Probabilità condizionata

Probabilità condizionata
• Dati due eventi A e B relativi allo stesso esperimento con
P (B) 6= 0 la probabilità (condizionata) di A dato B è data
dall’espressione
P (A ∩ B)
P (A|B) =
P (B)
• Legge delle probabilità composte:
P (A ∩ B ) = P (A|B ) P (B )
• Legge delle probabilità totali: sia B1, B2, . . . una famiglia di
eventi necessari e incompatibili:
1.
S∞
i=1 Bi = Ω;
2. Bi ∩ Bj = ∅,
3. P (Bi) > 0,
i 6= j;
i = 1, 2, . . ..
Sia A un qualunque altro evento, allora
P (A) =
∞
X
i=1
P (A ∩ B i ) =
∞
X
i=1
P (A|Bi) P (Bi)
• Teorema di Bayes: data una famiglia finita o numerabile
di eventi B1, B2, . . . incompatibili e necessari e un qualunque
altro evento A con P (A) > 0, si ha
P (A|Bi) P (Bi)
P (Bi|A) = P∞
i=1 P (A|Bi) P (Bi)
i = 1, 2, . . .
• Quando la probabilità di A condizionata al verificarsi di B è
uguale alla probabilità di A (non condizionata)
P (A|B ) = P (A)
si dice che A è stocasticamente indipendente da B.
– Due eventi A e B sono stocasticamente indipendenti se e
solo se
P (A ∩ B ) = P (A) · P (B )
– Gli eventi A1, A2, . . . , An si dicono mutuamente stocasticamente indipendenti se e solo se per ogni k = 2, 3, . . . , n
e per ogni allineamento i1 < i2 < · · · < ik dei numeri
1, 2, . . . , n
P Ai1 ∩ Ai2 ∩ . . . ∩ Aik = P Ai1 · P Ai2 · · · · · P Aik