OSCILLAZIONI FORZATE RLC SERIE e CIRCUITO TANK

Lab. Elettromagnetismo
Fontanesi Luca, Gerelli Yuri, Campari Riccardo.
OSCILLAZIONI FORZATE
RLC SERIE e CIRCUITO TANK
STRUMENTAZIONE:
• basetta metallica composta da:
o due resistenze da 1kOhm e 10kOhm
o una induttanza L=8.9 mH
o una capacità C=0.1 10-6 F
• oscilloscopio
• generatore d’onde
TRATTAZIONE TEORICA RLC SERIE
Se esaminiamo il circuito in figura possiamo fare delle considerazioni sulla sua impedenza;
1
chiamando l’impedenza della resistenza Z R = R , quella della capacità Z C =
e quella
jω C
⎛ ω 2 LC − 1 ⎞
⎜⎜
⎟⎟ ;
Z
=
j
ω
L
Z
=
R
+
j
possiamo scrivere l’impedenza della serie s
dell’induttanza L
C
ω
⎝
⎠
sapendo che il potenziale V e l’intensità I sono correlati dalla relazione V = Z i notiamo subito che
Z s ha il ruolo di un operatore vettoriale e che quindi sfasa di un angolo
⎛ ωL − 1
⎞
Im( z )
ωC ⎟ l’andamento delle corrente in funzione del potenziale in
⇒ θ = arctg⎜⎜
θ = artctg
⎟⎟
R
Re( z )
⎜
⎝
⎠
ingresso.
Dal momento che Z s è un numero complesso possiamo ipotizzare che data una certa pulsazione
2
⎛ ω 2 LC − 1 ⎞
⎟⎟ = R ;
ω 0 il termine immaginario vada e zero e che, di conseguenza, Z s = R + ⎜⎜
⎝ ωC ⎠
2
⎛ ω 2 LC − 1 ⎞
⎟ = 0 ⇒ ω 0 = 1 ⇒ θ = 0 : quando la pulsazione assume questo valore il
posto ⎜⎜ 0
⎟
LC
⎝ ω 0C ⎠
circuito è detto in RISONANZA dal momento che è “presente” la sola parte resistiva e che di
conseguenza la caduta di potenziale ai capi della resistenza (Vout) è di uguale ampiezza e in fase
alla differenza di potenziale fornita dal generatore(Vin).
a ω 0 corrisponde una frequenza f 0 =
ω0
detta di risonanza;
2π
Ragionando sui moduli delle singole impedenze, ovvero sulle
reattanze X C e X L , la si può trovare graficamente:
1 1
⎧
⎪ X C = 2πC f
⎪⎪
sapendo che ⎨ X L = 2πLf possiamo tracciare il grafico di X(f)
⎪X = X + X
L
C
⎪
⎩⎪
e la frequenza di risonanza sarà individuata dal punto in cui le
due reattanze si elidono.
Ora esaminiamo il comportamento del circuito quando ci spostiamo dalla risonanza, prima per
frequenze più basse, poi per più alte;
1,4
1. Se ω → 0 ⇒ Z S → ∞ e di
0,9
conseguenza θ tende
asintoticamente(vd grafico) a
π
;
2
2. Se ω → ∞ ⇒ Z S → ∞ e di
conseguenza θ tende a
π
frequenza
-0,1
-0,6
-1,1
fase (rad)
-
0,4
;
-1,6
2
Ricordiamo gli effetti di capacità e induttanza sulla differenza di potenziale immessa nel circuito: la
prima sfasa in ritardo (+90°) e la seconda in anticipo (-90°), visto che le relative impedenze sono
numeri complessi con parte immaginaria diversa da zero!.
Ne consegue che a basse frequenze predomina la componente capacitiva mentre a quelle alte vince
la parte induttiva.
Viste le suddette variazioni dell’impedenza, che aumenta sempre maggiormente più ci si sposta
V
dalla frequenza di risonanza, si vede che il guadagno A( f ) = out è rappresentato da una funzione
Vin
a campana, che trova il massimo in corrispondenza di f r .
Si può quindi definire una banda passante compresa tra la frequenza di taglio inferiore e quella
A
superiore (rispettivamente f t1 f t 2 ), alle quali A = max .
2
fr
Il rapporto Q =
viene detto fattore di qualità e così definito viene determinato
f t 2 − f t1
sperimentalmente;
Numericamente il fattore di qualità del circuito RLC serie viene a coincidere con un fattore, detto
fattore di sovratensione, previsto teoricamente.
Se analizziamo le differenze di potenziale ai capi di induttanza e condensatore ( VL e VC ) alla
frequenza di risonanza otteniamo:
Vin
⎧
⎪⎪VL = Z LI = jω 0 L R
⎨
⎪VC = Z C I = 1 Vin
jω 0 C R
⎩⎪
Il che implica che, in modulo, VL è proporzionale a Vin con un guadagno Q’=
ω0 L
R
mentre VC
1
1
1
vediamo che Q’=Q’’=
;
; esprimendo ω 0 come
ω 0 CR
LC
R LC
Sperimentalmente si dimostra che Q’=Q.
Sapendo che VL e VC sono vettori notiamo che sono in modulo uguali ma opposti in verso l’uno
all’altro.
Queste cadute di potenziale vengono definite sovratensioni, perché possono essere molto elevate
rispetto a Vin .
con un guadagno Q’’=
VC
Vin
VC
MISURAZIONE DELLA FREQUENZA DI RISONANZA
Utilizziamo come segnale di ingresso un’onda sinusoidale di 10 V picco-picco.
Visualizzando sull’oscilloscopio la figura di Lissejoux generata dalle d.d.p. ai capi della
resistenza (Vout) e del generatore (Vin) si determina la fase tra le due onde;
come anticipato nella teoria a uno sfasamento ∆θ =0 corrisponde la frequenza di risonanza.
Un altro metodo per ottenere la frequenza di risonanza consiste nell’individuare la frequenza
dell’onda di ingresso tale per cui la sua ampiezza coincida con quella dell’onda di uscita.
Sebbene il secondo metodo risulti più approssimativo del primo entrambi hanno effettivamente
dato gli stessi risultati.
Le frequenze e le ampiezze che seguono sono state stimate graficamente attraverso
l’oscilloscopio.
R1=1 kΩ
R2=10 kΩ
Frequenza risonanza
5100 Hz
5750 Hz
Vout/Vin=A
1
1
Sfasamento
0°
0°
MISURA DELLA BANDA PASSANTE E DEL FATTORE DI QUALITA’
Al variare della frequenza è immediato notare la diminuzione del guadagno, tanto maggiore
quanto più ci si allontana dalle frequenza di risonanza, e uno sfasamento delle due onde.
Nostro obiettivo è determinare le frequenze di taglio che rappresentano gli estremi della banda
passante.
Guadagno
Graficamente cerchiamo, sapendo che il guadagno deve essere 0,707, le due frequenze di taglio,
utilizzando prima R1=1K, poi R2=10K; otteniamo i seguenti valori :
R1
ft1=1370 Hz
ft2=18180 Hz
f p = f t 2 − f t1 = 16810 Hz
R2
ft2=170 Hz
ft1=161000 Hz
f p = f t 2 − f t1 =160830 Hz
Si nota subito che f p dipende dal valore della resistenza usata nel circuito, infatti con la
resistenza più bassa “passa” una banda minore;
ne consegue che il fattore di
1,2
qualità del filtro, definito in
Banda RLC serie
f
precedenza come Q = r ,
1
fp
R=1k
r=10K
è
inversamente
0,8
proporzionale a R, infatti :
0,6
Q1k= 0,3 ; Q10k= 0,035.
0,4
0,2
0
1
10
100
1000
10000
Frequenza (Hz)
100000
1000000
Questo valore indica che un
circuito RLC serie con una
resistenza bassa è molto più
selettivo;
Il
grafico
mostra
l’andamento del guadagno
in funzione della frequenza.
PASSAGGIO AL PARALLELO: IL TANK
Siamo passati ad esaminare un ulteriore circuito chiamato
Tank costituito da un generatore con in serie una resistenza ed
un parallelo tra induttanza e capacità. Inizialmente lo abbiamo
alimentato con un’onda sinusoidale.
Per prevedere il comportamento del segnale d’uscita, cioè la differenza di potenziale ai capi del
parallelo, si può procedere in due modi:
1. trattare il circuito come un partitore di tensione costituito dal segnale d’entrata la
resistenza R e l’impedenza del parallelo Z”, così da poter calcolare ampiezza e fase del
segnale d’uscita in funzione della frequenza e del segnale d’ingresso.
2. ricavare il circuito tank dal circuito rlc serie tramite il Principio di Dualità.
Vout = Vin
jω L
Zp =
1 − ω 2 LC
Zp
Zp + R
La risonanza vale ω = ω0 =
Vout
(
)
⎡ jωLR 1 − ω 2 LC + ω 2 L2 ⎤
= Vin ⎢ 2
2
2
2 2 ⎥
⎣ R (1 − ω LC ) + ω L ⎦
1
=> Vout=Vin Come nel circuito precedente.
LC
Infatti alla risonanza l’impedenza del parallelo tende ad infinito dato che
1
1
= jωC +
Zp
jωL
tende a zero.
Partendo dal circuito rlc serie si può sfruttare il principio di dualità che mi garantisce che esso è
del tutto equivalente ad un circuito costituito da un generatore di corrente con in parallelo una
resistenza, un’induttanza e una capacità.
Questo Principio si basa sull’evidente corrispondenza biunivoca tra gli elementi costituenti i
circuiti, per cui il circuito duale di quello dato è un rlc
parallelo:
Con questo metodo ciò che è in serie passa in parallelo e
viceversa; nelle formule l’induttanza prende il posto della
capacità, la capacità dell’induttanza, la tensione della
corrente e viceversa,la conduttanza della resistenza.
v=
RLC parallelo
i
1 ⎛
1 ⎞
+ ⎜ ωC −
⎟
2
R ⎝
ωL ⎠
⎡ ⎛
⎣ ⎝
1 ⎞⎤
⎟
ωC ⎠⎥⎦
−1
1
(ω = ω0 ) ⇒ Q p = ω0CR = Qs
(ω = ω0 ) ⇒ Qs =
ω0CR
1
VC VL ω0 L
(relativo alla serie) alla risonanza è definito come
=
=
=
V
V
R
ω0 RC
ϕ = − arctg ⎢ R⎜ ωC −
Qs
2
sperimentalmente vale
1 ⎞⎤
⎟
ωL ⎠⎥⎦
Quindi si ricava:
RLC serie
v
i=
2
1 ⎞
⎛
2
R + ⎜ ωL −
⎟
ωC ⎠
⎝
⎡1 ⎛
⎣R ⎝
ϕ = − arctg ⎢ ⎜ ωL −
ω0
ωt 2 − ωt 1
Per quanto riguarda invece il coefficiente di qualità del parallelo
V = Z p I , ω = ω0 ⇒ V = RI
∆VR = ∆VL ⇒ I L j ω 0 L = I R R ⇒ Q p =
IL
R
−1
=
= ω0 RC = Qs
I R ω0 L
e
Come arrivare dal circuito RLC parallelo al Tank?
Possiamo sfruttare l’equivalenza tra generatore di corrente con resistenza in parallelo e
generatore di tensione con resistenza in serie.
Che relazione esiste tra le resistenze R1 e R2?
v
⇒ v = R2i0 − R2i .
R2
Da cui deriva, essendo i due carichi alimentati dalla stesso potenziale R1 = R2 = R e v0 = Ri0 .
Nel primo caso v = v0 − R1i . Nel secondo caso i = i0 −
MISURA DELLA FREQUENZA DI RISONANZA
Usando gli stessi componenti circuitali del caso in serie procediamo di nuovo attraverso le
figure di lissejoux per trovare le due frequenze di risonanza(corrispondenti a R1 e R2).
A differenza del circuito in serie notiamo che alla frequenza di risonanza il guadagno non è
unitario così come ci aspettavamo.
La frequenza di risonanza dovrebbe anch’essa coincidere con quella della serie, ma nel caso del
tank, vista la grande sensibilità, si può essere molto più accurati, vistoche per piccole variazioni
di frequenza ci si scosta dalla “retta”, mentre nel caso precedente la combinazione XY era
rettilinea per un ampio range di frequenze.
Infatti con R1=1 kΩ troviamo f r =4500 Hz e A=0.74;
con R2=10 kΩ f r =5100 Hz e A=0.34;
Alla risonanza avevamo previsto Vout = Vin , ma sperimentalmente il segnale di uscita risulta
attenuato: abbiamo tentato di spiegare questo fenomeno prima introducendo la resistenza interna
del generatore d’onde,che si è rivelata irrilevante, poi una resistenza in serie all’induttanza
dovute alle perdite dell’elemento e ad altri fenomeni elettromagnetici intrinseci all’induttanza.
Con questo metodo volendo stimare il valore di questa resistenza alla risonanza, mediante
passaggi algebrici è possibile ricavarla in funzione di induttanza, capacità e impedenza del
parallelo (ottenibile trattando il circuito come un partitore di tensione).
L
≈ 17Ω
R=
⎛ Z p 2C ⎞
C⎜
− 1⎟
⎟
⎜ L
⎠
⎝
È evidente che questa resistenza nel circuito in serie avesse influenza trascurabile date le sue
dimensioni rispetto alla resistenza da 1 o 10 Kohm.
Con lo stesso metodo utilizzato precedentemente siamo riusciti ad individuare la banda
passante, notando che questo nuovo filtro è molto più selettivo del precedente ovvero che la
differenza tra la frequenza di taglio superiore e quella inferiore è molto più bassa della
precedente.
R1=1 kΩ
R2=10 kΩ
fr
f t1
ft 2
4500 Hz
5100 Hz
3600 Hz
4878 Hz
6200 Hz
5434 Hz
Q=
fr
f t 2 − f t1
1.7
9.2
I due coefficienti di qualità avrebbero dovuto essere uno l’inverso dell’altro, ma quello del Tank
(R2) che ci aspettavamo intorno al 30 si è rivelato molto più basso; questo perché è molto difficile
ottenere un filtro molto selettivo, in quanto intervengono molte componenti elettromagnetiche a
rendere arduo il compito diminuendo il rendimento del passabanda.
•
Molto interessante è l’analisi del circuito Tank alimentato da un’onda quadra.
Diminuendo la frequenza partendo da quella di risonanza (al di là della quale si ottiene in
risposta un’onda triangolare diventando il circuito un integratore) si osserva una netta
attenuazione dell’onda di uscita, spiegabile dal fatto che il Tank è un passabanda molto
selettivo, ma poi si può notare un’apparentemente inspiegabile risalita dell’onda a formare
un'altra funzione sinusoidale minore della precedente e continuando a scendere in frequenza si
osserva ancora il fenomeno. Con i mezzi di cui disponiamo siamo in grado di osservare 3
sinusoidi.
Funzioni sinusoidali
(frequenza dell’onda quadra)
Prima ν 1= ν ris
Ampiezza(V)
Seconda ν 2= ν ris /3
≈Vo/3
Vo
Frequenza onda d’uscita
sinusoidale (Hz)
ν ris
≈ ν ris /3
≈ ν ris /5
≈Vo/5
Terza ν 3= ν ris /5
Questo fatto è spiegabile analizzando l’onda d’entrata cioè l’onda quadra. Essendo una funzione
periodica essa è esprimibile come combinazione di seni e coseni secondo la teoria sviluppata da
Fourier e il suo sviluppo è rappresentato da:
sin [(2n + 1)ωt ]⎤
4V ⎡
sin(3ωt ) sin(5ωt )
V (t ) = M ⎢sin(ωt ) +
+
+ ... +
⎥⎦
2n + 1
π ⎣
3
5
Essendo il tank un filtro passabanda, lascia passare senza attenuarle troppo solo le frequenza
molto vicine a quella di risonanza di pulsazione ω0 , mentre smorza molto quelle lontane,
proprio per questo ci è possibile vedere le armoniche costituenti l’onda quadra: alla frequenza di
risonanza i termini di pulsazione Kω0 con k ≠ 1 vengono filtrati; analogamente quando la frequenza
generata è
ω0
2n + 1
scompaiono tutti i seni di pulsazione diversa da ( 2 n + 1)ω e l’unica onda visibile ha
ampiezza scalata di un fattore 1/(2n+1) ovvero il fattore per cui viene moltiplicata nello sviluppo.
ω=
ω0
2n + 1
⇒ V (t ) =
4VM ⎡ sin ω0t ⎤
π ⎢⎣ 2n + 1 ⎥⎦