Quadro riassuntivo formule matematica finanziaria

Quadro riassuntivo delle principali formule di matematica finanziaria
• Interesse semplice: matura in periodi di tempo inferiori o uguali all’anno tale che l’interesse maturato
sul capitale non diventa fruttifero.
n = tempo d’impiego del capitale con n ≤ 1 anno
n = 1 (un anno) oppure n = n° mesi / 12 oppure
n = n° giorni / 360
· (1+ r · n)
♣ I = C0 · r · n
M=Cn
C0
t
♣ M = C0 · (1 + r · n)
♣ C0 = M ·
·
1
dove M = Cn (montante)
(1 + r ⋅ n)
1
(1 + r ⋅ n)
Fig. 1 - Fattori di anticipazione e posticipazione per l’interesse semplice.
• Sconto semplice: compenso per pagamenti anticipati. Corrisponde agli interessi tolti ad un montante
per renderlo attuale. Il suo calcolo è equivalente a quello dell’interesse solo che per la sua
determinazione si parte da un Cn (montante) e non da un C0 (capitale iniziale). Distinguiamo:
♣ Scr =
Cn ⋅ r ⋅ n
sconto razionale semplice derivato da Sc = Cn - C0
1+ i ⋅ r
è poco usato!
♣ Scc = M · r · n sconto commerciale. Nella pratica commerciale e finanziaria lo Sc è determinato quasi
sempre come interesse su un montante
si calcola più frequentemente lo Sc commerciale!
Es. di applicazione: Sconto di una cambiale a scadenza < un anno.
Valore reale (C0) = Valore nominale (M) – Scc
• Interesse composto: matura in periodi di più anni interi tale che gli interessi si sommano al capitale e
maturano altri interessi (se ho anche frazioni di anno avrò anticipazioni e posticipazioni miste: interesse
semplice / interesse composto). L’interesse composto può essere di due tipi:
1. Interesse composto discontinuo annuo → gli interessi si sommano al capitale una volta l’anno.
2. Interesse composto discontinuo convertibile → gli interessi si convertono in capitale più volte
nello stesso anno.
· qn
1. Interesse composto discontinuo annuo
♣ M = C0 · (1 + r)n → M = C0 · qn
M=Cn
C0
t
1
♣ C0 = M · n
q
♣ In = C0 · (qn – 1)
·
1
qn
Fig. 2 - Fattori di anticipazione e posticipazione per l’interesse composto.
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• Sconto composto: compenso per pagamenti anticipati → interessi tolti ad un M per renderlo attuale.
♣ Sc = M ·
qn −1
(formula dello sconto composto)
qn
2. Interesse composto discontinuo convertibile → gli interessi si convertono in capitale più volte
nello stesso anno.
t = n° di conversioni/anno dell’interesse in capitale (es. ogni 6 mesi → t = 2, ogni 4 mesi → t = 3…)
Le formule sono le stesse dell’interesse composto discontinuo annuo in cui però a posto di r e n si
inseriscono: r =
r
t

♣ M = C0 ·  1 +

r

t
♣ C0 = M ·
1
♣ In = C0 ·

1 +

[
; n=n·t
r

t
n⋅t
n⋅t
 r
1 + 
 t
n⋅t
−1
]
• Sconto composto convertibile: compenso per pagamenti anticipati → interessi tolti ad un montante
per renderlo attuale.
n⋅t
 r
1 +  − 1
t
♣ Sc = M · 
(formula dello sconto composto convertibile)
n⋅t
 r
1 + 
t

Sempre riguardo all’interesse convertibile…
• Tasso nominale e tasso reale
Il saggio d’interesse convertibile è detto nominale e risulta essere minore del saggio reale r che è un
saggio annuo (es. r nominale del 6%, se convertibile 2 volte/anno “realmente” rende più del 6%).
Chiamando r il tasso nominale e j il tasso effettivo si ha:
t
 r
♣ j = 1 +  − 1
 t
♣r=
( 1 + j − 1)
t
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I valori periodici
Valori che si ripetono a intervalli di tempo regolari: rate frazionarie, annualità, poliannualità
• Le rate frazionarie (R): periodicità costanti (rate) che si collocano nell’ambito di un anno
ripetendosi a intervalli di tempo regolari (mensili, bimestrali, trimestrali, ecc.).

1
∑ R = R ⋅  N + r ⋅
♣
∑ n° mesi cui si sposta ogni rata 


12

0
di seguito si precisa che:
1
∑ R = somma complessiva, a fine anno, di tutte le rate più gli interessi su esse maturati
0
N = n° delle rate comprese nell’anno
R = importo della rata
Quando si applica: es. calcolo del Rpl di un immobile a partire dal canone di locazione (mensile,
bimestrale, trimestrale…). Se le rate frazionarie si ripetono costantemente ad intervalli di tempo regolari
(niente mancati pagamenti) può applicarsi, in alternativa alla precedente, la seguente formula:
♣

1
∑ R = R ⋅  N + r ⋅
0
N ± 1
 dove si utilizza il “+” se le rate sono anticipate “– “se sono posticipate
2 
• Le annualità (a): Valori positivi o negativi costanti che si ripetono a intervalli regolari di un anno.
Problemi: Accumulazione finale ( An ); Accumulazione iniziale ( A0 ); Accumulazione intermedia ( Am )
Annualità costanti limitate posticipate:
♣ An = a ⋅
qn −1
r
♣ A0 = a ⋅
qn −1
1
cioè A0 = An ⋅ n
n
q ⋅r
q
n.b.: la moltiplicazione per
1
sconta all’attualità An
qn
qm −1
q n−m − 1
o come sotto:
♣ Am = a ⋅
+ a ⋅ n−m
r
q
⋅r
Annualità costanti limitate anticipate:
♣ An = a ⋅ q ⋅
qn −1
r
♣ A0 = a ⋅ q ⋅
qn −1
qn ⋅ r
n.b.: moltiplicando a ⋅ q si convertono le annualità
da anticipate a posticipate, si applicano poi gli
stessi coefficienti di anticipaz. e posticipaz. delle
annualità posticipate.
♣ Am = An ⋅
1
q n−m
o Am = A0 ⋅ q
n−m
♣ Per l’accumulazione intermedia valgono le
Accumulazione intermedia Am :
A0
0
Am
formule a sinistra solo con la rata a
An
m
n
Annualità costanti posticipate illimitate:
Si calcola solamente l’accumulazione iniziale:
♣ A0 =
a
Bf
da cui V0 =
equivalente estimativo dove
r
rc
moltiplicata per q in modo da rendere
posticipate le rate.
Annualità costanti anticipate illimitate:
Si calcola solamente l’accumulazione iniziale:
♣ A0 =
a
⋅q
r
Bf = reddito netto annuo del propr. di un bene da reddito.
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Significato di V0 =
Bf
: Si stima il valore di un bene, nell’ipotesi che fornisca redditi netti annui costanti per un
rc
tempo illimitato, accumulando all’attualità tutti i suoi infiniti redditi futuri. Tale valore si chiama valore capitale
poiché ottenuto per capitalizzazione del reddito. Si ricorda che rc è il saggio di capitalizzazione che è diverso da r
(saggio finanziario) poiché indica il saggio di rendimento per ogni 100 euro di valore fondiario. Ricorda:
Fondo = qualsiasi immobile produttivo. Bf = reddito netto annuo (ricavi – spese
Rpl - Spp) che spetta al
proprietario dell’immobile.
rc =
∑ Bf
∑V
è stimato tramite indagine di mercato per comparazione con beni simili di cui si conoscono Bf e V0.
0
• Le poliannualità o periodicità (P): Valori positivi o negativi costanti che si ripetono a intervalli
regolari di più anni.
P = Valore monetario della poliannualità
n = tempo in anni intercorrente tra due periodicità
t = numero di periodicità comprese nell’intervallo di tempo considerato
0
n
P1
P2
P3
P4
P5
P6
Nell’es. sopra: n = 5 anni (intervallo in cui matura la periodicità); t = 6 (periodicità maturate in 30 anni).
Polinnualità cost. limitate posticipate
♣ Accumulazione finale: At⋅n = P ⋅
q t ⋅n − 1
q n −1
♣ Accumulazione iniziale: A0 = P ⋅
cioè A0 = An⋅t ×
q t ⋅n − 1 1
×
q n − 1 q t ⋅n
1
q t ⋅n
(il fattore
1
sconta all’attualità An⋅t )
q t ⋅n
Polinnualità cost. illimitate posticipate
Si calcola solamente l’accumulazione iniziale:
♣ A0 = P ⋅
1
q −1
♣ V0 = Bf ⋅
Polinnualità cost. limitate anticipate:
q t ⋅n − 1
♣ An ⋅t = P ⋅ q × n
q −1
n
♣ A0 = P ⋅ q n ×
(molt. P per q n si rendono le poliannualità anticipate
posticipate)
Polinnualità cost. illimitate anticipate
Si calcola solamente l’accumulazione iniziale:
♣ A0 = P ⋅
1
⋅ qn
q −1
n
1
equiv. estimativo della formula
q −1
n
q t ⋅n − 1 1
×
q n − 1 q t ⋅n
♣ V0 = Bf ⋅
n
1
⋅ q n equivalente estimativo della
q −1
n
formula sopra. V0 = Valor capitale. Si ricorda che:
sopra. V0 = Valor capitale. Si ricorda che: q= 1 + rc
q= 1 + rc
N.B. Il Bf che si capitalizza con questa formula è un Bf
N.B. Il Bf che si capitalizza con questa formula è un Bf
poliennale (es. arboreti)
poliennale (es. arboreti)
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Quota di reintegrazione
Si calcola per capitali a fecondità ripetuta cioè per beni strumentali la cui utilità si esaurisce dopo un
certo n° di anni. Es. trattrice, arboreti, impianto di irrigazione, bestiame, fabbricati, impianti vari…
Corrisponde alla somma (di valore costante) che annualmente, alla fine di ogni anno e per n anni, si deve
accantonare per ricostituire il valore che il capitale ha perso nel corso del periodo di utilizzo (n anni).
n = Durata tecnica o economica del bene (n° anni)
Vi = Valore iniziale (di acquisto) del bene
Vf = Valore finale (di recupero) del bene
♣ Qre = (Vi − V f ) ⋅
r
q −1
n
♣ Nel calcolo della quota di reintegrazione si tiene conto degli interessi che maturano annualmente sulle
somme accantonate.
♣ Tale formula dal punto di vista finanziario corrisponde al calcolo dell’annualità a (corrispondente alla
Qre) necessaria per costituire dopo n anni un’accumulazione finale An equivalente al deprezzamento che
il bene ha subito (Vi − V f ) .
Qre = (Vi − V f ) ⋅
r
q −1
n
a = An ⋅
r
q −1
n
Quota di ammortamento
Ammortamento: processo finanziario che serve per estinguere un debito (D), in un certo n° di anni,
mediante il pagamento di una rata, annua o frazionaria (semestrale, trimestrale…), costante (secondo il
metodo di ammortamento detto “alla francese”) detta quota di ammortamento.
1. Qamm = D ⋅
r ⋅ qn
dove D = debito acceso (C0)
qn −1
2. nella formula sopra r ed n diventano rispettivamente r =
r
ed n = n · t se le rate sono
t
frazionarie (semestr.,trimestr., ecc.) anziché annuali, con t = n° di pagamenti/anno.
3. Qamm = D ⋅
r ⋅ qn 1
⋅
q n −1 q
se le rate sono anticipate anziché posticipate
Tale formula, dal punto di vista finanziario, corrisponde al calcolo dell’annualità a (corrispondente alla
Qamm) necessaria per costituire dopo n anni una somma pari ad un’accumulazione iniziale, A0,
corrispondente al debito D acceso al momento zero.
Qamm = D ⋅
r ⋅ qn
qn −1
a = A0 ⋅
r ⋅ qn
qn −1
Gli istituti di credito (banche), al momento della concessione di un prestito, redigono un prospetto detto
piano di ammortamento, in cui, ad ogni pagamento, viene riepilogata la situazione dell’ammortamento.
Il piano segue il seguente schema:
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Rata n°
Data
Rata €
Quota interessi
Quota capitale
Debito estinto
Debito residuo
0
…….
-
-
-
-
D
Con il pagamento dell’ultima rata (n) il debito estinto deve corrispondere a D e il debito residuo deve
annullarsi.
……
n
……...
………………
………………
D
0
Criteri per la compilazione del piano:
I. Calcolo della rata di ammortamento costante: come specificato ai punti 1, 2, 3.
II. Calcolo della quota interessi: Qi = Dr precedente · r · n (con r = saggio annuo).
III. Calcolo della quota capitale: Qc= Qamm - Qi
IV. Calcolo del debito estinto: De = De precedente + Qc corrente
V. Calcolo del debito residuo: Dr = Dr precedente - Qc corrente, oppure sottraendo al valore del
debito iniziale il debito estinto.
Debito residuo di un mutuo
In estimo bisogna sempre ricordare l’espressione seguente che scaturisce dal principio dell’ordinarietà:
Valore reale = Valore ordinario + Aggiunte – Detrazioni
Se sul bene da stimare grava un mutuo ipotecario in corso di estinzione, sarà necessario calcolare
l’ammontare del debito residuo del mutuo al momento della stima e detrarlo dal valore normale del bene
(stimato cioè in condizioni ordinarie e quindi libero dal peso del mutuo).
Se si vuole calcolare il debito residuo di un mutuo, in un momento intermedio della durata del prestito,
si applica la seguente formula che, dal punto di vista finanziario, corrisponde all’accumulazione iniziale
delle rate che rimangono da pagare (n-m):
D.R.= Qamm ⋅
q n−m − 1
r × q n−m
A0 = a ⋅
q n−m − 1
q n− m × r
Dove n = n° complessivo delle rate ed m = n° delle rate pagate. Nella formula r ed n diventano
rispettivamente r = r / t ed n = n · t se le rate sono frazionarie (semestr.,trimestr., ecc.) anziché annuali,
con t = n° di pagamenti/anno.
Il calcolo del D.R. considera la rata mesima pagata.
D
a
a
a
a
a
D.R
a
a
a
a
n-m rate
m rate
n rate
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Redditi transitori e permanenti
Ricordiamo di seguito come si esegue la stima del valore attuale di un bene a fecondità ripetuta, capace
di fornire redditi netti costanti illimitati posticipati, mediante capitalizzazione del suo reddito netto
annuo Bf :
Bf
0
∞
1
In questo caso si ha:
V0 =
Bf
rc
dove
V0
Valore di capitalizzazione
In alcuni casi però i redditi non si mantengono sempre costanti ma subiscono variazioni nel tempo es.:
− immobile locato per alcuni anni ad un canone che non è ordinario e per il quale si prevede che, alla scadenza
del contratto, venga applicato un canone normale;
− fondo rustico per il quale un cambiamento di conduzione determina un incremento o una diminuzione del
reddito;
− immobili che, a seguito di migliorie apportate, danno un reddito superiore a quello ante-miglioria.
In quest’ultimo caso l’incremento del reddito è dovuto al costo sostenuto per la miglioria e, nella stima del valor
capitale, andrà considerato anche questo.
Per eseguire la stima di tali beni bisogna ricordare il principio dell’ordinarietà che afferma:
Valore reale = Valore normale (ordinario) + Aggiunte – Detrazioni
Nel rispetto di tale principio si procede così alla stima del valore reale al momento zero:
− Si capitalizza il Bf, ritenuto ordinario per quel bene (in genere questo coincide con il reddito
permanente), nell’ipotesi che questo reddito venga percepito sin dal momento zero e fino all’infinito;
− Al valore ordinario così calcolato si apporta, come aggiunta o detrazione, l’accumulazione iniziale
delle differenze tra il reddito ordinario e quello transitorio che si sono verificate negli anni
corrispondenti alla durata del periodo transitorio
riporto a 0 dei mancati redditi;
− Ulteriore detrazione da apportare al valore ordinario è quella relativa a eventuali costi sostenuti per le
migliorie apportate. Questi costi vanno scontati al momento zero e applicati come detrazione al
valore ordinario
detrazione per costi da sostenere per riportare all’ordinarietà il bene.
Vediamo di seguito un esempio:
Un immobile fornisce per 5 anni un Bf = ….. inferiore rispetto al Bf considerato ordinario il quale si
realizzerà a partire dalla fine del periodo transitorio e rimarrà costante fino all’infinito. Le condizioni
originarie dell’immobile, inferiori all’ordinario, sono state riportate alla normalità grazie ad una
miglioria eseguita sullo stesso all’anno 5 e per la quale si è sostenuto un costo pari a K =….
Di seguito è rappresentata la situazione esposta:
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K miglioria
V0
∞
0
6
5
Bf permanente (durata illimitata)
1
Bf transitorio (durata 5 anni)
∆Bf
Differenza tra i due redditi, Bf permanente e Bf transitorio (durata 5 anni)
K = Costo sostenuto per eseguire la miglioria
Si applica l’espressione: Valore reale = Valore normale (ordinario) + Aggiunte – Detrazioni, come
segue:
Valore ordinario =
Bf ordinario
rc
Detrazioni da apportare al valore normale:
1. ( Bf ord − Bf trans . ) ⋅
qn −1
dove n =5 anni
qn ⋅ r
minori redditi rispetto all’ordinario percepiti durante il
periodo transitorio. Questi vengono attualizzati con il coefficiente finanziario di accumulazione
iniziale.
2. K ⋅
1
qn
dove n = 5 anni
costo sostenuto per portare l’immobile alle condizioni ordinarie. Esso è
stato attualizzato, cioè riferito al momento zero, con il coeff. di anticipazione per l’int. composto.
In sintesi il valore dell’immobile dell’esempio si ottiene nel modo seguente:
1. V0 =
Bf ord
qn −1
1
− [ ( Bf ord . − Bf trans . ) ⋅ n
+ K⋅ n ]
rc
q ⋅r
q
Valore ordinario
dell’immobile
Seconda detrazione: costo sostenuto per
la miglioria
Prima detrazione da applicare al valore ordinario dovuta al sussistere, per una durata
pari al periodo transitorio, di un reddito inferiore rispetto a quello ordinario
N.M.B.: Il saggio da utilizzare nei calcoli è rc per le operazioni finanziarie relative ai Bf, cioè ai
rendimenti dell’immobile, mentre è rfinanziario per le operazioni di anticipazione dei costi K che sono
delle somme monetarie, pagate in tempi differenti, per le quali il rendimento è finanziario.
Soluzione equivalente alla 1. si ottiene, con un procedimento matematico, portando a zero tutti i valori e
senza applicare il principio estimativo dell’ordinarietà:
V0 = Bf trans. ⋅
q 5 − 1 Bf perm. 1
1
+
⋅ 5 −K⋅ 5
5
rc
q ⋅r
q
q
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Stima degli arboreti per capitalizzazione dei redditi
Bfp
GRAFICO N. 1
0
n
a
b
c
d
V0
GRAFICO N. 2
0
Bfp
Bfp
Bfp
Bfp
n
n
n
n
∞
Il ciclo produttivo di un arboreto, come un bosco o un impianto da legno, è descritto dal grafico 2.
In questi arboreti, infatti, la produzione è concentrata tutta a fine ciclo quando, eseguendo il taglio, si
asporta tutta la produzione legnosa dalla cui vendita si realizza il ricavo. Il valore di tali arboreti, che
forniscono un reddito netto poliennale posticipato considerato costante e illimitato, viene stimato
utilizzando le formule già viste a proposito delle poliannualità:
V0 = Bf p ⋅
1
q −1
n
dove Bf
p
è il
reddito netto poliannuale fornito dall’arboreto.
La stima del valore di tali arboreti è descritta dal grafico 2, da cui si evince la presenza di redditi
periodici, considerati posticipati, costanti e illimitati, i quali, accumulati al momento zero, danno il
valore del suolo impiantato con quell’arboreto. Tale operazione si definisce capitalizzazione del reddito.
DESCRIZIONE DEL GRAFICO 1: Il grafico 1 descrive invece un ciclo produttivo di un ipotetico arboreto
da frutto (es. pescheto, vigneto…). Il momento n corrisponde alla sua durata economica quando cioè
esso è divenuto poco redditizio e conviene spiantarlo e procedere al suo reimpianto. Il ciclo di questi
arboreti può essere suddiviso, operando una semplificazione, in 4 fasi:
a.
Fase di impianto: in tale periodo le spese, sia di impianto che di gestione relative ai primi anni,
superano i ricavi. Il periodo dura finché i ricavi ottenuti con le produzioni uguagliano le spese di
gestione. Il grafico rappresenta tale situazione con una retta che in ogni punto rappresenta la
differenza ricavi-costi. In tale periodo la retta sta sotto l’asse, indicando che le spese superano i
ricavi, e cresce fino ad intersecarlo. L’intersezione con l’asse rappresenta la raggiunta uguaglianza
ricavi-costi.
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b.
Fase di sviluppo: In tale periodo i ricavi sono costantemente superiori alle spese e crescono fino a
stabilizzarsi. Quando i ricavi si stabilizzano inizia la fase di maturità dell’arboreto e la retta cessa di
crescere.
c.
Fase di maturità: durante tale periodo l’arboreto è in piena produzione e, anche se con una certa
approssimazione, si può considerare che esso fornisca dei redditi netti annuali costanti (produzioni e
costi restano circa costanti). La retta che descrive tale fase ha quindi un andamento orizzontale.
d.
Fase di senescenza: in tale fase l’impianto, per gli anni che ha, realizza produzioni sempre
decrescenti mentre i costi necessari al suo mantenimento restano costanti. Il risultato è un reddito
netto annuale decrescente. Tale fase si conclude con lo spiantamento dell’arboreto che ormai risulta
troppo poco produttivo. La fine del ciclo è rappresentata dal momento n.
Come stimare questo tipo di arboreti?
- Considerazione 1: non si può capitalizzare un Bf annuale poiché, come detto, da 0 ad n il Bf annuale
cambia continuamente (vedi le 4 fasi);
- Considerazione 2: si possono però accumulare al momento n tutte le spese ed i ricavi verificatisi
durante la vita dell’arboreto (da 0 ad n) ottenendo così un Bf poliennale che, con buona probabilità, si
ripeterà sino all’infinito se si procederà a reimpiantare l’arboreto sullo stesso terreno ogni volta che
l’impianto precedente avrà terminato il suo ciclo. Ecco allora che ci siamo ricondotti al caso del
grafico 2 ed è possibile procedere alla stima dell’arboreto per capitalizzazione del suo reddito
poliennale.
- Considerazione 3: la stima di cui al punto 2 è possibile solo nell’ipotesi che quel terreno venga
destinato, per un tempo illimitato, sempre alla medesima coltura arborea (infiniti cicli ripetuti).
- Considerazione 4: per gli arboreti possono venire richieste 3 diverse possibili stime:
1. stima del valore del suolo nudo
corrisponde alla capitalizzazione degli infiniti Bf poliennali al
momento 0 ed esprime le potenzialità produttive di quel suolo rispetto a quella determinata
coltura;
2. stima del valore di suolo + soprassuolo, cioè dell’arboreto in toto, in un momento intermedio del
ciclo;
3. stima del valore del solo soprassuolo. Tale stima è frequente nella valutazione dei danni in cui si è
avuta la distruzione completa del soprassuolo (es. incendio).
Esaminiamo le soluzioni estimative per i tre casi presentati.
1. Valore della terra nuda da destinare a una certa coltivazione arborea:
n
V0 =
∑ (Pr − Sp)
0
q −1
n
che corrisponde a: V0 =
Bf p
qn −1
Quest’ultima espressione corrisponde all’accumulazione iniziale di infiniti Bf poliennali posticipati.
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2. Stima degli arboreti in un momento intermedio del ciclo (m): valore di suolo + soprassuolo:
a. PROCEDIMENTO
IN BASE AL COSTO O A REDDITI PASSATI:
Se il momento m è più prossimo
all’inizio del ciclo dell’arboreto che alla fine, si utilizza un procedimento di stima basato sul
principio che il valore dell’impianto è pari al valore del suolo, considerato all’anno m, più
l’accumulazione da 0 ad m dei costi e dei ricavi verificatisi in quel periodo. Ciò equivale a dire che
l’arboreto vale il suo suolo più i costi sostenuti per l’arboreto dall’impianto sino all’anno m.
m
Vm = V0 ⋅ q m + ∑ ( Sp − Pr)
0
N.B.: Nella stima in base al costo si considera che, nel periodo da n ad m, le Sp superino i Pr poiché
la fase giovanile, che è improduttiva, pesa molto sul bilancio complessivo costi – ricavi. Per tale
ragione nella formula si applica la differenza Sp – Pr anziché Pr – Sp.
b. PROCEDIMENTO IN BASE AI REDDITI FUTURI: Se il momento m è più prossimo alla fine del ciclo
dell’arboreto che all’inizio, si utilizza un procedimento di stima basato sul principio che il valore
dell’impianto è pari al valore del suolo, considerato all’anno m, più l’accumulazione da m ad n dei
ricavi e dei costi che dovrebbero verificarsi dall’anno m fino alla fine del ciclo, cioè ad n. Ciò
equivale a dire che l’arboreto vale come il suo suolo più i prodotti che fornirà da m ad n al netto
delle spese da sostenere.
n
Vm =
∑ (Pr − Sp)
m
q n− m
n
V
+ n −0m
q
da cui:
Vm =
∑ (Pr − Sp) + V
0
m
q n−m
3. Valore del solo soprassuolo in un momento intermedio del ciclo:
Posto che il valore V0 rappresenta il valore del suolo, poiché al momento 0 l’arboreto non è stato ancora
impiantato ma ha solo la destinazione potenziale per quel tipo di arboreto, V0 corrisponde a Vs ossia al
valore del suolo nudo. In ogni momento m, intermedio al ciclo dell’arboreto, si verifica quindi che il
valore del solo soprassuolo, Vss , è pari a Vm (valore di suolo + soprassuolo) meno Vs.
Vss = Vm – Vs
DUE PAROLE SUL SAGGIO:
Molti autori, per semplificare, propongono l’utilizzo di un saggio unico sia
per il riporto nel tempo di spese e ricavi che per la capitalizzazione del Bf poliennale. E’ chiaro però che
ciò non è corretto. Il rendimento di un capitale, moneta o arboreto che sia, dipende essenzialmente dal
rischio connesso all’impiego di quel capitale (es. svalutazione della moneta, mancata produzione di un
arboreto). Maggiore è il rischio d’impiego di un capitale maggiore sarà il saggio di rendimento da
imputare a quel capitale. Si premette che il rischio connesso ad un arboreto è variabile durante il suo
ciclo: nella stazione di maturità ad esempio non si hanno gli stessi rischi, di investimento e di
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produzione, che si hanno all’inizio o alla fine del ciclo produttivo. Il saggio di riporto è pertanto
variabile in relazione al rischio che la coltura presenta nel momento della stima, a sua volta connesso
alla zona in cui si trova, e dipende inoltre dalla durata del suo ciclo. Più lungo sarà il ciclo maggiore sarà
l’esposizione a variazioni di costi-ricavi. Il saggio di capitalizzazione, invece, è il saggio di rendimento
spettante a 100 euro di valore di quel capitale “arboreto”. Esso dovrebbe esprimere il rendimento medio
realizzabile con quella coltura in quel determinato ambito locale inteso sia come terreno che clima che
mercato. Esso è legato al rischio della coltura ed è elevato quando si ha un’incerta riuscita dell’arboreto,
mutevoli condizioni del mercato della frutta o variabilità dei costi di produzione, che possono verificarsi
durante il ciclo, nonché rischi legati al manifestarsi di avversità parassitarie o meteorologiche.
Certamente il saggio di capitalizzazione di un arboreto sarà superiore a quello dei seminativi poiché
questi ultimi hanno una scarsa variabilità annua dei prodotti e delle spese.
CONCLUSIONI:
1. I riporti nel tempo di redditi e costi dovrebbe effettuarsi con saggi variabili negli anni che
esprimano, di volta in volta, i rischi connessi alla gestione dell’arboreto (costi e produzioni). Da
un anno all’altro del ciclo, o per lo meno nelle varie fasi del ciclo economico, un arboreto
comporta infatti diversi rischi di investimento (danni all’arboreto, cioè all’investimento iniziale,
o aggravi dei costi di gestione) e di produzione (possibilità di non ottenere le produzioni
previste);
2. Il saggio di capitalizzazione del Bf poliennale scaturisce invece dal rischio connesso con
l’investimento fondiario ed esprime il rischio insito nel praticare quella certa coltura (riuscita
dell’arboreto, stabilità del mercato, possibilità di subire avversità biotiche e meteorologiche).
Questo rischio oltre ad essere legato alla variabilità annua di prodotti e spese è anche influenzato
dall’intrasferibilità dell’investimento: i soldi spesi in un arboreto non si possono trasferire in altri
investimenti!
vincolo
saggio più alto.
3. Ai fini scolastici si può anche utilizzare un saggio unico ma si deve essere coscienti che, nella
pratica professionale, il perito dovrà analizzare molto bene le situazioni contingenti e proporre
dei saggi differenziati, che scaturiscano da un’analisi approfondita del caso in esame,
giustificandone nei dettagli la scelta al fine di rendere la perizia oggettiva e condivisibile.
Piccolo compendio riepilogativo di alcune formule di Matematica Finanziaria – Prof. Pietro Petroni
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