Matematica III - 1 Radicali (vedi Bergamini modulo H unità 1 e AVallardi cap. 5) La nozione di radice n-esima di un numero si deriva da quella di elevazione a potenza (come si definisce la sottrazione a partire dall'addizione e la divisione a partire dalla moltiplicazione). Così per radice n-esima di un numero a si intende un numero b tale che bn = a. Per esempio uno è radice quadrata di uno perchè 12 = 1. Però anche -1 è radice quadrata di uno perchè (-1)2 = 1. Oppure, quali sono le radici quadrate di -1? Non ci sono radici reali di -1 ma però ci sono due radici immaginarie (o complesse) i e -i. Nel campo complesso, ad ogni numero corrispondono n radici n-esime distinte (salvo per il numero 0). Si parla di radicale quando si usa il simbolo n a per indicare la radice n-esima di un numero a. n si legge "radice ennesima di a" n è detto indice ed è un naturale positivo, a è detto radicando. Qui prenderemo in considerazione unicamente dei radicandi reali. Se n è uguale a due, si parla di radice quadrata e si puo' omettere di indicarlo. Quando l'indice n è uguale a tre, si parla di radice cubica. a Esiste una certa ambiguità nella notazione dei radicali. Si distingue tra radici algebriche, principali e aritmetiche, senza che a questa distinzione corrispondano delle notazioni particolari. In genere però s'intende il radicale n a come radice aritmetica o radice principale. Radici algebriche Parleremo di radice algebrica in riferimento alla nozione di base della radice per cui avremo: b è radice algebrica n-esima di a ⇔ b n = a (⇔ si legge "se e solo se") Se n è pari e a positivo avremo due valori reali che elevati ad n danno a. Nei casi in cui n è dispari avremo un solo valore b reale che elevato ad n da a. Nei casi in cui n è pari e a negativo, non avremo dei valori di b reali che elevati ad n danno a. Esempi: la radice quadrata algebrica di 4 vale ±2. se ci si limita ai valori reali la radice cubica algebrica di -27 vale -3 (e le radici complesse?) se si lavora con i complessi la radice quadrata di -1 vale ±i Per avere un'idea del perchè si parla di radice algebrica, consideriamo l'equazione x2 = 1. L'equazione è soddisfatta dai numeri che elevati al quadrato danno uno. Anche applicando la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado giungeremmo alla conclusione che sia +1 che -1 sono soluzioni dell'equazione. Diremo che +1 e -1 sono le radici quadrate algebriche di 1. Radici principali Si parla di radice principale quando s'intende considerare un solo valore per ogni radice: Se la radice algebrica reale è una sola, essa coincide con la radice principale. Se le radici algebriche reali sono due, quella positiva sarà anche quella principale. Se nessuna radice algebrica è reale, la radice complessa con l'argomento (positivo) più piccolo sarà quella principale Esempi: la radice quadrata principale di 4 vale +2 la radice cubica principale di -27 vale -3 la radice quadrata principale di -1 vale +i ( 4 = 2) ( 3 −27 = -3) ( −1 = i) Matematica III - 2 Radici aritmetiche Si parla di radice aritmetica quando il radicando è reale e positivo o nullo e la radice è reale e positiva o nulla. Così per dei radicandi positivi o nulli la radice aritmetica coincide con quella principale, e dei radicandi negativi la radice aritmetica non se ne occupa. Esempi: - la radice quadrata arimetica di 4, che notiamo 4 , vale 2 3 −27 non è una radice arimetica perchè il radicando è negativo però possiamo passare da una radice principale con indice dispari e radicando negativo ad un'aritmetica "estraendo" il segno meno. Così 3 −27 = − 3 27 = -3 ( d −a = − d a , per a > 0 e d dispari). Potenze frazionarie Definiremo l'elevazione a potenza frazionaria ( mn ∈ Q, n ∈ N*) tramite l'uguaglianza m a n = n am dove a è un numero reale positivo, e la radice a secondo membro è intesa come radice aritmetica Osservazioni: non definiamo la potenza frazionaria per a = 0 perchè per m negativo avremmo un diviso zero se la frazione mn ridotta ai minimi termini possiede un denominatore dispari, potremmo considerare anche gli a negativi. Dovremmo però fare attenzione ai problemi di segno quando passiamo, nei 3 6 calcoli, da una frazione ad una frazione equivalente ((−8) 5 = (−8) 10 ?). la macchinetta calcolatrice segnala un errore se elevo ad un numero negativo lo zero o se elevo ad un razionale con "denominatore pari" un numero negativo. Regole di calcolo Elenchiamo ora una serie di regole di calcolo valide per delle radici aritmetiche e per a, b positivi prodotto di radici con stesso indice n rapporto di radici con stesso indice n potenza di una radice radice di una radice moltiplicazione o divisione di indice e esponente razionalizzare un denominatore costituito da un solo radicale razionalizzare un denominatore tramite il binomio coniugato radicale doppio, se a2 - b è un quadrato perfetto a = b n a n b 1 1 (a $ b) n = a n $ b n 1 n 1 (a) n = a 1 b bn p 1 ( n a )p = n ap (a n ) p = a n a = (a p ) n = a p $ n n p n 1 a$b = n a $ nb am = n n$p 1 am 1 a! b a! b = n$p n p a m$p = n = = 1 a n ap a n−m a a+ a 2 −b 2 ! 1 m$p m+p = a −1 $ a n−m n m −m n 1 1 1 a 2 !b a− a 2 −b 2 1 a n = a n$p = a n+p a a" b a−b 1 1 2 = ... a 2 "b a−b 1 2 Matematica III - 3 qualche esempio di manipolazione di radicali (vedi Bergamini modulo H unità 1) Trasporto di un fattore fuori dal segno di radice 32 = 16 $ 2 = 4 2 $ 2 = 4 2 a 2 $ b 3 $ c 4 = a $ b $ c 2 $ b se a, b ≥ 0 Trasporto di un fattore dentro il segno di radice 3 5 = 3 2 $ 5 = 35 a $ b $ c2 $ b = a2 $ b3 $ c4 se a, b ≥ 0 Riduzione di radicali allo stesso indice 3 $ 3 3 6 3 = 6 33 $ 6 32 $ 6 3 = 6 33 $ 32 $ 3 = 3 Razionalizzazione del denominatore 5 3 = 5 3 $ 3 3 = 5 3 3 3 2 = 2 $ 3 4 4 3 3 2 23 2 = = 2 2 3 2 3 + 5 7( 3 + 5 ) 7 = = ( 3 + 5) 3+5 8 3 + 5 7 7 = $ 3 − 5 3 − 5 Radicale doppio 3− 5 = 3+ 9−5 2 − 3− 9−5 2 = 5 2 − 1 2 = 10 2 − 2 2 Potenze frazionarie di numeri negativi o nulli Abbiamo definito l'elevazione a potenza frazionaria (a n , con mn ∈ Q, n ∈ N*) unicamente per dei numeri positivi (a > 0). Così facendo ci siamo messi al riparo da inconsistenze che potrebbero verificarsi se il numero elevato fosse negativo o nullo e volessimo comunque utilizzare le regole di calcolo valide per le potenze intere. Vedremo più tardi che anche l'elevazione a potenza reale la si definisce per dei numeri positivi. Tratteremo infatti la funzione esponenziale dove un numero positivo è elevato ad una potenza che è una variabile reale (ax con a ∈ R+ e x ∈ R ). Per ora vediamo cosa fare nei casi in cui non sappiamo se il numero elevato o da elevare a potenza frazionaria è negativo o positivo o nullo. m Caso in cui il numero puo' essere nullo La difficoltà che viene da un numero nullo elevato a potenza frazionaria è la stessa che abbiamo nell'elevazione intera quando l'esponente è negativo o nullo. La risolviamo in genere ponendo delle condizioni di esistenza, per esempio a0 ⇒ C.E. a ≠ 0 oppure a-3 ⇒ C.E. a ≠ 0. Caso in cui il numero puo' essere negativo Le difficoltà che incontriamo derivano dal fatto che un numero negativo elevato a potenza pari è un numero positivo, ugale al suo opposto elevato alla stessa potenza ((-a)2 = (a)2) . Queste difficoltà le risolviamo ponendo delle condizioni di esistenza (per esempio a ⇒ C.E. a ≥ 0) e seguendo alcune regole durante la "manipolazione". Consideriamo i due casi seguenti: passaggio da pari a dispari: quando una lettera è elevata ad una potenza pari e si vuole passare ad un esponente dispari, lo si può fare a patto di prenderne il valore assoluto. Esempio: a 2 = |a| passaggio da dispari a pari: quando una lettera è elevata ad una potenza dispari e si vuole passare ad un esponente pari, lo si può fare distinguendo due casi. Esempio: a = a 2 se a ≥ 0, a = − a 2 se a < 0 Matematica III - 4 equazioni con radicali Vediamo ora come procedere di fronte ad un'equazione che presenta dei radicali. Il procedimento che in genere utilizziamo per risolvere questo tipo di equazioni è quello di elevare al quadrato (o ad un'altra potenza) i due membri dell'equazione in modo da eliminare i radicali. Quando eleviamo ad una potenza pari i due membri di un equazione non otteniamo in generale un'equazione equivalente ma sappiamo però che tutte le soluzioni della prima equazione devono essere soluzione anche della seconda. In simboli potremmo scrivere: A = B ⇒ A2 = B2 O, se notiamo S1 l'insieme delle soluzioni dell'equazione A = B e S2 quello dell'equazione A2 = B2, possiamo scrivere che S1 ⊆ S2 ma non che S1 = S2. Questo ci obbliga a verificare che le soluzioni trovate lo siano anche per l'equazione di partenza. Proviamo ad elencare le tappe di un procedimento con l'ausilio di un esempio equazione di partenza condizioni di esistenza1 Se lavoriamo con i numeri reali richiediamo che il radicando di un radicale di indice pari sia positivo o nullo. Questa esigenza si traduce dunque in una o più disequazioni "Manipolazione" delle espressioni 5x − 1 − x = 1 5x - 1 ≥ 0 → x ≥ 1/5 x≥0 queste disequazioni sono entrambe soddisfatte se x ≥ 1/5. Conoscendo le regole di calcolo riguardanti i radicali possiamo forse semplificare o riarrangiare le espressioni in modo più conveniente. Isolare un radicale Con le regole per ottenere equazioni equivalenti cerchiamo di isolare un radicale. Cerchiamo cioè di ottenere un'equazione dove il membro di sinistra (o di destra) consista unicamente in un radicale. Eleviamo al quadrato o ad un altra potenza a seconda dell'indice del radicale isolato Semplificare e di nuovo isolare un radicale (se ce ne sono ancora) Di nuovo eleviamo (se necessario) Quando sono spariti i radicali cerchiamo di risolvere l'equazione rimasta 5x − 1 = 1 + x 5x − 1 = 1 + 2 x + x 2x − 1 = 4x 2 − 4x + 1 = x 4x 2 − 5x + 1 = 0 x 1,2 = Da ultimo verifichiamo (è obbligatorio) se le soluzioni trovate funzionano per l'equazione di partenza. In generale non bisogna accontentarsi di confrontarle con le condizioni di esistenza. Queste potrebbero essere incomplete. 1 x 5! 25−16 8 = 5!3 8 =… 1 1/4 Se inseriamo i valori 1 e 1/4 nell'equazione di partenza vediamo che solo l'uno è soluzione. Da notare il fatto che 1/4 non era escluso dalle condizioni di esistenza espresse sopra. Se determinare le condizioni di esistenza presenta difficoltà maggiori e non è richiesto esplicitamente, possiamo saltare questa tappa contando sulla verifica finale delle soluzioni.