Analisi Numerica

Temi di Analisi Numerica
Tema 1
Dopo aver introdotto il metodo di Eulero esplicito per la risoluzione di un problema di
Cauchy per sistemi di equazioni differenziali ordinarie, se ne discutano le proprietà di
consistenza e convergenza. Si mostri l’analogia con la proprietà di dipendenza continua
dai dati iniziali per il sistema differenziale.
Tema 2
Dopo aver introdotto i concetti di ordine polinomiale (o grado di precisione) di una
formula di quadratura con n  1 nodi, e di formula di quadratura interpolatoria, si
discutano le formule di quadratura di ordine massimo (formule gaussiane).
Tema 3
Illustrare il metodo di Gauss (naive e con pivoting) per la risoluzione di sistemi di
equazioni algebriche lineari, discutendone in particolare la complessità computazionale.
Esercizi di Analisi Numerica
Esercizio 1
Sia data la funzione
f ( x)  3  cos( ( x  2))
nell’intervallo I  [1,3] .
Determinare il polinomio di grado minimo che interpoli la funzione f agli estremi
dell’intervallo I e nel suo punto medio, e che abbia la stessa derivata della funzione
f agli estremi dell’intervallo I .
Esercizio 2
Si considerino le due funzioni
f ( x)  1  cos( x), g ( x)  tan( x)
nell’intervalo [1.5,1.5] . Dopo aver dimostrato che in tale intervallo esiste una sola
intersezione, si considerino i due procedimenti iterativi, basati sul metodo di iterazione
funzionale, per la determinazione del punto di intersezione:
P1: x k 1  f 1 ( g ( xk ))
P2: x k 1  g 1 ( f ( x))
Stabilire quale dei due procedimenti (P1 o P2) converge, e calcolare una approssimazione
del punto di intersezione effettuando almeno tre iterazioni, partendo da x0  0 . Nei
calcoli si usino almeno quattro cifre significative.
Esercizio 3
Sia dato un sistema di assi cartesiani ( x, y, z ) .
Nel piano ( x, y ) si consideri la funzione y  sin( x), x [0,  ] . Facendo ruotare il grafico
della funzione attorno all’asse x di 2 radianti si ottiene un solido di rotazione.
Esprimere il volume di tale solido nella forma

V   f ( x) dx ,
0
calcolarne il valore mediante la formula di quadratura di Gauss-Legendre con tre nodi, e
confrontare il risultato ottenuto con quello esatto. Nei calcoli si usino almeno quattro
cifre significative.
Nota: nodi e pesi della formula di Gauss-Legendre a tre nodi nell’intervallo [1,1] sono
dati da
15
15
x0  
, x1  0, x 2 
 0.77459667;
5
5
5
8
5
w0  , w1  , w2  .
9
9
9