precisamente quell’angolo per il quale ctg (α ) = b .
Esempio
( )
1) arcctg 3 =
2) arctan (0 ) =
π
6
π
2
Riportiamo di seguito i grafici delle funzioni inverse.
Arcoseno
Arcocoseno
Arcotangente
Arcocotangente
Formule goniometriche
Funzioni goniometriche espresse tramite una di esse
sin α
cos α
tan α
ctgα
sin α
cos α
tan α
ctgα
sin α
± 1 − cos 2 α
tan α
1
± 1 + tan 2 α
± 1 + ctg 2α
1
ctgα
± 1 + tan 2 α
± 1 + ctg 2α
1 − cos 2 α
cos α
tan α
1
ctgα
cos α
1
tan α
ctgα
cos α
± 1 − sin 2 α
±
sin α
1 − sin 2 α
1 − sin 2 α
±
sin α
±
±
1 − cos 2 α
Esempio(di dimostrazione delle formule)
sin 2 α + cos 2 α = 1
sin 2 α = 1 − cos 2 α
sin α = ± 1 − cos 2 α
Formule di addizione e sottrazione
cos(α + β ) = cos α cos β − sin α sin β
cos(α − β ) = cos α cos β + sin α sin β
sin (α + β ) = sin α cos β + sin β cos α
sin (α − β ) = sin α cos β − sin β cos α
tan (α + β ) =
tan α + tan β
1 − tan α tan β
tan (α − β ) =
tan α − tan β
1 + tan α tan β
ctg (α + β ) =
ctgαctgβ − 1
ctgα + ctgβ
ctg (α − β ) =
ctgαctgβ + 1
ctgβ − ctgα
Formule di duplicazione
sin 2α = 2 sin α cos α
cos 2α = cos 2 α − sin 2 α
tan 2α =
2 tan α
1 − tan 2 α
Formule di bisezione
sin
cos
tan
α
2
α
2
α
2
=±
1 − cos α
2
=±
1 + cos α
2
=±
1 − cos α
1 + cos α
Formule parametriche
2 tan
sin α =
α
2
1 + tan 2
α
2
α ≠ π + 2kπ posto tan
α
2
= t si ottiene
sin α =
2t
1+ t 2
α
1 − tan 2
2
cos α =
α
1 + tan 2
2 tan
tan α =
cos α =
1− t 2
1+ t2
tan α =
2t
1− t2
2
α
2
1 − tan 2
α
2
Formule di prostaferesi
sin α + sin β = 2 sin
sin α − sin β = 2 sin
α +β
2
α −β
cos α + cos β = 2 cos
2
cos
cos
α +β
cos α − cos β = −2 sin
2
2
α +β
cos
α +β
2
α −β
2
α −β
sin
2
α −β
2
Formule di Werner
sin α sin β =
1
[cos(α − b ) − cos(α + β )]
2
cos α cos β =
1
[cos(α + b ) + cos(α − β )]
2
sin α cos β =
1
[sin(α + b) + sin (α − β )]
2
Identità goniometriche
Definizione: un’identità è un’uguaglianza che è verificata per ogni valore dell’incognita
Per verificare un’identità pertanto si deve dimostrare che il primo membro è uguale al secondo con
opportune trasformazioni senza portare termini dal primo a secondo membro e viceversa. Non è
possibile fare nemmeno denominatore comune (a questo riguardo vedremo un’osservazione più
avanti).
Per individuare la tecnica per risolvere le identità è necessario risolvere esercizi tenendo conto
fondamentalmente di:
identità goniometrica fondamentale;
formule di addizione;
formule di duplicazione;
definizione di tangente, cotangente, secante e cosecante.
Passiamo allora ad illustrare alcune risoluzioni
Esempi (verificare le seguenti identità)
1.
(sin α + sin β )2 − sin 2 (α + β ) = 1 − cos(α + β )
2 sin α ⋅ sin β
sin 2 α + 2 sin α sin β + sin 2 β − (sin α cos β + cos α sin β )
= 1 − cos(α + β )
2 sin α ⋅ sin β
sin 2 α + 2 sin α sin β + sin 2 β − sin 2 α cos 2 β − cos 2 α sin 2 β − 2 sin α cos β cos α sin β
= 1 − cos(α + β )
2 sin α ⋅ sin β
sin 2 α (1 − cos 2 β ) + sin 2 β (1 − cos 2 α ) + 2 sin α sin β (1 − cos β cos α )
= 1 − cos(α + β )
2 sin α ⋅ sin β
sin 2 α sin 2 β + sin 2 β sin 2 α + 2 sin α sin β (1 − cos β cos α )
= 1 − cos(α + β )
2 sin α ⋅ sin β
2 sin 2 α sin 2 β + 2 sin α sin β (1 − cos β cos α )
= 1 − cos(α + β )
2 sin α ⋅ sin β
2 sin α sin β (sin α sin β + 1 − cos β cos α )
= 1 − cos(α + β )
2 sin α ⋅ sin β
sin α sin β + 1 − cos β cos α = 1 − cos α cos β + sin α sin β
2. tg 2α + 2tgα =
1 + 2 sin 2α − cos 2α
1 + cos 2α
tg 2α + 2tgα =
1 + 4 sin α cos α − cos 2 α + sin 2 a
1 + cos 2 α − sin 2 α
tg 2α + 2tgα =
1 + 4 sin α cos α − cos 2 α + sin 2 a
cos 2 α + sin 2 α + cos 2 α − sin 2 α
tg 2α + 2tgα =
cos 2 α + sin 2 α + 4 sin α cos α − cos 2 α + sin 2 a
2 cos 2 α
tg 2α + 2tgα =
2 sin 2 α + 4 sin α cos α
2 cos 2 α
tg 2α + 2tgα =
2 sin 2 α 4 sin α cos α
+
tg 2α + 2tgα = tg 2α + 2tgα
2 cos 2 α
2 cos 2 α