Alcuni esercizi 14 marzo 2014 • Si dimostri la legge di cancellazione

Alcuni esercizi 14 marzo 2014
• Si dimostri la legge di cancellazione in Z;
• Si dimostri che la congruenza modn in Z definita da
a ≡ b ⇔ n | (a − b)
è una relazione di equivalenza;
• si dimostri che la relazione di congruenza sopra definita suddivide Z
in n classi. Si provi che l’insieme quozient Zn risulta
Zn = {[0]n , [1]n , . . . [n − 1]n }
• usando la congruenza mod9 si dimostri il criterio di divisibilità per 9
nei numeri interi;
• si definiscano somma e prodotto in Zn nel modo seguente:
[a]n + [b]n = [a + b]n ,
[a]n · [b]n = [a · b]n ;
Si provi che somma e prodotto in Zn sono ben definite.
• Si introduca una lezione sulle congruenze madulo n partendo dalla
lettura dell’orologio;
• si introduca il concetto di operazione su un insieme. Si pensi a una
lezione sul concetto di operazione ben definita su un insieme quoziente
(si pensi alla somma tra due frazioni, o alle operazioni in Zn ; ricordate
che tutti, inconsapevolmente fanno le operazioni modulo 24;
• In Z12 la legge
M.C.D.([a]n , [b]12 = [M.C.D.(a, b)]12
non è un ’operazione in Z12
Per approfondire tali argomenti si può vedere ad esempio: nathan Jacobson, Basic algebra. I. Second edition. W. H. Freeman and Company,
New York, 1985.
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