La gravitazione universale(sul libro, capitolo 6).

La gravitazione universale (sul libro, capitolo 6).
Dal principio di inerzia segue che un corpo non sottoposto a forze esterne si muove di moto rettilineo
uniforme. Ma se invece un corpo si muove di moto circolare uniforme, allora la presenza di una forza è
necessaria perché la velocità sta cambiando (in direzione anche se non in modulo).
Esempio: Viene fatto roteare un sasso attaccato ad una corda. La forza che tiene il sasso sulla traiettoria circolare è opera della
corda (tensione). Se la corda viene tagliata, il sasso parte per la tangente.
La forza necessaria al corpo per rimanere sulla traiettoria circolare si chiama forza centripeta.
Un corpo di massa m che si muove su una circonferenza di raggio R con velocità costante V ha bisogno di
una forza F = m ⋅
V2
R
2
diretta verso il centro della circonferenza (oppure, analogamente, F = m ⋅ ω ⋅ R
dove ω è la velocità angolare).
Gli astronomi: il miglioramento degli strumenti ottici tra la fine del 1500 e l’inizio del 1600 permette agli
astronomi (Copenico, Brahe, Keplero, ecc.) di compiere eccellenti osservazioni della volta celeste. Un
risultato di queste osservazioni relativo al sistema solare sono le tre leggi di Keplero:
1) L’orbita descritta da un pianeta è un’ellisse, di cui il Sole occupa uno dei due fuochi.
2) Il movimento di un pianeta individua con il Sole aree uguali in tempi uguali.
3) I quadrati dei periodi di rivoluzione dei pianeti sono direttamente proporzionali ai cubi dei semiassi
maggiori delle loro orbite.
Si tratta di leggi soltanto descrittive: descrivono il movimento dei pianeti ma non le cause di questo
movimento.
La legge di gravitazione universale:
(→ libro di testo par.2 pag.159)
Newton si chiede se la forza che attrae i corpi verso il centro della Terra è la stessa che regola il movimento
dei corpi celesti. Se ad esempio la forza che fa cadere una mela dall’albero è la stessa che tiene la Luna in
orbita attorno alla Terra.
Cerca quindi di formulare una legge per l’attrazione di gravità che sia contemporaneamente compatibile
con gli effetti conosciuti della gravità terrestre (la caduta dei corpi con accelerazione costante 9,8 m/s²) e
con i risultati astronomici (le leggi di Keplero, la durata dell’orbita lunare, ecc.)
Inoltre la forza tra i due corpi deve essere reciproca (principo di azione e reazione).
L’ipotesi di Newton è che qualunque coppia di corpi nell’Universo si attragga vicendevolmente con una
forza F = G
m1m2
; m1 e m2 sono le due masse, r la loro distanza e G una costante. E’ una forza che
r2
aumenta all’aumentare delle masse coinvolte e diminuisce all’aumentare della distanza tra i corpi.
Questa legge vale per corpi puntiformi. Tuttavia, si dimostra matematicamente che una sfera omogenea
attrae un corpo posto al suo esterno come se tutta la massa fosse concentrata nel suo centro.
La legge di gravitazione universale:
-) fa cadere la distinzione tra la fisica del cielo e la fisica della Terra.
-) è un’operazione di sintesi nella descrizione della realtà.
“Delle cose naturali non devono essere ammesse cause più numerose di quelle che sono vere e bastano a spiegare i fenomeni”…
“Finché può essere fatto, effetti naturali dello stesso genere vanno attribuiti a cause dello stesso genere”, prima e seconda delle
Regulae philosophandi di Newton.
Il valore della costante G viene misurato per la prima volta da Cavendish nel 1798 (→L’esperimento di
Cavendish, libro pag.161; scheda di approfondimento a pag.162).
−11
Il valore oggi accettato è G = 6,67 ⋅10
m3
.
Kg ⋅ s 2
Forza che subisce un oggetto posto nei pressi della superficie terrestre:
(→ spiegazione in classe)
Non è altro che il suo peso. La formula della forza peso è infatti un caso particolare di quella di gravitazione
universale.
Approssimando la Terra come una sfera omogenea, nella formula F = G
m1m2
si ha in questo caso che
r2
r è il raggio della Terra, e le due masse sono la massa della Terra e la massa dell’oggetto che subisce la
forza.
Quindi la forza che l’oggetto subisce è F = m ⋅ G
MT
RT
2
.
Come ci si può aspettare, effettuando i calcoli nel caso della Terra si ottiene che G
MT
RT
2
è 9,8 m/s².
Conoscendo massa e raggio degli altri pianeti si può dedurre il valore della loro accelerazione di gravità;
oppure, conoscendone raggio ed accelerazione di gravità se ne può dedurre la massa.
Ricordare che l’attrazione di gravità è un’azione reciproca tra i due corpi: la Terra attrae la Luna e la Luna
attrae la Terra (effetto: le maree).
Orbita dei satelliti
(→ spiegazione in classe; → libro di testo pag.167 “La velocità dei satelliti in orbita circolare”)
D’ora in avanti immaginiamo per semplicità che le orbite dei satelliti siano perfettamente circolari.
Se un satellite rimane in equilibrio su un’orbita circolare significa che il suo pianeta lo attrae esattamente con la forza
necessaria per garantirgli l’accelerazione centripeta m ⋅
V2
R
(vedi paragrafo iniziale di questi appunti).
m ⋅ mPIANETA
V2
= m⋅
Si ha quindi G
(dove V è la velocità del satellite, ed R il suo raggio di rotazione).
R
R2
mPIANETA
Da qui si capisce che la velocità di rotazione del satellite è V = G
R
Satelliti stazionari
(→ spiegazione in classe; → libro di testo pag.167 “Satelliti geostazionari”)
Capita ci sia la necessità di mandare in orbita dei satelliti artificiali che si muovano con la stessa velocità
angolare con cui il loro pianeta ruota su sé stesso (ad es. satelliti per le telecomunicazioni).
Esercizio:
Determinare a quale altezza rispetto alla superficie della Terra orbita un satellite geostazionario.
E’ possibile mettere in orbita un satellite geostazionario sopra a Bordighera? (→in classe)
Energia gravitazionale
La forza gravitazionale è una forza conservativa. Esiste quindi un’energia potenziale che è
E P = −G
m1 ⋅ m2
.
R
Utilizzando la conservazione dell’energia meccanica si può trovare la velocità di fuga di un corpo dalla
superficie di un pianeta, ovvero la minima velocità che deve avere per sfuggire completamente
all’attrazione gravitazionale del pianeta stesso (→ “La velocità di fuga da un pianeta”, libro di testo
pag.176).
V fuga =
2GM
R
Esercizi:
• 13 pag.188
• Determinare a quale velocità deve muoversi un satellite per rimanere in orbita attorno alla Terra ad
un’altezza di 10000km sopra alla sua superficie.
[4,9 km/s]
• 17-19 pag.189; 8 pag.192
• Si osserva che 860 Km sopra alla superficie di un pianeta di raggio 3500 Km è in orbita un satellite.
Si misura che il periodo di rivoluzione del satellite è T=14 ore. Qual è la massa del pianeta ?
25
Un pianeta ha massa M = 2.1⋅10 Kg e raggio R = 5000Km . Quanto vale l’accelerazione di
gravità sulla sua superficie ?
• Un satellite artificiale si muove su un orbita circolare intorno alla terra con una velocità di
2,8 ⋅10 3 m / s .
A che altezza si trova sulla superficie terrestre ? Qual è il suo periodo, espresso in ore ?
• 33 pag.191
• Determinare la velocità di fuga da un pianeta con raggio R=5000 Km, e sulla cui superficie un
pendolo di lunghezza l=1m ha un periodo T = 3s.
•
Informazioni utili per gli esercizi:
Costante di gravitazione universale:
Massa della Terra:
6,0 ⋅10 24 Kg.
6,67 ⋅10
−11
N ⋅ m2
Kg 2
Raggio della Terra: 6400 Km.
Periodo delle piccole oscillazioni di un pendolo: T = 2π
l
g