1.4 Il sistema dei numeri reali

quali invertibili?
(i) f (x) = 1/x, x ∈ R \ {0}; (ii) f (x) = x3 − x, x ∈ R;
(iii) f (x) =
1
,
x2 +1
(iv) f (k) = (−1)k , k ∈ Z;
2
x
se x ≥ 0
(vi) f (x) =
2
−x se x < 0.
x ∈ R;
(v) f (s) = s2 , s ∈ R;
3. Sia f (x) = 2x − 1, x ∈ R. Tracciare il grafico delle seguenti funzioni:
(i) f (x);
(ii) f (−x);
(iii) max{f (x), f (−x)}; (iv) f (f (x));
(v)
f (x)−f (−x)
2
;
(vi)
(vii) min{f (x), 0};
1.4
f (x)+f (−x)
2
;
(viii) max{−f (−x), 0}.
Il sistema dei numeri reali
Definire in modo rigoroso che cosa siano i numeri reali è un compito tutt’altro
che elementare anche per un matematico di professione: non è il caso quindi
di addentrarsi in questa problematica all’inizio di un corso di analisi. Ma
anche senza avere pretese “fondazionali”, per lavorare coi numeri reali occorre
conoscerne le proprietà, e riflettere per un momento sul significato dei simboli
e delle formule che siamo abituati a manipolare più o meno meccanicamente
fin dalle scuole elementari.
Le proprietà dei numeri reali si possono classificare in tre gruppi:
(a) proprietà algebriche, riguardanti le operazioni che si possono eseguire tra
numeri reali;
(b) proprietà di ordinamento, relative alla possibilità di confrontare tra loro
i numeri reali per identificarne il “maggiore”;
(c) proprietà di continuità, più profonde e nascoste, legate all’idea che devono esistere “abbastanza numeri” per rappresentare grandezze che variano “con continuità”, quali il tempo o la posizione di un punto su una
retta.
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Tutte queste proprietà caratterizzano il sistema R dei numeri reali, nel senso
che esse si possono assumere come assiomi che definiscono ed individuano in
modo unico il sistema R. Noi non entreremo in questa questione, limitandoci
più modestamente a mettere in rilievo il fatto che le proprietà (a) e (b) sono
alla base di tutte le regole di calcolo che abbiamo imparato ad usare fin
dall’infanzia.
Proprietà algebriche
Nell’insieme R sono definite due operazioni, l’addizione e la moltiplicazione,
le quali associano ad ogni coppia a, b di numeri reali la loro somma, che
indichiamo con a + b, e il loro prodotto, che indichiamo con a · b od anche con
ab. Valgono le seguenti proprietà:
1. associatività: a + (b + c) = (a + b) + c, a(bc) = (ab)c per ogni a, b, c ∈ R;
2. commutatività: a + b = b + a, ab = ba per ogni a, b ∈ R;
3. distributività: a(b + c) = ab + ac per ogni a, b, c ∈ R;
4. esistenza degli elementi neutri: esistono (unici) due numeri reali distinti,
che indichiamo con 0 e 1, tali che a + 0 = a, a · 1 = a per ogni a ∈ R;
5. esistenza degli opposti: per ogni a ∈ R esiste un (unico) b ∈ R tale che
a + b = 0, e tale numero b, detto opposto di a, si indica con −a;
6. esistenza dei reciproci: per ogni a ∈ R \ {0} esiste un (unico) b ∈ R tale
che ab = 1; tale numero b si dice reciproco di a e si indica con a1 od
anche con a−1 .
Dalle proprietà precedenti seguono facilmente tutte le regole usuali dell’algebra elementare, quali:
• il fatto che a · 0 = 0 per ogni a ∈ R;
• la semplificazione per l’addizione: se a + b = a + c, allora b = c;
• la semplificazione per la moltiplicazione: se ab = ac e a 6= 0, allora
b = c;
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• la definizione di sottrazione: per ogni a, b ∈ R esiste un unico c ∈ R
tale che a + c = b, e tale numero c, detto differenza fra b e a, si indica
con b − a;
• la definizione di divisione: per ogni a, b ∈ R con a 6= 0 esiste un unico
c ∈ R tale che ac = b, e tale numero c, detto quoziente, si indica con ab ;
• la legge di annullamento del prodotto: se ab = 0 allora deve essere a = 0
oppure b = 0 (oppure entrambi).
Provate a dimostrare gli enunciati precedenti utilizzando gli assiomi 1-6 !
Proprietà di ordinamento
Nell’insieme dei numeri reali esiste un sottoinsieme P , i cui elementi sono
detti numeri positivi, dotato delle proprietà seguenti:
7. se a, b sono numeri positivi, anche a + b e ab sono positivi;
8. per ogni a ∈ R vale una e una sola di queste tre possibilità: a è positivo,
oppure −a è positivo, oppure a = 0.
Si noti che, per l’assioma 8, il numero reale 0 non può essere positivo. I
numeri diversi da 0 e non positivi si dicono negativi: dunque un numero
reale a è negativo se e solo se −a è positivo. Si scrive a > 0 quando a è
positivo, e b > a (o equivalentemente a < b) quando b − a è positivo, cioè
b − a > 0; in particolare, x < 0 significa −x > 0, cioè x negativo. Si scrive
poi a ≥ 0 quando a è positivo o uguale a 0, e b ≥ a (o equivalentemente
a ≤ b) quando b − a ≥ 0. Si osservi che
a≥b e a≤b
⇐⇒
a = b.
Dagli assiomi 7-8 discendono i seguenti altri fatti (esercizi 1.4.2 e 1.4.3).
• Il prodotto di due numeri negativi è positivo; in particolare, se x è
un numero reale diverso da 0, il suo quadrato, ossia il numero reale x2
definito come x · x, è sempre positivo:
x2 = x · x > 0
∀x ∈ R \ {0}.
• Il numero 1 è positivo (e quindi N+ ⊆ P ).
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Inoltre si deducono facilmente tutte le usuali regole di calcolo con le disuguaglianze: invitiamo il lettore a farlo.
Introduciamo adesso alcuni speciali sottoinsiemi di R definiti mediante l’ordinamento: gli intervalli. Se a, b ∈ R ed a ≤ b, poniamo:
• [a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b} = intervallo chiuso di estremi a, b;
• ]a, b[ = {x ∈ R : a < x < b} = intervallo aperto di estremi a, b;
• [a, b[ = {x ∈ R : a ≤ x < b} = intervallo semiaperto a destra di estremi
a, b;
• ]a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b} = intervallo semiaperto a sinistra di
estremi a, b;
• ] − ∞, b] = {x ∈ R : x ≤ b} = semiretta chiusa di secondo estremo b;
• ] − ∞, b[ = {x ∈ R : x < b} = semiretta aperta di secondo estremo b;
• [a, +∞[ = {x ∈ R : a ≤ x} = semiretta chiusa di primo estremo a;
• ]a, +∞[ = {x ∈ R : a < x} = semiretta aperta di primo estremo a;
• ] − ∞, +∞[ = R = retta reale.
(I simboli “−∞” e “+∞” si leggono “più infinito”, “meno infinito” e non
sono numeri reali.)
Esercizi 1.4
1. Provare che se u è un elemento di R tale che a · u = u, ove a è un fissato
numero reale diverso da 1, allora u = 0.
2. Provare che il prodotto di due numeri negativi è positivo.
3. Provare che 1 è un numero positivo.
4. Sia a ≤ b. Dimostrare che se c ≥ 0 allora ac ≤ bc, mentre se c < 0 si
ha ac ≥ bc.
5. Dimostrare le uguaglianze
∞ \
1
[a, b] =
a − ,b ,
n
n=1
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∞ [
1
]a, b] =
a + ,b .
n
n=1