Esercizi probabilità

5. INTRODUZIONE AL CALCOLO DELLE PROBABILITA’
Esercizio n.1
In un esperimento casuale un dado viene lanciato una volta. Si definiscono gli eventi:
A := {si presenta un numero pari}
B := {si presenta un numero ≤ 3}
Determinare:
a)
b)
c)
d)
e)
l’insieme degli eventi elementari che danno
l’insieme degli eventi elementari che danno
l’insieme degli eventi elementari che danno
la probabilità che si verifichi A;
la probabilità che si verifichi A dato che si è
luogo a B;
luogo all’intersezione di A e B;
luogo all’unione di A e B;
verificato B;
Soluzione Esercizio n.1
a)
{1,2,3}
b)
{2}
c) {1,2,3,4,6}
d)
1
2
e)
1
3
Esercizio n.2
Si effettui un esperimento consistente nel lancio simultaneo di due dadi.
Si determini:
a)
b)
c)
d)
la
la
la
la
probabilità
probabilità
probabilità
probabilità
che
che
che
che
nel primo dado esca il numero 5;
in entrambi i dadi esca il numero 5;
in almeno un dado esca il numero 5;
solo nel secondo dado esca il numero 5.
Soluzione Esercizio n.2
Lanciando due dadi si hanno 36 risultati possibili o eventi elementari, che possono
rappresentarsi come i 36 punti della figura seguente:
1
2
3
4
5
6
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
1
2
3
4
5
6
a) Indicando con A l’evento: “nel primo dado si presenta il numero 5”, si ha:
P ( A) =
6
1
=
36 6
b) Indicando con B l’evento: “nel secondo dado si presenta il numero 5”, essendo i
due eventi indipendenti, si ha: P ( A ∩ B ) = P ( A ) ⋅ P ( B ) =
1 1
1
⋅ =
6 6 36
c) La probabilità che in almeno un dado esca il numero 5 è pari a:
P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) − P ( A ∩ B ) =
1 1
1
11
+ −
=
6 6 36 36
e) Indicando con D l’evento: “solo nel secondo dado si presenta il numero 5”, si ha:
P ( D) =
5
36
Esercizio n.3
Un collettivo di 100 giovani è stato classificato secondo lo stato civile e
l’abitudine al fumo ottenendo la distribuzione seguente:
Coniugato (D )
Totale
40
10
50
fumatore 20
30
50
60
40
100
Celibe
Fumatore ( A )
Non
(C )
(B )
Totale
Si estrae dal collettivo casualmente un giovane. Calcolare:
a) la probabilità che il giovane sia celibe;
b) la probabilità che sia non fumatore;
c) la probabilità che sia coniugato e fumatore.
Soluzione Esercizio n.3
( )
a) P C =
c)
60
= 0, 6
100
P ( D ∩ A) =
b)
P (B) =
50
= 0,5
100
10
= 0,1
100
Si ha anche che:
P ( D ∩ A ) = 1 − P ( D ∩ A ) = 1 − P ( C ∪ B ) = 1 − ( 0, 6 + 0,5 − 0,2 ) = 0,1
Esercizio n.4
Si consideri l’esperimento consistente nel lanciare due dadi, uno bianco (b) e l’altro
nero (n). Sapendo che la somma delle due facce uscite è un numero inferiore a 5,
calcolare la probabilità che sia uscita la faccia con il numero 1 nel dado bianco.
Soluzione Esercizio n.4
Indicando con A l’evento “ numero 1 nel dado bianco” e con B l’evento “la somma dei
valori del dado bianco e del dado nero è inferiore a 5”, i risultati possibili che si
verificano con A e B nello spazio campionario
sono rispettivamente:
Ω,
costituito da 36 eventi elementari,
A = {(1,1), (1,2 ), (1,3), (1,4 ), (1,5 ), (1,6 )}
B = {(1,1), (1,2 ), (1,3), (2,1), (3,1), (2,2 )}
L’evento
( A ∩ B ) = {(1,1), (1,2 ), (1,3)} ossia nel dado bianco si è presentata la faccia con
il numero 1 e la somma delle due facce è inferiore a 5.
Le probabilità sono date da:
P ( A) =
6
36
P( B ) =
6
36
P( A ∩ B ) =
3
36
Si applica, quindi, la formula della probabilità condizionata, ottenendo:
P( A B ) =
P( A ∩ B ) 3 36 1
=
= = 0,5
P( B )
6 36 2
Esercizio 5
Sia Ω uno spazio campionario e siano A e B due eventi di Ω, con P(A) = 0.36 e P(A U
B) = 0.91.
Si calcoli P(B) nei seguenti due casi:
(a) I due eventi sono indipendenti.
(b) I due eventi sono incompatibili. In questo caso sono indipendenti?
Soluzione Esercizio n.5
(a) P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A
0.8594
(b) P(A U B) = P(A) + P(B),
B) = P(A) + P(B) – P(A)*P(B),
da cui P(B) = 0.5500
da cui: P(B) =