ESERCIZI DI CALCOLO DELLE PROBABILITà

PROBABILITÀ – VARIABILI CASUALI
1) Il guadagno ottenuto dalla vendita di 2500 unità di una certa merce è espresso
dalla relazione G = 2500 P – 150000 essendo P (prezzo unitario) una variabile
casuale che assume i valori
50
80
100
150
con probabilità rispettivamente uguali a
3/25
11/25
33/100
11/100
Determinare i valori assunti dalla V. A. guadagno, la funzione di ripartizione e
quindi calcolare:
a. Il guadagno medio
b. La probabilità che il guadagno sia negativo
c. La probabilità che il guadagno sia non inferiore a 100.000
2) Un giornalaio prevede di vendere una rivista settimanale in un numero di copie di
50
60
70
80
90
100
con probabilità rispettivamente uguali a
0,10
0,20
0,25
0,30
0,10
0,05
Determinare
d. Il numero atteso di copie vendute
e. Lo scarto quadratico medio
f. La probabilità di vendere un numero di copie non inferiore a 60 e non
superiore a 90
g. La probabilità di vendere oltre 90 copie
3) Si vogliono intervistare persone per studiare le abitudini al consumo. Da una
precedente indagine si sa che il 50% è costituito da lavoratori indipendenti, il 40%
è costituito da lavoratori dipendenti e il restante 10% da non occupati.
La probabilità di ricevere risposta all’intervista è di ¼ se la persona appartiene alla
categoria dei lavoratori indipendenti, ½ se la persona appartiene alla categoria dei
lavoratori dipendenti e 1/3 se la persona è disoccupata. Qual è la probabilità che
la persona risponda all’intervista? Sapendo poi che una persona ha risposto
all’intervista qual è la probabilità che appartenga alla categoria dei lavoratori
indipendenti?
4) Hai a disposizione un computer che funziona con probabilità 0,9 e una
stampante che funziona con probabilità 0,8. Determina la probabilità che
funzioni: a. uno solo dei due, b. nessuno dei due, c. almeno uno dei due.
5) Riguardo due eventi indipendenti è stata fatta la seguente stima di probabilità:
p(E1) = 0,3
p(E1∩E2) = 0,18
Determinare P(E2| E1).
6) Una scatola contiene 50 temperini dei quali si sa che 6 sono difettosi. Si prendono
a caso 4 temperini. Calcolare la probabilità che almeno 3 non siano difettosi.
7) Due scatole di cioccolatini contengono rispettivamente: la prima 12 cioccolatini
alla nocciola, 10 al latte, e 8 fondenti; la seconda 10 alla nocciola, 15 con cereali e
20 al cioccolato bianco. Si estraggono un cioccolatino dalla prima scatola e uno
dalla seconda. Determina la probabilità che: a. entrambi siano alla nocciola, b.
siano di gusto diverso, c. almeno uno sia alla nocciola, d. nessuno sia al cioccolato
bianco.
8) Due dadi vengono lanciati 5 volte. Determinare la probabilità che su 5 lanci il
punteggio 6 venga realizzato almeno 2 volte.
9) Una persona deve incassare fra 3 anni un capitale C il cui importo è una variabile
casuale che può assumere i valori 2.000, 2.300, 2.500, 2.600 con probabilità
rispettivamente uguali a p1 = 0,20, p2 = 0,25, p3= 0,39, p4 = 0,16.
Costruire la variabile casuale che definisce il valore attuale del capitale calcolato
con lo sconto composto del 7,2%, la funzione di ripartizione e la sua
rappresentazione grafica. Quindi calcolare
a. Il valor medio
b. La probabilità che il valore attuale sia maggiore di 1.900.
10) Tizio ha investito la somma di Euro 1.000 in un’operazione che da origine a un
ricavo che assume i seguenti valori
700
900
1.100
1.200
1.400
con probabilità rispettivamente uguali a
0,1
0,2
0,3
0,2
0,2
Dopo avere indicato quali sono i valori che assume il guadagno, determinare
h. Il guadagno atteso
i. Lo scarto quadratico medio
j. La probabilità che il guadagno sia negativo
k. La probabilità che il guadagno non sia negativo
l. La probabilità che il guadagno sia superiore a 150.
11) Una ditta riceve merce da tre fornitori A, B, C nelle seguenti proporzioni: il 42%
della merce è fornita da A, il 14% da B e la restante merce da C. E’ noto che la
probabilità che un pezzo sia difettoso è rispettivamente 0,05, 0,04, 0,1 a seconda
che sia fornito da A, B o C.
Calcolare la probabilità che un pezzo estratto tra quelli ricevuti dalla ditta sia
difettoso. Inoltre, esaminato a caso un pezzo e supposto che sia difettoso, calcolare
la probabilità che esso provenga dal fornitore B.
12) La probabilità che una persona di 25 anni giunga in vita all’età di 75 è 0,57 per
una donna e 0,52 per un uomo. Due venticinquenni si sposano, qual è la
probabilità che giunga in vita all’età di 75 anni: a. uno solo dei due, b. nessuno
dei due, c. almeno uno dei due.
13) Con riferimento a una certa impresa si considerino i seguenti eventi:
E1 : le vendite di personal computer aumentano nei prossimi sei mesi di almeno il
6%
E2: le vendite di software aumentano nei prossimi sei mesi di almeno il 4%
Supponendo che l’incaricato dell’ufficio studi di quell’impresa abbia valutato le
seguenti probabilità:
p(E1) = 0,4
p(E1UE2) = 0,7
p(E1∩E2) = 0,2
determina quale probabilità deve essere assegnata all’evento E2 perché la
valutazione di tale probabilità possa essere ritenuta coerente. Motiva la risposta.
14) Nel rimettere in ordine un magazzino di una piccola azienda si è trovata una
scatola che contiene 12 interruttori di cui 4 non funzionanti. Si estraggono
successivamente due interruttori; calcolare la probabilità che almeno uno sia
difettoso.
15) Si hanno due urne: la prima contiene 20 palline di cui 11 bianche e 9 gialle, la
seconda contiene 28 palline di cui 18 bianche e 10 gialle. Si estraggono
contemporaneamente 2 palline dalla prima urna e si inseriscono nella seconda,
quindi si estrae una pallina dalla seconda. Trovare la probabilità che le palline
estratte siano: a. due bianche e una gialla, b. almeno due bianche, c. almeno 1
bianca, d. nessuna bianca.
16) In una prova di tiro al bersaglio si ha una probabilità del 40% di fare centro. Posto
che i bersagli sono 6 e si vince un premio nel caso in cui se ne colpiscano almeno
3, determina la probabilità di vincere un premio.